Elektrostatyka w przykładach

Elektrostatyka w przykładach
Prawo Coulomba
Prawo Gaussa
Potencjał pola elektrycznego
Dwa ładunki
Siła działająca pomiędzy dwoma
ładunkami
Q
q
R
W celu określenia siły oddziaływania ładunku dodatniego na
ujemny wykonujemy następujące czynności
Dwa ładunki
Zakładamy że ładunek dodatni wytwarza
pole elektryczne w którym umieszczony
jest ładunek „próbny” ujemny.
Określamy siłę działania pola
elektrycznego na ładunek próbny.
1 Q
E
2
4 0 R
F  Eq
1 Qq
F
4  0 R 2
Ciągły rozkład ładunku
Y
x
dx
L

q
Q
d
Szukamy siły oddziaływania pręta
naładowanego jednorodnie ładunkiem Q na
ładunek q.
Ciągły rozkład ładunku
Y
1
dQ
dE 
4  0 ( d  L  x ) 2
Q
dQ  dx
L
L
1 Q
dx
E
2
4


L
(
d

L

x
)
0
0
x
dx
L
du   dx
x
0
L
u dL d
d
Q
 du
Q 1
1 
E




2

4  0 L d  L u
4  0 L  d d  L 
d
u d Lx
q
Q
Q
F  Eq 
4  0 (d 2  dL)
Ciągłe rozkłady ładunku

Nieskończony drut
dE
dEy
dEx
 - liniowa gęstość ładunku
R

r
+
x
1 dq
1
dx
dE 

2
4 0 r
4 0 R 2  x 2
dE x  dE sin 
dx  rd
dx
dE y  dE cos 
x  Rtg
r  R2  x2
Ciągłe rozkłady ładunku
dE x 

sin  cos d
4  0 R

dE y 
cos 2 d
4  0 R
dE
dEy
dEx
R

+

2

Ex 
sin  cos d  0

4  o R 

2

2


2
Ey 
cos  

4  o R 
2  0 R

2
r
x
dx

E  E  E  Ey 
2 0 R
2
x
2
y
Dipol elektryczny
Dane są dwa ładunki różnoimienne
+q oraz –q odległość między
ładunkami l ? 2a
x
Znaleźć należy natężenie pola E w
odległości r na linii prostopadłej do
symetrycznej dipola
E = E1 + E2  E = 2 E1  cos 
cos  = a / (a2 + r2) oraz
E 
1
2aq
4   0 a 2  r 2

E1 = 1/(4 0) q/ x2
1
3/ 2
2aq
1
p


4 0 r3
4 0 r3
p ≡ l q
dla r > a  E  1/ r3
Uzyskane relacje
Dipol elektryczny
 Ładunek punktowy
 Ładunek „liniowy”
 Ładunek „powierzchniowy”

E1/r3
E1/r2
E1/r
Econst
Odchylanie wiązki elektronów
vo – prędkość początkowa elektronu
w obszarze pola E - siła F = q E  ruch z przyśpieszeniem a
wzdłuż y :
x = vo  t
y = ½ a t2,
a = E q / m  y  x2 - parabola
po osiągnięciu położenia x1, y1 – brak sił  linia prosta o
nachyleniu : tg  = dy/dx
Położenie plamki na ekranie: w odległości Y = y1 + L tg α 
można mierzyć natężenie pola E między okładkami.
Prawo Gaussa

Strumień pola
elektrycznego
 
 E   ES
 
 E   EdS
Prawo Gaussa
Zamknięta powierzchnia cylindryczna w jednorodnym
polu elektrycznym
 
 E   EdS 
 
 
 
 EdS   EdS   EdS
(a)
(b )
(c)
Prawo Gaussa
 
0
E
d
S

E
cos
180
dS   E  dS   ES


(a)
 
 EdS  0
(b )
 
 EdS  ES
(c)
 E  ES  0  ES  0
Prawo Gaussa
E 
q
Prawo Gaussa a prawo
Coulomba
0
  q
 EdS 
s
0

dS  dSnˆ
  q
 EdS 
0
s
E  dS 
s
q
0
E 4 R 
2
q
0
q
E
4 R 2  0
Prawo Gaussa
Jednorodnie naładowana kula ładunkiem Q
E
1)
  Q
x  R   Ed S 
0
Q
4 3
x
4
3
R 3
E 4 x 2  3
E
0
R
R
X
2)
Qx
4 R 3 0
  Q
x  R   Ed S 
0
E 4 x 2 
Q
0
E
Q
4  0 x 2
Prawo Gaussa
Nieskończony drut, raz jeszcze, naładowany z liniową gęstością 
 
 EdS 
 
 E1dS p 
( pp )


E1  dS p
 
 EdSb 
( pb )


E2  dS p
 
h
 E2 dS p 
( pl )
0
 
h
E dSb  E 2rh 
E
0

2r 0
Prawo Gaussa
Nieskończona powierzchnia,
naładowana z powierzchniową gęstością 
 
 
 
  S p
 EdS  ( pp )EdS p  ( pb )E1dSb  ( pl )EdS p   0
 
E dS p
E


S p
E1  dSb  E  dS p  E   dS p  2 ES p 
0

2 0
Potencjał elektryczny
Pytanie:
jaką pracę wykonać należy na
przesuniecie ładunku na odcinku dl ?
siła F jest przeciwnie
skierowana do siły od pola
F = - FC = - qo E 
dW = F dl = - qo E dl 
dW ≡ qo  dV
V
El   lim
dl 0  l
Potencjał elektryczny
Definicja: dW/ qo = dV  albo
iloraz zmiany energii potencjalnej ładunku próbnego przez
wartość tego ładunku  zmiana energii potencjalnej tego
ładunku ? zmianie energii potencjalnej pola dV.
Dopuszczalna postać dyskretna:
E=-gradV
V  U  W / q  E  

 V
V
V
E  
xˆ 
yˆ 
y
z
 x
V
l

zˆ 

Potencjał elektryczny
Potencjał elektryczny od ładunku punktowego
q
VB  VA  
4  0
rB
dr
r r 2
A
q 1 1
  
V 
4 0  rB rA 
Gdy rA 
1 q
V
4  0 r
Potencjał elektryczny
Potencjał elektryczny od ładunku punktowego
1.0
1.0
1
E
2
V
0.8
0.8
V
E
0.6
0.6
2
0.4
0.4
B
0.2
0.0
0.0
1
0.2
A
0.5
1.0
r
1.5
0.0
2.0
Podsumowanie



Aby określić siłę oddziaływania pola elektrycznego
należy wyznaczyć działającą w danym punkcie
wartość natężenie pola elektrycznego E
Aby wyznaczyć pracę potrzebną na przesunięcie
ładunku należy określić różnicę potencjałów
pomiędzy punktem startu a punktem końca
przemieszczania ładunku V
Istnieje bezpośrednia zależność pomiędzy zmianą
potencjału pola elektrycznego, a natężeniem pola
elektrycznego. Przypadek jednowymiarowy
E=- V/ x
Pojemność elektryczna