Spis treści

Spis treści
Równania i nierówności
Liczby wymierne
................................................................................................
Liczby niewymierne
............................................................................................
Zapisywanie i przekształcanie wyrażeń algebraicznych
Twierdzenia. Dowodzenie twierdzeń
20
...................................
24
.................................................................
31
Równania i układy równań pierwszego stopnia
................................................
37
.....................................................................................
43
.................................................................................................................
47
Przekształcanie wzorów
Zbiory
12
Przedziały liczbowe
............................................................................................
Nierówności pierwszego stopnia
........................................................................
Wartość bezwzględna w równaniach i nierównościach
.....................................
Wartość bezwzględna w równaniach i nierównościach (cd.)
Równania kwadratowe
61
64
.......................................................................................
68
....................................................................
72
......................................................................................................
78
Równania wyższych stopni
Powtórzenie
57
.............................
Wyróżnik równania kwadratowego
Wzory Viète’a
53
................................................................................
81
........................................................................................................
84
Praca badawcza. Kolorowe prostokąty
MLR1x str. 5
...............................................................
86
Równania
i nierówności
Najlepsi kosz
ykarze potr
afią skoczyć
mogą znaleź
tak wysoko,
ć się nawet
że
1 m nad ziem
stanawiałeś
ią. Czy zasię, jak dług
o trwa wys
kok koszykar
za?
Liczby wymierne
Liczby niewymierne
i przekształcanie wyrażeń algebraicznych
wodzenie twierdzeń
stopnia
bowe
Zapisywanie
Twierdzenia. Do-
Równania i układy równań pierwszego
Przekształcanie wzorów
Zbiory
Nierówności pierwszego stopnia
w równaniach i nierównościach
naniach i nierównościach (cd.)
równania kwadratowego
Przedziały licz-
Wartość bezwzględna
Wartość bezwzględna w rówRównania kwadratowe
Wzory Viète’a
Wyróżnik
Równania wyższych stopni
11
MLR1x str. 11
LICZBY W
YMIERNE
A
B
LICZBY WYMIERNE
1. Liczby 1,6 i 0,025 zapisz w postaci ułamków zwykłych nieskracalnych.
2. Każdą z liczb
1
, 3
5 20
i 24 zapisz w postaci ułamka dziesiętnego.
25
3. Która z liczb jest większa: 2,(62) czy 2,627?
Jak wiadomo, każdemu punktowi na osi liczbowej odpowiada pewna liczba i odwrotnie,
każdej liczbie odpowiada pewien punkt na
osi liczbowej. Wszystkie liczby, które odpowiadają punktom na osi liczbowej, nazywamy liczbami rzeczywistymi.
Uwaga. Być może przyszło ci do głowy pytanie,
dlaczego wprowadzono nazwę liczby rzeczywiste. Czyżby były jakieś inne liczby? Okazuje się,
że matematycy posługują się także liczbami innymi niż rzeczywiste, np. liczbami, które nazwali
zespolonymi.
Przyjrzyj się osi liczbowej narysowanej poniżej. Wśród liczb zaznaczonych kropkami są
liczby całkowite, ułamki zwykłe i dziesiętne (zarówno dodatnie, jak i ujemne). Każdą
z tych liczb zapisano jako pewien iloraz.
Liczby naturalne
0, 1, 2, 3, 4, . . .
Liczby całkowite
. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .
Liczby, które można przedstawić w postaci
ilorazu liczb całkowitych, nazywamy liczbami wymiernymi.
1. Zapisz podane liczby w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych.
305
−2 3
11
3,14
−0,102
2. Jakie liczby zaznaczono kropkami na osiach liczbowych?
Każdą liczbę wymierną (iloraz liczb całkowitych) można zapisać w postaci
dziesiętnej, czyli podać jej rozwinięcie dziesiętne. Wystarczy w tym celu
wykonać dzielenie.
12
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 12
Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej może być skończone (po przecinku może występować skończenie wiele cyfr). Może też
być nieskończone (po przecinku występuje
nieskończenie wiele cyfr), wówczas jednak
zawsze od pewnego miejsca powtarza się jakaś cyfra lub grupa cyfr, zwana okresem.
9 = 1,125
8
79 = 1,4363636 . . . = 1,4(36)
55
1. Znajdź rozwinięcia dziesiętne liczb
C
1
40
i 3.
11
2. Podaj dziesiątą cyfrę po przecinku liczby
0,01(301) oraz liczby 1,2(36).
Można zauważyć, że gdy dzielimy licznik przez mianownik, to na pewnym
etapie dzielenia albo otrzymamy resztę równą 0, albo reszta się powtórzy i od pewnego momentu dalsze czynności będą się powtarzać. Zatem
otrzymamy rozwinięcie dziesiętne skończone albo nieskończone okresowe.
Liczby wymierne mają rozwinięcia dziesiętne skończone
lub nieskończone okresowe.
Jest też na odwrót. Każda liczba podana w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego lub nieskończonego okresowego jest równa pewnemu
ilorazowi liczb całkowitych, czyli jest liczbą wymierną.
P
Zapisz liczbę 1,5(7) w postaci ułamka zwykłego.
Oznaczamy liczbę 1,5(7) literą a.
a = 1,577777. . .
100 · a = 100 · 1,5777. . . = 157,777. . . = 157,(7)
10 · a = 10 · 1,5777. . . = 15,777. . . = 15,(7)
Znajdujemy takie wielokrotności liczby a, aby w każdej
z nich po przecinku występowały jednakowe cyfry.
100a − 10a = 90a
157,(7) − 15,(7) = 142
Zatem:
90a = 142
142
71
a = 90 = 45
71
Wobec tego: 1,5(7) = 45 .
LICZBY WYMIERNE
MLR1x str. 13
13
ZADANIA
1. Uzasadnij, że każda z liczb: 3 1 , −7, 0,09, −1,14 jest liczbą wymierną.
6
2. Korzystając z kalkulatora, znajdź rozwinięcia dziesiętne liczb: 3 , −2 1 , −1 5 .
16
7
18
3. a) Czy rozwinięcia dziesiętne zapisane
obok mógłbyś znaleźć za pomocą swojego
kalkulatora?
1
17
= 0,(0588235294117647)
9
52
b) Korzystając z równości podanych obok,
zapisz rozwinięcia dziesiętne liczb:
9
520
90
52
1
1700
23
44
= 0,17(307692)
23
440
23
44 000
= 0,052(27)
4. Uporządkuj podane liczby od najmniejszej do największej.
a) 0,3
1
3
0,333
0,(30)
b) 0,(232)
0,(23)
0,2(32)
0,233
5. a) Jaka jest trzynasta cyfra po przecinku, a jaka — setna liczby 3,0(15)?
b) Na którym miejscu po przecinku w rozwinięciach dziesiętnych liczb 1,8(39)
i 0,(1234567) występuje ta sama cyfra?
6. Znajdź ułamki zwykłe lub liczby mieszane równe liczbom:
a) 1,(41)
b) 0,2(1)
c) 3,1(4)
d) 27,0(51)
7. a) Podaj rozwinięcia dziesiętne liczb: 1 , 2 , 3 . Korzystając z tych rozwinięć,
9
9
9
zapisz w postaci ułamków zwykłych liczby: 0,(4), 0,(5), 0,(6), 0,(7), 0,(8).
b) Podaj rozwinięcia dziesiętne liczb: 1 , 2 , 13 . Korzystając z tych rozwinięć,
99
99
99
zapisz w postaci ułamków zwykłych liczby: 0,(05), 0,(24), 0,(85).
c) Wzorując się na przykładach a) i b), zapisz w postaci ułamków zwykłych liczby:
0,(007), 0,(205), 0,(796).
8. Oblicz w pamięci (wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego):
−1 · −3
−1 1 · 3
a) 5 − 2
d) −4 2 + 1
g)
c) −2 2 + 1 1
f) −4 1 − 5 4
i) − 3 : 2
l) 6 : −1 1
c) 4 3 − 1 7
4
8
d) 4 4 + −1 5
e) 4 4 · −3 3
9
8
f) −8 2 : −1 4
g) −6 1 − 2 2 : − 2
2
3
9
h) −5 5 : 5 5 −10
3
1
b) 4 + 3
2 4
3
3
e) −3 1 + 6
2
3
5
3
1
h) 1 · 2
2
5
5
9. Oblicz:
a) −6 2 − 4 7
5
10
b) −8 1 + 2 2
6
3
14
9
5
6
3
j)
3
k) −5 : 2
5
4
2
9
9
6
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 14
10. Podaj wynik działania (postaraj się liczyć w pamięci):
a) 2,6 + 3,15
c) 0,42 + 0,3
e) 2 · 1,5
g) 8,4 : 2
b) 2 − 0,4
d) −0,2 − 0,03
f) −4 · (−1,2)
h) −0,32 : (−4)
11. Oblicz, nie używając kalkulatora:
a) 0,12 · 0,3
c) 50 · 0,007
e) 32,32 : 0,8
g) (−0,004) · 3,5
b) 4,5
0,05
d) 0,03 · 0,7
f) (−0,64) : 0,8
h) (−0,2) · (−0,105)
12. Oblicz (postaraj się liczyć w pamięci):
a) 1 + 0,25
2
b) 0,6 − 3
5
2 1 + 0,75
4
5 − 0,5
2
18 + 0,3
4
5 − 3,5
2
c) 5 · (−24)
6
d) 7 : 1
3 3
0,2 · 5
0,05 · (−0,07)
3
−7 : 0,01
4 : 0,25
13. Znajdź liczbę a, odwrotność licz1
Dla a = 0 odwrotność liczby a to a
.
by a i liczbę przeciwną do a. Która
z tych liczb jest największa, a która najmniejsza?
a) a = 4,4 − 3,2 · 1 1
2
b) a = 1 2 − 1,1 · 9
3
11
c) a = −5 3 − 11,625 : (−2)
8
14. Panowie Kowalski i Nowak podzielili kwotę 2700 zł w stosunku 1 : 3. Pan Nowak otrzymał więcej pieniędzy. Które zdanie jest prawdziwe?
1 Pan Kowalski otrzymał 14 kwoty 2700 zł.
2 Pan Nowak otrzymał 3 razy mniej pieniędzy niż
pan Kowalski.
3 Różnica między kwotą, którą otrzymał Kowalski,
a kwotą, którą otrzymał Nowak, wynosi 1350 zł.
4 Gdyby pan Nowak oddał panu Kowalskiemu trzecią część pieniędzy, to obaj mieliby tyle samo.
Art. 931
§1. W pierwszej kolejności powołane są z ustawy do spadku dzieci spadkodawcy oraz
jego małżonek; dziedziczą oni w częściach równych. Jednakże część przypadająca
małżonkowi nie może być mniejsza niż jedna czwarta całości spadku.
15. Przeczytaj fragment Kodeksu cywilnego.
Pewien mężczyzna zmarł. Wartość wspólnego majątku jego i żony wyceniono na
600 tys. zł. Połowę tego majątku stanowi własność żony, a połowa (spadek po
zmarłym) została rozdzielona pomiędzy żonę i dwoje dzieci, zgodnie z zasadami określonymi w Kodeksie cywilnym. Jaki spadek przypadnie każdemu z dzieci?
Jaka część spadku przypadłaby każdemu z dzieci, gdyby było ich pięcioro?
LICZBY WYMIERNE
MLR1x str. 15
15
16. Porównaj liczby:
a) 15 i 4
c) 0,12 i
b) 32 i 24
55
35
d) 0,48 i 24
28
7
10
111
43
Aby porównać dwie liczby dodatnie a
i b, wystarczy obliczyć ich iloraz.
Jeśli
a
b
> 1, to a > b.
ciekawost
ka
W trakcie badania dużych grup etnicznych zauważono pewne prawidłowości.
Zdecydowanie najmniej osób ma grupę
krwi AB. Odsetek ludzi z tą grupą nie
przekracza kilkunastu procent.
W większości narodów występują wszystkie grupy krwi, ale najczęściej jedna
z grup ma pewną przewagę. Na przykład wśród Polaków, Szwedów i Japończyków najwięcej jest ludzi z grupą
krwi A, a wśród Turków, Szkotów i Wietnamczyków większość stanowią ludzie
z grupą krwi 0.
W niektórych społeczeństwach zauważa się wyraźną przewagę występowania
jednej lub dwóch grup krwi. Jest tak na
przykład wśród Indian peruwiańskich
i brazylijskich, gdzie 100 % populacji ma
grupę krwi 0. Wśród Aborygenów z Australii nie ma osób z grupą krwi B ani
z grupą AB.
17. Odsetek osób z poszczególnymi
grupami krwi jest różny w różnych
krajach. Dane o kilku różnych narodowościach podano w postaci diagramów kołowych.
a) W USA żyje 1,9 mln Indian. Ile jest
wśród nich osób z grupą krwi AB, a ile
z grupą krwi 0?
b) Ile razy więcej Greków ma grupę
krwi 0 niż grupę AB?
c) Greków z grupą krwi AB jest 530 tys.
Ilu Greków ma krew grupy 0?
d) Arabów z grupą krwi A jest o 4 mln
więcej niż z grupą krwi B. Ilu Arabów
ma krew grupy A, a ilu — grupy B?
e) 387,6 mln Hindusów ma krew grupy 0. Czy Hindusów z grupą krwi AB
jest więcej czy mniej niż Arabów z grupą krwi 0?
18. Zapisz dowolną liczbę dwucyfrową większą od 50. Oblicz w pamięci: 10 %, 5 %,
1 %, 0,5 %, 0,01 %, 20 %, 25 %, 50 %, 150 % oraz 1000 % tej liczby. Podaj liczbę o 10 %
od niej mniejszą oraz liczbę o 5 % od niej większą.
16
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 16
19. Oblicz:
23 % liczby a to 0,23a
0,7 % liczby a to 0,007a
a) 17 % liczby 18,
c) 1,5 % liczby 140,
b) 0,6 % liczby 120,
d) 1,06 % liczby 150.
20. Znajdź liczbę:
a) o 15 % większą od 106,
Liczba o 23 % większa od a
jest równa 1,23a
b) o 7 % mniejszą od 8800,
c) o 120 % większą od 166,
Liczba o 23 % mniejsza od a
jest równa 0,77a
d) o 12,6 % mniejszą od 2000,
e) o 0,2 % większą od 3000.
Lp.
Masa podana
na opakowaniu
Masa
rzeczywista
1.
35 g ± 10 %
38 g
2.
35 g ± 2 %
36 g
3.
450 g ± 1 %
445 g
21. Na opakowaniach podaje się często
oprócz masy produktu maksymalną różnicę pomiędzy masą podaną na opakowaniu
a masą rzeczywistą. W których wypadkach
spośród opisanych w tabeli rzeczywista
masa produktu jest zgodna z warunkami
podanymi na opakowaniu?
22. Znajdź liczbę, której:
Liczba, której 3,5 % wynosi
18, spełnia równanie:
0,035 · x = 18
a) 7,5 % wynosi 150,
d) 2,5 % wynosi 8,
b) 115 % wynosi 69,
e) 0,07 % wynosi 3,5,
c) 250 % wynosi 1500,
f) 96 % wynosi 432.
23. Znajdź liczbę a, wiedząc, że:
a) liczba o 20 % większa od a jest równa 18,6,
b) liczba o 0,05 % większa od a to 20,01,
c) liczba o 30 % mniejsza od a to 3,92,
d) liczba o 0,6 % mniejsza od a to 576,52.
24. a) Jaki procent liczby 56 stanowi liczba 7?
Aby obliczyć, jakim procentem liczby a jest liczba b, wystarczy obliczyć,
jakim ułamkiem liczby a
jest liczba b, a następnie
wyrazić ten ułamek w procentach.
b) Jaki procent liczby 6 stanowi liczba 10?
25. a) O ile procent większa od liczby 25 jest liczba 30?
b) O ile procent mniejsza od liczby 120 jest liczba 80?
Produkcja % produkcji
w Polsce
światowej
samochody osobowe
papier i tektura
odkurzacze
644 tys.
1,7 %
1830 tys. t
0,6 %
1,31 mln
3,8 %
0,5 t
0,02 %
złoto WYMIERNE
LICZBY
MLR1x str. 17
26. Obok podano, ile poszczególnych
towarów produkuje się rocznie w Polsce. W nawiasie podano, jaki to procent
produkcji światowej. Oblicz, ile na świecie produkuje się tych towarów.
17
27. a) Komputer kosztuje netto 4000 zł.
Stawka VAT wynosi 23 %. Ile złotych
brutto kosztuje ten komputer?
b) Do ceny mieszkania doliczono 8-procentowy VAT w wysokości 14 000 zł. Jaka jest cena netto tego mieszkania?
c) Na słoiku miodu podano cenę netto
12 zł i cenę brutto 12,60 zł. Oblicz stawkę VAT.
Cena netto to cena bez podatku od
towarów i usług (VAT). Gdy doliczamy do niej ten podatek, otrzymujemy cenę brutto (taką cenę płacimy
w sklepie). Stawka VAT wskazuje,
jaki procent ceny netto (a nie brutto!) stanowi VAT.
Jeśli wpłacimy pieniądze do banku na
lokatę roczną lub krótszą, to po upływie
terminu lokaty bank zwiększy stan naszego konta o pewną kwotę pieniędzy,
zwaną odsetkami.
Oprocentowanie podawane jest zawsze
w skali roku, np. jeśli oprocentowanie
lokaty kwartalnej wynosi p %, to po upływie kwartału bank dolicza odsetki wynoszące 14 · p % wpłaconej kwoty.
Odsetki zależą oczywiście od wielkości
wpłaconej kwoty oraz od oprocentowania danej lokaty.
Przy lokatach wieloletnich po każdym
roku do aktualnego stanu konta bank
dolicza odsetki.
28. Zapoznaj się z ofertą banku przedstawioną obok i oblicz, ile wyniosą odsetki po upływie terminu lokaty, jeśli
wpłacimy:
a) 3100 zł na lokatę roczną,
b) 1300 zł na lokatę półroczną,
c) 5000 zł na lokatę trzymiesięczną.
OPROCENTOWANIE LOKAT
(w stosunku rocznym)
12 miesięcy
6%
6 miesięcy
5%
3 miesiące
4%
29. a) Ile złotych trzeba wpłacić na lokatę kwartalną, aby odsetki po upływie terminu lokaty wyniosły 500 zł, jeśli oprocentowanie tej lokaty wynosi 5 % w skali
roku?
b) Jakie musiałoby być oprocentowanie w skali roku lokaty półrocznej, aby odsetki
od kwoty 400 zł wyniosły po upływie terminu lokaty 15 zł?
30. Oprocentowanie lokat długoterminowych w pewnym banku wynosi 8,5 % w skali roku. Ile złotych wyniosą odsetki, jeśli wpłacimy kwotę 4000 zł na trzy lata, a ile
— gdy na cztery lata?
31. Oprocentowanie lokaty dwuletniej wynosi 10 % w skali roku. Ile złotych trzeba
wpłacić na tę lokatę, aby po dwóch latach odsetki wyniosły 200 zł?
18
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 18
Odsetki, które dopisuje bank do naszych
oszczędności, traktowane są przez państwo jako nasz dochód. Dlatego musimy zapłacić od nich podatek. Podatek
ten wynosi w Polsce 19 % kwoty odsetek i jest automatycznie przekazywany
przez bank do skarbu państwa. Przypuśćmy na przykład, że złożyliśmy w banku kwotę 10 000 zł na lokacie rocznej,
której oprocentowanie wynosi 6 %. Po
roku bank doliczy nam 6 % odsetek, tzn.
kwotę 0,06 · 10 000 zł = 600 zł. Jednak
19 % tej kwoty, czyli 0,19 · 600 zł = 114 zł
bank przekaże do skarbu państwa. Do
naszych oszczędności zostanie dopisana
kwota 486 zł. Można więc powiedzieć,
że oprocentowanie netto tej lokaty wynosi 486 zł = 0,0486 ≈ 4,9 %.
10 000 zł
32. a) Jaki podatek zapłaci osoba, która wpłaciła 1500 zł na lokatę roczną, jeśli
oprocentowanie wynosi 5 %?
b) Jaki podatek od odsetek zapłaci osoba, która wpłaciła 750 zł na lokatę dwumiesięczną, jeśli oprocentowanie tej lokaty wynosi 3 %?
c) Jaką kwotę odsetek (netto) otrzymałbyś po roku od wpłacenia 2000 zł na lokatę
roczną, której oprocentowanie wynosi 8 %?
d) Oprocentowanie lokaty wynosi 7 %. Jakie jest oprocentowanie netto tej lokaty?
33. a) San Marino to jedno z najmniejszych
państw Europy. Jego mieszkańcy stanowią
0,037‰ europejczyków. Ile to procent?
1‰ (czyt. promil) wielkości
b) W Polsce 99,8 % dorosłych umie czytać
i pisać. Wyraź w promilach, ilu analfabetów
jest wśród dorosłych mieszkańców Polski.
to
1
1000
1‰ =
tej wielkości.
1
1000
=
0,1
100
= 0,1 %
34. Znajdź:
a) liczbę o 20 % większą od liczby o 15 % większej od 10,
b) liczbę o 30 % mniejszą od liczby o 20 % mniejszej od 120,
c) liczbę o 15 % większą od liczby stanowiącej 80 % liczby 45,
d) liczbę stanowiącą 60 % liczby o 20 % większej od 35.
35. W pewnych wyborach wzięło udział
40 % uprawnionych do głosowania. Zwycięska partia zdobyła 40 % głosów. Ile
procent uprawnionych do głosowania
oddało głos na tę partię?
36. a) Cenę pewnego produktu zwiększono najpierw o 30 %, a potem jeszcze
o 40 %. O ile procent wyższa jest obecna cena od ceny początkowej?
b) Cenę produktu zwiększono o 20 %, a potem zmniejszono o 50 %. O ile procent
obecna cena jest mniejsza od ceny początkowej?
LICZBY WYMIERNE
MLR1x str. 19
19
37. Ustal, ile jest liczb całkowitych spełniających warunek:
a) |a| = 7
e) |a| ≤ 0
b) |− 7| = a
f) a < |a| < 2
c) |a| < 10,7
g) 10 ≤ |a| ≤ 15
d) |a| ≤ |− 5|
h) a < −100 i |a| < 150
Wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama
liczba. Wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna. Wartość
bezwzględną liczby a oznaczamy symbolem |a|. Można
to zapisać krócej:
a dla a ≥ 0
|a| =
−a dla a < 0
38. Podaj przykłady liczb spełniających
podane warunki.
a = |a|
c = |−c|
b = −|b|
|d| = −|d|
TEST
T1. Liczba − 7 leży na osi liczbowej w takiej samej odległości od liczby − 1 jak
8
liczba:
A. − 23
12
B. 19
24
C. − 19
24
D. 17
24
24
T2. Na egzaminie Ania zdobyła 28 punktów, czyli 40% wszystkich możliwych do
zdobycia punktów. Ile najwięcej punktów można było otrzymać na tym egzaminie?
A. 40
B. 50
C. 60
D. 70
T3. Dla liczby a = −7 spełniony jest warunek:
A. |a + 1| = 8
B. |7 − a| = 14
C. |a − 1| = 6
D. |7 − a| = 0
MIERNE
LICZBY NIEWYMIERNE
A
1. Zapisz podane liczby w postaci ułamka zwykłego.
0,7
1,75
1,(6)
2. Jaką długość ma przekątna kwadratu o boku 1?
√
Nie każda liczba rzeczywista jest liczbą wymierną. Na przykład liczby 2
nie można przedstawić w postaci ilorazu liczb całkowitych (dowód tego
faktu znajduje się na str. 33).
Liczby rzeczywiste, których nie da się przedstawić w postaci ilorazu liczb
całkowitych, nazywamy liczbami niewymiernymi.
20
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 20
√
Jeśli liczba naturalna n nie jest √
kwadratem
to n
√ √ innej
√ √liczby
√ naturalnej,
√
jest liczbą niewymierną. Liczby 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 itd. są więc
liczbami niewymiernymi.
Suma (różnica) liczby wymiernej i liczby niewymiernej
jest
√
√ liczbą niewymierną. Na przykład niewymierne są liczby 1 + 2 i 3,5 − 3.
Iloczyn (iloraz) liczby niewymiernej i liczby wymiernej różnej
√ od 0 jest
√
liczbą niewymierną. Na przykład niewymierne są liczby 3 7 i 2 .
2
Rozwinięcia dziesiętne liczb niewymiernych zawsze mają nieskończenie
wiele cyfr po przecinku. Nigdy jednak nie można wskazać grupy cyfr powtarzającej się w nieskończoność. Na osi liczbowej zaznaczono kropkami
kilka przykładów takich liczb.
Liczby niewymierne mają rozwinięcia dziesiętne
nieskończone i nieokresowe.
Jest też na odwrót. Liczba, która ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone
i nieokresowe, jest liczbą niewymierną.
Na przykład liczby zapisane poniżej mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone i nieokresowe (cyfry rozwinięć zapisywane są według takiej reguły,
że nie można wskazać miejsca, od którego powtarza się stale ta sama
grupa cyfr). Liczby te są niewymierne (żadnej z nich nie można zapisać
w postaci ilorazu liczb całkowitych).
a = 0,01001000100001...
b = 0,51551155511155551111...
ciekawost
ka
Liczby niewymierne pojawiają się w naturalny sposób w geometrii, na
√
przykład długość przekątnej kwadratu o boku długości 1 jest równa 2,
√
długość przekątnej prostokąta o bokach długości 1 i 2 jest równa 5 itp.
Popatrz, jak można dokładnie wyznaczyć
√ √
na osi liczbowej liczby −1 − 5, 2
√
oraz 3 + 13.
LICZBY NIEWYMIERNE
MLR1x str. 21
21
ZADANIA
1. Które z podanych liczb są niewymierne?
a = −5 1
7
√
b = −2 2
c = 0,7777...
√
d = 2−3
e = 25,13(78)
g = 2π + 2
√
h=2 9
f = 817
19
2. Zapisz rozwinięcia dziesiętne podanych liczb do
siódmego miejsca po przecinku.
√
√
a= 2+ 2
d = 1,41 + 2
√
b = 3−1
e = π + 3,14
√
c =π −3
f = 10 3
√
√
g = 1 2+1
√
100
h = π − 0,2
10
2 = 1,414213562...
3 = 1,732050807...
π = 3,141592653...
√
i = 100 2 − 1,41
3. Podaj przykład liczby niewymiernej większej od 100 oraz przykład liczby niewymiernej mniejszej od −1000.
4. Uzupełniając podane zdanie dwoma (różnymi) wyrazami wybranymi spośród
wymienionych (oczywiście w odpowiednim przypadku gramatycznym), można wypowiedzieć różne zdania. Ile zdań prawdziwych można w ten sposób utworzyć?
naturalna
całkowita
Każda liczba
wymierna
.................
niewymierna
jest liczbą
rzeczywista
................. .
5. Każdą z podanych liczb zaokrąglij
do setek, do jedności oraz do części
setnych.
p = 5827,691
r = 999,3
Przykłady zaokrąglania liczb:
do setek: 329,853 ≈ 300
q = 2551,199
do dziesiątek: 329,853 ≈ 330
s = 1,(3)
t = 25,(47)
√
u = 1000π
v = 2513,5 + 2
√
w = 0,78 + 100 3
√
√
5 = 2,23606797... 13 = 3,605551...
√
7 = 2,645751...
√
17 = 4,123105...
√
√
19 = 4,358898...
11 = 3,316624...
do jedności: 329,853 ≈ 330
do części dziesiątych: 329,853 ≈ 329,9
6. Podaj zaokrąglenie do części tysięcznych liczby:
√
a) 100 7
√
b) 0,1 11
c)
22
√
5
1000
√
13 + 0,004
√
e) 17 − 0,0123
√
f) 10 19 − 0,00168
d)
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 22
7. Na osi liczbowej zaznaczono kilka liczb. Podaj zaokrąglenia każdej z nich do
jedności, do części dziesiątych oraz do dziesiątek.
8. Liczba a = 0,72772277722277772222... jest niewymierna. Znajdź takie liczby
dodatnie b i c (różne od a), aby liczby a + b i a − c były liczbami wymiernymi.
9. Uporządkuj podane liczby od najmniejszej do największej.
√
3
a) 1,73
43
25
√
1 19
b) −0,66
25
− 2
−2
2
−0,0(6)
3
10. Podaj przykład liczby wymiernej spełniającej warunek:
a) 0 < a <
√
2
b)
√
√
2<b< 3
c) 1000π < c < 4000
11. Podaj przykład liczby niewymiernej spełniającej warunek:
a) 1 < a < 2
b) 0 < b < 1
c)
√
√
3<c<2 3
12. Oszacuj,
między
liczbami całkowitymi leżą na osi liczbowej
√
√
√
√jakimi kolejnymi
liczby:
40, − 85,
157, 7 +
27.
13. Podaj przykłady dwóch liczb niewymiernych, których odległość od 0 (na osi
liczbowej) jest mniejsza od 1 .
2
14. Zapisz, nie używając symbolu wartości bezwzględnej:
√ a) 1 1 − 2
3
√
b) − 23 + 101
2
√
e) 2 − 0,3
√
c) 2 3 − 3
√ d) 1,(41) − 2
3
f) |3π − 9,4|
TEST
√
T1. Na którym rysunku zaznaczono na osi liczbowej liczbę 5 2?
T2. Która z podanych liczb jest liczbą wymierną?
√ √
A. 2 − 3− 3
LICZBY NIEWYMIERNE
MLR1x str. 23
√
√
B. 3 − 1+ 3
C.
√
√ 3+2 − 3
D.
√ √ 3+1 − 3
23
IE I PRZ
EKSZTAŁ
C ANIE
A
B
ZAPISYWANIE I PRZEKSZTAŁCANIE
WYRAŻEŃ ALGEBRAICZNYCH
1. Oblicz wartość wyrażenia 3x2 − x dla x = −2.
2. Zapisz w jak najprostszej postaci wyrażenie 2x + 2 + a +
8x
2
− 2a.
3. Zapisz wyrażenie −2(5 − 3x) w postaci sumy algebraicznej.
1. Popatrz na rysunek. Kolejne figury układane są z zapałek według pewnej
reguły. Jakimi wyrażeniami należy zastąpić w tabelce znaki zapytania?
Numer figury
1
2
3
4
5
n
Liczba zapałek
6
6+3
6+2·3
?
?
?
2. Przyjrzyj się kolejnym figurom układanym z zapałek. Z ilu zapałek powinna
być ułożona czwarta figura, z ilu — piąta, a z ilu — n-ta figura?
W ćwiczeniu B należało sformułować ogólne reguły, według których układano zapałczane figury.
Przykłady wyrażeń
algebraicznych:
−2x2 y 7
√
a2 3
(a + b)h
2
4
Takie uogólnienia, zapisywane za pomocą wyrażeń algebraicznych, bardzo często występują
w matematyce i innych dziedzinach wiedzy. Na
przykład:
n+2
mgh
a2 − b2
3(a + b) − 2c + 7
Pole trójkąta równobocznego o √boku długo2
ści a obliczamy ze wzoru: P = a 4 3 .
Liczba przekątnych w wielokącie o n bokach
wynosi 12 n(n − 3).
Dawka leku o nazwie Winkrystyna dla dziecka,
które waży m kilogramów (m > 21), powinna
wynosić 0,03m + 0,6 miligramów na dobę.
Wyrażenia algebraiczne występują w różnych wzorach, twierdzeniach, definicjach, równaniach i nierównościach.
24
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 24
Przykłady przypominają, jak można przekształcać wyrażenia algebraiczne.
P
a) 3x(2x + y ) − 5(x 2 − 2xy + 3) = 6x 2 + 3xy − 5x 2 + 10xy − 15 = x 2 + 13xy − 15
b) (2a + b)(a − 3b + 1) = 2a 2 − 6ab + 2a + ba − 3b 2 + b = 2a 2 − 3b 2 − 5ab + 2a + b
Każdą z równości zapisanych poniżej można udowodnić, przekształcając
jedną z jej stron, tak aby otrzymać drugą.
Kwadrat sumy:
Sześcian sumy:
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
(a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Kwadrat różnicy:
Sześcian różnicy:
(a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2
(a − b)3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Różnica kwadratów:
Różnica sześcianów:
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
Suma sześcianów:
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
Na przykład: aby udowodnić równość (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , najwygodniej
przekształcić lewą stronę (L) równości, tak aby otrzymać prawą stronę (P).
L = (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 = P
Uzasadniając równość a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ), najwygodniej zacząć od
przekształcania prawej strony.
P = (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 + a2 b + ab2 − ba2 − ab2 − b3 = a3 − b3 = L
C
Uzasadnij wzór (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 .
ciekawost
ka
Wzory skróconego mnożenia (dla liczb dodatnich) można zinterpretować
geometrycznie.
Na rysunku obok kwadrat o boku a + b podzielono na dwa mniejsze kwadraty o polach a2 i b2
oraz dwa takie same prostokąty każdy o polu ab.
Pole całego kwadratu to suma pól tych czterech
części, stąd otrzymujemy równość:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
ZAPISYWANIE I PRZEKSZTAŁCANIE WYRAŻEŃ ALGEBRAICZNYCH
MLR1x str. 25
25
Wzory skróconego mnożenia ułatwiają przekształcanie niektórych wyrażeń
algebraicznych.
P
a) (2 + 3x)3 = 23 + 3 · 22 · 3x + 3 · 2 · (3x)2 + (3x)3 = 8 + 36x + 54x 2 + 27x 3
b) (5 + x)2 + (1 − 5x)2 = 25 + 2 · 5x + x 2 + 1 − 2 · 5x + (5x)2 = 26 + 26x 2
c) 8a 2 − 125 = (2a − 5)(4a 2 + 10a + 25)
√
√
√
d) (2a − 3)(2a + 3) = (2a)2 − ( 3)2 = 4a 2 − 3
W kilku rozważanych dotąd przykładach przekształcaliśmy iloczyny wyrażeń algebraicznych, otrzymując sumy algebraiczne. Czasami możemy
wykonać operację odwrotną — zapisać sumę algebraiczną w postaci iloczynu. W niektórych wypadkach można to osiągnąć, wyłączając wspólny
czynnik przed nawias.
P
a) 15x 2 − 20xy = 5x(3x − 4y )
5x · 3x
5x · 4y
b) 8m2 n +
6m3
2m · 4mn
2m · 3m2
+ 2m = 2m(4mn + 3m 2 + 1)
2m · 1
c) a 2 − 2a + ab − 2b = a(a − 2) + b(a − 2) = (a − 2)(a + b)
a(a − 2)
b(a − 2)
wspólny czynnik
d) 2ab + 10a + b 2 − 25 = 2a(b + 5) + (b − 5)(b + 5) = (b + 5)(2a + b − 5)
2a(b + 5)
(b − 5)(b + 5)
wspólny czynnik
ZADANIA
1. Przyjrzyj się rysunkom. Z ilu
kwadracików zbudowano te figury? Z ilu kwadracików powinna być zbudowana czwarta,
a z ilu n-ta figura?
2. Przyjmujemy w tym zadaniu, że liczby oznaczone literami są dodatnie. Zapisz:
a) połowę sumy liczb a i b,
b) liczbę 5 razy większą od sumy liczb a i b,
c) sumę liczby n i liczby o 5 większej od n,
d) liczbę 4 razy mniejszą od kwadratu liczby n,
e) liczbę o 3 mniejszą od liczby 2 razy mniejszej od x.
26
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 26
3. Przyjmujemy, że liczby a, b i c oraz p są dodatnie. Zapisz:
a) 10% liczby a, 130% liczby b, 2% liczby c,
b) liczbę o 40% większą od a, o 7% większą od b, o 0,5% większą od c,
c) liczbę o 15% mniejszą od a, o 6% mniejszą od b, o 80% mniejszą od c,
d) p % liczby 27, p % liczby a,
4. Uzasadnij, że jeśli cenę zwiększymy o p %, a następnie o q %, to otrzymamy taki
sam wynik, jak gdybyśmy najpierw zwiększyli ją o q %, a następnie o p %.
5. a) Zapisz liczby przeciwne do liczb:
a
−n
b − 2c
√
x 2−7
Liczbą przeciwną do liczby a jest
liczba −a.
b) Zapisz odwrotności liczb:
√
r
−1
x
p 2
3a − 2b
5
Dla a = 0 odwrotność liczby a to
1
a.
y
6. Kilogram jabłek kosztuje j złotych, gruszek g złotych, a pomarańczy p złotych.
Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego odpowiedzi na poniższe pytania.
a) Pani Ania kupiła 5 kg pomarańczy, a pani Bożena — 2 kg jabłek. Pani Ania zapłaciła więcej. O ile złotych więcej?
b) Iwona kupiła 5 kg jabłek, 2,5 kg gruszek i pomarańcze, które ważyły 78 dag.
Zapłaciła banknotem pięćdziesięciozłotowym. Ile złotych reszty otrzymała?
c) Jarek kupił jabłka, które ważyły a kilogramów i b dekagramów, oraz gruszki,
które ważyły c dekagramów. Ile złotych zapłacił za te zakupy?
d) Przed zamknięciem sklepu cenę jabłek obniżono o 10%, a cenę gruszek o 20%.
Ostatni klient kupił po obniżonych cenach 4 kg jabłek i 2 kg gruszek. Ile zapłacił?
O ile więcej by zapłacił, gdyby kupił te same ilości owoców przed obniżką cen?
7. Zapisz, jaki warunek musi być spełniony, aby:
Liczba naturalna n jest nieparzysta,
gdy można ją zapisać w postaci
a) liczba n była parzysta,
n = 2k + 1,
b) liczba n była podzielna przez 5,
gdzie k jest pewną liczbą naturalną.
c) reszta z dzielenia liczby n przez 4
wynosiła 1.
8. Oblicz wartość wyrażenia algebraicznego:
a) 3ab − 5a dla a = 4 i b = 1 ,
2b
2
b) −5(m − n)(3 + n) dla m = 5 i n = −4,
c) 4y −23z dla y = −1 i z = −2,
z
√
2
d) 1 − 2x dla x = 2 2.
2
9. Wskaźnik BMI (od ang. body mass index — wskaźnik masy ciała) osoby, która
waży m kilogramów i ma w metrów wzrostu, oblicza się ze wzoru BMI = m2 . Zwykle
w
przyjmuje się, że masa ciała jest prawidłowa, gdy wskaźnik BMI jest większy od 20
i mniejszy od 25. Oblicz wskaźnik BMI osoby o wzroście 1,7 m, ważącej 63 kg.
ZAPISYWANIE I PRZEKSZTAŁCANIE WYRAŻEŃ ALGEBRAICZNYCH
MLR1x str. 27
27
ciekawost
ka
Każdy wierzchołek narysowanego niżej wielokąta leży w punkcie kratowym, czyli w punkcie
przecięcia linii tworzących kratki.
Pole wielokąta o wierzchołkach w punktach kratowych można obliczać tak: do liczby punktów
kratowych leżących wewnątrz wielokąta dodajemy połowę liczby punktów kratowych leżących
na brzegu wielokąta i odejmujemy 1 (jednostka
pola to powierzchnia jednej kratki). Pole narysowanego wielokąta wynosi więc 25 + 21 − 1 = 34,5.
2
Tę regułę obliczania pól wielokątów odkrył niemiecki matematyk Georg Pick w 1899 roku.
10. Przeczytaj ciekawostkę.
a) Zapisz wzór na pole wielokąta o wierzchołkach w punktach kratowych, przyjmując oznaczenia: w — liczba punktów kratowych wewnątrz wielokąta, b — liczba
punktów kratowych na brzegu wielokąta.
b) Narysuj na kartce w kratkę trójkąt o wierzchołkach w punktach kratowych.
Oblicz jego pole na dwa sposoby: korzystając ze wzorów znanych ci z geometrii
(przyjmując, że bok kratki ma długość 1) oraz korzystając ze wzoru Picka.
c) Narysuj trzy dowolne wielokąty o wierzchołkach w punktach kratowych i oblicz
ich pola, korzystając ze wzoru Picka.
11. Zapisz w jak najprostszej postaci:
a) −x − 4(1 − x)
b) 3(5x − 2) − 5(3 − 4x)
√
√
2(3 − x) − 2(1 − x 2)
d) x − x − 1 + 3 x − 1
c)
3
9
e) 2(n − 3) − 4n + 1
f)
2
x + 3 − 4x + 2
2
4
12. Liczba n jest naturalna. Zapisz w jak najprostszej postaci średnią arytmetyczną:
a) pięciu kolejnych liczb naturalnych następujących bezpośrednio po liczbie n,
b) dwóch kolejnych liczb parzystych bezpośrednio poprzedzających liczbę 2n,
c) trzech kolejnych liczb nieparzystych następujących bezpośrednio po liczbie 2n,
d) sześciu liczb: dwóch kolejnych liczb parzystych poprzedzających liczbę naturalną 2n − 1 oraz kolejnych czterech liczb nieparzystych następujących po tej liczbie.
13. Pan de Fraudant wyjechał w podróż służbową z Paryża do Cartouse. Wziął ze
sobą x euro pieniędzy prywatnych i dwa razy tyle służbowych. Pieniądze prywatne
włożył do lewej kieszeni, a służbowe do prawej.
W poniedziałek pan de Fraudant nic nie wydał, ale
zapewne przez pomyłkę przełożył 300 pieniędzy
służbowych do lewej kieszeni. We wtorek zapłacił
w restauracji 15 pieniędzmi z lewej kieszeni, a po
południu, znowu przez pomyłkę, przełożył czwartą
część pieniędzy z prawej kieszeni do lewej. W której
kieszeni miał wówczas więcej pieniędzy i o ile więcej?
28
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 28
14. Dziadek przyniósł wnukom worek, w którym było n cukierków, i powiedział:
1
— Niech Marek weźmie 10
wszystkich cukierków. Ania weźmie
i dodatkowo 10 razy mniej cukierków, niż ma Marek.
1
10
tego, co zostało,
1
tego, co zostało, i dodatkowo 10 razy
— Teraz ja — powiedziała Tosia. — Wezmę 10
mniej cukierków, niż mają razem Marek i Ania.
Dzieci stwierdziły, że rozumieją sposób, w jaki należy dzielić cukierki i podzieliły
pozostałe. Kiedy ostatnie z wnucząt wzięło swoją porcję, cukierki się skończyły. Ile
cukierków dostała Ania, ile Marek, a ile Tosia? Ile było wnucząt?
15. Przedstaw wyrażenie w postaci jak najprostszej sumy algebraicznej:
a) (4m − 2n)(3m − 5n)
d) 5 − (2x + 1)(x − 3)
b) (3 + 2b)(1 − b + 5c)
√
√
c) (a − 2)(b + 2)
e) a − b − (b − a)(−2 + a)
f) (−2xy)2 − (1 − x2 )(y 2 − 1) + 2xy
16. Zapisz w jak najprostszej postaci wyrażenie (x − 1)(xn−1 + xn−2 + . . . + x2 + x + 1).
17. Zapisz w postaci sumy algebraicznej:
a) (5 + p)2
c)
b) (1 − 4x)2
d)
2 + 3a
a
2
2
m2 − 2k
√
e) (v + 3)2
√
f) (2y 2 − 3)2
4− b 4+ b
2
2
√ √ h) t − 5 t + 5
g)
18. Zapisz w postaci sumy algebraicznej wyrażenie (a − 1)4 .
19. a) Zapisz w postaci sumy algebraicznej:
(a + b)(b + a)
(−a − b)2
(−a + b)2
(a − b)(b + a)
b) Zapisz w postaci iloczynu:
1 − a2
9
25x2 − y 4
100m2 − 42
n
p2 − 2
16
20. Oblicz sprytnie podane iloczyny, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:
a) 1005 · 995
b) 207 · 193
21. Które z poniższych równości są prawdziwe dla dowolnych liczb a i b?
a) (a − b)2 = (b − a)2
d) (−a − b)2 = −(a + b)2
b) (−a + b)2 = (b − a)2
e) (−a − b)2 = (a + b)2
c) −(a − b)2 = (b − a)2
f) (−a + b)2 = −(a − b)2
ZAPISYWANIE I PRZEKSZTAŁCANIE WYRAŻEŃ ALGEBRAICZNYCH
MLR1x str. 29
29
22. Uprość wyrażenie:
a) 5x(2x − 3y) − (3x − 2y)2
d) (5x − y)(5x + y) − (5 − 2y)2
b) (2y − 3)2 + (y + 6)2
e) (2 + a)(a − 2) + (−3 + 2a)2
c) (x − 3y)(x + 3y) − (x + 2y)2
2
f) (1 − 2x)(1 + 2x) − (2y − x 2)
√
2
23. Zapisz w postaci sumy algebraicznej:
a) (2 + b)
3
b) (p − 0,1)
c)
3
x +4
2
3
d) 5v − 1
3
5
e)
f)
1 + 3w
w
2 − a
2
a2
3
ac + c
3
3
1
2
h)
−z
3
g)
3
3y
24. Zapisz w postaci iloczynu:
a) p3 − 27
1 − v3
125
b)
c) 1000 + k3
3
e) 64m3 + n
d) 8a3 + 1
f)
27
g) a3 − 2
8
w 3 − 125
1000
w3
h) 0,001x3 + 3
25. Zastąp symbole ♠ i ♣ takimi liczbami, aby otrzymać równość, którą spełnia
każda liczba rzeczywista.
a) x2 + 14x + 49 = (x + ♠)2
b) a2 − 5a + 25 = (a − ♠)2
4
d) x2 − 6x + ♣ = (x − ♠)2
√
e) y 2 − 2 2y + ♣ = (y − ♠)2
c) 2t + 20t + 50 = 2(t + ♠)2
f) 9x2 + 12x + ♣ = (3x + ♠)2
2
26. Usuń niewymierność z mianownika
√
√
+ 1)
= √ 2( 3 √
3−1
( 3 − 1)( 3 + 1)
2
√
√
= 2( 3 + 1) = 3+1
3−1
w sposób pokazany obok.
a) √ 8
5−1
√
b) √7 + 2
7−2
√
c) √ 2
2+1
27. Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:
a) −8x2 − 4x
c) 15ab − 5a2 + 10ac
e) 9pr + (pr )2 + 3p2 r 2
b) 14uv 2 − 7uv
d) st 2 + 2s 2 t 3 − 4s 2 t 2
f) 8a2 b − 20a3 b2 + 4ab
28. Przedstaw sumę w postaci iloczynu:
a) a2 − a + b − ab
c) st − 5s + t 2 − 5t
e) st 2 − 4s 2 t − st + 4s 2
b) 5a − 10b + a2 − 2ab
d) 12x + 3y + 4xy 2 + y 3
f) −9u2 v − 3u + 3uv 2 + v
30
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 30
TEST
T1. Wyrażenie (a + b)2 − (a − b)2 można zapisać w postaci:
B. 4ab + 2b2
A. 4ab
C. 4b2
D. 4a2 b2
T2. Najmniejsza z czterech kolejnych liczb naturalnych równa jest n. Liczba n jest
mniejsza od średniej arytmetycznej tych czterech liczb o:
A. 1
C. n
B. 1,5
4
D. n
4
2
T3. Którego z wyrażeń
I −a(1 + a − a2 − a3 )
II (a2 − 1)(a2 + a)
III (a2 + a)2 − (a3 + a)
IV (a3 − a)(a + 1)
nie można przekształcić do postaci a4 + a3 − a2 − a?
A. I
B. II
C. III
D. IV
T4. Liczba a jest podzielna przez 6. Która z poniższych liczb jest na pewno podzielna przez 18?
IERDZEN
IA
A. a + 12
C. a2 + a
B. a + 18
D. a2 + 3a
TWIERDZENIA.
DOWODZENIE TWIERDZEŃ
Twierdzenia matematyczne często są formułowane w postaci zdań Jeżeli. . . , to. . . . Zdanie w takiej formie nazywane jest implikacją.
W twierdzeniach matematycznych pierwsza część implikacji jest nazywana
założeniem, a druga — tezą. Oto przykłady:
√
√
√
ab = a · b.
Jeżeli liczby a i b są nieujemne, to
teza
założenie
Jeżeli
bok kwadratu ma długość a,
założenie
to
√
jego przekątna ma długość a 2.
teza
Nawet jeśli twierdzenie nie jest zapisane w postaci implikacji, to zwykle
można je na implikację „przerobić”.
Na przykład twierdzenie:
Suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą.
można sformułować tak:
Jeśli dwie liczby są parzyste, to ich suma też jest liczbą parzystą.
TWIERDZENIA. DOWODZENIE TWIERDZEŃ
MLR1x str. 31
31
Przy dowodzeniu twierdzeń matematycznych najczęściej stosowane są dwa
rodzaje uzasadnienia, że implikacja jest prawdziwa. Jeden z nich nazywany
jest dowodem wprost, a drugi — dowodem nie wprost.
Gdy twierdzenie w postaci implikacji dowodzimy
metodą wprost, postępujemy w następujący sposób:
przyjmujemy, że prawdziwe jest założenie i wykazujemy prawdziwość tezy. Zatem pokazujemy, że jeśli
założenie jest prawdziwe, to teza także jest prawdziwa.
P
Udowodnij twierdzenie:
Jeśli a jest liczbą naturalną podzielną przez 3 oraz b jest liczbą naturalną podzielną przez 7, to liczba a · b jest podzielna przez 21.
Dowód
Zakładamy, że liczba a jest podzielna przez 3
oraz liczba b jest podzielna przez 7.
Przyjmujemy, że prawdziwe jest
założenie.
Z założenia wynika, że a = 3m i b = 7n dla pewnych liczb naturalnych m i n.
W takim razie a · b = 3m · 7n = 21mn.
Ponieważ liczba 21mn jest podzielna przez 21, więc liczba a · b jest podzielna
przez 21.
Przy dowodzeniu implikacji metodą nie wprost postępujemy w następujący sposób: przyjmujemy, że
fałszywa jest teza i wykazujemy fałszywość założenia (czyli pokazujemy, że gdyby teza była fałszywa,
to założenie nie mogłoby być prawdziwe).
P
Udowodnij twierdzenie:
Jeśli liczba a jest niewymierna, to
a
2
też jest liczbą niewymierną.
Dowód
a
Przypuśćmy, że liczba 2 jest wymierna.
a
Przyjmujemy, że teza jest nieprawdziwa.
p
Wobec tego 2 = q dla pewnych liczb
całkowitych p i q.
2p
Stąd a = q , czyli a jest liczbą wymierną (jest ilorazem liczb całkowitych), co
jest sprzeczne z założeniem.
32
Wykazujemy, że nieprawdziwe jest założenie.
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 32
Uwaga. Na końcu dowodów w przykładach na poprzedniej stronie pojawił się mały kwadracik. W ten sposób będziemy oznaczać, że dowód jest już zakończony.
Dowód nie wprost czasami polega na tym, że przyjmujemy, iż twierdzenie
nie jest prawdziwe i w wyniku poprawnego rozumowania dochodzimy do
sprzeczności ze znanymi faktami matematycznymi.
Na przykład w poniższym przykładzie dowód prowadzi do sprzeczności
z następującym ważnym twierdzeniem dotyczącym liczb:
Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci iloczynu
liczb pierwszych w sposób jednoznaczny.
Z twierdzenia tego wynika, że dwa rozkłady na czynniki pierwsze tej samej
liczby mogą się różnić co najwyżej kolejnością czynników.
P
Udowodnij twierdzenie:
√
Liczba 2 jest liczbą niewymierną.
Dowód
√
Przypuśćmy, że 2 jest liczbą wymierną.
√
p
Wobec tego 2 = q dla pewnych liczb naturalnych p i q.
Zatem:
p2
2 = q2
Gdy dwie liczby dodatnie są równe, to ich
kwadraty też są równe.
Wobec tego: 2q 2 = p 2
W rozkładzie liczby p 2 liczba 2 występuje parzystą ilość razy (gdyż jeśli w rozkładzie liczby p występowała k razy, to w rozkładzie liczby p 2 występuje 2k
razy).
W rozkładzie liczby 2q 2 na czynniki pierwsze liczba 2 występuje nieparzystą
ilość razy (gdyż jeśli w rozkładzie liczby q liczba 2 występuje m razy, to w rozkładzie 2q 2 występuje 2m + 1 razy).
Jest to sprzeczne z faktem, że każdą liczbę można rozłożyć na czynniki pierwsze
tylko w jeden sposób.
W matematyce często też można spotkać twierdzenia, które są zapisane
w postaci zdania, w którym występuje zwrot „wtedy i tylko wtedy, gdy”.
Zdania w takiej formie nazywamy równoważnością.
Oto przykład równoważności:
Trójkąt jest równoramienny wtedy i tylko wtedy, gdy dwa jego kąty mają
taką samą miarę.
TWIERDZENIA. DOWODZENIE TWIERDZEŃ
MLR1x str. 33
33
Twierdzenie sformułowane w postaci równoważności można odczytać jako
dwie implikacje. Rozważmy na przykład następujące twierdzenie:
Iloczyn liczb a · b jest liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a jest
parzysta lub liczba b jest parzysta.
Tak sformułowane twierdzenie można zastąpić implikacją:
Jeżeli iloczyn a · b jest liczbą parzystą, to liczba a jest parzysta lub liczba b
jest parzysta.
oraz implikację odwrotną:
Jeżeli liczba a jest parzysta lub liczba b jest parzysta, to iloczyn a · b jest
liczbą parzystą.
Aby udowodnić twierdzenie sformułowane w postaci równoważności, musimy udowodnić obie implikacje.
A
Udowodnij każdą z powyższych implikacji.
Wskazówka. Pierwszą z tych implikacji udowodnij metodą nie wprost, a drugą
— metodą wprost. Skorzystaj z tego, że liczba jest parzysta, jeśli można ją
zapisać w postaci 2k dla pewnej liczby całkowitej k.
ciekawost
ka
W matematyce twierdzeniem nazywamy tylko takie zdanie, którego prawdziwość została udowodniona.
Twierdzenia powstają na ogół w ten sposób, że zauważona prawidłowość,
np. dotycząca liczb lub figur, formułowana jest w postaci ogólnej, a następnie zostaje udowodniona.
Jeśli ktoś sformułował pewną prawidłowość, ale jej nie udowodnił, to mówimy, że postawił hipotezę.
Jedną z najsłynniejszych hipotez w historii matematyki była hipoteza Fermata. Na marginesie pewnego dzieła matematycznego Pierre de Fermat
napisał, że potrafi udowodnić następującą własność liczb naturalnych:
Dla n ≥ 3 nie istnieje trójka liczb naturalnych dodatnich x, y, z spełniająca
równanie xn + y n = z n .
Napisał też, że uzasadnienie nie mieści się niestety na marginesie książki.
Do dziś nie wiemy, czy Fermat znał poprawny dowód powyższego faktu.
Hipotezę tę próbowano udowodnić przez ponad 350 lat. Dopiero w 1994
roku matematyk angielski Andrew Wiles znalazł dowód hipotezy Fermata,
która od tego momentu może być już nazywana twierdzeniem Fermata.
Oczywiście nie każda hipoteza okazuje się być twierdzeniem. Na przykład
nieprawdziwą okazała się inna z hipotez postawionych przez Fermata:
n
Dla każdej liczby naturalnej n liczba 22 + 1 jest liczbą pierwszą.
34
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 34
ZADANIA
1. Sformułuj poniższe twierdzenia w postaci implikacji. Wskaż założenie i tezę
każdego z tych twierdzeń.
a) Każdy prostokąt jest równoległobokiem.
b) W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają miarę 60◦.
c) W każdym kwadracie kąt między przekątną a bokiem ma miarę 45◦.
d) Liczby wymierne mają rozwinięcia dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe.
e) Liczby rzeczywiste, które mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone i nieokresowe, są liczbami niewymiernymi.
2. Udowodnij twierdzenie:
a) Kwadrat liczby parzystej jest liczbą podzielną przez 4.
b) Jeśli liczby a i b są liczbami wymiernymi, to a + b jest liczbą wymierną.
c) Iloczyn liczby parzystej i liczby nieparzystej jest liczbą parzystą.
d) Różnica kwadratów dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą.
e) Dla każdej liczby rzeczywistej x, liczba x2 + 1 jest dodatnia.
f) Liczba naturalna n jest dzielnikiem liczby naturalnej m wtedy i tylko wtedy, gdy
n · m jest dzielnikiem liczby m2 .
3. Niech n oznacza liczbę naturalną. Uzasadnij, że:
a) liczba n2 + n jest parzysta,
c) liczba 3n2 + 3n jest podzielna przez 6,
b) ostatnią cyfrą liczby 5n2 + 5n jest 0,
2
d) liczba n − 3n jest liczbą całkowitą.
2
2
4. Wykaż, że jeśli kwadrat dowolnej liczby nieparzystej podzielimy przez 4, to
zawsze otrzymamy resztę 1.
5. Wykaż, że jeśli a oraz b są liczbami całkowitymi, to liczba ab − 4a + b2 − 4b jest
podzielna przez a + b (przy założeniu, że a + b = 0).
Za pomocą symboli ⇒ oraz ⇐
⇒
można krócej zapisywać implikacje
i równoważności:
a
⇒b
czytamy: jeżeli a, to b
a
⇐
⇒b
6. Uzasadnij, że:
⇒ x = 0,
2a + 3 = 7 ⇒ a jest liczbą wymierną,
a · b jest liczbą niewymierną ⇒ a
a) |x| ≤ 0
b)
c)
jest liczbą niewymierną lub b jest liczbą
niewymierną.
czytamy: a wtedy i tylko wtedy, gdy b
TWIERDZENIA. DOWODZENIE TWIERDZEŃ
MLR1x str. 35
35
7. Udowodnij twierdzenie:
a) Liczba naturalna jest podzielna przez 10 wtedy i tylko wtedy, gdy ostatnią cyfrą
tej liczby jest 0.
b) Liczba trzycyfrowa jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma cyfr
tej liczby dzieli się przez 3.
c) Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 6, to jest podzielna przez 3.
ciekawost
ka
W 1742 roku pruski matematyk Christian Goldbach postawił następującą hipotezę:
Każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych.
Hipoteza ta do dzisiaj nie została ani potwierdzona, ani obalona, mimo że przez
jakiś czas (do 2002 roku) można było za to zdobyć nagrodę w wysokości 1 mln
dolarów.
Aby potwierdzić hipotezę Goldbacha, trzeba podać jej dowód, zaś aby ją obalić
— wystarczy podać liczbę parzystą, która nie spełnia warunku opisanego przez
Goldbacha. Gdy uda się podać przykład, który obala pewne stwierdzenie, mówimy,
że podany został kontrprzykład.
8. Przeczytaj ciekawostkę. Dla każdego z poniższych stwierdzeń podaj dowód, jeśli
jest ono prawdziwe, lub kontrprzykład, gdy jest fałszywe.
a) Suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą.
b) Liczba, która jest podzielna przez 3 i przez 5, jest podzielna przez 15.
c) Liczba, która jest podzielna przez 4 i przez 6, jest podzielna przez 24.
TEST
T1. Jeśli liczba jest podzielna przez 15 i przez 22, to ostatnią cyfrą tej liczby jest 0.
Z tego twierdzenia można wywnioskować, że 0 jest ostatnią cyfrą liczby:
A. 44 · 33
B. 23 · 35 · 511
C. 82 · 45
D. 25 · 32 · 53 · 11
T2. Jeśli w liczbie postaci 1000 . . . 01 liczba zer jest parzysta, to liczba ta dzieli się
przez 11. Założenie tego twierdzenia spełnia liczba:
A. 1021 + 1
B. 1020 + 1
C. 10 · 11
D. 21 · 11
T3. Tylko w jednym z poniższych zdań symbol implikacji
symbolem równoważności ⇐
⇒. W którym?
⇒ można zastąpić
A. Liczba a jest wymierna ⇒ liczba a2 jest wymierna.
B. Liczba n jest podzielna przez 6 ⇒ 3 jest dzielnikiem liczby n.
C. m > n ⇒ 2m − 2n > 0
D. m < 0 ⇒ m4 > 0
36
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 36
IA I UKŁ
ADY RÓW
NAŃ
P
RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ
PIERWSZEGO STOPNIA
1. Rozwiąż równanie 3x + 2 = x − 1.
A
2. Sprawdź, czy para liczb x = −2, y = 0 spełnia układ równań
3. Z równości 2x − 5y = 6 wyznacz x.
Równanie pierwszego stopnia z jedną
niewiadomą tego typu może mieć jedno
rozwiązanie, może nie mieć rozwiązań
albo może je spełniać każda liczba rzeczywista.
Przykłady równań
pierwszego stopnia
z jedną niewiadomą:
x + 2 = 2(x + 1) − x
Równania, które nie mają rozwiązań, nazywamy sprzecznymi. Gdy każda liczba spełnia dane równanie, nazywamy je
tożsamościowym.
2x − 1 = 4 − 3x
x+2
9
x+5
2
+ x−1 = 1
3
− 2 = 1 (x + 1)
3
B
Wśród podanych obok przykładów równań znajdź równanie tożsamościowe.
Poniżej zapisano trzy układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
3x + y = 3
2x + 5y = 1
x + y = −4
3x − 2y = −3
x + 2y = 1
3x − 4y = 2
METODA PODSTAWIANIA
3x + y = 3
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
3x − 2y = −3
y − 2x = 4
5x + 4y = 10
3x + y = 3
3x − 2y = −3
y = 3 − 3x
3x − 2(3 − 3x) = −3
+
3x − 6 + 6x = −3
3x + y = 3
−3x + 2y = 3
3x − 3x + y + 2y = 3 + 3
9x = 3
3y = 6
1
x= 3
y =2
3x + 2 = 3
1
y = 3−3· 3
1
x= 3
1
x= 3
y =2
Rozwiązaniem jest para liczb x =
1
,
3
1
x= 3
y =2
y = 2.
RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ PIERWSZEGO STOPNIA
MLR1x str. 37
· (−1)
37
C
Rozwiąż pozostałe dwa układy równań (zapisane nad przykładem na str. 37),
wybierając dla każdego z nich inną metodę.
Każdy z układów równań zapisanych nad przykładem ma jedno rozwiązanie (rozwiązaniem jest jedna para liczb).
Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi może mieć
jedno rozwiązanie albo nie mieć rozwiązań, albo mieć nieskończenie wiele
rozwiązań.
Układ równań, który ma jedno rozwiązanie, nazywamy układem oznaczonym. Gdy układ równań nie ma rozwiązań, nazywamy go układem
sprzecznym. Gdy ma nieskończenie wiele rozwiązań, nazywamy go układem nieoznaczonym.
P
−x + 3y − 4 = 0
a)
2x − 1
= 2y − 1
3
|·3
−x + 3y − 4 = 0
|·2
2x − 1 = 6y − 3
+
b)
| · (−2)
2x + y = 2
4x + 2y = 4
−4x − 2y = −4
4x + 2y = 4
+
0·x +0·y =0
−2x + 6y − 8 = 0
2x − 6y + 2 = 0
−6 = 0
Układ jest sprzeczny, czyli nie ma
rozwiązań (nie istnieje para liczb
spełniających ten układ).
D
Układ jest nieoznaczony. Zbiór rozwiązań tego układu tworzą te pary
liczb x i y , które spełniają jedno (dowolne) równanie układu (np. równanie 2x + y = 2).
1. Podaj przykład pary liczb x i y spełniającej równanie 2x + y = 2. Sprawdź,
że ta para liczb spełnia także równanie 4x + 2y = 4.
x+2 = y +6
jest nieoznaczony. Podaj kilka
2. Sprawdź, że układ równań
2x − 9 = 2y − 1
par liczb, które są rozwiązaniami tego układu.
ZADANIA
1. Rozwiąż równanie:
a) 3x − (2 − x) = −9
d) 2 x − 13 = 1 (9 + 2x)
b) 5x = 10x − 2(x + 5)
e) 10 − 4x − 5 − 2x = 0
c) −4(2x − 5) = 2(3x + 7)
f) x(x − 3) = (x + 2)2
38
3
3
6
3
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 38
2. Rozwiąż równanie podane w postaci proporcji
Jeśli b = 0 i d = 0, to
proporcję
c
a
=
b d
(najpierw przyjmij odpowiednie założenia):
a)
15 = 7
x
3−x
b) 1 =
x
5
2x − 3
c) 4x + 1 = 2x + 1
2x − 1
x
d)
x = x+1
x+1
x+2
e)
x = x+1
x−1
x+3
f)
4 =
5
x−1
2x − 2
możemy zastąpić równością
ad = bc
3. Zapisz i rozwiąż odpowiednie równanie.
a) Liczba 3 razy większa od x jest równa połowie sumy liczb x i 7.
b) Iloraz liczby x i liczby o 1 od niej większej jest równy
3
.
5
c) Różnica kwadratu liczby x i kwadratu liczby o 2 mniejszej od x jest równa 40.
d) Iloraz liczby o 5 większej od x przez 4 jest równy ilorazowi liczby 2 razy większej od x przez 6.
4. Znajdź liczbę a, wiedząc, że:
a) liczba o 20 % większa od a jest równa 18,6,
b) liczba o 30 % mniejsza od a to 3,92,
c) liczba o 5‰ większa od a to 335,67,
d) liczba o 6‰ mniejsza od a to 576,52.
5. Zapisz i rozwiąż odpowiednie równanie.
a) Cenę pewnego towaru dwukrotnie zmniejszono o 20 %. Teraz za ten towar trzeba
zapłacić 768 zł. Jaka była cena początkowa?
b) Cenę pewnego towaru najpierw zwiększono o 8 %, a potem zmniejszono o 25 %.
Teraz towar ten kosztuje 1215 zł. Jaka była cena początkowa?
c) Cenę pewnego towaru zmniejszono o 15 %, a potem zwiększono o 40 %. Teraz
towar ten jest o 57 zł droższy niż przed pierwszą zmianą ceny. Jaka jest jego cena?
6. a) Ile wody należałoby dolać do 3 kg
Mówimy, że roztwór jest p-procentowy, gdy masa rozpuszczonej substancji stanowi p % masy całego roztworu.
s = p ·r
100
s — masa rozpuszczonej substancji
r — masa roztworu
ośmioprocentowej solanki, aby otrzymać roztwór pięcioprocentowy?
b) Z solanki czteroprocentowej odparowano 3 kg wody. Otrzymana solanka
ma stężenie 10%. Ile waży ta solanka?
c) Ile soli należy dosypać do 9 kg solanki o stężeniu 2%, aby otrzymać solankę
o stężeniu 10%?
Wskazówka. Gdy dolewamy lub odparowujemy wodę, masa soli się nie zmienia.
RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ PIERWSZEGO STOPNIA
MLR1x str. 39
39
7. Zapisz odpowiednie równanie w postaci proporcji i rozwiąż je.
a) Jeszcze w zeszłym miesiącu w firmie Macho pracowało 6 pań. W tym miesiącu
zatrudniono 7 panów i 2 panie, ale stosunek liczby panów do liczby pań się nie
zmienił. Ilu pracowników zatrudnia teraz firma Macho?
b) Na butelce z sokiem napisano: „Aby otrzymać szklankę napoju, zmieszaj 70 ml
soku i 130 ml wody”. Ile soku i wody należy zmieszać, aby otrzymać 1,5 litra napoju?
c) Stosunek długości boków prostokąta jest równy 2 : 5. Jeden z boków jest o 1 m
dłuższy od drugiego. Jakie długości mają boki tego prostokąta?
8. Rozwiąż układ równań:
a)
b)
x = 6y + 13
y = 2x − 15
3x + y = 6,5
2x = 4y − 5
c)
3x + y − 4,5 = 0
d)
6x − 2y = 9
0,1x − 0,2y = 0,7
−2x + 4y = −14
e)
3a + 2b = 22
f)
4a − 7b = −19
5(x − 3y) = −7(3y − x)
−3(x + 4) + 9y = 0
9. Zapisz i rozwiąż odpowiednie układy równań.
a) Liczba x jest o 5 mniejsza od liczby y. Liczba o 1 większa od y jest 3 razy
większa od x.
b) Liczba o 5 większa od x jest równa średniej arytmetycznej liczb x i y. Liczba
2 razy mniejsza od x jest 4 razy mniejsza od y.
c) Liczba o 20% większa od x jest o 10 mniejsza od y. Liczba o 20% mniejsza od y
jest o 6 większa od x.
d) Liczba o 50% mniejsza od liczby y jest o 1 większa od liczby x. 60% liczby x
stanowi 25% liczby y.
10. Na podstawie informacji podanych pod rysunkami oblicz, jakie długości mają
odcinki oznaczone literami x, y, a i b.
11. Podczas meczu pewien koszykarz zdobył 27 punktów, wykonując 9 skutecznych rzutów z gry (czyli za 2 lub za 3 punkty). Ile skutecznych rzutów za 3 punkty
wykonał ten zawodnik?
40
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 40
12. a) Ułożono 8 dwuzłotówek i 9 złotówek w szeregu, jedna za drugą. Tak ułożony szereg miał długość 37,9 cm. Gdy w podobny sposób ułożono 4 dwuzłotówki
i 10 złotówek, otrzymany szereg monet miał długość 31,6 cm. Oblicz, jaką średnicę
ma dwuzłotówka, a jaką — złotówka.
b) 60 dwuzłotówek i 90 złotówek waży razem 762,6 g, a 40 dwuzłotówek i 60
złotówek waży razem 508,4 g. Czy na podstawie tych informacji można obliczyć,
ile waży dwuzłotówka, a ile — złotówka?
13. Łuty i skrupuły to dawne jednostki masy. Pan Albert twierdzi, że 2 łuty
i 5 skrupułów to 30,624 g. Pan Dionizy twierdzi, że 4 łuty i 10 skrupułów
to 61,248 g. Pan Zenobiusz twierdzi, że
8 łutów i 20 skrupułów to 120,496 g.
Wiadomo, że dwóch z tych panów mówi
prawdę, a jeden kłamie. Który kłamie?
14. Test składa się z 15 pytań. Za dobrą odpowiedź przyznaje się 3 punkty, a za
złą odpowiedź lub brak odpowiedzi odejmuje się 1 punkt. Ile prawidłowych odpowiedzi zaznaczyła osoba, która zdobyła 33 punkty? Czy za rozwiązanie tego testu
można otrzymać 15 punktów?
15. Agnieszka kupiła wczoraj książkę i płytę, za które zapłaciła 83 zł. Dziś ceny
wszystkich książek podniesiono o 2 zł, ale ceny płyt obniżono o 20%. Gdyby swoje
zakupy Agnieszka robiła dzisiaj, zaoszczędziłaby 9 zł. Ile zapłaciła Agnieszka za
książkę, a ile za płytę?
16. Płatki owsiane zawierają 14% białka i 6,4 % tłuszczu. Płatki kukurydziane zawierają 8 % białka i 0,8 % tłuszczu. Jakie ilości płatków każdego rodzaju należy
zmieszać, aby otrzymać:
a) 0,15 kg mieszanki zawierającej 1,5 dag białka,
b) 0,28 kg mieszanki zawierającej 5 % tłuszczu?
17. Gdy zmieszamy 10 dag bananów i 10 dag mleka, otrzymamy koktajl bananowy o zawartości 1,35% tłuszczu. Po zmieszaniu 20 dag bananów i 30 dag mleka
otrzymamy koktajl, który zawiera 1,48% tłuszczu. Jaka jest zawartość procentowa
tłuszczu w mleku, a jaka — w bananie?
18. a) Obraz w ramie kosztuje 270 zł.
Rama jest o 200 zł droższa od obrazu.
Ile kosztuje obraz?
b) Waza z warząchwią waży 900 g. Warząchew jest 3 razy lżejsza niż waza.
O ile mniej od wazy waży warząchew?
RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ PIERWSZEGO STOPNIA
MLR1x str. 41
41
19. Paweł ma o 100 zł więcej niż Gaweł. Gdyby Paweł oddał Gawłowi połowę swoich pieniędzy, to Gaweł miałby dwa razy więcej pieniędzy niż Paweł. O ile złotych
więcej miałby wówczas Gaweł?
20. Kiedyś do partii Przeszłość należało 3 razy więcej osób niż do partii Przyszłość . W wyniku nieudanych działań w Przeszłości 5 osób przeszło do Przyszłości.
Ostatnio przewodniczący Przeszłości przygotował i przeprowadził udaną akcję propagandową, w wyniku której 2 osoby z Przyszłości wróciły do Przeszłości, a na
dodatek przyjęto jeszcze 5 nowych członków. Teraz Przeszłość jest dwa razy liczniejsza niż Przyszłość . Ile osób należy do Przeszłości?
21. Przyjrzyj się rysunkowi. Jaka jest odpowiedź na zadane pytanie?
22. Rozwiąż układ równań:
⎧
2x + 5y + 3z = −1
⎪
⎨
0,5x − y = 2 − 0,7z
a)
⎪
⎩
11(x − y) = 12 + z
⎧
2
⎪
⎪
⎨ 2y + 1 = −z − 3 x
b) 2x + 3y − z = 4
⎪
⎪
⎩
3x + 2y + z = 13
⎧
a+b+c +d
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨a − b + c − d
c)
⎪
⎪a + b − c − d
⎪
⎪
⎩
a+b+c −d
= 10
= −2
= −4
=2
23. W mieście Małe są dwa niemałe licea ogólnokształcące. Razem uczy się w nich
1620 uczniów. W II LO jest o 16 % więcej uczniów niż w I LO. Licealistek w Małym
jest o 40 więcej niż licealistów. Gdyby 55 uczennic przeszło z II LO do I LO, to w obu
szkołach byłoby tyle samo dziewcząt. Jaki procent uczniów I LO stanowią chłopcy?
42
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 42
TEST
T1. Cenę butów obniżono najpierw o 10 zł, a potem jeszcze o 20 % nowej ceny.
Po tych dwóch obniżkach buty kosztują 100 zł. O ile złotych ta nowa cena jest
mniejsza od ceny sprzed obniżek?
A. o 20 zł
B. o 25 zł
C. o 30 zł
D. o 35 zł
T2. Każdą wypowiedź na forum internetowym można ocenić, przyznając +1, gdy
wypowiedź się podoba, lub −1, gdy się nie podoba. Pewną wypowiedź oceniło
57 osób, a suma ocen to +13. Ilu oceniającym osobom ta wypowiedź się podobała?
A. 13
B. 22
C. 35
D. 44
T3. Jaką liczbą należy zastąpić literę a w układzie równań
zapisanym obok, aby otrzymać układ nieoznaczony?
A. 6
B. 7
C. 8
2x + 6y = 4
3x + ay = 6
D. 9
IE WZOR
ÓW
PRZEKSZTAŁCANIE WZORÓW
A
1. Rozwiąż równanie 7 =
2. Korzystając ze wzoru
3x − 2
.
4
3b − 2
A=
,
4
1
oblicz A dla b = − 3 oraz dla b = 7.
W niektórych krajach temperaturę mierzy się w stopniach Fahrenheita (◦F).
Zależność między skalami Celsjusza i Fahrenheita wyraża wzór:
f = 9 c + 32
5
Korzystając z tego wzoru, możemy łatwo zamienić temperaturę c (wyrażoną w stopniach Celsjusza) na temperaturę f (wyrażoną w stopniach
Fahrenheita).
B
1. Wyraź w stopniach Fahrenheita temperatury: 0◦ C, 100◦ C, 36,6◦ C.
2. Wyraź w stopniach Celsjusza temperatury: −36◦ F, 99◦ F, 0◦ F.
Jeśli chcemy wykonać operację odwrotną, czyli zamienić temperaturę
w skali Fahrenheita na temperaturę wyrażoną w skali Celsjusza, najwygodniej jest najpierw przekształcić wzór f = 9 c + 32, wyznaczając z niego c:
5
f = 9 c + 32
5
9 c = f − 32
5
c = 5 (f − 32)
9
PRZEKSZTAŁCANIE WZORÓW
MLR1x str. 43
43
Przekształcając wzory, postępujemy podobnie jak przy rozwiązywaniu
równań. Gdy niewiadoma, którą chcemy wyznaczyć, występuje we wzorze
w kilku miejscach, przydaje się umiejętność wyłączania wspólnego czynnika przed nawias.
P
Wyznacz b ze wzoru a =
b
a = b+1 +2
b
+ 2 (zakładamy, że b + 1 = 0, czyli b = −1).
b +1
| · (b + 1)
a(b + 1) = b + 2(b + 1)
ab + a = b + 2b + 2
ab − 3b = 2 − a
Zakładamy, że a = 3.
| : (a − 3)
b(a − 3) = 2 − a
2−a
b = a−3
Uwaga. Zauważ, że warunek a = 3 jest zawsze spełniony; gdyby było inaczej, wzór
początkowy miałby postać 3 = b b+ 1 + 2. Z równości tej wynikałoby, że b = b + 1, a to
nie jest możliwe.
ZADANIA
1. Z podanego wzoru wyznacz a (jeśli to konieczne, zapisz odpowiednie założenia
dla wielkości występujących we wzorach).
√
a) b = 5a − 2
d) p = 2a
g) m = 5 − b
b
ac
b) d = 2n − 3a
e) w = ab
h) s = 2ab − 1
√
c) k = 2b − a 3
f) r = 5d
i) t = 7 − a
3c
a
b
2. Z podanego wzoru wyznacz wskazaną wielkość (jeśli to konieczne, zapisz odpowiednie założenia dla wielkości występujących we wzorach).
a) m = a(3 + n);
b) u = 2a ;
b−1
n
a
e) d = a + b − c;
b
2
f) z =
5 ;
6w − s
s
c) v = 3a − b ;
b
g) f =
3t − 1;
a − 2t
a
d) w = 2 − 3r ;
r
h) p = n − m ;
m
u
p
44
n+1
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 44
3. Ciśnienie pod wodą zależy od głębokości. Im
większa głębokość pod powierzchnią morza, tym
wyższe jest ciśnienie. Związek między tymi wielkościami można opisać wzorem p = 1 x + 1, gdzie p
10
oznacza ciśnienie wyrażone w atmosferach, a x —
głębokość w metrach.
a) Wyznacz x z tego wzoru.
b) Oblicz, jakie ciśnienie panuje na głębokości 15 m.
c) Na jaką głębokość może zejść płetwonurek, aby
ciśnienie nie przekroczyło 3 atm?
d) O ile atmosfer zwiększa się ciśnienie, gdy głębokość zwiększa się o 10 m?
4. Z podanego wzoru wyznacz wskazaną wielkość (zapisz odpowiednie założenia).
a) u = 2k − kr ;
k
c) p =
r ;
r −1
r
b) v = pq + 9p;
p
d) u = pr ;
p
p+r
5. Jeśli zmieszamy a litrów płynu o temperaturze t1 i b litrów tego samego płynu
o temperaturze t2 , wówczas otrzymamy mieszaninę o temperaturze t, którą można
obliczyć ze wzoru t = 1 (at1 + bt2 ). Wyznacz z tego wzoru t1 .
a+b
6. Przekształć poniższą równość tak, aby wyznaczyć
♦.
1 = ♦
♠
♣+ ♦
7. Z podanego wzoru wyznacz u.
r=
1
1+ 1
1
1+ u
8. Przyjmijmy, że liczby oznaczone literami są dodatnie. Przekształć równość tak,
aby wyznaczyć wskazaną wielkość.
a) (m + 4)(m − n) = m(4 − n);
b) r − p = 2p + 1 ;
p+1
r −p
m
r
c) 2a3 + b = 2 3r + a3 ;
b
d) (u + v)2 − 4 = u2 + v 2 ;
u
2
9. Liczby a i b są dodatnie. Przekształć równość tak, aby wyznaczyć stosunek a
.
b
a) a = 4b
PRZEKSZTAŁCANIE WZORÓW
MLR1x str. 45
b) 5a − 3b = 0
c) a + 3b = 7
b
d)
5b = 2
a+b
45
ciekawost
ka
Czy wiesz, jaki jest twój rozmiar buta?
A czy zastanawiałeś się, o ile centymetrów dłuższy jest but, który ma rozmiar
o 1 większy od twojego? W Polsce na
ogół stosuje się dwa systemy numeracji
obuwia: angielski lub francuski. Numery
butów 3, 5 12 , 9 itp. to numeracja angiel1
ska. Rozmiary 36, 37 2 , 40 itp. występują
w numeracji francuskiej.
System angielski powstał na początku
XIV w. i ma dość skomplikowane zasady numeracji. Jednostką jest tu 13 cala,
czyli około 8,5 mm.
System francuski powstał pod koniec
XVIII w. Zasady numeracji są dużo prostsze, a jednostką jest 23 cm ≈ 6,7 mm.
Związek między długością stopy w centymetrach a rozmiarem buta opisują
wzory:
L = A + 25 · 2,54
3
L = 2F
3
L — długość stopy w centymetrach,
A — rozmiar buta w numeracji angielskiej,
F — rozmiar buta w numeracji francuskiej.
Stosując te wzory w praktyce, trzeba pamiętać, że buty produkuje się nie we
wszystkich możliwych rozmiarach, a tylko w takich, które wyrażają się liczbą
naturalną lub liczbą naturalną powiększoną o 1 .
2
10. Przeczytaj ciekawostkę.
a) Jaką długość ma stopa, dla której przeznaczony jest but o numerze 37 (wg numeracji francuskiej), a jaką — stopa, na którą pasuje but o rozmiarze 7 (wg
numeracji angielskiej)?
b) Przekształć podane wyżej wzory dotyczące numeracji butów tak, aby można
było łatwo obliczyć właściwy rozmiar buta, gdy znana jest długość stopy (w cm).
Zmierz długość swojej stopy i oblicz, jaki rozmiar butów jest dla ciebie odpowiedni
(pamiętaj, że musisz podać otrzymany wynik z dokładnością do 0,5 numeru).
c) Znajdź wzór opisujący zależność między numeracją francuską a angielską.
TEST
T1. Jeśli a − b = b − 17, to:
A. b = a − 17
2
B. b = a + 17
2
C. a = 17
D. a = −17
T2. W prostokącie o polu P jeden z boków ma długość a. Obwód tego prostokąta
jest równy:
A. 2a + 2P
T3. Jeśli
B. a + P
2a
C. 2a + 2a
P
D. 2a + 2P
a
4 = 1 + 1 , to:
a+b
a b
A. a + b = a · b
B. a = b
46
C. a = 1
b
D. a + b = 4
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 46
ZBIORY
ZBIORY
Przyjrzyj się rysunkom. Na pierwszym zaznaczona figura to zbiór wszystkich punktów, które należą do obu kwadratów.
Figura na drugim rysunku jest zbiorem wszystkich punktów, które należą
do jednego lub drugiego kwadratu.
Na trzecim rysunku zaznaczono zbiór wszystkich punktów, które należą
do jednego kwadratu, a nie należą do drugiego.
W matematyce są takie pojęcia, nazywane pojęciami pierwotnymi, których
się nie definiuje. Na przykład w geometrii pojęciami pierwotnymi są prosta
i punkt. Zbiór to w matematyce także pojęcie pierwotne; nie możemy powiedzieć, co to jest zbiór, możemy tylko opisać, jakie ma własności i podać
przykłady.
Możemy mówić o zbiorze liczb (np. liczb naturalnych, liczb ujemnych),
zbiorze punktów tworzących figurę geometryczną, o zbiorze figur (trapezów, prostokątów, trójkątów rozwartokątnych) itp.
Omówimy teraz podstawowe pojęcia i oznaczenia dotyczące zbiorów.
„Przedmioty”, z których utworzony jest zbiór,
nazywamy elementami tego zbioru.
Zbiory oznaczamy zazwyczaj dużymi literami,
a ich elementy — małymi.
Zdanie: Element p należy do zbioru A możemy
zapisać: p ∈ A (symbol ∈ czytamy: należy do).
Zdanie: a nie jest elementem zbioru A możemy
zapisać krócej w następujący sposób: a ∈ A.
Zbiór, który nie ma żadnego elementu, nazywamy zbiorem pustym. Taki zbiór oznaczamy
symbolem ∅.
47
ZBIORY
MLR1x str. 47
Zbiór może być nieskończony (czyli może mieć nieskończenie wiele elementów) albo skończony.
Przykłady zbiorów
nieskończonych
Przykłady zbiorów
skończonych
• zbiór liczb rzeczywistych dodatnich
• zbiór liczb naturalnych parzystych
• zbiór liczb naturalnych mniejszych
od 4
• zbiór liczb rzeczywistych spełniających nierówność x ≥ 7
• zbiór liczb całkowitych ujemnych
większych od −1000
• zbiór wszystkich punktów prostej
• zbiór wierzchołków siedmiokąta
• zbiór wszystkich punktów odcinka
• zbiór punktów przecięcia stu prostych
• zbiór wszystkich prostokątów
• zbiór rozwiązań równania 2x + 1 = 7
Przyjmujemy, że zbiór pusty jest zbiorem skończonym.
A
Narysuj dowolny trójkąt oraz taki kwadrat, aby wszystkie punkty kwadratu były punktami trójkąta. Następnie narysuj prostokąt, do którego należą
wszystkie punkty trójkąta.
Jeśli do zbioru B należą wszystkie
elementy zbioru A, to mówimy, że
zbiór A zawiera się w zbiorze B.
Możemy to zapisać w skrócie A ⊂ B.
Mówimy też, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B.
A⊂B
B
Ile elementów może mieć podzbiór zbioru pięcioelementowego?
Wskazówka. Zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze i każdy zbiór jest
swoim własnym podzbiorem. Innymi słowy ∅ ⊂ A i A ⊂ A dla dowolnego
zbioru A.
C
Narysuj trójkąt i kwadrat tak położone
jak na rysunku obok. Wykonaj jeszcze
trzy takie rysunki.
Na pierwszym rysunku zaznacz wszystkie punkty wspólne trójkąta i kwadratu.
Na drugim wszystkie punkty, które należą do trójkąta lub do kwadratu. Na
trzecim — wszystkie punkty kwadratu, które nie są punktami trójkąta, a na
czwartym — wszystkie punkty trójkąta, które nie są punktami kwadratu.
48
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 48
Na rysunku zacieniowano część
wspólną zbiorów A i B. Jest to zbiór,
którego wszystkie elementy należą jednocześnie do obu zbiorów.
Oznaczać go będziemy A ∩ B.
Część wspólna zbiorów jest też nazywana iloczynem zbiorów.
A∩B
Jeśli dwa zbiory nie mają wspólnych elementów, to mówimy, że są rozłączne. Możemy więc powiedzieć, że zbiory A i B są rozłączne, jeśli A ∩ B = ∅.
Na rysunku obok zacieniowano zbiór
wszystkich elementów należących do
zbioru A lub do zbioru B. Taki zbiór
nazywamy sumą zbiorów A i B. Będziemy go oznaczać A ∪ B.
A∪B
Na rysunku obok zaznaczono zbiór
utworzony ze wszystkich elementów zbioru A, które nie należą do
zbioru B. Taki zbiór nazywamy różnicą zbiorów A i B. Będziemy go
oznaczać A \ B.
D
A \B
1. Co można powiedzieć o sumie zbiorów A ∪ B, gdy A ⊂ B?
2. Co można powiedzieć o iloczynie zbiorów A ∩ B, gdy A ⊂ B?
3. Co można powiedzieć o sumie zbiorów A ∪ ∅?
4. Co można powiedzieć o iloczynie zbiorów A ∩ ∅?
5. Co można powiedzieć o różnicy zbiorów A \ B, gdy A ⊂ B?
6. Co można powiedzieć o różnicy zbiorów A \ B, gdy A ∩ B = ∅?
Przyjmujemy następujące oznaczenia:
— zbiór liczb rzeczywistych
— zbiór liczb wymiernych
— zbiór liczb niewymiernych
— zbiór liczb całkowitych
— zbiór liczb naturalnych
49
ZBIORY
MLR1x str. 49
Wiadomo, że każda liczba naturalna jest liczbą całkowitą. Zdanie to można zapisać tak: ⊂ . Zapisz w podobny sposób jeszcze kilka informacji o zbiorach
, , , , .
E
Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy symbolem + , a zbiór
liczb rzeczywistych ujemnych symbolem − .
Niektóre zbiory możemy opisać, wymieniając ich elementy. Oto przykłady:
A = {0, 1, 2, 3}
Zbiór liczb naturalnych mniejszych od 4
(zbiór skończony).
B = {0, 2, 4, 6, 8, ...}
Zbiór liczb naturalnych parzystych
(zbiór nieskończony).
C = {10, 11, 12, ... , 98, 99}
Zbiór liczb dwucyfrowych
(zbiór skończony).
Każdy z powyższych zbiorów można też zapisać inaczej:
A = {x ∈ : x < 4}
B = {x ∈ : x = 2k dla pewnej liczby naturalnej k}
C = {x ∈ : 10 ≤ x ≤ 99}
ZADANIA
1. Zapisz dowolny czteroelementowy zbiór liter, który:
a) zawiera wszystkie elementy zbioru A = {x, y, z},
b) zawiera się w zbiorze B = {a, e, i, o, u, y},
c) jest rozłączny ze zbiorem C = {a, b, c}.
2. Na rysunku zaznaczono kropkami wszystkie elementy zbiorów A, B i C. Określ, ile
elementów zawierają podane zbiory.
a) A ∪ B
c) B \ A
b) A ∩ C
d) A ∪ C
3. Na rysunku zaznaczono kropkami wszystkie elementy zbiorów A, B, C i D. Ustal, ile
elementów ma zbiór:
d) (A \ B) ∩ D
a) A ∩ B
b) A ∩ B ∩ C
e) (A ∩ C) \ B
c) (A ∪ B) ∩ C
f) (C ∩ D) ∪ (A \ B)
50
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 50
4. Dane są zbiory:
A = {a, b, c}
B = {b, c, d}
C = {a, d, e}
Wymień elementy następujących zbiorów:
C ∪D
A \D
A∪C
A∩B
B \D
D = {e, f , g}
B∩D
A ∪ (B ∩ C)
(A ∪ C) \ D
5. Ustal, ile elementów ma podany zbiór.
√
5.
√
b) Zbiór liczb całkowitych spełniających warunek |x| ≤ 15.
a) Zbiór liczb naturalnych spełniających warunek x ≤
c) Zbiór liczb naturalnych, które nie spełniają warunku x > 20.
6. Dane są zbiory:
A = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
C = {5, 10, 15, 20, 25, ... , 50}
B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
D = {10, 20, 30, 40, ... , 90, 100}
Wyznacz zbiór:
a) A ∩ B
d) C ∪ D
g) A ∩ B ∩ C
j) (A \ D) ∪ (C ∩ B)
b) A \ B
e) C ∩ D
h) (A ∪ B) ∩ C
k) (C ∩ D) \ (A ∪ B)
c) B \ A
f) D \ C
i) A ∪ (B ∩ C)
l) (D \ C) ∩ (B \ A)
7. Niech P oznacza zbiór wyrazów pięcioliterowych, A — zbiór wyrazów, w których
występuje litera a, zaś T — zbiór wyrazów rozpoczynających się na literę t. Podaj
przykłady elementów każdego ze zbiorów:
P ∩A
P \A
(P ∪ A) ∩ T
P ∩A∩T
T \ (P ∪ A)
(T ∩ A) \ P
8. Zapisz, jaki zbiór jest zacieniowany na rysunku (możesz przy tym używać symboli ∪, ∩, \ oraz liter A, B, C).
9. a) Dane są zbiory: A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ... , 29, 31} oraz B = {21, 22, 23, 24, ... , 50}.
Ile elementów mają zbiory: A, B, A ∪ B?
b) Pewien zbiór C ma 20 elementów, zbiór D ma 50 elementów, a zbiór C ∩ D ma
5 elementów. Ile elementów mają zbiory: C ∪ D, C \ D, D \ C?
c) Zbiory E i F mają po 15 elementów, a zbiór E ∪ F ma 20 elementów. Ile elementów mają zbiory: E ∩ F, E \ F, F \ E?
51
ZBIORY
MLR1x str. 51
10. W Krasnolandii każdy obywatel jest piękny lub bogaty. Bogaci stanowią 50 %
ludności. Pięknych Krasnolandian jest 50 tys. (z czego 70 % to niebogaci). Ilu mieszkańców ma Krasnolandia? Jaki procent mieszkańców Krasnolandii stanowią piękni
i zarazem bogaci?
11. Uczniowie 25-osobowej klasy mają za zadanie przeczytać trzy lektury: A, B
i C. Dotychczas 12 uczniów przeczytało książkę A, 12 uczniów — książkę B, 15 —
książkę C, 2 — tylko książkę A, 4 — tylko książkę B, 6 — tylko książkę C, 5 —
wszystkie trzy książki.
a) Ilu uczniów przeczytało dotychczas książki A i B?
b) Ilu uczniów przeczytało książki A i B, ale nie przeczytało książki C?
c) Ilu uczniów nie przeczytało żadnej z tych książek?
12. Niech P oznacza zbiór liczb
Liczbę naturalną n, która ma dokładnie dwa
dzielniki, nazywamy liczbą pierwszą.
pierwszych, a Z — zbiór liczb
złożonych. Wyznacz zbiór:
Liczby pierwsze to: 2, 3, 5, 7, 11, . . .
a) {0, 1, 2, ... , 19, 20} ∩ P
Liczbę naturalną, która ma więcej niż dwa
dzielniki, nazywamy liczbą złożoną.
Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.
b) (P ∩ {0, 1, 2, ... , 10}) \ Z
c) \ (P ∪ Z)
d) P ∩ {0, 1}
TEST
T1. Każdy z uczniów pewnej szkoły uczy się języka niemieckiego lub francuskiego.
Języka niemieckiego uczy się 75 % uczniów, a francuskiego – 40 %. Jaki procent
uczniów uczy się obu tych języków?
A. 35 %
B. 25 %
C. 15 %
D. 5 %
T2. Oznaczmy przez P , K i T zbiory punktów należących odpowiednio do prostokąta,
koła i trójkąta narysowanych obok. Zacieniowany na rysunku zbiór to:
A. (P ∪ K) ∩ T
B. (P ∩ K) \ T
C. (P \ T ) ∪ K
D. (T \ K) ∩ K
T3. Każda z 1000 ankietowanych osób odpowiedziała na dwa pytania: czy lubi
słodycze oraz czy lubi warzywa. Okazało się, że 855 osób lubi słodycze, 620 lubi
warzywa, a 30 — nie lubi ani słodyczy, ani warzyw. Ile spośród ankietowanych osób
lubi słodycze, ale nie lubi warzyw?
A. 380
B. 350
52
C. 235
D. 145
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 52
PRZEDZI
AŁY LICZ
BOWE
PRZEDZIAŁY LICZBOWE
A
1. Zaznacz na osi liczbowej liczby 3, 5 21 i −2,5.
2. Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełniających nierówność x ≥ −5.
3. Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełniających nierówność x > 3,
a następnie zbiór liczb spełniających nierówność x < 7. Wskaż zbiór liczb
spełniających obie nierówności jednocześnie.
4. Podaj trzy liczby spełniające warunek −4 < x < 3. Zaznacz na osi liczbowej
zbiór liczb spełniających ten warunek.
x ∈ (a ; b)
Zbiór liczb rzeczywistych większych od liczby a i jednocześnie mniejszych od liczby b
nazywamy przedziałem otwartym o końcach a i b; oznaczamy go symbolem (a ; b).
⇐
⇒a<x<b
Zbiór liczb rzeczywistych większych od a
lub równych a i jednocześnie mniejszych od
b lub równych b nazywamy przedziałem
domkniętym o końcach a i b; oznaczamy
go symbolem a ; b.
x ∈ a ; b
⇐
⇒a≤x≤b
Można też mówić o przedziałach, które są otwarte (lub domknięte) tylko
z jednej strony.
Na poniższych rysunkach zaznaczono różne typy przedziałów o końcach −3 i 7.
(−3 ; 7)
− 3 ; 7
przedział otwarty o końcach −3 i 7
przedział domknięty o końcach −3 i 7
x ∈ (−3 ; 7)
x ∈ − 3 ; 7
⇐
⇒ −3≤x≤7
(−3 ; 7
− 3 ; 7)
przedział lewostronnie otwarty
i prawostronnie domknięty
o końcach −3 i 7
przedział lewostronnie domknięty
i prawo stronnie otwarty
o końcach −3 i 7
x ∈ (−3 ; 7
B
⇐
⇒ −3<x<7
⇐
⇒ −3<x≤7
x ∈ − 3 ; 7)
⇐
⇒ −3≤x<7
Narysuj oś liczbową i zaznacz na niej przedziały:
( −3 ; 2 PRZEDZIAŁY LICZBOWE
MLR1x str. 53
3 ; 7 − 10 ; −8 )
(8; 9)
53
Przedziały to zbiory liczbowe, możemy więc określać sumę i różnicę oraz
część wspólną przedziałów.
P
a) Znajdź zbiór (−3; 2) ∩ 0; 5).
Ilustrujemy oba przedziały na osi liczbowej
i zaznaczamy ich część wspólną (na rysunku
jest ona zaznaczona kolorem).
(−3 ; 2) ∩ 0 ; 5) = 0 ; 2)
b) Znajdź zbiór −4 ; 2) ∩ (−4 ; 3
Ilustrujemy oba przedziały na osi liczbowej
i zaznaczamy ich część wspólną (na rysunku
jest ona zaznaczona kolorem).
−4 ; 2) ∩ (−4 ; 3 = (−4 ; 2)
c) Znajdź zbiór −5 ; 4) ∪ (1; 8).
Ilustrujemy oba przedziały na osi liczbowej
i zaznaczamy ich sumę (na rysunku jest ona
zaznaczona kolorem).
−5 ; 4) ∪ (1 ; 8) = −5 ; 8)
d) Znajdź zbiór −8 ; −2 \ (−4 ; 3).
Ilustrujemy oba przedziały na osi liczbowej
i zaznaczamy zbiór składający się z liczb,
które należą do pierwszego przedziału, a nie
należą do drugiego (na rysunku jest on zaznaczony kolorem).
−8 ; −2 \ (−4 ; 3) = −8 ; −4
Popatrz na rysunek obok. Na osi liczbowej zaznaczono zbiór liczb rzeczywistych większych od a. Taki zbiór nazywamy przedziałem nieograniczonym
i oznaczamy symbolem (a ; +∞) (czytamy: przedział otwarty od a do nieskończoności).
Analogicznie oznaczamy inne przedziały nieograniczone, np. a ; +∞),
(−∞ ; a), (−∞ ; a.
C
Zaznacz na osi liczbowej przedział 2; +∞) oraz przedział (−∞; 3).
\ 2 ; +∞), (−∞ ; 3) ∩ 2 ; +∞), 2 ; +∞) ∪ (−∞ ; 3).
Wyznacz zbiory:
D
Zapisz w postaci przedziałów następujące zbiory:
1. Zbiór liczb rzeczywistych.
2. Zbiór liczb rzeczywistych niedodatnich.
3. Zbiór liczb rzeczywistych ujemnych.
54
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 54
ZADANIA
1. Zapisz za pomocą przedziału zbiór wszystkich liczb spełniających podaną nierówność:
a) 0 ≤ x < 5
b) −6 < x < 6
c) x ≥ −3
d) x < 6
2. Zaznacz podany przedział na osi liczbowej. Opisz za pomocą nierówności zaznaczony zbiór liczb.
a) − 4 ; 5)
c) (−12 ; −8
e) (−∞ ; 5)
g) (−6 ; +∞)
b) (3 ; 7)
d) 0 ; 6
f) 2 ; +∞)
h) (−∞ ; −1
3. a) Zaznacz na osi liczbowej kilka liczb spełniających nierówność |x| < 2. Podaj
przedział, do którego należą wszystkie liczby spełniające tę nierówność.
b) Zaznacz na osi liczbowej kilka liczb spełniających warunek |x| > 3. Zapisz sumę
przedziałów, do której należą wszystkie liczby spełniające ten warunek.
c) Zapisz przedziały lub sumy przedziałów odpowiadające nierównościom:
|x| ≤ 5
|x| ≥ 9
|x| < 55
|x| > 1,5
4. Ustal, ile elementów ma zbiór:
a) (−1 ; π + 3) ∩ c) (−2π ; π ) ∩ √ √ d) − 2 ; 2 ∩ b) (−∞ ; −4) ∩ 5. Niech P oznacza zbiór liczb pierwszych. Ustal, ile elementów ma zbiór:
a) P ∩ 2 ; 27
c) ({1, 3, 5, 7, ...} ∩ P ) \ 21 ; +∞)
b) 0 ; 11) \ P
d) (P ∪ − 1 ; 1) \ ( 17 ; +∞)
6. Zgodnie z Polską Normą skrzynka pocztowa wisząca powinna mieć szerokość
35 ± 0,5 cm, wysokość 28,5 ± 0,5 cm i głębokość 20,5 ± 0,5 cm. Zapisz, w jakich
przedziałach powinny się mieścić wymiary skrzynki pocztowej.
7. Zaznacz na osi liczbowej zbiór:
a) (−3 ; 7 ∪ 6 ; 8
c) (−∞ ; 4) \ (0 ; 8)
b) (−∞ ; −2) ∩ − 3 ; 0
d) − 2 ; 4) \ − 1 ; 0)
8. Zapisz w prostszej postaci:
a) (−4 ; 5 ∩ 2 ; +∞)
e) (−∞ ; 3) ∪ 0 ; 6
i) (−5 ; −3) \ − 4 ; 7)
b) 3 ; 10 ∩ (−6 ; 1)
f) (−10 ; 4) ∪ ( −7 ; 7
j) (−∞ ; 2 \ (−∞ ; 0
c) (−3 ; −1) ∩ − 7 ; −2)
g) 4 ; 11 ∪ 2 ; 8)
k) (−4 ; 7) \ (−3 ; 8
d) (3 ; 8) ∩ 3 ; 6
h) (3 ; +∞) ∪ − 2 ; +∞)
l) (2 ; 7) \ (2 ; 5)
PRZEDZIAŁY LICZBOWE
MLR1x str. 55
55
9. Na osi liczbowej zaznaczono zbiór liczb. Zapisz, do jakiego zbioru należą liczby
rzeczywiste nienależące do tego zbioru.
10. Zapisz w postaci przedziału lub sumy przedziałów:
a) \ (−∞ ; 5 c) \ (6 ; +∞ )
e) \ {−1, −5}
b) \ − 7 ; 2)
d) \ {5}
f) \ (0 ; 2 11. Zapisz w innej postaci:
a) \ (−∞ ; 5
c) \ (3 ; +∞)
e) − \ (2 ; +∞)
g) − ∪ (−7 ; 4
b) ∩ − 3 ; 2)
d) + ∪ − 20 ; 3)
f) ∩ (−10 ; 5)
h) + ∩ (−∞ ; 3
B = ( −20 ; 20)
C = 10 ; +∞)
12. Dane są zbiory:
A = ( −∞ ; −10
D = − 5 ; 5
Zapisz w postaci przedziału lub sumy przedziałów:
a) C \ (A ∩ B)
b) (B \ A) \ D
c) D ∪ (C \ B)
d) B \ (A ∪ D)
TEST
T1. Zbiór wszystkich liczb, które są mniejsze od −5 lub większe od 3, to:
A. −5; 3
B. (−5; 3)
C. (−∞; −5) ∪ (3; +∞)
D. (−∞; −5) ∩ (3; +∞)
T2. Na którym rysunku zaznaczono zbiór −7; −3) ∪ 1; 2?
√
T3. Ile liczb całkowitych należy do przedziału (− 27; 10?
A. 16
B. 15
56
C. 11
D. 10
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 56
PIERWSZ
EGO STO
PNIA
P
NIERÓWNOŚCI PIERWSZEGO STOPNIA
√
1. Podaj trzy liczby spełniające nierówność x ≥ 2.
A
2. Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające nierówność x < 2,5.
3. Rozwiąż równanie 2x − 5 = 0. Czy liczba spełniająca to równanie spełnia
nierówność 2x − 5 > 0?
W nierówności, podobnie jak w równaniu, może występować jedna, dwie lub
więcej niewiadomych. W tym rozdziale
zajmować się będziemy rozwiązywaniem nierówności z jedną niewiadomą,
która występuje w pierwszej potędze.
Przykłady nierówności:
2x + 1 < −3
x+y <5
t 2 + 2t + 1 ≥ 0
−z − 8 < 4z
Każdą liczbę spełniającą daną nierówność nazywamy rozwiązaniem nierówności. Nierówność uważamy za rozwiązaną, jeżeli umiemy określić
zbiór wszystkich jej rozwiązań.
B
Zapisz dwie dowolne liczby i postaw między nimi odpowiedni znak nierówności. Sprawdź, które z podanych operacji zmieniają zwrot nierówności:
• do obu liczb dodajemy tę samą liczbę (dodatnią lub ujemną),
• od obu liczb odejmujemy tę samą liczbę (dodatnią lub ujemną),
• obie liczby mnożymy przez tę samą liczbę dodatnią,
• obie liczby mnożymy przez tę samą liczbę ujemną,
• obie liczby dzielimy przez tę samą liczbę dodatnią,
• obie liczby dzielimy przez tę samą liczbę ujemną.
Przy rozwiązywaniu nierówności postępujemy bardzo podobnie jak przy
rozwiązywaniu równań. Należy jednak pamiętać, że przy mnożeniu lub
dzieleniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną musimy zmienić
zwrot nierówności na przeciwny.
C
Rozwiąż równanie −3x + 4 = 10.
Rozwiąż nierówność i zaznacz zbiór rozwiązań na osi liczbowej.
a) −3x + 4 ≤ 10
−3x ≤ 6
|−4
| : (−3)
x ≥ −2
Od obu stron odejmujemy 4.
Obie strony dzielimy przez −3, zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny.
Rozwiązaniami nierówności są wszystkie liczby większe od −2 oraz liczba −2.
Ilustrujemy zbiór rozwiązań na osi
liczbowej.
NIERÓWNOŚCI PIERWSZEGO STOPNIA
MLR1x str. 57
57
b)
x −1
1
3
< 8x + 4
2
|·8
Przekształcamy lewą stronę.
4(x − 1) < x + 6
4x − 4 < x + 6
3x < 10
|−x
|+4
3x − 4 < 6
Mnożymy obie strony przez 8.
|:3
x < 3 13
Od obu stron odejmujemy x.
Do obu stron dodajemy 4.
Obie strony dzielimy przez 3.
Rozwiązaniami nierówności są wszystkie liczby mniejsze od 3 13 .
Ilustrujemy zbiór rozwiązań na osi
liczbowej.
Uwaga. Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeżeli mają ten sam zbiór
rozwiązań. Rozwiązując nierówność, zapisujemy coraz prostsze nierówności równoważne.
Ilustracją zbioru rozwiązań nierówności najczęściej jest półprosta (z początkiem lub bez). Ale nie zawsze! Przyjrzyj się nierównościom:
x−1<x
x+1< x
Pierwszą z tych nierówności spełnia każda liczba rzeczywista (liczba o 1
mniejsza od x jest zawsze mniejsza od x), a drugiej nie spełnia żadna
liczba (liczba o 1 większa od x nie może być mniejsza od x).
ZADANIA
1. Zapisz nierówność, jaką spełniają wszystkie liczby z zaznaczonego zbioru (i tylko one).
2. Napisz odpowiednie nierówności.
a) Pan Olek wiezie windą p paczek z książkami. Każda paczka waży 12 kg, a pan
Olek 90 kg. Maksymalna nośność windy wynosi 650 kg.
b) Piłka do koszykówki kosztuje 33 zł. Andrzej już n miesięcy odkłada po 3 zł
miesięcznie, lecz ciągle nie stać go na kupienie tej piłki.
c) Ania kupiła trzy batony po x złotych i czekoladę za 2 zł, Beata kupiła pięć takich
samych batonów i zapłaciła więcej niż Ania.
d) Aby zdać egzamin, należy rozwiązać co najmniej dwie trzecie spośród c zadań.
Krzysiek rozwiązał 8 zadań i zdał.
e) Jajka kosztowały po y zł za sztukę. Przed Wielkanocą podrożały o 10 groszy
i za 6 sztuk płaciło się więcej niż przedtem za 8.
58
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 58
3. Rozwiąż nierówności:
2a < 1
5b < −10
−c ≤ 7
−d ≥ −4
−1f < 4
−3e > 9
2
4. Rozwiąż nierówności i zaznacz ich zbiory rozwiązań na osi liczbowej:
a) 4x − 7 < 2x + 3
c) 2(x + 1) + x ≥ 4x
e) 3(2 − x) ≤ − 2 (6x − 21)
b) −x + 4 > −3(x − 1)
d) −2(x + 6) > 4(3 + 2x)
f) 6 − 3x ≥ 5x − 3
3
2
2
5. Ze zbioru A wybierz liczby, które
spełniają nierówność:
2(x + 1) − 3(4x + 5) ≤ −(x − 2)
6. a) Rozwiąż nierówność 3x − 2(x − 2) ≥ 3(x − 4) − 2(2 − 3x).
b) Wypisz wszystkie liczby naturalne należące do zbioru rozwiązań tej nierówności.
c) Ile liczb całkowitych większych od −3 należy do zbioru rozwiązań?
d) Podaj najmniejszą liczbę parzystą, która nie spełnia tej nierówności.
7. Dla jakich wartości zmiennej x wartość wyrażenia 2(3 − x) − 3(x − 1):
a) jest liczbą dodatnią?
b) jest mniejsza od wartości wyrażenia 7(1 − x) − (2x − 2)?
8. Rozważmy nierówności: x + 3 < ♥, 3x − 2 ≤ ♣, 2(x − 1) > ♠. Zastąp symbole ♥,
♣, ♠ takimi wyrażeniami, aby otrzymane nierówności:
a) spełniała każda liczba,
b) nie miały rozwiązań.
9. Rozwiąż nierówności:
a) 3x − 1 > x
2
4
x
3x
b)
−
≥ −1
3
5
c) x − 9 − 2(3x − 1) ≥ 0
4
3
3x
−
1
2x
+1 ≤ x+1
d)
−
2
5
10
e) 2x − x − 1 < 3x − 1 + x
f)
4
2
2x + 1 − x ≥ 1 − x
4
2
10. Na ile co najmniej godzin należy
wypożyczyć łódź, aby bardziej opłacało się skorzystać z usług firmy Y ?
11. Ile jest liczb dwucyfrowych, które spełniają poniższą nierówność?
6 + x ≥ x − 20
2
12. Znajdź wszystkie liczby całkowite, które spełniają jednocześnie nierówność
1
1
3(x + 2) + 5 ≥ 2 oraz nierówność x − 3 (x − 2) > x − 6 .
NIERÓWNOŚCI PIERWSZEGO STOPNIA
MLR1x str. 59
59
13. Irek ma w indeksie tylko piątki, czwórki i trójki. Trójek ma najwięcej, o 10
więcej niż piątek. Czwórek ma 3 razy więcej niż piątek. Ile ma trójek, czwórek
i piątek, jeśli średnia jego ocen jest niższa niż 3,6?
14. Rozwiąż nierówności i zaznacz zbiory rozwiązań na osi liczbowej:
a) (2x − 5)2 ≤ 4x2
e) (2x + 5)(2x − 5) < (2x − 9)2 + 2
b) (4x + 1)2 > 4x(4x − 2)
f) (2x − 3)2 + 5x(x + 5) > (3x − 2)2
c) (x − 6)(x + 6) < (x − 6)2
2
g) x2 − 2(x − 1) < (x − 1)(x + 2)
d)
(3x − 5)2
3
3
≥ 3x2 + 5
h)
(x − 5)2
2
−
3
(2x − 5)2
3
≤ − 5(x − 6)
2
6
15. Które spośród podanych liczb spełniają
nierówność 3x(x − 4) − (2x − 0,5)2 > − (x + 1,5)2 ?
−3
4
−2
5
−1
7
1
8
2
7
3
8
1
2
16. Przyjrzyj się rysunkowi. Dla jakich liczb a
pole zacieniowanej figury jest większe od 10?
17. Przyjrzyj się rysunkowi. Oblicz, dla
jakich wartości x pole zacieniowanego
trapezu jest większe od 8.
TEST
T1. Na rysunku obok przedstawiono zbiór rozwiązań nierówności:
A. x − 1 > 0
B. 1 − x > 0
C. 1 − x < 0
D. −x − 1 < 0
T2. Zbiór rozwiązań nierówności x + 2 − (2x + 1) ≤ 3 przedstawiono na rysunku:
T3. Jaka najmniejsza liczba całkowita spełnia nierówność 2x − 3(x + 1) ≤ 4x + 8?
A. −3
B. −2
60
C. −1
D. nie ma takiej liczby
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 60
RTOŚĆ B
EZWZGL
ĘDNA
P
WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA
W RÓWNANIACH I NIERÓWNOŚCIACH
Podaj liczby, których wartość bezwzględna jest równa 13.
A
Istnieją dwie liczby, których wartość bezwzględna jest równa 7: liczba 7
oraz liczba do niej przeciwna, czyli −7. To zdanie można zapisać tak:
|a| = 7 ⇐⇒ a = 7 lub a = −7
Poniższy przykład pokazuje, jak można rozwiązywać niektóre proste równania z wartością bezwzględną.
|2x + 1| = 3
2x + 1 = 3
P
lub
2x + 1 = −3
2x = 2
x =1
B
Istnieją dwie liczby, których wartość bezwzględna jest równa 3: liczba 3 oraz liczba −3.
2x = −4
x = −2
lub
Podaj przykłady kilku liczb dodatnich i kilku liczb ujemnych, których wartość
bezwzględna jest mniejsza od 5.
Nierówność |a| < 5 spełniają te
liczby, które są większe od −5
i jednocześnie mniejsze od 5.
Uwaga. Przypomnij sobie, że |a| można interpretować jako odległość (na osi liczbowej) liczby a od zera. Nierówność |a| < 5 spełniają te liczby, których odległość
od zera jest mniejsza od 5.
Gdybyśmy w nierówności |a| < 5 literę a zastąpili innym wyrażeniem algebraicznym, np. 7 − 3x, otrzymalibyśmy nierówność |7 − 3x| < 5, którą
również można łatwo rozwiązać.
|7 − 3x| < 5
−5 < 7 − 3x
i
7 − 3x < 5
3x < 12
x <4
−3x < −2
x>
i
x∈
2
3
Zaznaczamy zbiory rozwiązań obu nierówności na osi; wspólna część tych zbiorów to
zbiór rozwiązań nierówności |7 − 3x| < 5.
2
;4
3
WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA W RÓWNANIACH I NIERÓWNOŚCIACH
MLR1x str. 61
61
Podaj przykłady kilku liczb dodatnich i kilku liczb ujemnych, których wartość
bezwzględna jest większa od 5.
C
Nierówność |a| > 5 spełniają liczby mniejsze od −5,
a także liczby większe od 5.
Uwaga. Nierówność |a| > 5 spełniają te liczby, których odległość od zera (na osi
liczbowej) jest większa od 5.
Podobnie rozwiązujemy nieco bardziej złożone nierówności tego typu.
P
|3 − 4x| ≥ 5
3 − 4x ≤ −5
lub
3 − 4x ≥ 5
−4x ≤ −8
x ≥2
lub
−4x ≥ 2
x ≤ − 12
Zaznaczamy zbiory rozwiązań obu nierówności na osi; suma tych zbiorów to
zbiór rozwiązań nierówności |3 − 4x| ≥ 5.
1
x ∈ −∞; − 2 ∪ 2; +∞)
Uwaga. Gdy w równaniu lub nierówności występują dwie wartości bezwzględne
(lub więcej), zwykle trzeba stosować inne metody rozwiązywania. Takimi równaniami i nierównościami będziemy się zajmować w następnym podrozdziale.
ZADANIA
1. Rozwiąż równanie:
a) |3x + 2| = 7
b) 1 − x = 3
2
c) 7 + |3y| = 9
e) |x + 1| = 3
d) 3 · |1 − 2w | − 6 = 0
f) 6 − |10 − 4t| = 2
2
2. Nie rozwiązując poniższych równań, uzasadnij, że są to równania sprzeczne.
5 + |2x + 7| = 4
1 − |y + 1| = 3
|z| − 3 · |z| = 8
3. Rozwiąż nierówność:
a) |2x| < 9
d) |x + 3| > 3
g) 7 − 2 · |t + 1| > 0
b) |x − 2| ≤ 1
e) |4z + 1| > 5
h) |1 − 3x| − 2 < 0
c) |3y + 5| ≤ 4
f) |3 − 5x| − 2 > 0
i) − |2v| + 1 ≥ 3
2
3
4. Nie rozwiązując poniższych nierówności, uzasadnij, że każdą z nich spełni dowolna liczba rzeczywista.
|3x − 7| + 2 ≥ 1
62
−7 · 1 − y ≤ 0
2
5 ≥ 4 − |z − 1|
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 62
5. Rozwiąż równanie:
a) |x + 1| = |3x|
c) |2x + 5| = |1 − 2x|
b) |x − 1| = |x + 1|
d) |3 − 2x| = |5 − 3x|
Wskazówka. Dwie liczby mają tę samą wartość bezwzględną, gdy są równe lub gdy są
liczbami przeciwnymi.
6. Znajdź liczby spełniające podany warunek.
a) ||x| + 1| = 7
c) ||z| + 1| < 6
b) |3 − |2y + 1|| = 15
d) |2 − |t − 1|| > 10
7. Zapisz nierówność, której zbiór rozwiązań przedstawiony jest na rysunku.
[Ciekawostka o odległościach [POTEM]]
TEST
T1. Rozwiązaniem którego z poniższych równań są dwie liczby parzyste?
A. |x − 5| = 4
B. |x + 4| = 3
C. |x + 7| = 5
D. |x − 6| = 0
T2. Na rysunku przedstawiono rozwiązanie jednej z poniższych nierówności.
Wskaż tę nierówność.
A. |x − 2| > 2
B. |3x + 1| > 3
C. |3 + 2x| > 4
D. |2x − 3| > 5
T3. Która z poniższych nierówności ma wśród rozwiązań najwięcej liczb całkowitych?
A. |2x + 6| ≤ 4
B. 6 + 1 x < 3
C. |3x − 4| ≤ 2
D. |5 − x| < 1
3
WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA W RÓWNANIACH I NIERÓWNOŚCIACH
MLR1x str. 63
63
RTOŚĆ B
EZWZGL
ĘDNA
WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA
W RÓWNANIACH I NIERÓWNOŚCIACH (CD.)
A
Jaki warunek muszą spełniać liczby a, b, c, aby spełnione były równości:
|a| = a
B
|b + 2| = b + 2
|c + 1| = −(c + 1)
Zaznacz na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb, dla których spełnione są
jednocześnie dwa warunki: x + 1 ≥ 0 i x − 2 < 0.
Wartość bezwzględną liczby a można zdefiniować tak:
a
dla a ≥ 0
|a| =
−a dla a < 0
Literę a można zastąpić dowolnym wyrażeniem, zatem na przykład wyrażenie |x − 3| można zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej tak:
x−3
dla liczb spełniających warunek x − 3 ≥ 0
|x − 3| =
−(x − 3) dla liczb spełniających warunek x − 3 < 0
Po uproszczeniu zapis ten będzie wyglądał tak:
x−3
dla x ≥ 3
|x − 3| =
−x + 3 dla x < 3
W podobny sposób można się pozbyć symbolu wartości bezwzględnej
w bardziej złożonych wyrażeniach. Rozważmy na przykład wyrażenie:
|4x + 1| + 5x
Wiemy już, że:
|4x + 1| =
4x + 1
dla liczb spełniających warunek 4x + 1 ≥ 0
−4x − 1 dla liczb spełniających warunek 4x + 1 < 0
Warto korzystać z prostszego zapisu:
⎧
⎨ 4x + 1
dla x ≥ − 1
4
|4x + 1| =
⎩ −4x − 1 dla x < − 1
4
Wygodnie jest te informacje przedstawić na rysunku pomocniczym.
Liczba − 1 dzieli oś liczbową na dwa przedziały, zatem rozważane wyra4
żenie można zapisać bez symbolu wartości bezwzględnej, rozważając dwa
przypadki:
1. Dla x < − 1 otrzymujemy: |4x + 1| + 5x = −4x − 1 + 5x = x − 1
4
2. Dla x ≥ − 1 otrzymujemy: |4x + 1| + 5x = 4x + 1 + 5x = 9x + 1
4
64
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 64
Dodatkowe trudności mogą się pojawić, gdy chcemy przekształcić wyrażenie, w którym symbol wartości bezwzględnej pojawia się więcej niż jeden
raz. Rozważmy na przykład wyrażenie:
|x − 4| + |5x − 3| − x
Informacje te przedstawiamy na wspólnym rysunku pomocniczym.
Liczby 3 i 4 dzielą oś liczbową na 3 przedziały. Zatem rozważamy trzy
5
przypadki:
1. Dla x ∈ −∞; 3 otrzymujemy: |x−4|+|5x−3|−x = −x+4−5x+3−x = −7x+7
5
2. Dla x ∈ 3 ; 4 otrzymujemy: |x − 4| + |5x − 3| − x = −x + 4 + 5x − 3 − x = 3x + 1
5
3. Dla x ∈ 4; +∞) otrzymujemy: |x − 4| + |5x − 3| − x = x − 4 + 5x − 3 − x = 5x − 7
Tę metodę pozbywania się znaku wartości bezwzględnej można wykorzystać przy rozwiązywaniu równań i nierówności z wartością bezwzględną.
P
Rozwiąż równanie: |x + 2| + 2x = 8
|x + 2| =
x +2
dla x ≥ −2
−x − 2 dla x < −2
Informacje przedstawiamy na wspólnym rysunku pomocniczym.
1. x < −2
Zapisujemy równanie bez symbolu wartości bezwzględnej i rozwiązujemy je.
−x − 2 + 2x = 8
x = 10
Liczba 10 nie spełnia warunku x < −2.
Sprawdzamy, czy liczba 10 spełnia warunek x < −2.
2. x ≥ −2
x + 2 + 2x = 8
3x = 6
x =2
Sprawdzamy, czy liczba 2 spełnia warunek x ≥ −2.
Odp. Rozwiązaniem równania |x + 2| + 2x = 8 jest liczba 2.
WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA W RÓWNANIACH I NIERÓWNOŚCIACH (CD.)
MLR1x str. 65
65
P
Rozwiąż nierówność |x − 1| + |2x + 4| > 1 − 2x i zaznacz zbiór rozwiązań na osi
liczbowej.
x − 1 dla x ≥ 1
|x − 1| =
1 − x dla x < 1
2x + 4
dla x ≥ −2
|2x + 4| =
−2x − 4 dla x < −2
1. x ∈ (−∞; −2)
1 − x − 2x − 4 > 1 − 2x
−x > 4
x < −4
Zapisujemy nierówność bez symbolu
wartości bezwzględnej. Dla x ≤ −2:
|x − 1| = 1 − x i |2x + 4| = −2x − 4.
Sprawdzamy, które z liczb spełniających nierówność x < −4 należą do rozważanego przedziału.
x ∈ (−∞; −4)
2. x ∈ −2; 1)
1 − x + 2x + 4 > 1 − 2x
3x > −4
4
x > −3
4
x ∈ −3; 1
3. x ∈ 1; +∞)
x − 1 + 2x + 4 > 1 − 2x
5x > −2
2
x > −5
Dla −2 ≤ x < 1:
|x − 1| = 1 − x i |2x + 4| = −2x − 4
Sprawdzamy, które z liczb spełniają4
cych nierówność x > − 3 należą do rozważanego przedziału.
Dla x ≥ 1:
|x − 1| = x − 1 i |2x + 4| = 2x + 4
Sprawdzamy, które z liczb spełniających nierówność x > − 25 należą do rozważanego przedziału.
x ∈ 1; +∞)
Zbiór rozwiązań nierówności |x − 1| + |2x + 4| > 1 − 2x jest sumą przedziałów.
4
x ∈ (−∞; −4) ∪ − 3 ; +∞
66
Zaznaczamy na osi liczbowej zbiór
wszystkich rozwiązań znalezionych
w punktach 1, 2 i 3.
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 66
ZADANIA
1. Zapisz bez używania wartości bezwzględnej.
a) |x + 3| − 2x
c) |x − 1| − |2x|
e) |7x − 5| + |5 − 2x|
b) |2 − x| + |x|
d) |x + 2| + |x − 4|
f) −|1 − 4x| − |6x − 4|
2. Rozwiąż równanie:
a) |x| − x = 2
c) |x − 1| + |x| = 5
e) |x + 2| − |4 − x| = 7
b) |x − 2| + 2x = 4
d) |x − 3| − |x| = 3
f) |2 − x| − 1 = |1 − 5x|
3. Rozwiąż nierówność. Zaznacz zbiór rozwiązań na osi liczbowej.
a) |x − 2| > x
c) |x − 7| + |x + 2| > 9
b) |x − 1| − |x| ≤ 0
d) |2x + 1| − |x + 2| ≥ 3
4. Dla jakiej liczby a równanie |x−1|+|x+1| = a ma nieskończenie wiele rozwiązań?
5. Udowodnij, że równanie |x − a| + |x − b| = 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań
wtedy i tylko wtedy, gdy odległość na osi liczbowej między liczbami a oraz b jest
większa od 1.
TEST
T1. Dla każdej liczby z przedziału (2; 5) wyrażenie |x − 2| − |2x − 10| przyjmuje taką
samą wartość jak wyrażenie:
A. 8 − x
B. 3x − 12
C. 12 − 3x
D. x − 8
T2. Na którym rysunku przedstawiono zbiór rozwiązań równania |x−1|+|x+2| = 3?
T3. Nierówność |x − 3| + |x − 2| ≤ 1
A. nie ma żadnego rozwiązania.
B. ma tylko dwa rozwiązania.
C. ma nieskończenie wiele rozwiązań, z których wszystkie są większe od 1.
D. ma nieskończenie wiele rozwiązań, z których wszystkie są mniejsze od 1.
WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA W RÓWNANIACH I NIERÓWNOŚCIACH (CD.)
MLR1x str. 67
67
NANIA K
WADR AT
OWE
RÓWNANIA KWADRATOWE
1. Ile jest liczb, których kwadrat jest równy 64?
A
2. Ile jest liczb, których kwadrat jest równy 0?
3. Czy istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat jest równy −9?
4. Podaj liczby, które spełniają równania:
x2 = 4
y2 − 9 = 0
2z 2 = 0
t2 = 5
Najlepsi koszykarze potrafią skoczyć tak
wysoko, że mogą znaleźć się nawet 1 m
nad ziemią. Wydaje się wtedy, że sportowiec „frunie” w powietrzu.
Obliczmy, jak długo trwa taki jednometrowy wyskok.
Możemy przyjąć, że czas wznoszenia się jest równy czasowi spadania. Ponadto wiadomo, że każde ciało (także ciało koszykarza), które zaczyna
spadać, pokonuje w czasie t drogę s = 1 gt 2 , gdzie g ≈ 10 m2 jest przyspie2
s
szeniem ziemskim. Przekształcając ten wzór, otrzymamy równość:
1 · 2s
t2 = g
W takim razie, aby obliczyć, ile sekund koszykarz spada z wysokości 1 m,
trzeba rozwiązać równanie:
t2 = 1 · 2 · 1
10
t2 = 1
5
Istnieją dwie liczby, które spełniają to równanie: liczba
Zatem:
t = 1 lub t = − 1
5
1
5
i liczba − 15 .
5
1
5
≈ 0,45, tak więc koszykarz
spada z wysokości 1 m w ciągu około 0,45
1
sekundy. (Rozwiązanie t = − 5 odrzucamy, bo czas wyskoku nie może być
ujemny). Lot w górę i w dół trwa 2 razy dłużej, czyli około 0,9 sekundy.
Zatem nawet przy tak dużym wyskoku człowiek może się oderwać od
ziemi zaledwie na niecałą sekundę.
68
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 68
Z równaniami typu x2 = a zetknąłeś się już w gimnazjum, np. korzystając
z twierdzenia Pitagorasa albo obliczając długość promienia koła, gdy dane
było jego pole. W takich zadaniach niewiadoma oznaczała długość odcinka, więc można było pominąć ujemne rozwiązania. Warto jednak pamiętać,
że gdy a > 0, równanie x2 = a ma dwa rozwiązania.
Przykłady równań
kwadratowych:
3x2 = 1
W równaniach rozważanych na poprzedniej
stronie, a także w równaniach podanych
obok niewiadoma występuje w drugiej potędze. Każde z tych równań można przekształcić do postaci:
5x2 + 3x + 7 = 0
ax2 + bx + c = 0, gdzie a = 0
2
8x = 3x + 1
x2 + 5x = 0
Takie równania nazywamy równaniami drugiego stopnia albo równaniami kwadratowymi.
Podaj przykład równania typu ax2 + bx + c = 0, w którym:
B
1. współczynnik b jest równy 0,
2. współczynnik c jest równy 0.
Pokażemy teraz, jak rozwiązuje się niektóre proste równania kwadratowe.
Zaczniemy od równań kwadratowych typu ax2 + c = 0.
P
Rozwiąż równania:
2x 2 − 50 = 0
a)
2x 2 = 50
x 2 = 25
x = 5 lub x = −5
Istnieją tylko dwie liczby, których kwadrat
jest równy 25: liczba 5 i liczba −5; równanie ma zatem dwa rozwiązania.
−3x 2 − 6 = 0
b)
−3x 2 = 6
x 2 = −2
Równanie nie ma rozwiązań
(jest sprzeczne).
Nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat byłby liczbą ujemną.
(x − 2)2 = 4(1 − x)
c)
2
x − 4x + 4 = 4 − 4x
x2 = 0
Jedyną liczbą, której kwadrat jest równy 0,
jest liczba 0; równanie ma jedno rozwiązanie.
x =0
C
Każde z poniższych równań spełniają dwie liczby. Podaj te liczby.
x(x − 1) = 0
RÓWNANIA KWADRATOWE
MLR1x str. 69
y(y + 2) = 0
z(2z − 1) = 0
69
Pokażemy teraz, jak rozwiązuje się równania typu ax2 + bx = 0.
Lewą stronę takiego równania możemy zapisać w postaci iloczynu x(ax+b).
Iloczyn ten jest równy 0, gdy x = 0 lub gdy ax + b = 0.
P
Rozwiąż równania:
5x 2 − 3x = 0
a)
Lewą stronę równania zapisujemy w postaci
iloczynu.
x(5x − 3) = 0
x =0
lub
5x − 3 = 0
Iloczyn dwóch liczb jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z tych liczb jest równa 0
lub gdy druga z nich jest równa 0.
3
x= 5
3
x = 0 lub x = 5
Równanie ma dwa rozwiązania.
√
x2
−x 5 = 2
b)
√
x2
+x 5=0
2
x √
x 2 + 5 =0
x =0
x √
+ 5=0
2
√
x
=− 5
2
lub
√
x = −2 5
√
x = 0 lub x = −2 5
Równanie ma dwa rozwiązania.
Uwaga. Niektóre równania typu ax2 +c = 0 można również rozwiązywać, zapisując
lewą stronę w postaci iloczynu. Równanie 2x2 −50 = 0 (por. przykład na sąsiedniej
stronie) jest równoważne równaniu x2 − 25 = 0, czyli (x − 5)(x + 5) = 0. Dalej
postępujemy tak jak w powyższym przykładzie.
ZADANIA
1. Podaj rozwiązania równań:
x2 = 1
y2 = 1 1
4
z2 = 0
5
t2 =
√
10
p2 + 8 = 0
2. Rozwiąż równanie:
a) 1 x2 = 9
c) 12 − 3x2 = 0
e) 4(x2 + 2) = 8
b) 2x2 − 1 = 17
d) 6x2 = 8 − x2
2
f) 5 + x − 4 = 0
2
70
2
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 70
3. Łódka płynąca po spokojnej wodzie tworzy na niej fale. Odległość λ (czytaj:
2
lambda) między wierzchołkami tych fal można obliczyć ze wzoru λ = 2πg·v , gdzie
m
v oznacza prędkość łodzi (w s ). Oszacuj, z jaką prędkością musi płynąć łódka, aby
odległość między falami, które tworzy, była równa 10 m. Przyjmij, że g ≈ 10 m2 .
s
4. Rozwiąż równanie:
a) x2 − 2x = 0
c) 4x2 − x = 0
e) −5x − 4x2 = 0
g) − 2 x2 + 2x = 0
b) 3x2 + 8x = 0
d) x2 = −7x
f) 1 x2 = 5x
2
h) x + 2 = 4x + 1
2
3
7
2
5. Rozwiąż równanie:
a) (5x + 2)2 = 20x
e) (5x − 2)(3 − x) = −6(1 − x)(1 + x)
b) (2x − 1)(x + 2) = 3x − 2
f) x + 9 = (x − 3)2
c) (1 − 3x)2 = 1 − 6x
g) (4x − 6)2 = (x − 4)(x − 9)
d) (3 + 2x)2 = (3x + 2)2 + 10
h) (x − 2)(x + 2) = 5
6. Uzasadnij, że jeśli w równaniu kwadratowym typu ax2 + bx = 0 liczby a oraz b
są całkowite, to wszystkie rozwiązania tego równania są liczbami wymiernymi.
7. Na jednym z boków prostokąta zbudowano trójkąt równoramienny, którego wysokość jest dwa razy
dłuższa od podstawy (zob. rysunek). Przy jakich wymiarach prostokąta pole trójkąta będzie dwa razy
większe od pola prostokąta?
TEST
T1. Każda liczba spełniająca równanie 2x2 = 5x jest też rozwiązaniem równania:
A. 2x = 5
B. −3x = 0
C. x(2x − 5) = 0
D. x2 (5x − 2) = 0
T2. Wszystkie rozwiązania równania 3x2 − x = 0 należą do przedziału:
2
A. (−∞; 0
B. 0; 1)
D. 0,1; +∞)
C. (−1; 0,1
√
T3. Pole trójkąta równobocznego jest równe 10 3. Długość boku tego trójkąta jest:
A. mniejsza niż 10
C. liczbą wymierną
B. liczbą całkowitą
D. większa niż 10
RÓWNANIA KWADRATOWE
MLR1x str. 71
71
NIA KWA
DR ATOW
EGO
P
WYRÓŻNIK RÓWNANIA KWADRATOWEGO
A
Podaj rozwiązania równań:
(x + 1)2 = 0
(x + 1)2 = 16
Potrafisz już podać rozwiązania równania x2 = 5 i innych równań tego
typu. Tę umiejętność możesz wykorzystać przy rozwiązywaniu bardziej
skomplikowanych równań kwadratowych.
Rozwiąż równanie:
(2x − 3)2 = 5
√
2x − 3 = 5 lub
√
2x = 3 + 5
x=
B
√
3+ 5
2
lub
√
2x − 3 = − 5
√
2x = 3 − 5
x=
√
3− 5
2
Równanie ma dwa rozwiązania.
Rozwiąż równania:
(x − 1)2 = 64
C
Istnieją dwie liczby,
jest
√
√ których kwadrat
równy 5: liczba 5 i liczba − 5.
(2x + 1)2 = 25
(4x − 8)2 = 0
(3x − 1)2 = −9
Rozwiąż równania (zapisz lewą stronę równania jako kwadrat sumy lub kwadrat różnicy):
x2 + 2x + 1 = 0
x2 − 2x + 1 = 4
x2 + 10x + 25 = 100
Pokażemy teraz, jak można rozwiązać równanie kwadratowe, korzystając
ze wzorów skróconego mnożenia a2 +2ab+b2 = (a+b)2 oraz a2 −2ab+b2 =
(a − b)2 .
Rozważmy równanie:
x2 − 6x + 5 = 0
Jest ono równoważne równaniu:
x2 − 6x = −5
Można je przekształcić tak, aby po lewej stronie występował kwadrat pewnego wyrażenia (wystarczy do obu stron równania dodać odpowiednią
liczbę):
x2 − 2 · 3x + 32 = −5 + 32
(x − 3)2 = 4
Jak rozwiązać takie równanie, już wiemy (zob. przykład powyżej):
72
x−3= 2
lub
x − 3 = −2
x=5
lub
x=1
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 72
W podobny sposób można rozwiązać każde równanie kwadratowe.
P
Rozwiąż równania:
a) 2x 2 + 8x − 10 = 0
x 2 − 3x − 3 = 0
2
2
3
3
3
x2 − 2 · 2 x + 2 = 3 + 2
|:2
b)
x 2 + 4x − 5 = 0
x 2 + 4x = 5
2
2
3 2
21
x−2 = 4
3
1√
3
1√
x − 2 = 2 21 lub x − 2 = − 2 21
2
x + 2 · 2x + 2 = 5 + 2
(x + 2)2 = 9
x + 2 = 3 lub x + 2 = −3
x=
3+
√
21
2
lub x =
√
3 − 21
2
x = 1 lub x = −5
Równania kwadratowe można także rozwiązywać w inny sposób — korzystając z pewnych wzorów.
Poniżej przedstawiamy rozumowanie prowadzące do sformułowania tych
wzorów dla równania kwadratowego ax2 + bx + c = 0.
ax2 + bx + c = 0 | : a
x2 + b x + c = 0
a
a
c
x2 + b
x = −a
a
x2 + 2 · b x +
2a
b
2a
2
= −c +
a
b
2a
Przekształcamy równanie tak, aby po lewej
stronie otrzymać kwadrat pewnego wyrażenia.
2
2
2
x+ b
= b2 −c
2a
4a
a
2
2
x+ b
= b − 4ac
2
2a
4a
2
Liczba rozwiązań tego równania zależy od tego, czy iloraz b − 4ac
wy4a2
stępujący po prawej stronie tego równania jest liczbą dodatnią, ujemną,
czy równą 0. Wartość wyrażenia 4a2 jest zawsze dodatnia, zatem liczba
rozwiązań równania zależy od wartości wyrażenia b2 − 4ac.
Oznaczmy to wyrażenie grecką literą Δ (czyt. delta):
Δ = b2 − 4ac
Otrzymujemy równanie:
2
= Δ2
x+ b
2a
4a
2
Gdy Δ < 0, równanie x + b
= Δ2 nie ma rozwiązania.
2a
WYRÓŻNIK RÓWNANIA KWADRATOWEGO
MLR1x str. 73
4a
73
Gdy Δ = 0, to:
x+ b =0
2a
x=− b
2a
Gdy Δ > 0, to:
x+ b =
2a
Δ
4a2
lub
x + b = − Δ2
2a
4a
√
√
Jeśli a > 0, to 4a2 = 2a. Jeśli a < 0, to 4a2 = −2a. W obu przypadkach
otrzymamy:
x+ b =
√
Δ
2a
2a
√
x = −b + Δ
2a
√
lub
lub
x+ b =− Δ
2a
2a
√
x = −b − Δ
2a
Rozwiązywanie równań kwadratowych można ująć w następujący schemat.
Aby rozwiązać równanie ax2 + bx + c = 0 (a = 0), najpierw obliczamy wartość
wyrażenia Δ = b2 − 4ac.
Jeśli Δ > 0, to równanie ma dwa rozwiązania:
√
√
−b − Δ
−b + Δ
x2 =
x1 =
2a
2a
−b
Jeśli Δ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie:
x=
2a
Jeśli Δ < 0, to równanie nie ma rozwiązań.
D
P
Przekształć każde z poniższych równań do postaci ax2 + bx + c = 0 i podaj
wartości współczynników a, b i c. Sprawdź, ile rozwiązań mają te równania.
√
20y = 2y 2 + 50
−z 2 + 2 3z + 6 = 0
−2t 2 + 4t = 0
x2 − 24 − 10x = 0
Rozwiąż równania:
a) 6x 2 − 13x + 5 = 0
Δ = (−13)2 − 4 · 6 · 5 = 49
Równanie ma dwa rozwiązania.
√
−(−13)− 49
13 − 7
6
1
x1 =
= 12 = 12 = 2
2·6
√
−(−13)+ 49
13 + 7
20
5
x2 =
= 12 = 12 = 3
2·6
1
x1 = 2
5
x2 = 3
74
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 74
2
b) 6x 2 + 4x + 3 = 0
2
Δ = 42 − 4 · 6 · 3 = 0
−4
Równanie ma jedno rozwiązanie.
1
x = 2·6 = − 3
c) 6x 2 − 5x + 2 = 0
Δ = (−5)2 − 4 · 6 · 2 = −23
Δ<0
Równanie nie ma rozwiązań.
ZADANIA
1. Rozwiąż równanie, korzystając z metod przedstawionych na stronach 72–75.
a) (x − 3)2 = 25
b) 4(3x + 2)2 = 8
d) (0,2x − 3)2 = −1,4
2
e) −3 5x + 1 = 2
c) 1 (6 − 5x)2 = 0
f) −0,3(0,7x + 1)2 = −6
3
2
2. Określ, ile rozwiązań ma równanie:
a) 7x2 − x + 200 = 0
d) 12x2 − 7x − 19 = 0
b) −2x2 + 9x + 73 = 0
e) −π x2 + x − π = 0
√ 2
√
f)
2x − 8x + 2 2 = 0
c) 100x2 + 20x + 1 = 0
3. Rozwiąż równanie:
a) x2 − 5x − 14 = 0
f) 15 − 3x2 − 4x = 0
b) −x2 − 2x + 15 = 0
g) 0,04x2 − 0,4x = 1
c) −4x2 + 2x − 5 = 0
h) 4x − 3x2 = 1 3
d) x2 + 10 = 7x
i)
e) 1 + x + 5x2 = 0
j) [???]
1
1 2
x
2
− 10 = 6x
4. Rozwiąż równanie (postaraj się wybrać jak najprostszą metodę):
a) 2x2 − 7 = 0
d) x2 − 2x + 1 = 0
b) x(5 − 2x) = 0
e) (3x − 1)2 = 0
c) x − 3x2 = 0
f) (5x)2 = 7
WYRÓŻNIK RÓWNANIA KWADRATOWEGO
MLR1x str. 75
75
5. Rozwiąż równanie:
a) 2x + 1 = 3
x
b) 15
− 2 −1=0
2
x
x
c) 2x − 1 = 2
x+1
d)
x
x = 3x − 2
3x − 2 x + 4
6. Rozwiąż układ równań:
a)
x+y =8
x · y = −33
b)
y = 2x + 1
x2 + y 2 = 4
c)
x + 2y = 6
y = x2 + 1
7. Przyjrzyj się figurom ułożonym z kulek. Liczby zapisane pod nimi to cztery
kolejne liczby zwane trójkątnymi. Piąta liczba trójkątna to 15.
Łatwo zauważyć, ze n-ta liczba trójkątna jest równa sumie liczb od 1 do n. Suma
1
ta (czyli n-ta liczba trójkątna) jest równa 2 n(n + 1). Sprawdź, czy 78 jest liczbą
trójkątną.
8. Z okna umieszczonego na wysokości w nad ziemią wyrzucamy w górę piłkę
z prędkością v ms . Po upływie czasu t piłka znajduje się na wysokości h metrów,
którą można obliczyć ze wzoru:
h = vt −
gt 2
2
+ w , gdzie g ≈ 10 m2
s
Oblicz, po jakim czasie piłka spadnie na ziemię, gdy będąc na wysokości 4 m,
rzucimy ją do góry z prędkością 1 m
. Po jakim czasie by spadła piłka, gdybyśmy
s
rzucili ją z tą samą prędkością z wysokości 2 razy większej?
9. Tworząca stożka ma długość 6 cm,
a jego pole powierzchni całkowitej jest
równe 40π cm2 . Oblicz długość promienia podstawy tego stożka.
Pole powierzchni
całkowitej stożka:
P = πr 2 + πr l
10. Pole pewnego prostokąta jest równe 195 cm2 . Jeden z boków jest o 2 cm dłuższy od drugiego boku. Jakie wymiary ma ten prostokąt?
11. Producent podzielił 600 g przyprawy na jednakowe porcje. Gdyby każda z porcji ważyła o 10 g mniej, to z tej samej ilości przyprawy można by uzyskać o 5 porcji
więcej. Na ile porcji producent podzielił przyprawę?
12. Rowerzysta pokonał trasę o długości 90 km. Gdyby jego średnia prędkość na tej
trasie była o 3 km
większa, to przejechałby tę trasę w czasie krótszym o 1 godzinę.
h
Ile czasu zajęło rowerzyście przejechanie tych 90 km?
76
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 76
ciekawost
ka
Starożytni Grecy uważali, że wśród możliwych podziałów odcinka na dwie części jest taki, w którym części otrzymane w wyniku podziału mają wyjątkowo
piękne proporcje. Ten podział, zwany
złotym podziałem, powinien być według
nich dobrany tak, aby stosunek długości
dłuższej części do krótszej był taki sam,
jak stosunek długości całego odcinka do
dłuższej części (zob. rysunek).
Powyżej zapisana proporcja nazywana
jest złotą proporcją.
Niezależnie od długości odcinka stosunek ab jest zawsze jednakowy. Liczba
równa temu stosunkowi jest nazywana złotą liczbą i oznaczana grecką literą ϕ (czyt. fi). Równość ab = a a+ b można
a
b
zapisać w innej postaci: b = 1 + a . Przyjmując ab = ϕ, otrzymamy równanie
1
. Dodatnie rozwiązanie tego
ϕ = 1+ ϕ
równania to właśnie złota liczba.
Leonardo da Vinci złotą proporcję nazywał boską i stosował ją w wielu swoich
dziełach. Zafascynowani nią byli także inni artyści. Złotą proporcję można
znaleźć w wielu rzeźbach i obrazach
dawnych i współczesnych. Często też
występuje w architekturze.
13. Przeczytaj ciekawostkę. Rozwiąż odpowiednie równanie i znajdź złotą liczbę.
Podaj jej wartość z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.
14. Pewne równanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0 ma dwa rozwiązania, a wszystkie
współczynniki a, b oraz c są liczbami całkowitymi. Uzasadnij, że albo oba rozwiązania są liczbami wymiernymi, albo oba są liczbami niewymiernymi.
TEST
T1. Ile spośród czterech podanych niżej równań nie ma rozwiązań?
x2 + x + 1 = 0
A. jedno
B. dwa
−x2 + x + 1 = 0
C. trzy
x2 + x − 1 = 0
x2 − x − 1 = 0
D. cztery
T2. Wszystkie rozwiązania równania x2 − 7x + 5 = 0 są liczbami:
A. mniejszymi od 1
B. należącymi do przedziału (0 ; 6)
C. należącymi do przedziału (0 ; 7)
D. większymi od 6
T3. Jeden z boków prostokąta jest o 3 cm dłuższy od drugiego boku. Pole tego
prostokąta jest równe 10 cm2 . Jaki obwód ma ten prostokąt?
A. 14 cm
B. 20 cm
C. 30 cm
WYRÓŻNIK RÓWNANIA KWADRATOWEGO
MLR1x str. 77
D. 40 cm
77
VIÈTE’A
WZORY VIÈTE’A
Wiesz już, że jeśli równanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0 ma dwa rozwiązania, to można je wyznaczyć, korzystając ze wzorów:
√
−b − Δ
2a
x1 =
x2 =
√
−b + Δ
2a
Łatwo zauważyć, że wzory te niewiele się od siebie różnią. Podobieństwo
to skłania do szukania innych związków między rozwiązaniami a współczynnikami a, b i c równania kwadratowego. Spróbujmy obliczyć sumę x1
i x2 :
√
√
√
√
x1 + x2 = −b − Δ + −b + Δ = −b − Δ − b + Δ = −2b = − b
2a
2a
2a
2a
a
Otrzymaliśmy prosty wzór pozwalający obliczyć sumę rozwiązań równania kwadratowego. Podobnie prosty wzór otrzymamy, obliczając iloczyn
rozwiązań:
√
√
√
√
√
− Δ) = b2 − ( Δ)2 = b2 − (b2 − 4ac) =
x1 · x2 = −b − Δ · −b + Δ = (b + Δ)(b
2
2
2
WZORY
2a
=
b2
2a
4a
4a
4a
− b2
+ 4ac = 4ac = c
a
4a2
4a2
Wzory te odkrył już w XVI wieku francuski matematyk François Viète.
Dlatego też nazywane są one wzorami Viète’a. Zwróć uwagę, że wzory
Viète’a możemy stosować tylko wtedy, gdy mamy pewność, że równanie
kwadratowe ma dwa rozwiązania.
Jeśli liczby x1 i x2 są rozwiązaniami równania kwadratowego
ax2 + bx + c = 0,
to zachodzą równości:
b
x1 + x2 = − a
A
c
x1 · x2 = a
Każde z poniższych równań ma dwa rozwiązania. Oblicz sumę tych rozwiązań
oraz ich iloczyn.
√
√
2 2
− 2z 2 − 3 2z + 8 = 0
x2 − 132x + 25 = 0
3y + y − 1 = 0
Zauważ, że jeśli wiemy, jakie znaki mają iloczyn i suma dwóch liczb, to
możemy określić znaki tych liczb.
Liczby x1 i x2 są różnych znaków, gdy x1 · x2 < 0.
Liczby x1 i x2 są tego samego znaku, gdy x1 · x2 > 0.
Liczby x1 i x2 są dodatnie, gdy x1 · x2 > 0 i x1 + x2 > 0.
Liczby x1 i x2 są ujemne, gdy x1 · x2 > 0 i x1 + x2 < 0.
78
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 78
Korzystając ze wzorów Viète’a, możemy więc ustalić znaki rozwiązań równania kwadratowego bez konieczności rozwiązywania tego równania.
P
√
√
Sprawdź, ile dodatnich rozwiązań ma równanie −2 5x 2 + 70x − 1 = 0.
√
√
√
Δ = ( 70)2 − 4(−2 5)(−1) = 70 − 8 5 > 0
c
−1
−b
√
− 70
√ >0
x1 · x2 = a =
−2 5
Sprawdzamy, czy równanie ma dwa rozwiązania.
Oba rozwiązania są dodatnie lub oba są ujemne.
Skoro dodatkowo x1 + x2 > 0, to oba rozwiązania są dodatnie.
√ >0
x1 + x2 = a =
−2 5
Odp. Równanie ma dwa dodatnie rozwiązania.
Wzory Viète’a przydają się także w bardziej złożonych obliczeniach.
P
Oblicz sumę odwrotności rozwiązań równania −623x 2 + 864x + 432 = 0.
Sprawdzamy, czy równanie ma dwa rozwiązania i czy istnieją odwrotności tych rozwiązań, tzn. czy x1 = 0 i x2 = 0 (wystarczy
sprawdzić, że x1 · x2 = 0).
Δ = 8642 + 4 · 623 · 432 > 0
432
x1 · x2 = −623 = 0
x +x
1
1
+ x = x1 ·x 2 =
x1
2
1
2
−b
a
c
a
−b
a
−b
−864
= a · c = c = 432 = −2
Odp. Suma odwrotności rozwiązań równania wynosi −2.
ciekawost
ka
François Viète (1540–1603) z wykształcenia był prawnikiem, ale najbardziej znany jest ze swych osiągnięć matematycznych (choć w tej
dziedzinie był tylko samoukiem). Jako pierwszy wpadł na pomysł, by
w równaniach oznaczyć literami nie tylko niewiadome, ale także współczynniki. Dzięki temu mógł odkryć swoje słynne wzory.
Viète był znany ze swej sprawności w rozwiązywaniu równań. W 1594
roku holenderski matematyk Adrian Van Roomen rzucił innym matematykom wyzwanie, prezentując bardzo skomplikowane równanie 45 stopnia (czyli takie, w którym niewiadoma występuje w 45 potędze), którego,
jak sądził, nikt nie będzie w stanie rozwiązać. Ku jego zdumieniu, Viète
bardzo szybko znalazł 23 rozwiązania tego równania. Innym słynnym
wyczynem Viète’a było złamanie szyfru, którym posługiwał się król Hiszpanii w swojej tajnej korespondencji. Hiszpanie nie mogli uwierzyć, że
mógł tego dokonać zwykły człowiek i zwrócili się do papieża ze skargą,
że Francuzi używają czarnej magii.
WZORY VIÈTE’A
MLR1x str. 79
79
ZADANIA
1. Sprawdź, czy dane równanie ma dwa rozwiązania. Jeśli tak — oblicz sumę i iloczyn tych rozwiązań.
√
3
a) x2 − 7 x − 2 = 0
c)
b) −x2 + 97x − 1,2 = 0
d) −57x2 −
2 2
x
5
−
√
17x +
3
x−
π
1
4
=0
703 = 0
√
e) − 5x2 − 0,12x + 13 = 0
√
f) 1,7x2 + 162x − 3 = 0
2. Sprawdź, ile rozwiązań ujemnych ma podane równanie.
a) −315x2 − 379x + 7,82 = 0
c) −8,03x2 − 852x − 1,67 = 0
b) 1,79x2 − 954x + 5,93 = 0
d) 5,42x2 + 6,13x − 375 = 0
3. Które z poniższych zdań są prawdziwe dla podanego równania?
1 Równanie ma dwa rozwiązania.
2 Rozwiązania równania są przeciwnych znaków.
3 Suma rozwiązań jest liczbą większą od iloczynu rozwiązań.
4 Oba rozwiązania są dodatnie.
a) 2x2 − 11x − 15 = 0
c) x2 − 15x + 4 = 0
e) 5x2 − 7x − 2 = 0
b) −3x2 + 9x − 8 = 0
d) 2x2 − 12x + 6 = 0
f) −7x2 − 9x − 1 = 0
4. Rozwiązaniami każdego z poniższych równań są dwie liczby całkowite. Korzystając ze wzorów Viète’a, ustal, czy są to liczby parzyste czy nieparzyste.
a) x2 − 77x + 930 = 0
b) −x2 + 159x − 770 = 0
c) −x2 + 34x − 273 = 0
5. Oblicz, dla jakich wartości b i c, rozwiązaniami równania x2 + bx + c = 0 są liczby
312 i 1, a dla jakich — liczby −79 i 10.
6. Znajdź wartość współczynnika m, dla którego podane równanie ma dwa rozwiązania, z których jedno jest liczbą trzy razy większą od drugiego rozwiązania.
a) x2 − 200x + m = 0
b) −x2 + mx − 162 = 0
7. Oblicz sumę odwrotności rozwiązań
1 + 1 = x1 + x2
x1
x2
x1 x2
x21 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2
2
2
2
1 + 1 = x1 + x2 = (x1 + x2 ) − 2x1 x2
2
2
2 2
(x1 x2 )2
x1
x2
x1 x2
równania −1257x2 + 345x + 609 = 0.
8. Oblicz sumę kwadratów rozwiązań
równania x2 − 300x − 200 = 0.
9. Oblicz sumę odwrotności kwadratów
rozwiązań równania −x2 − x + 21 = 0.
80
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 80
10. Oblicz średnią arytmetyczną, średnią geometryczną oraz średnią harmoniczną rozwiązań równania:
Średnia arytmetyczna liczb a i b: a + b
2
√
Średnia geometryczna dodatnich liczb
a i b:−1 ab
a) −x2 + 16x − 8 = 0
Średnia harmoniczna liczb a i b:
1
a
+
2
1
b
b) 2x2 + 30x + 18 = 0
TEST
T1. Suma rozwiązań równania ax2 − 8x − 21 = 0 wynosi 2. Wynika stąd, że współczynnik a jest równy:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
T2. Rozwiązaniami równania ax2 + bx + c = 0 są liczby 10 i 0,1. Wynika stąd, że:
A. a = −b
B. b = 10,1
C. a = c
D. a = 1
T3. W którym z poniższych równań suma odwrotności rozwiązań jest największa?
A. 16x2 + 20x − 4 = 0
C. −52x2 − 6x + 1 = 0
B. −49x2 − 5x + 100 = 0
D. 0,13x2 − 9x − 4 = 0
H STOPN
I
RÓWNANIA WYŻSZYCH STOPNI
A
Zapisz w postaci iloczynu wyrażenie 2x2 − x. Rozwiąż równanie 2x2 − x = 0.
Przyjrzyj się równaniu:
x(x + 2)(x − 1) = 0
Wyrażenie zapisane z lewej strony to iloczyn trzech czynników: x, x + 2
oraz x − 1. Iloczyn ten równy jest 0, wobec tego jeden z czynników jest
równy zero. Wynika stąd, że
x = 0, x + 2 = 0 lub x − 1 = 0
Zatem równanie x(x + 2)(x − 1) = 0 ma trzy rozwiązania:
x = 0,
x = −2,
x=1
Tą samą metodą możemy rozwiązywać inne równania, w których iloczyn
pewnych wyrażeń jest równy 0.
RÓWNANIA WYŻSZYCH STOPNI
MLR1x str. 81
81
P
Rozwiąż równania:
a) (x − 4)(5 + x)(3x − 2)2 = 0
x −4=0
5+x = 0
lub
(3x − 2)2 = 0
lub
3x − 2 = 0
x =4
x = −5
lub
x=
lub
2
3
b) (x − 3)(x 2 − 3x − 10) = 0
x −3=0
lub
x =3
lub
Rozwiązania równania
x 2 − 3x − 10 = 0
to x = 5 oraz x = −2.
x 2 − 3x − 10 = 0
x =5
lub
x = −2
W równaniu 4x3 − 14x2 + 6x = 0 lewa strona nie jest zapisana w postaci iloczynu, ale nietrudno można ją do takiej postaci przekształcić — wystarczy
umiejętność wyłączania czynnika przed nawias. Sposób rozwiązania tego
typu równań pokazuje poniższy przykład.
P
Rozwiąż równanie:
4x 3 − 14x 2 + 6x = 0
2x(2x 2 − 7x + 3) = 0
P
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.
2
2x = 0
lub
2x − 7x + 3 = 0
x =0
lub
x =3
lub
x=
1
2
Rozwiązanie równania 2x 2 − 7x + 3 = 0
to x = 3 oraz x = 12 .
Rozwiąż równanie:
3x 3 − 2x 2 − 6x + 4 = 0
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias
z dwóch pierwszych i z dwóch kolejnych
składników, a następnie wyłączamy przed
nawias wspólny czynnik 3x − 2.
x 2 (3x − 2) − 2(3x − 2) = 0
(3x − 2)(x 2 − 2) = 0
3x − 2 = 0
x=
2
3
x2 − 2 = 0
√
x= 2
lub
lub
lub
√
x =− 2
ZADANIA
1. Rozwiąż równanie:
a) x(x + 10)(x − 7) = 0
d) (x + 3)(x + 4)(x − 5) = 0
b) x(2x − 1)(2x + 3) = 0
e) (x − 9)(2x + 7)(3x − 6) = 0
c) x(3x + 5)(4x + 1) = 0
f) (2x − 5)(5x − 2)(3x − 4) = 0
82
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 82
2. Rozwiąż równanie:
a) x4 (x − 4)(x + 2) = 0
d) (x + 4)2 (x − 3)2 (x − 10) = 0
b) x(5x − 1)2 (x − 3)2 = 0
e) (x − 2)(4x − 1)3 (3x − 5) = 0
c) x(2x + 1)2 (x + 6)2 = 0
f) (2x + 3)5 (6x + 3)4 (x + 2)3 = 0
3. Rozwiąż równanie:
a) x3 − 5x2 + 6x = 0
d) x4 + 2x3 − 3x2 = 0
b) x3 + 5x2 + 4x = 0
e) x4 − 5x3 − 14x2 = 0
c) 6x3 + 5x2 + x = 0
f) 5x4 − 12x3 + 4x2 = 0
4. Rozwiąż równanie:
a) 2x3 + x2 + 2x + 1 = 0
c) 3x3 + 4x2 − 3x − 4 = 0
b) 5x3 − 2x2 + 5x − 2 = 0
d) x3 − 5x2 − 2x + 10 = 0
Wskazówka. 2x3 + x2 + 2x + 1 = x2 (2x + 1) + (2x + 1) = (2x + 1)(x2 + 1).
5. Rozwiąż równanie:
a) x4 − 5x2 + 4 = 0
b) 3x4 − 7x2 + 2 = 0
c) 4x4 + 3x2 − 1 = 0
6. Znajdź liczbę, której sześcian jest równy sumie tej liczby i jej kwadratu.
7. Uzasadnij, że równanie x(x − 1)(x + 1) = x2 ma dwa rozwiązania niewymierne.
8. Prostopadłościan o wymiarach a, a + 1, a + 2 ma dwa razy mniejszą objętość niż
sześcian o krawędzi a + 1. Jaką długość ma krawędź tego sześcianu?
TEST
T1. Ile rozwiązań równania x3 − 3x2 + 2x = 0 to liczby dodatnie?
A. żadne
B. jedno
C. dwa
D. trzy
T2. Ile rozwiązań ma równanie x3 − x2 + 2x − 2 = 0?
A. trzy
B. dwa
C. jedno
D. nie ma rozwiązań
T3. Ile rozwiązań ma równanie x100 + x2 = 100x98 + 100?
A. 2
B. 4
C. 100
RÓWNANIA WYŻSZYCH STOPNI
MLR1x str. 83
D. 98
83
POWTÓRZENIE
b) Znajdź dwie liczby, których suma
jest równa 2, a iloczyn jest równy −1.
1. Znajdź liczbę:
a) o 35 % większą od 120,
b) o 62 % mniejszą od 120.
10. Rozwiąż układy równań:
2. Znajdź liczbę, której:
a)
a) 350 % wynosi 42,
b) 0,15 % wynosi 3.
b)
3. Uporządkuj podane liczby w kolejności od najmniejszej do największej.
√
a) 2 3 3,46 69 3 1 3 7
20
3
20
√
b) 2,236 2 6
5 2,024 57
25
4(x + 1) + 2y = 18
⎧ x+y
=3
⎨
2
⎩ 2x − 1 y = 5
c)
2x − y = −7
3
2y = 1 (x − 1) + 7
3
1 − x = 4(y − 1)
25
4. Zapisz, nie używając symbolu wartości bezwzględnej:
√
√
√ a) 2 1 − 5 b) 3 2 − 5 c) 3 − 1
5
3
5. Zapisz w jak najprostszej postaci:
a) a(5a − 2) − 2a(a + 1)
b) (a + 2)2 − (a − 2)3
√
√
c) (a + 2)(a − 2) − 2(a2 − 1)
6. Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:
a) xy + y
c) 9ab2 + 6ba
b) 2x2 + 4x
d) 2c 3 d + 5c 5 d 2 + 4c 2 d 3
7. Ania ma x lat, Basia jest o 3 lata starsza od Ani i 2 razy młodsza od Kasi.
a) Ile lat ma Basia, a ile Kasia?
b) O ile lat Ania jest młodsza od Kasi?
c) Ile lat miała Kasia, gdy urodziła się
Basia?
8. Udowodnij twierdzenie:
Kwadrat liczby podzielnej przez 3
jest podzielny przez 9.
11. Zapisz i rozwiąż odpowiednie układy równań.
a) Suma liczb x i y jest równa 120.
Liczba o 50 % większa od x jest o 20
mniejsza od y.
b) Liczba o 10 większa od x jest o 4
mniejsza od y. Liczba 2 razy większa
od x jest o 3 większa od y.
12. Suma pewnych dwóch liczb dodatnich jest 5 razy większa od ich różnicy.
Jaki jest stosunek większej z tych liczb
do mniejszej?
13. Z podanych wzorów wyznacz a:
a) z = 4a − 7
c) f = ab
b) t = 1 − a
d) y = 3(a − 2)
3
b+1
1−b
14. Wyznacz a ze wzoru V = 2(aa+ b) −1.
15. Dane
są zbiory A = {a, b, c, d, e, f }
i B = c, e, g, h . Podaj wszystkie elementy zbiorów: A ∪ B, A ∩ B, A \ B,
B \ A.
16. Zaznacz na osi liczbowej zbiory:
c) (−∞; 4) \ (0; 8)
9. a) Suma pewnej liczby i jej odwrot-
a) (−3; 7 ∪ 6; 8
ności jest równa 4. Znajdź tę liczbę.
b) (−∞; −2) ∩ −3; 0 d) −2; 4) \ −1; 0)
84
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 84
17. Rozwiąż nierówności i zaznacz ich
zbiory rozwiązań na osi liczbowej:
a) 5(2x − 3) − 6x ≥ 3(4x − 3)
b) 0,2x + 2 ≤ 0,3(x − 1)
c) −0,2(5x − 3) ≤ x − 0,1
a) 12x2 + 4 = 40
c) 2x2 − 7x = 0
2
b) 3x − 5 = 0
d) 1 x2 = 3x
2
5
24. Rozwiąż równania:
a) x + 1 − x2 = 1
3
2
b) 2x − 1 =
1−x
1
2x + 1
18. Znajdź najmniejszą liczbę naturalną, która spełnia nierówność:
25. Mierząc długość śladów, jakie zo-
3(1 − x) < 3 − 0,25x
stawił hamujący samochód osobowy,
można ustalić, z jaką jechał prędkością.
Trzeba skorzystać z następującej zależności: jeżeli samochód jechał z prędkością v kilometrów na godzinę, to
jego droga hamowania wynosi około
0,006v 2 + 0,21v metrów. Z jaką prędkością jechał samochód, którego droga
hamowania wyniosła 25,5 m?
4
19. Marta ma 18 zł oszczędności i nadal odkłada po 2 zł tygodniowo. Jacek,
który dotychczas nie miał oszczędności, postanowił odkładać po 3,50 zł
tygodniowo. Po ilu tygodniach będzie
miał więcej pieniędzy niż Marta?
20. a) Jakie liczby spełniają jednocześnie nierówności 5x − 1 < 9 i −2x + 4 ≤ 6?
26. Rozwiąż równania:
b) Znajdź wszystkie liczby naturalne
spełniające jednocześnie nierówności
1 > 3x − 8 oraz −2x < 100.
b) 6x3 + 6x2 − 3x − 3 = 0
a) 2x5 + 5x3 − 12x = 0
c) 5x5 + x3 − 6 = 30x2
2
c) Ile jest liczb całkowitych spełniających warunek −116 ≤ 4 − 2x ≤ 110?
21. Rozwiąż równania:
a) |1 − x| = 13
b) |2x + 3| = 7
c) |x| + |x − 1| = 2
22. Rozwiąż nierówności:
27. Ustal, ile rozwiązań ma równanie
x4 − 3x3 + x2 − 3x = 0.
28. Zapisz równanie kwadratowe, którego rozwiązaniami są liczby spełniające układ równań:
x+y = 7
x·y = 2
a) |x − 2| < 1
29. Zapisz równanie kwadratowe, któ-
b) |x + 1| ≥ 2
rego rozwiązania są o 2 większe od
rozwiązań równania.
c) |x + 3| + |x − 1| > 5
x2 + 100x − 95 = 0
23. Rozwiąż równania:
Wskazówka. Skorzystaj ze wzorów Viete’a.
ZAGADKA
Na rysunku przedstawiono pewne pojęcie matematyczne (można je znaleźć w tym rozdziale).
Jakie to pojęcie?
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 85
85
A
Z
C
W
A
D
A
B
PR AC A
KOLOROWE PROSTOKĄTY
A. Przyjrzyj
się uważnie poniższym rysunkom. Kolejne prostokąty z wzorkami
zostały ułożone z żółtych i niebieskich kwadratów zgodnie z pewną regułą. Narysuj
dwa kolejne prostokąty według tej samej reguły.
86
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
MLR1x str. 86
B.
Uzupełnij tabelkę.
Numer prostokąta
Liczba kwadratów w wierszu
(w poziomie)
Liczba kwadratów w kolumnie
(w pionie)
Liczba wszystkich kwadratów
1
2
3
4
6
8
4
5
6
n
2n + 2
3
12
C. Jeden z prostokątów ułożono z 240 kwadratów. Który to prostokąt z kolei?
D. Ustal, ile niebieskich kwadratów potrzeba do ułożenia pierwszego prostokąta,
ile — do ułożenia drugiego, a ile — do ułożenia n-tego prostokąta.
Wskazówka. Niebieskich kwadratów jest tyle samo w każdym wierszu.
E.
Ile żółtych kwadratów potrzeba do ułożenia n-tego prostokąta?
F.
Czy istnieje prostokąt, w którym liczba żółtych kwadratów jest nieparzysta?
G. W którym z kolejnych prostokątów liczba żółtych kwadratów jest równa 600?
Ile jest wszystkich kwadratów w tym prostokącie?
H. Oblicz, jaki ułamek wszystkich kwadratów stanowią kwadraty niebieskie w pierwszym prostokącie, jaki — w drugim prostokącie itd. Wyniki zapisz w tabelce. Podaj
odpowiedni ułamek dla n-tego prostokąta. Dla jakich n liczba niebieskich kwadratów stanowi mniej niż 1% wszystkich kwadratów?
Co dalej?
Zaprojektuj własny zestaw figur
(z wzorkami) powstających zgodnie z pewną regułą. Spróbuj opisać
tę regułę za pomocą wyrażeń algebraicznych. Opisz kilka własności zaprojektowanych przez siebie
wzorków.
PRACA BADAWCZA
MLR1x str. 87
87