Haremy i turnieje
advertisement
Haremy i turnieje Karolina Bednarczyk, Martyna Ciołek Twierdzenie Halla – wersja małżeńska W grupie dziewcząt każda może wybrać męża spośród chłopców, których zna, wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym podzbiorze dziewcząt (powiedzmy r spośród nich) dziewczyny te znają co najmniej r chłopców. Przykład dziewczyna 1 zna chłopców A i C dziewczyna 2 zna chłopców B i C dziewczyna 3 zna chłopców A, C, D i E dziewczyna 4 zna chłopców B, D, F i G dziewczyna 5 zna chłopców A i E dziewczyna 6 zna chłopców A i B Czy możemy dla każdej dziewczyny znaleźć męża spośród chłopców, których zna? Rozpoczniemy od uogólnienia małżeńskiej wersji twierdzenia Halla na haremy zakładając, że pewne osoby mogą mieć więcej niż jednego partnera. Tradycyjnie w haremie każdy mężczyzna może mieć wiele żon, ale żadna kobieta nie może mieć więcej niż jednego męża. Przedstawimy teraz wersję haremową twierdzenia Halla odwracając przy tym tę tradycyjną zasadę, tzn. pozwalając kobietom mieć swoje haremy ;) Twierdzenie Halla – wersja haremowa Niech b1,..., bn będą nieujemnymi liczbami całkowitymi i niech D1,...,Dn oznaczają dziewczyny. Dziewczyna D1 chce mieć b1 mężów (jak zawsze spośród tych chłopców, których zna), dziewczyna D2 chce mieć b2 mężów, ... , i dziewczyna Dn chce mieć bn mężów. Żaden z chłopców nie może ożenić się z więcej niż jedną dziewczyną. Wszystkie życzenia dziewcząt mogą być spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy dziewczyny z dowolnego podzbioru Di1, ..., Dis znają co najmniej bi1 +...+ bis chłopców. Teraz rozważymy inny przykład skojarzenia, obserwując „turniej typu każdy z każdym” w pewnym klubie sportowym. Wyobraźmy sobie pewien turniej dla grupy graczy, polegający na tym, że każdy gra z każdym, przy czym wynikiem pojedynku jest zwycięstwo jednego z dwóch graczy. To prowadzi nas do określenia turnieju (wyniku turnieju) z udziałem n graczy (oznaczonych symbolicznie 1, 2, ..., n) jako n nad 2 uporządkowanych par zawodników, przy czym dla 1<= i<j<=n występuje para ij lub ji. Turniej z udziałem n graczy może być również przedstawiany jako graf pełny Kn, którego wierzchołki oznaczono liczbami 1, 2, ..., n i w którym każda krawędź została skierowana strzałką w jedną z dwóch możliwych stron. Strzałka od i do j oznacza, że „i pokonał j”. Przykład W turnieju brało udział pięciu graczy 1, 2, 3, 4, 5 połączonych w pary 1 2, 1 3, 2 3, 2 4, 3 4, 4 1, 5 1, 5 2, 53i54 Przedstawiony graficznie przebieg turnieju jest rodzajem grafu skierowanego, w którym przedstawiony jest skierowany szlak 5, 4, 1, 2, 3, który przechodzi przez wszystkie wierzchołki, oznacza to że gracz 5 pokonał gracza 4, 4 pokonał 1, 1 pokonał 2, 2 pokonał 3. W turnieju zawsze istnieje skierowany szlak, w którym każdy gracz występuje dokładnie jeden raz. Podsumowanie Twierdzenie: W dowolnym turnieju z udziałem n graczy można przyporządkować graczom etykiety p1, p2, ..., pn w ten sposób, że p1 pokonał p2, p2 pokonał p3, ... i pn-1 pokonał pn. W turnieju z udziałem n graczy 1, 2, ... , n niech bi oznacza liczbę graczy pokonanych przez gracza i: wówczas b1, b2, ... , bn są wynikami turnieju (a uporządkowana lista tych wyników jest wektorem wyników). Przykład Który z następujących ciągów może być wektorem wyników turnieju z udziałem sześciu graczy? 4, 4, 4, 2, 1, 1; 5, 3, 3, 2, 1, 1; 5, 4, 4, 1, 1, 0. Wyniki turnieju z udziałem n graczy sumują się do n nad 2, każde r wyników sumuje się do co najmniej r nad 2 i odwrotnie, jeżeli zbiór n liczb całkowitych ma te własności to są one wynikami jakiegoś turnieju. Twierdzenie: (Landaua) Niech b1, ... , bn będą liczbami całkowitymi. Liczby te są wynikami pewnego turnieju z udziałem n graczy wtedy i tylko wtedy, gdy (1) b1+b2+...+bn=n nad 2 (2)dla 1<=r<=n każde r spośród liczb b1,..,bn sumuje się do co najmniej r nad 2.
