Strategie kwantowe w teorii gier

Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Strategie kwantowe w teorii gier
Adam Wyrzykowski
Uniwersytet Jagielloński
[email protected]
18 stycznia 2015
Adam Wyrzykowski
Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Plan prezentacji
1
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
2
Podstawy klasycznej teorii gier
Wojna płci
Definicje i pojęcia
Równowagi Nasha w Wojnie płci
3
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowanie Wojny płci
Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania
Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci
4
Kwantowy Paradoks więźnia
Adam Wyrzykowski
Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Zasady gry
Gracze Q i P nie znają bieżącej orientacji
monety ani ruchów przeciwnika.
Początkowo moneta jest ustawiona
reszką do góry. Ruch każdego z graczy
polega na odwróceniu monety lub
pozostawieniu jej stanu bez zmian.
Kolejność ruchów jest następująca:
pierwszy ruch gracza Q,
N
F
NN
-1
1
NF
1
-1
FF
-1
1
Tabela : Tabela wypłat gracza P
ruch gracza P,
kończący rozgrywkę ruch gracza Q.
Jeżeli końcowy stan monety to reszka,
wygrywa Q, jeżeli orzeł – wygrywa P.
Adam Wyrzykowski
FN
1
-1
Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Kwantowanie gry w odwracanie monety
|ψ >= a|R > +b|O >
aa∗ + bb ∗ = 1
!
1
|R >↔
|O >↔
0
Strategie klasyczne
Liniowa kombinacja odwrócenia
monety z prawdopodobieństwem
p i pozostawienia jej stanu bez
zmian z pr-stwem (1 − p):
!
UP = p
0 1
1 0
+ (1 − p)
1 0
0 1
!
Adam Wyrzykowski
!
0
1
Strategie kwantowe
Operacje unitarne:
UQ =
c
d
∗
d −c ∗
gdzie |c|2 + |d|2 = 1.
Strategie kwantowe w teorii gier
!
,
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Przewaga strategii kwantowych
!
|ψ1 >= UQ |R >=
√1
2
1 1
1 −1
!
1
0
=
√1
2
1
1
!
=
!
|ψ2 >= UP |ψ1 >=
√1
2
0 1
1 0
p
+ (1 − p)
1 0
0 1
|ψ3 >= UQ |ψ2 >=
√1 √1
2 2
Adam Wyrzykowski
1 1
1 −1
!
1
1
√1 (|R
2
!!
!
=
1
0
1
1
(1)
> +|O >)
!
!
=
√1
2
1
1
(2)
!
= |R >
Strategie kwantowe w teorii gier
(3)
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Wojna płci
Definicje i pojęcia
Równowagi Nasha w Wojnie płci
Wojna płci
α>β>γ
Rysunek : Macierz wypłat (źródło obrazka [2]).
Adam Wyrzykowski
Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Wojna płci
Definicje i pojęcia
Równowagi Nasha w Wojnie płci
Definicje i pojęcia (cz. 1)
Statyczna gra o pełnej informacji
Każdy z graczy zna dostępne strategie innych i wynikające z
nich wypłaty, ale poznają wybrane przez nich strategie dopiero
wraz z końcem gry. Należy określić:
liczbę graczy i = 1, 2, ..., N;
zbiory strategii dla każdego gracza {siα };
funkcje wypłaty $i = $i (s1 , s2 , ..., sN ), które przypisują i−temu
graczowi liczbę rzeczywistą (wypłatę) w zależności od
strategii wybranych przez wszystkich graczy.
W przypadku Wojny płci i = 2, zbiór strategii Alicji (Boba) to
{O, T }, zaś funkcje wypłaty $1 (s1 , s2 ) oraz $2 (s1 , s2 ) są określone
przez macierz wypłaty, np. $1 (O, O) = $2 (T , T ) = α.
Adam Wyrzykowski
Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Wojna płci
Definicje i pojęcia
Równowagi Nasha w Wojnie płci
Definicje i pojęcia (cz. 2)
Mocna dominacja strategii
Strategię i−tego gracza si nazywamy ściśle zdominowaną przez
strategię s̃i , jeżeli:
$i (s1 , ..., si , ..., sN ) < $i (s1 , ..., s̃i , ..., sN )
dla każdego wyboru (s1 , ..., si−1 , si+1 , ..., sN ).
Równowaga Nasha
Zespół strategii (s1? , s2? , ..., sN? ) stanowi równowagę Nasha, jeżeli dla
każdego gracza i zachodzi:
?
?
?
?
$i (s1? , ..., si−1
, si? , si+1
, ..., sN? ) ­ $i (s1? , ..., si−1
, si , si+1
, ..., sN? )
dla każdej strategii si dostępnej dla i−tego gracza.
Adam Wyrzykowski
Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Wojna płci
Definicje i pojęcia
Równowagi Nasha w Wojnie płci
Definicje i pojęcia (cz. 3)
Strategie mieszane
Strategia mieszana dla i−tego gracza to rozkład
prawdopodobieństwa, który przypisuje pr-stwo piα każdej czystej
strategii siα ze zbioru strategii i−tego gracza. Wówczas
$i (s1 , s2 , ..., sN ) jest zastępowane przez funkcję oczekiwanej
wypłaty:
$̄i ({p1 }, {p2 }, ..., {pN }) =
αN
p1α1 p2α2 ...pN
$i (s1α1 , s2α2 , ..., sNαN )
X
α1 ,α2 ,...,αN
Adam Wyrzykowski
Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Wojna płci
Definicje i pojęcia
Równowagi Nasha w Wojnie płci
Równowagi Nasha w Wojnie płci
p−prawdopodobieństwo, że Alicja wybierze operę, p ∈ [0, 1]
q−prawdopodobieństwo, że Bob wybierze operę, q ∈ [0, 1]
(
$̄A (p, q) = p[q(α − 2γ + β) + γ − β] + β + q(γ − β)
(4)
$̄B (p, q) = q[p(α − 2γ + β) + γ − α] + α + p(γ − α)
(5)
$̄A (p ? , q ? ) − $̄A (p, q ? ) = (p ? − p)[q ? (α + β − 2γ) − β + γ] ­ 0
$̄B (p ? , q ? ) − $̄B (p ? , q) = (q ? − q)[p ? (α + β − 2γ) − α + γ] ­ 0
(6)
?
?
p(1)
= 1, q(1)
=1
?
?
p(2)
= 0, q(2)
=0
? =
p(3)
α−γ
α+β−2γ
$̄A (1, 1) = α
$̄A (0, 0) = β
? =
q(3)
β−γ
α+β−2γ
$̄B (1, 1) = β
$̄B (0, 0) = α
$̄A = $̄B =
Adam Wyrzykowski
Strategie kwantowe w teorii gier
αβ−γ 2
α+β−2γ
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Kwantowanie Wojny płci
Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania
Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci
Kwantowanie gry (cz. 1)
Reguła 1
Przestrzeń strategii Alicji SA (Boba SB ) jest dwuwymiarową
przestrzenią Hilberta:
|ψ >= a|O > +b|T >,
|a|2 + |b|2 = 1 .
Na początku gry ustala się dowolny początkowy stan |ψin > z
przestrzeni S = SA ⊗ SB = (|OO >, |OT >, |TO >, |TT >).
Reguła 2
Ruch Alicji (Boba) polega na wykonaniu operacji unitarnej A ∈ SA
(B ∈ SB ) na jej (jego) kubicie stanu |ψin >. Końcowy stan wynosi
|ψfin >= A ⊗ B|ψin >.
Adam Wyrzykowski
Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Kwantowanie Wojny płci
Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania
Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci
Kwantowanie gry (cz. 2)
Reguła 3
Wartości $̄A i $̄B znajduje się obliczając kwadraty modułów rzutów
stanu |ψfin > na wektory bazowe |OO >, |OT >, |TO >, |TT >,
a następnie dodając uzyskane liczby przemnożone przez
odpowiednie współczynniki z macierzy wypłat.
Reguła 4
Ostatecznie Alicja musi zagrać klasyczną strategię, która wynika z
pomiaru na końcowym stanie kwantowym, tzn. z rzutowania
|ψfin > na wektory bazowe SA . Podobnie Bob.
Adam Wyrzykowski
Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Kwantowanie Wojny płci
Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania
Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci
Równowagi Nasha – faktoryzowalne stany |ψin > (cz. 1)
Skoro |ψin > jest faktoryzowalny, można przyjąć bez straty
ogólności |ψin >= |OO >.
W bazie {|O >, |T >} operacje Alicji i Boba mają postać:
A=
a
b
∗
−b a∗
!
B=
c
d
∗
−d c ∗
!
,
gdzie |a|2 + |b|2 = |c|2 + |d|2 = 1.
Stan końcowy wynosi zatem:
|ψfin >= A ⊗ B|ψin >=
= ac|OO > −ad ∗ |OT > −b ∗ c|TO > +b ∗ d ∗ |TT >
Adam Wyrzykowski
Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Kwantowanie Wojny płci
Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania
Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci
Równowagi Nasha – faktoryzowalne stany |ψin > (cz. 2)
Zgodnie z Regułą 3 znajdujemy więc:
$̄A = |a|2 [(α + β − 2γ)|c|2 − β + γ] + β + (γ − β)|c|2
$̄B = |c|2 [(α + β − 2γ)|a|2 − α + γ] + α + (γ − α)|a|2
(7)
(8)
Wynik ten jest identyczny jak uzyskany w klasycznej teorii gier,
jeżeli p = |a|2 oraz q = |c|2 . Równowagi Nasha:
(|a|2 = 0, |c|2 = 0)
|ψfin >= |TT >
(|a|2
|ψfin >= |OO >
=
1, |c|2
= 1)
$̄A = β
$̄A = α
$̄B = α
$̄B = β
α−γ
β−γ
αβ−γ 2
2
$̄A = $̄B = α+β−2γ
α+β−2γ , |c| = α+β−2γ
√
√
√
√
( α−γ|O>− β−γ|T >)⊗( β−γ|O>− α−γ|T >)
|ψfin >=
α+β−2γ
|a|2 =
Adam Wyrzykowski
Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Kwantowanie Wojny płci
Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania
Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci
Nowe równowagi Nasha – stany splątane
|ψin >= a|OO > +b|TT >, |a|2 + |b|2 = 1
A(B)
ρfin
1
A(B) †
= pI ρin
A(B)
I +(1−p)C ρin
C†
? = q? = 1
p(1)
(1)
$̄A (1, 1) = α|a|2 + β|b|2
2
$̄B (1, 1) = β|a|2 + α|b|2
? = q? = 0
p(2)
(2)
$̄A (0, 0) = β|a|2 + α|b|2
3
(C |O >= T , C |T >= O)
? =
p(3)
(α−γ)|a|2 +(β−γ)|b|2
α+β−2γ
$̄B (0, 0) = α|a|2 + β|b|2
? =
q(3)
?
?
?
?
$̄A (p(3)
, q(3)
) = $̄B (p(3)
, q(3)
)=
Adam Wyrzykowski
(α−γ)|b|2 +(β−γ)|a|2
α+β−2γ
αβ + (α − β)2 |a|2 |b|2 − γ 2
α + β − 2γ
Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Kwantowanie Wojny płci
Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania
Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci
Ostateczny kompromis
1. Brak samotnych wieczorów
$̄A (1, 1) + $̄B (1, 1) = $̄A (0, 0) + $̄B (0, 0) = α + β
2. Równowagi Nasha 1 i 2 można ”połączyć”
(
$̄A (1, 1) − $̄A (0, 0) = (α − β)(|a|2 − |b|2 )
$̄B (1, 1) − $̄B (0, 0) = (α − β)(|b|2 − |a|2 )
kompromis
=⇒
|a| = |b| =
3. Najlepsza strategia
1
|ψin >= √ (|OO > +|TT >) = |ψfin >
2
(p ? = 0, q ? = 0) albo (p ? = 1, q ? = 1) ⇒ $̄A = $̄B =
Adam Wyrzykowski
Strategie kwantowe w teorii gier
α+β
2
√1
2
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Paradoks więźnia – klasyczne i kwantowe sformułowanie
Alice: C
Alice: D
Bob: C
(3,3)
(5,0)
Bob: D
(0,5)
(1,1)
|ψf >= J † (UA ⊗ UB )J|CC >
U(θ, φ) =
U(0, 0) = C =
J = exp
1 0
0 1
e iφ cos θ/2
sin θ/2
−iφ
− sin θ/2 e
cos θ/2
!
U(π, 0) = D =
iγD ⊗ D
2
0 1
−1 0
(9)
!
(10)
!
U 0, π2 = Q =
i 0
0 −i
γ ∈ [0, π/2] – wsp. splątania
Adam Wyrzykowski
Strategie kwantowe w teorii gier
(11)
!
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Paradoks więźnia - gra separowalna (γ = 0)
Rysunek : Wypłata Alicji w grze separowalnej. Na wykresie wybrano specjalną
parametryzację, w której UA i UB zależą tylko od jednego parametru
t ∈ [−1, 1]: przyjmujemy UA = U(tπ, 0) dla t ∈ [0, 1] oraz UA = U(0, −tπ/2)
dla t ∈ [−1, 0) (podobnie dla Boba). Zdrada D odpowiada t = 1, współpraca C
to t = 0, a strategia Q jest reprezentowana przez t = −1 (źródło obrazka [3]).
Adam Wyrzykowski
Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Paradoks więźnia - maksymalne splątanie (γ = π/2)
Rysunek : Wypłata Alicji w grze o maksymalnym splątaniu (źródło
obrazka [3]).
Adam Wyrzykowski
Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Podsumowanie
Poszerzenie przestrzeni dostępnych strategii o strategie
kwantowe może prowadzić do powstawania nowych równowag
Nasha i znikania dotychczasowych.
Zastosowanie strategii kwantowych może prowadzić do
rozwiązań korzystniejszych dla obu graczy, klasycznie
niedostępnych.
Szczególną rolę w grach kwantowych spełnia splątanie stanu,
na krórym operacje mogą wykonywać gracze.
Gracz dysponujący strategią kwantową grający przeciwko
graczowi korzystającemu wyłącznie ze strategii klasycznych na
ogół będzie posiadać przewagę.
Adam Wyrzykowski
Strategie kwantowe w teorii gier
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip)
Podstawy klasycznej teorii gier
Strategie kwantowe w Wojnie płci
Kwantowy Paradoks więźnia
Literatura
[1] David A. Meyer (1999)
Quantum strategies
Physical Review Letters 82 (5), 1052–1055.
[2] L. Marinatto, T. Weber (2000)
A quantum approach to static games of complete information
Physics Letters A 272, 291–303.
[3] J. Eisert, M. Wilkens, M. Lewenstein (1999)
Quantum games and quantum strategies
Physical Review Letters 83 (15), 3077–3080.
[4]
http://mindyourdecisions.com/blog/2012/09/11/
quantum-coin-flipping-game-theory/
Adam Wyrzykowski
Strategie kwantowe w teorii gier