Pomiar przewodności cieplnej i elektrycznej metali

Ćwiczenie 27
POMIAR PRZEWODNOŚCI CIEPLNEJ
I ELEKTRYCZNEJ METALI
Cel ćwiczenia: poznanie mechanizmu przenoszenia energii w ciałach
stałych, ze szczególnym uwzględnieniem metali; wyznaczenie
współczynnika przewodzenia ciepła na podstawie charakterystyki
grzania metalowego pręta; wyznaczenie doświadczalne liczby Lorentza
w prawie Wiedemanna - Franza.
Zadanie dodatkowe: wyznaczenie ciepła właściwego metalu na
podstawie analizy przepływu ciepła w stanie nieustalonym.
Zagadnienia: przewodnictwo cieplne, zjawiska transportu, fonony, ciepło
właściwe, prawo Wiedemanna-Franza.
27.1. Wprowadzenie
Krystaliczne ciało stałe jest tradycyjnym obiektem badań mechaniki
kwantowej. Wykorzystując formalizm mechaniki kwantowej wytłumaczono
przyczynę istnienia ciał o różnych właściwościach elektrycznych,
tj. dielektryków, półprzewodników i metali, wyjaśniono obserwowaną
zależność ciepła właściwego i przewodnictwa metali od temperatury, oraz
naturę magnetyzmu ciał stałych i rozwiązano zagadkę nadprzewodnictwa.
Zjawisko przewodnictwa cieplnego, obok kilku innych termodynamicznych
procesów nierównowagowych, zaliczamy do tzw. zjawisk transportu.
1
27.2. Zjawiska transportu
Podstawowe termodynamiczne parametry stanu tj. temperatura, ciśnienie
itp. są ściśle zdefiniowane jedynie w stanie równowagi termodynamicznej.
W odniesieniu do stanów nierównowagowych określenie funkcji termodynamicznych może stać się bądź niejednoznaczne, bądź pozbawione sensu
fizycznego. Istnieje jednak szeroka klasa zjawisk nierównowagowych,
których opis jest stosunkowo prosty, ponieważ nawiązuje do opisu stanów
równowagi. Do takich zjawisk należą zjawiska przenoszenia lub transportu,
do których zaliczamy: przewodnictwo cieplne i elektryczne, dyfuzję
i lepkość.
Przewodnictwo cieplne polega na przekazywaniu energii pomiędzy
częściami ciała, których temperatury są różne. Z tym zjawiskiem mamy do
czynienia wówczas, gdy wydzieloną część ciała podgrzejemy. Po pewnym
czasie dzięki przekazywaniu energii, temperatura całego ciała wyrówna się.
Wielkością przenoszoną jest energia wewnętrzna ciała, a zjawisko zachodzi
dzięki temu, że w tym ciele występuje gradient temperatury.
Przewodnictwo elektryczne w metalach (metale zawierają swobodne
elektrony, niezależne od określonego jądra atomowego, tworzące tzw. gaz
elektronowy) powstaje wtedy, gdy przyłożymy do nich niewielkie
jednorodne pole elektryczne o natężeniu E. W metalu zacznie wtedy płynąć,
w kierunku zgodnym z kierunkiem przyłożonego pola, prąd elektryczny.
W stanie równowagi, tj. gdy E = 0 gęstość prądu jest równa zeru, ponieważ
na cząstki naładowane nie działają żadne siły zewnętrzne. Wielkością
przenoszoną jest ładunek elektryczny, a zjawisko zachodzi dzięki temu, że
w metalu tym istnieje gradient potencjału elektrycznego.
Dyfuzja występuje wtedy, gdy w jednym obszarze układu, koncentracja
cząstek jest większa niż w innym, cząstki przejdą z obszaru o większej
koncentracji do obszaru o mniejszej koncentracji dążąc do wyrównania
koncentracji cząsteczek w całym obszarze. Wielkością przenoszoną jest
w tym przypadku masa, a zjawisko zachodzi dzięki występowaniu gradientu
2
gęstości w tym układzie. Zjawisko dyfuzji łatwo można zaobserwować
w gazach (rozchodzenie się zapachów), lub w cieczach (zaparzając herbatę).
Dyfuzja występuje również w ciałach stałych, ale mechanizm jej jest
bardziej skomplikowany.
W zjawisku tarcia wewnętrznego czyli lepkości powodem stanu
nierównowagowego jest różnica prędkości przesuwania się warstw gazu lub
cieczy względem siebie (gradient prędkości), a wielkością przenoszoną jest
pęd.
Wprawdzie mechanizmy przedstawionych zjawisk są zupełnie różne, to
mają
wspólne, makroskopowe cechy, co da się wyrazić ogólnym
równaniem transportu
j = − β ∇A ,
(27.1)
gdzie j jest wektorem gęstości strumienia odpowiedniej wielkości (energii
wewnętrznej, ładunku, masy, pędu), β jest współczynnikiem
proporcjonalności (przewodności cieplnej lub elektrycznej, dyfuzji,
lepkości), zaś A jest, zależną od współrzędnych przestrzennych, wielkością
skalarną, której gradient powoduje dane zjawisko (temperaturą,
potencjałem, gęstością, prędkością). Wszystkie procesy, w których
parametry stanu z biegiem czasu zmieniają się, noszą nazwę
niestacjonarnych.
27.3. Przewodnictwo cieplne w warunkach ustalonych
W przypadku przewodnictwa cieplnego wzór (27.1) przybiera postać
q = − K ∇T ,
(27.2)
gdzie: q jest wektorem gęstości strumienia energii przepływającej przez
jednostkę powierzchni w jednostce czasu, T temperaturą a K współczynnikiem przewodnictwa cieplnego (pzrewodnością cieplną). Wzór ten
nosi nazwę prawa Fouriera. Prawo to można stosować, gdy różnica
3
temperatur między punktami ciała (gradient temperatury), nie zależy od
czasu.
Jeśli rozpatrywanym układem jest pręt, którego jeden koniec znajduje
się w temperaturze wyższej, a drugi w niższej, to wzór Fouriera upraszcza
się do wyrażenia
Q=K
S∆T
t ,
l
(27.3)
gdzie: Q jest ilością energii, która przepłynęła przez pręt, S - przekrojem
poprzecznym pręta, l - jego długością, K - przewodnością cieplną,
∆T - różnicą temperatur między końcami pręta, a t oznacza czas przepływu
energii. Różniczkując względem czasu obie strony równania (27.3)
otrzymamy związek pomiędzy mocą P przepływającą przez pręt
a parametrami geometrycznymi (S, l), materiałowym (K) oraz różnicą
temperatur ( ∆T)
dQ
∆T
.
= P = KS
dt
l
(27.4)
Z tego wzoru można wyznaczyć współczynnik przewodnictwa cieplnego K,
zwany również przewodnością cieplną.
W przypadku gdy stan układu zmienia się bardzo wolno, to możemy
przyjąć, że prawo to jest nadal słuszne, pod warunkiem, że przez Q, K, T,
będziemy rozumieli, chwilowe, lokalne wartości tych wielkości w danym
punkcie ciała.
Prawo Fouriera opiera się na upraszczającym założeniu, że zmiany
gęstości energii wywołane są wyłącznie niejednorodnością termiczną
układu, a więc strumień energii znika w układzie termicznie jednorodnym.
Zatem prawo to nie może być stosowane do procesów, w których gęstość i
skład chemiczny ciał ulegają zmianom. W takich procesach, gęstość energii
zmienia się nie tylko wskutek dopływu lub odpływu ciepła, lecz także
wskutek dopływu lub odpływu substancji, lub innych czynników.
4
Naszkicowana tu teoria przewodnictwa cieplnego stosuje się wyłącznie do
ciał izotropowych (mających we wszystkich kierunkach te same własności),
w których można zaniedbać dyfuzję. Jest to uzasadnione w przypadku
izotropowych ciał stałych, bo dyfuzja jest tu dużo wolniejszym procesem
niż przewodnictwo. W przypadku ogólnym współczynnik przewodnictwa
cieplnego jest tensorem.
27.4. Mechanizm przewodzenia ciepła w ciałach stałych
Jednym z fundamentalnych rezultatów kwantowej fizyki ciała stałego
jest wniosek, że struktura energetyczna kryształu, przy niezbyt wysokich
temperaturach, jest podobna do struktury energetycznej gazu
nieoddziałujących obiektów kwantowych zwanych quasi-cząstkami
(patrz [1]). Znaczy to, że energia ciała stałego jest sumą energii
poszczególnych kwazicząstek, odpowiadających ruchom elementarnym
kryształu. Te ruchy elementarne nie są jednak ruchem pojedynczej cząstki.
Z reguły w tym, co będziemy nazywać ruchem elementarnym
(kwazicząstką) biorą udział wszystkie atomy kryształu [1].
Atomy kryształu zajmują w różnych jego komórkach identyczne
położenia i mają identyczne otoczenia. Atomy te można porównać do
obwodów drgających nastrojonych na tę samą częstość i zdolnych do
wzajemnego rezonansu. Dowolne wzbudzenie jednego z atomów powoduje
analogiczne wzbudzenie w atomach sąsiednich (kryształ jest ośrodkiem
sprężystym). Tak więc wzbudzenie nie utrzymuje się w danym miejscu, lecz
w postaci fali rozchodzi się po całym krysztale. Zgodnie z prawami
mechaniki kwantowej ruch związany z tymi falami powstaje i może być
przekazywany wyłącznie w postaci określonych porcji energii (kwantu) fali
sprężystej.
Stan kryształu zmienia się wraz ze zmianą jego temperatury. Zacznijmy
od temperatury zera bezwzględnego. Z punktu widzenia fizyki klasycznej
5
przy T = 0 K ustaje wszelki ruch. Atomy i jony powinny zastygać w swych
położeniach równowagi. Mechanika kwantowa obala ten wniosek jako
niezgodny z zasadą nieoznaczoności Heisenberga. Ruch trwa nawet
w temperaturze zera bezwzględnego. Nosi on nazwę drgań zerowych.
Podwyższenie temperatury oznacza zwiększenie energii chaotycznego,
nieuporządkowanego ruchu atomów. W ciele stałym ruch dowolnej cząstki
wywiera wpływ na jej sąsiadów, a więc w ciele stałym możliwe są tylko
kolektywne ruchy cząstek. Najprostszą formą ruchu kolektywnego atomów
w ciele stałym są ich drgania wokół położeń równowagi. Drgania te
rozchodzą się w postaci fal po całym krysztale a kwant energii tej fali nosi
nazwę fononu (jest to jeden z typów obserwowanych w krysztale
kwaziczastek). Wprowadzenie fononów jest pomocne przy opisie własności
cieplnych kryształów. Fonony można traktować jako dość niezwykły gaz,
w którym wzrostowi temperatury towarzyszy wzrost liczby fononów.
Gdy temperatura jest niska, fononów jest mało, dlatego zderzenia między
nimi występują rzadko. Energia ruchu drgających atomów kryształu jest
równa sumie energii fononów. Własności gazu fononów określają
pojemność cieplną kryształów i ich przewodnictwo cieplne, i są
odpowiedzialne za hamowanie ruchu elektronów w metalach, tj. są jednym
ze źródeł oporu elektrycznego.
Potraktujmy kryształ jak zbiornik zawierający gaz fononów.
Przypuśćmy, że na jednym z końców ciała stałego podtrzymywana jest
temperatura T1 , a na drugim T2 , przy czym T2 > T1 . Oznacza to, że na
jednym z tych końców (o temperaturze T1 ) koncentracja fononów jest
mniejsza niż na drugim ( T2 ). Fonony będą “przepływać” z końca o
temperaturze wyższej do chłodniejszego, dążąc do wyrównania koncentracji
w całej objętości. Przemieszczając się w ciele stałym fonony przenoszą
energię. Tak więc przenoszenie kolektywnych drgań sieci w krysztale ma
wkład do zjawiska przewodnictwa cieplnego. Z reguły, przewodnictwo
cieplne metali jest większe od przewodnictwa cieplnego dielektryków. W
6
dielektrykach mechanizm fononowy jest jedynym mechanizmem
przenoszenia ciepła.
W metalach duży udział w przewodnictwie cieplnym ma gaz elektronów
swobodnych, którego istnienie odróżnia metale od innych ciał stałych.
W metalu elektrony walencyjne nie są zlokalizowane, żaden z nich nie jest
związany z określonym jądrem atomowym, lecz poruszają się w całym
metalu. Elektrony swobodne w procesie zderzeń przekazują energię
wnosząc wkład do przewodnictwa cieplnego. Strumień ciepła przenoszony
przez fonony w metalach jest stosunkowo niewielki, ponieważ fonony
bardzo często zderzają się z elektronami. Zarówno fonony, jak i elektrony
w procesie transportu ciepła zderzają się z defektami struktury kryształu.
27.5. Prawo Wiedemanna - Franza
Metale są dobrymi przewodnikami zarówno ciepła jak i prądu. Istnieje
dość szeroki zakres temperatur, w którym elektrony są odpowiedzialne nie
tylko za przewodnictwo elektryczne, ale również za transport energii
wewnętrznej. Prawo transportu ładunku (prawo Ohma) można zapisać
w postaci
j = −σ ∇V ,
(27.5)
gdzie j jest wektorem gęstości strumienia ładunków, V - potencjałem
elektrycznym, zaś współczynnik σ nosi nazwę przewodności elektrycznej
właściwej.
Dla jednorodnego pręta przewodzącego prąd elektryczny prawo Ohma
można zapisać w postaci
U = IR = I
l
,
σS
(27.6)
gdzie
R=
l
.
σS
(27.7)
7
W powyższych wzorach: U oznacza różnicę potencjałów między końcami
pręta, I - natężenie prądu, R - opór elektryczny, l, S - długość i powierzchnię
przekroju poprzecznego pręta, σ - przewodność właściwą. Przyczyną
przepływu ładunków elektrycznych jest różnica potencjałów U, natomiast
wielkość skutku, tj. natężenie prądu, zależy od parametrów geometrycznych
(S, l) oraz stałej materiałowej σ.
Istnieje prosty związek pomiędzy współczynnikiem przewodzenia ciepła
K a przewodnością właściwą σ, który jako pierwsi wyznaczyli
doświadczalnie E. Wiedemann i W. Franz
K
= LT ,
σ
(27.8)
gdzie T oznacza temperaturę bezwzględną, L zaś jest współczynnikiem
proporcjonalności, nazwanym liczbą Lorentza. Równanie (27.8) nosi nazwę
prawa Wiedemanna-Franza. Stosując kwantową statystykę Fermiego-Diraca
obliczono liczbę Lorentza, co było potwierdzeniem słuszności teorii
budowy metali i mechanizmów zachodzących w nich zjawisk
π2  k B 
L=
 
3  e 
2
(27.9)
gdzie: e - ładunek elektronu, k B - stała Boltzmanna. Prawo WiedemannaFranza jest spełniane przez większość metali w temperaturach pokojowych.
W niskich temperaturach odstępstwa od niego są bardzo duże, ale jak
wcześniej podano, w tych temperaturach w przewodnictwie cieplnym
zaczyna odgrywać dominującą rolę mechanizm fononowy.
27.6. Zasada pomiaru
Schemat układu do pomiaru przewodności cieplnej przedstawia rys. 27.1.
Badany pręt umieszcza się w komorze pomiarowej wewnątrz izolującej
warstwy między grzejnikiem (na dole cylindra) i miedzianym radiatorem
8
dociskającym pręt do grzejnika. Różnicę temperatur między końcami pręta
mierzymy za pomocą termopary miedź - konstantan. Rys. 27.2 przedstawia
schemat obwodu elektrycznego.
Rys. 27.1. Schemat komory pomiarowej
Rys. 27.2. Schemat obwodu elektrycznego
9
27.7. Zadania do wykonania
A) Pomiary
1. Dla pręta wskazanego przez prowadzącego ćwiczenia zmierzyć
zależność różnicy temperatur między końcami pręta od czasu, przy
ustalonej mocy prądu elektrycznego płynącego przez grzejnik oraz
długość i średnicę pręta.
2. Aby wyznaczyć liczbę Lorentza należy zmierzyć przewodność
elektryczną próbki wykonanej z tego samego materiału, co pręt dla
którego zmierzono przewodność cieplną.
B) Opracowanie wyników
1. Przedstawić graficznie zależność różnicy temperatur końców pręta od
czasu.
2. Obliczyć współczynnik przewodzenia ciepła K na podstawie mocy P
doprowadzonej do grzejnika i uzyskanej, różnicy temperatur ###T w
stanie stacjonarnym
K=
Pl
,
∆T S
gdzie: l - długość pręta, S - pole przekroju.
3. Obliczyć oporność właściwą próbki.
4. Obliczyć elektryczną przewodność właściwą próbki.
5. Obliczyć liczbę Lorentza korzystając z wyznaczonych wcześniej
wartości K i σ.
6. Przeprowadzić analizę błędów oraz dyskusję wyników.
10
(27.10)
Ćwiczenie 27B - zadanie dodatkowe
WYZNACZANIE CIEPŁA WŁAŚCIWEGO
METALI
Teoria ciepła właściwego ciał stałych została opisana w rozdziale W.3
Wstęp do ćwiczeń dotyczących ciepła właściwego niniejszego skryptu.
27B.1. Przepływ ciepła w stanie nieustalonym
Przez stan nieustalony pręta rozumiemy jego stan termodynamiczny,
w którym temperatura dowolnego
punktu pręta jest funkcją czasu.
Rozpatrzmy pręt metalowy
o przekroju S, długości l, którego
końce mają różne temperatury T1
i T2 (rys. 27.3) i wybierzmy element pręta, położony wokół
punktu x i mający długość ∆x.
Wyobraźmy sobie, że do tego
Rys. 27.3. Przepływ ciepła w pręcie
elementu przez powierzchnię S2
metalowym
wpływa
moc
P2 = dQ2 / dt ,
a przez powierzchnię S1 wypływa P1 = dQ1 / dt . Zgodnie z równa-niem
(27.4) możemy zapisać
dQ2
dT ( x )
= P2 = KS
dt
dx
x = x2
oraz
dQ1
dT ( x )
= P1 = KS
dt
dx
x = x1
. (27.11)
dT
dT
x = x2 jest gradientem temperatury w punkcie x2 , a
x = x1 jest
dx
dx
gradientem temperatury w punkcie x1 , przy czym ∆x = x1 − x2 . Energia,
gdzie
11
która zgromadzi się wewnątrz elementu o grubości ###x w czasie dt
wyniesie
 dT ( x )
dQ = dQ2 − dQ1 = KS 
 dx
x = x2 −
dT ( x )
dx

x = x1 dt

.
(27.12)
Energia ta powoduje przyrost temperatury dT rozpatrywanej warstwy
dQ = mcw dT ,
(27.13)
gdzie m = Sρ∆x a ρ oznacza gęstość materiału. Podstawiając tę wartość do
równania (27.13) oraz dzieląc obustronnie przez czas dt otrzymamy
dT
dQ
1
=
..
dt Scw ρ'x dt
(27.14)
Jeśli długość ∆x rozpatrywanego elementu pręta będzie dążyć do
wielkości nieskończenie małej dx ( ∆x → dx ) to wzór (27.12) można
zapisać w postaci
dQ = KS
∂2T
∂x 2
dxdt .
Użyto znaku pochodnej cząstkowej
(27.15)
∂ 2T
, gdyż temperatura jest funkcją
∂x 2
dwóch zmiennych: x oraz t. Porównanie równań (27.14) i (27.15) daje
∂ 2 Τ( x , t )
∂x 2
−
1 ∂Τ( x , t )
=0 ,
D ∂t
gdzie współczynnik D, nazwany
temperaturowego, jest równy:
K
D=
.
cwρ
(27.16)
współczynnikiem
przewodnictwa
(27.17)
Równanie (27.16) jest równaniem różniczkowym cząstkowym drugiego
rzędu o stałych współczynnikach. W ogólnym przypadku zależy ono od
wszystkich współrzędnych przestrzennych i czasu, jak również
współczynnik przewodnictwa cieplnego K może być funkcją temperatury.
Jego rozwiązanie, tj. zależność temperatury T od współrzędnej przestrzennej
12
x i czasu t jest dość złożoną funkcją tych współrzędnych i zależy od
warunków początkowych i brzegowych.
27B.2. Zależność różnicy temperatur
pomiędzy końcami pręta od czasu
Można przyjąć, że po dostatecznie długim czasie, od rozpoczęcia procesu
ogrzewania końca zimnego pręta lub chłodzenia końca ogrzanego pręta
rozwiązaniem równania (27.16) jest wyrażenie
Τ( x , t ) = Τ0 +
8Pl
2
π KS
e
−
t
τ sin
π
x ,
2l
(27.18)
gdzie T0 oznacza temperaturę pręta w punkcie x = 0 , a ### - tzw. stałą
czasową procesu grzania lub stygnięcia. Proszę samodzielnie sprawdzić,
że (27.18) jest rozwiązaniem (27.16). Zależność różnicy temperatur między
końcami pręta od czasu, ∆T (t ) = T (l , t ) − T (0, t ) , wyznaczona ze wzoru
(27.18) wynosi :
∆T (t ) =
−
8
t
τ
∆Te
π2
t

8 − τ 

∆T(t) = ∆Τ 1 − 2 e
 π



stygnięcie ,
(27.19)
grzanie ,
(27.20)
gdzie ###T - różnica temperatur między końcami pręta w stanie ustalonym,
wynosząca, zgodnie ze wzorem (27.4), ∆T = Pl / KS . Stała czasowa
procesu stygnięcia wynosi
τ=
4l 2ρcw
π 2Κ
,
(27.21)
gdzie ρ jest gęstością, cw - ciepłem właściwym a K -współczynnikiem
przewodności cieplnej.
13
Zagadnienie wyznaczenia ciepła właściwego sprowadza się więc do
określenia “cieplnej” stałej czasowej τ. Po zlogarytmowaniu równania
(27.19) otrzymujemy (z dokładnością do stałej):
 ∆T (t ) 
t
ln
=− .
τ
 ∆T 
(27.22)
Równanie to przedstawia prostą o współczynniku nachylenia -1/τ. Zatem na
wykresie półlogarytmicznym czas, po którym wartość logarytmu zmieni się
o jedność, jest równy τ.
27B.3. Zadnia do wykonania
 ( ∆T − ∆T (t ) 
1. Przedstawić, w układzie półlogarytmicznym, zależność ln 

∆T


w funkcji czasu; gdzie ∆T(t) - różnica temperatur między końcem
“ciepłym” i “zimnym” pręta w chwili pomiaru, ∆T - różnica temperatur
w stanie ustalonym,
2. Metodą regresji liniowej przeprowadzić prostą przez punkty
doświadczalne i obliczyć“cieplną” stałą czasową τ (czas, po którym
wartość logarytmu jest równa -1). Punkty odbiegające od prostej na
początku i na końcu wykresu należy pominąć,
3. Obliczyć ciepło właściwe korzystając z wyznaczonej wartości K oraz τ
cw =
π 2 Pτ
,
4lρ∆TS
gdzie ρ - gęstość materiału pręta.
Literatura
1. M. I. Kaganow, Etiudy o fizyce ciała stałego, patrz etiudy 3 i 8,
Wydawnictwo Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław, 1993
14