Elektrodynamika

Elektrodynamika
Część 1
Elektrostatyka
Ryszard Tanaś
Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas
Spis treści
1 Literatura
2 Elektrostatyka
2.1 Pole elektryczne . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Dywergencja i rotacja pola elektrostatycznego
2.3 Potencjał elektryczny . . . . . . . . . . . . .
2.4 Praca i energia w elektrostatyce . . . . . . .
2.5 Przewodniki . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
11
28
40
47
1 Literatura
Wykład oparty jest na podręczniku:
D. J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, PWN, Warszawa, 2001
W prezentacjach używam notacji zgodnej (prawie) z polską wersją tego
podręcznika.
Należy pamiętać, że tłusta czcionka oznacza wektor,
~ w pisowni ręcznej.
np. E oznacza E
Prezentacje mogą być wykorzystywane wyłącznie w celach
dydaktycznych.
2 Elektrostatyka
2.1 Pole elektryczne
2.1.1 Zasada superpozycji
Q
q1
q2
qi
ładunki źródła
ładunek próbny
F = F1 + F2 + F3 + . . .
z
Q
R
q
r
′
r
y
x
R = r − r0
Jaką siłą q działa na Q?
2.1.2 Prawo Coulomba
1 qQ
R̂
F =
2
4π0 R
0 = 8, 85 · 10−12
"
C2
Nm2
R
r − r0
R̂ =
=
R
|r − r 0 |
#
przenikalność elektryczna próżni
wersor wskazujący kierunek i
zwrot wektora R
2.1.3 Pole elektryczne
Całkowita siła działająca na Q pochodząca od ładunków q1 , q2 , . . . , qn
odległych od Q o R1 , R2 , . . . , Rn
1
F = F1 + F2 + . . . =
4π0
1
=Q
4π0
q1 Q
q2 Q
R̂1 + 2 R̂2 + . . .
2
R1
R2
q1
q2
q3
R̂1 + 2 R̂2 + 2 R̂3 + . . .
2
R1
R2
R3
!
!
F = QE
E — natężenie pola elektrycznego
z
Ri
q1
P
qi
q2
q3
r′
r
y
x
n
1 X
qi
E(r) ≡
R̂i
2
4π0 i=1 Ri
2.1.4 Ciągłe rozkłady ładunku
1
E(r) =
4π0
dq =
1
E(r) =
4π0
Z
P


0

λ
dl



Z
1
R̂ dq
2
R
ładunek liniowy
0 ładunek powierzchniowy
σ
da




 ρ dτ 0 ładunek objętościowy
λ(r 0 )
0
R̂
dl
R2
pole od ładunku liniowego:
1
E(r) =
4π0
1
E(r) =
4π0
Z
S
Z
V
σ(r 0 )
0
R̂
da
R2
pole od ładunku powierzchniowego
ρ(r 0 )
0
R̂
dτ
R2
pole od ładunku objętościowego
2.2 Dywergencja i rotacja pola elektrostatycznego
2.2.1 Linie pola, strumień i prawo Gaussa
Weźmy pojedynczy ładunek q umieszczony w początku układu
współrzędnych, wtedy
1 q
E(r) =
r̂
2
4π0 r
Pole jest silne w pobliżu ładunku i w miarę oddalania się od ładunku
maleje jak 1/r2 .
Dla ładunku dodatniego pole skierowane jest od ładunku.
+
E
+
−
+
+
E
da
Strumień pola E przez powierzchnię S
ΦE ≡
Z
E · da
S
jest miarą „liczby linii pola” przechodzących przez S.
Dla ładunku punktowego q umieszczonego w początku układu
współrzędnych, strumień pola E przez sferę o promieniu r wynosi
I
E · da =
Z
1
4π0
q
1
2
r̂ · r sin θ dθ dφ r̂ = q
2
r
0
Wynik nie zależy od promienia sfery.
Wynik jest taki sam dla dowolnej powierzchni zamkniętej.
Prawo Gaussa
Strumień pola przez dowolną powierzchnię obejmującą ładunek q
wynosi q/0
I
E · da =
n I
X
Ei · da =
i=1
n X
1
i=1
I
0
qi
1
E · da = Qwew
0
Strumień pola przez dowolną
powierzchnię zamkniętą jest równy
Qwew /0
I
E · da =
S
Qwew =
Z
V
Z
(∇ · E) dτ
V
Z
V
twierdzenie o dywergencji
(twierdzenie Gaussa)
ρ dτ
(∇ · E) dτ =
Z V
1
∇·E = ρ
0
ρ
0
dτ
Prawo Gaussa w postaci różniczkowej
2.2.2 Dywergencja E
1
E(r) =
4π0
Z
cała
Z przestrzeń
1
∇·E =
4π0
R̂
R2
∇·
R̂
R2
∇·
1
∇·E =
4π0
Z
V
S
R̂
0
0
ρ(r
)
dτ
R2
!
!
ρ(r 0 ) dτ 0
= 4πδ 3 (R)
delta Diraca
1
4πδ (r − r )ρ(r )dτ = ρ(r)
0
Z
I
Z
1
1
∇ · E dτ = E · da =
ρ dτ = Qwew
0
0
3
0
0
V
0
2.2.3 Zastosowania prawa Gaussa
Przykład:
Znaleźć pole na zewnątrz jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R i
całkowitym ładunku q
R
I
S
1
E · da = Qwew ,
0
Qwew = q
r
I
E · da =
S
I
S
|E| da = |E|
I
da = |E|4πr2
S
1
|E|4πr = q
0
2
1 q
E=
r̂
2
4π0 r
Pole na zewnątrz sfery jest takie jak od ładunku punktowego
umieszczonego w środku kuli.
Prawo Gaussa jest przydatne do obliczania pola w przypadku kiedy
układ wykazuje wysoką symetrię.
• Symetria sferyczna
• Symetria osiowa
• Symetria względem płaszczyzny
Przykład:
Dana jest nieskończona płaszczyzna naładowana ze stałą gęstością
powierzchniową σ. Znaleźć natężenie pola elektrycznego wytwarzanego
przez tę płaszczyznę.
E
A
E
I
1
E · da = Qwew
0
od górnej i dolnej powierzchni pudełka mamy
Z
E · da = 2A|E|
boki pudełka nic nie wnoszą, więc
1
2A|E| = σA
0
stąd
σ
E=
n̂
20
n̂ jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni
2.2.4 Rotacja E
1 q
E=
r̂
2
4π0 r
dla ładunku punktowego umieszczonego w
początku układu współrzędnych
z
b
Zb
rb
q
x
obliczmy całkę krzywoliniową
y
ra
E · dl
a
a
dl = dr r̂ + r dθ θ̂ + r sin θ dφ φ̂
we współrzędnych sferycznych
1 q
E · dl =
dr
2
4π0 r
Zb
a
1
E · dl =
4π0
I
Z
Zb
a
rb
q
1 q 1
dr = −
=
2
r
4π0 r ra
4π0
E · dl = 0
(∇ × A) · da =
q
q
−
ra rb
całka po krzywej zamkniętej
jest równa zeru (ra = rb )
I
A · dl
twierdzenie Stokesa
S
∇×E =0
z twierdzenia Stokesa
!
Dla wielu ładunków
E = E1 + E2 + . . .
∇ × E = ∇ × (E1 + E2 + . . .)
= (∇ × E1 ) + (∇ × E2 ) + . . . = 0
Słuszne dla dowolnego statycznego układu ładunków
2.3 Potencjał elektryczny
2.3.1 Wstępne uwagi o potencjale
(i)
b
∇×E =0 ⇒
E · dl = 0;
całka od punktu a do punktu b nie
zależy od drogi całkowania.
H
(ii)
a
V (r) = −
Zr
O
E · dl
definiujemy funkcję V (r);
O jest punktem odniesienia.
Funkcję tę nazywamy potencjałem elektrycznym.
Różnica potencjałów
V (b) − V (a) = −
=−
Zb
E · dl +
Za
O
O
Zb
ZO
E · dl −
O
V (b) − V (a) =
E · dl
E · dl = −
a
Zb
(∇V ) · dl
Zb
a
twierdzenie dla gradientów
a
Zb
a
(∇V ) · dl = −
Zb
a
E · dl
⇒
E · dl
E = −∇V
Przykład:
Znaleźć potencjał wewnątrz i na zewnątrz cienkiej kulistej powłoki o
promieniu R, naładowanej ze stałą gęstością powierzchniową. Za punkt
odniesienia przyjąć punkt w nieskończoności.
R
P
r
Z prawa Gaussa, pole na zewnątrz kuli (r > R) wynosi
1 q
E=
r̂
2
4π0 r
Wewnątrz kuli (r < R) pole E = 0
Dla (r > R)
V (r) = −
Zr
O
1
E · dl = −
4π0
Zr
∞
r
1 q
1 q q
0
dr =
=
02
0
r
4π0 r ∞ 4π0 r
Dla (r < R)
1
V (r) = −
4π0
ZR
∞
q
0
dr
−
02
r
Zr
R
R
1 q 1 q
0
(0)dr =
+0=
0
4π0 r ∞
4π0 R
2.3.2 Równanie Poissona i równanie Laplace’a
E = −∇V
ρ
∇·E = , ∇×E =0
0
∇ · E = ∇ · (−∇V ) = −∆V
ρ
∆V = −
0
∆V = 0
równanie Poissona
równanie Laplace’a
∇ × E = ∇ × (−∇V ) = 0 tożsamość wektorowa
2.3.3 Potencjał zlokalizowanego rozkładu ładunku
1 q potencjał ładunku znajdującego się
V (r) =
4π0 r w początku układu współrzędnych
1 q
V (r) =
ogólnie, ładunek w punkcie r 0
4π0 R
n
1 X
qi
V (r) =
dla wielu ładunków
4π0 i=1 Ri
Z
1
1
V (r) =
dq dla rozkładu ciągłego
4π0
R
1
V (r) =
4π0
Z
ρ(r 0 ) 0
dτ
R
2.3.4 Warunki brzegowe w elektrostatyce
Rozważmy cienkie pudełko Gaussa:
⊥
Enad
σ
ε
A
⊥
Epod
I
S
1
E · da = σA prawo Gaussa
0
Z prawa Gaussa, dla ε → 0, mamy
⊥
(Enad
−
⊥
Epod
)A
1
= σA
0
⊥
Enad
−
⊥
Epod
1
= σ
0
Składowa normalna wektora natężenia pola elektrycznego
E ma na powierzchni granicznej nieciągłość o wartości σ/0
Rozważmy ramkę:
σ
k
Enad
ε
l
k
Epod
I
E · dl = 0, albo ∇ × E = 0 pole statyczne
k
k
(Enad − Epod )l = 0 przy ε → 0
k
k
Enad = Epod
Składowa styczna pola E jest zawsze ciągła.
Obydwa warunki można zapisać jednym wzorem
Enad − Epod
σ
= n̂
0
n̂ jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni
skierowanym od „dołu” do „góry”.
Jak zachowuje się potencjał?
b
σ
a
Vnad − Vpod = −
Zb
E · dl = 0,
dla
|b − a| → 0
a
Potencjał jest ciągły na powierzchni.
Ponieważ E = −∇V , to gradient potencjału jest nieciągły.
∇Vnad − ∇Vpod
σ
= − n̂
0
∂Vnad ∂Vpod
σ
−
=−
∂n
∂n
0
∂V
= ∇V · n̂
∂n
pochodna normalna
2.4 Praca i energia w elektrostatyce
2.4.1 Praca wykonana przy przesunięciu ładunku
b
Q
q1
q2
qi
a
W =
Zb
a
F · dl = −Q
Zb
a
E · dl = Q V (b) − V (a)
Wynik nie zależy od drogi.
W
V (b) − V (a) =
Q
Różnica potencjałów między punktami a i b jest równa
pracy przypadającej na jednostkę ładunku, koniecznej do
przesunięcia ładunku od a do b.
W = Q V (r) − V (∞) = QV (r)
2.4.2 Energia układu ładunków punktowych
Przenosimy kolejne ładunki q1 , q2 ,. . . z nieskończoności do punktów r1 ,
r2 , . . .
q3
r3
R13
R23
r1
R12
q1
r2
q2
Praca wykonana przy przenoszeniu kolejnych ładunków
W1 = 0
q1
1
q2
W2 =
4π0
R12
1
q1
q2
W3 =
q3
+
4π0
R13 R23
q1
q2
q3
1
q4
+
+
W4 =
4π0
R14 R24 R34
Całkowita praca
W = W1 + W2 + W3 + W 4
1
=
4π0
q1 q2 q1 q3 q2 q3 q1 q4 q2 q4 q3 q4
+
+
+
+
+
R12
R13
R23
R14
R24
R34
n X
n
1 X
qi qj
W =
,
4π0 i=1 j=1 Rij
n ładunków
j>i
n X
n
qi qj
1 1X
W =
4π0 2 i=1 j=1 Rij
sumujemy podwójnie i
dzielimy przez dwa
j6=i
1
W =
2
n
X
i=1
qi
n
X
j=1
j6=i
1 qj
4π0 Rij
!
potencjał
n
1X
W =
qi V (ri )
2 i=1
2.4.3 Energia ciągłego rozkładu ładunków
1
W =
2
Z
ρV dτ
ρ = 0 ∇ · E,
0
W =
2
Z
(∇ · E)V dτ
0
W =
−
2
0
=
2
z prawa Gaussa
Z
V
Z
E · (∇V ) dτ +
E 2 dτ +
I
S
I
V E · da
!
V E · da
całkujemy
przez części
0
W =
2
Z
E 2 dτ
cała przestrzeń
Energia pola
Przykład:
Znaleźć energię jednorodnie naładowanej powierzchniowo powłoki
kulistej o promieniu R i całkowitym ładunku q.
1
W =
2
Z
σV da,
1 1 q
W =
2 4π0 R
Z
1 q
V =
4π0 R
1 1 q2
σ da =
4π0 2 R
2.5 Przewodniki
2.5.1 Podstawowe własności
• Wewnątrz przewodnika E = 0
• Wewnątrz przewodnika ρ = 0
• Nieskompensowany ładunek może występować jedynie na
powierzchni przewodnika
• Potencjał w przewodniku jest stały
• W pobliżu powierzchni przewodnika pole E jest prostopadłe do
powierzchni
2.5.2 Ładunki indukowane
−
+q
+
−
+
−
+
−
+
−
+
− przewodnik +
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
+
+
+
+
+
przewodnik
+
+
+ E= 0
+
+
+
−− −
−
− +
−
− +
− E6= 0 −
− +q −
+
−
−
− − −
+
+
+
+
+
+
+ +
+
powierzchnia
Gaussa
2.5.3 Ładunki powierzchniowe i siła działająca na przewodnik
Einne
1
2 σ/ǫ0
n̂
σ
1
2 σ/ǫ0
Enad − Epod
σ
= n̂
0
σ
E = n̂, tuż przy powierzchni przewodnika (Epod = 0)
0
∂V
σ = −0
∂n
f = σE
E =?,
siła na jednostkę powierzchni
jakie pole? Enad , Epod , . . .
f = σEśrednie
1
= (Enad + Epod )
2
E = Eelement + Einne
Enad
Epod
σ
= Einne +
n̂
20
σ
= Einne −
n̂
20
Einne
1
= (Enad + Epod ) = Eśrednie
2
Poprzednia argumentacja (E = Eśrednie ) obowiązuje także
dla ładunków powierzchniowych w przewodniku
E = 0, wewnątrz przewodnika
σ
E = n̂, na zewnątrz przewodnika
0
1 σ
σ
Eśrednie =
n̂ + 0 =
n̂
2 0
20
σ
1 2
f =σ
n̂ =
σ n̂, siła na jednostkę powierzchni
20
20
0
P =
2
σ
0
2
0 2
= E
2
ciśnienie elektrostatyczne
Przewodnik jest wciągany w pole elektryczne.