Ciepło i pierwsza zasada termodynamiki.

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
162
W Y K Ł A D XIII
Ciepło i pierwsza zasada termodynamiki.
Ciepło jest energią, która jest przekazywana z jednego układu do drugiego w wyniku róŜnicy
temperatur obu układów. Wczesne teorie ciepła zakładały, Ŝe jest ono przenoszone przez
niewidzialny płyn z jednego ciała do drugiego i nie moŜe być nigdy stworzone lub
unicestwione.
Teoria ta przetrwała aŜ do dziewiętnastego wieku, kiedy to pokazano, Ŝe tarcie między
ciałami moŜe tworzyć nieograniczoną ilość ciepła. Współczesna teoria ciepła powstała w
latach czterdziestych dziewiętnastego wieku, kiedy to James Joule pokazał, Ŝe znikaniu czy
powstawaniu określonej ilości ciepła zawsze towarzyszy zniknięcie lub pojawienie się takiej
samej ilości energii mechanicznej.
14-1 Pojemność cieplna i ciepło właściwe.
Kiedy energia cieplna wpływa do substancji, to temperatura jej zwykle wzrasta∗. Ilość
ciepła Q niezbędna, aby podnieść temperaturę substancji o określoną wartość jest
proporcjonalna do zmiany tej temperatury i do masy ciała:
Q = C ' ∆T = mc∆T
14-1
'
gdzie C jest pojemnością cieplną, zdefiniowaną jako ilość ciepła niezbędna do podniesienia
temperatury substancji o jeden stopień, a c jest ciepłem właściwym - pojemnością cieplną
jednostki masy:
c=
C'
m
14-2
Historyczną jednostką ciepła jest kaloria, zdefiniowana pierwotnie jako ilość ciepła
potrzebna do podniesienia temperatury jednego grama wody o jeden stopień Celsjusza.
PoniewaŜ obecnie wiadomo, Ŝe ciepło jest inną formą energii ( czy sposobem przekazywania
energii ), to nie jest potrzebna jakaś inna jednostka do określania ciepła. W układzie SI kaloria
jest przeliczana na dŜule:
1 cal = 4,184 J
14-3
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
163
Z pierwotnej definicji kalorii wynika, Ŝe ciepło właściwe wody wynosi :
cwoda = 1cal / g ⋅0 C = 1kcal / kg ⋅0 C =
= 1kcal / kg ⋅ K = 4 ,184 kJ / kg ⋅ K
14-4
Pojemność cieplna jednego mola substancji nazywa się ciepłem molowym C
C'
C=
n
gdzie n jest ilością moli. PoniewaŜ C = mc , to ciepło molowe i ciepło właściwe związane
'
są zaleŜnością:
C ' mc
C=
=
= µc
n
n
gdzie
14-5
µ = m / n jest masą molową. Ciepło właściwe aluminium wynosi 0,900 kJ/kgK,
miedzi 0,386 kJ/kgK, lodu (-10 0C ), a alkoholu etylowego 2,4 kJ/kgK. Widzimy, Ŝe ciepło
właściwe wody jest znacznie większe od ciepła właściwego innych substancji. Dlatego woda
jest bardzo dobrym zbiornikiem ciepła i dobrym materiałem chłodzącym na przykład w
chłodnicach samochodowych. DuŜe zasobniki wody takie jak jeziora, czy morza mają
tendencję do osłabiania zmian temperatury w swoim pobliŜu, poniewaŜ mogą absorbować lub
uwalniać duŜe ilości ciepła, same ulegając tylko niewielkim zmianą temperatury.
14-2 Zmiana fazy i ciepło związane ze zmianą fazy.
Kiedy ciepło jest dostarczane do lodu w temperaturze 00C, to temperatura lodu nie zmienia
się. Zamiast tego lód się topi. Jest to przykład zmiany fazy (przemiany fazowej). Typowymi
zmianami fazy jest krzepnięcie, topnienie, parowanie, skraplanie i sublimacja ( przejście
bezpośrednio od stanu stałego w stan gazowy, proces odwrotny to resublimacja). Istnieją
równieŜ inne rodzaje przemian fazowych, takie jak zmiana ciała stałego z jednej formy
krystalicznej w inną. Węgiel pod wpływem wysokiego ciśnienia moŜe na przykład moŜe stać
się diamentem.
Fakt, Ŝe temperatura pozostaje stała podczas zmiany fazy moŜna wyjaśnić na gruncie teorii
molekularnej. Cząsteczki w cieczy są blisko siebie i wzajemnie się przyciągają. Cząsteczki
∗
Wyjątek stanowią przemiany związane ze zmianą fazy, na przykład gdy woda zamarza lub wyparowuje.
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
164
gazu znajdują się w duŜej odległości od siebie. Taka zmiana cieczy w gaz wymaga
doprowadzenia określonej energii, aby przezwycięŜyć przyciągania między cząsteczkami
cieczy. Energia dostarczona do cieczy, aby ta wyparowała podwyŜsza energię potencjalną
cząsteczek, a nie ich energię kinetyczną. PoniewaŜ temperatura jest miarą energii kinetycznej,
to temperatura pozostaje stała podczas zmiany fazy.
Dla czystej substancji zmiana fazy przy danym ciśnieniu występuje w ściśle określonej
temperaturze. Na przykład, czysta woda przy ciśnieniu 1 atm zamienia się w ciało stałe w
temperaturze 00C (normalny punkt zamarzania wody), a w gaz w temperaturze 1000C
(normalny punkt wrzenia wody).
Ilość ciepła potrzebna do stopienia masy m substancji bez zmiany jej temperatury jest
proporcjonalna do masy tej substancji:
Qt = mLt
14-6
gdzie Lt nazywa się ciepłem topnienia danej substancji. Ciepło topnienia wody przy
ciśnieniu 1 atm. wynosi 333,5kJ/kg.
Kiedy następuje zmiana fazy z cieczy w gaz, to wymaga to dostarczenia ciepła:
Qt = mL p
14-7
gdzie L p jest ciepłem parowania. Dla wody przy ciśnieniu 1 atm ciepło parowania wynosi
2,26MJ.
14-3 Doświadczenie Joule’a i pierwsza zasada termodynamiki.
MoŜemy zwiększyć temperaturę układu poprzez
dostarczenie ciepła, ale moŜemy równieŜ zwiększyć
temperaturę poprzez wykonanie pracy nad układem.
Rysunek 14-1 przedstawia schemat urządzenia
Joule’a
uŜytego
do
znanego
eksperymentu,
mierzącego ilość pracy niezbędnej do podniesienia
temperatury jednego grama wody o jeden stopień
Celsjusza.
Naczynie
jest
izolowane
przez
nieprzewodzące ciepła ścianki tak, aby zapobiec
Rysunek14-1
przepływowi ciepła. Urządzenie Joule’a przekształca
energię potencjalną opadających cięŜarków w pracę wykonywaną nad wodą zawartą w
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
165
naczyniu. Joule’a stwierdził, Ŝe trzeba wykonać pracę 4,184J, aby podnieść temperaturę
1g wody o 10C. Z zasady zachowania energii wynika, Ŝe praca ta poszła na zwiększenie
energii wewnętrznej układu.
ZałóŜmy, Ŝe przeprowadzamy eksperyment Joule’a, ale izolujące ścianki naczynia
zastępujemy ściankami przewodzącymi ciepło. OkaŜe się, Ŝe praca, jaka jest potrzebna do
zmiany temperatury układu o określoną wartość zaleŜy od tego, ile ciepła jest dostarczone lub
odprowadzone z układu. Jednak, jeŜeli zsumujemy pracę wykonaną nad układem i całkowite
ciepło dostarczone lub odprowadzone z układu, to okaŜe się, Ŝe suma ta jest zawsze taka sama
dla danej zmiany temperatury. Oznacza to, Ŝe suma ciepła i pracy wykonanej nad układem
jest równa zmianie energii wewnętrznej układu. Jest to pierwsza zasada termodynamiki,
która jest po prostu zasadą zachowania energii.
Przyjmuje się zwykle, Ŝe zapisujemy W , kiedy praca jest wykonana przez układ nad
otoczeniem.∗ Wtedy − W jest pracą wykonaną nad układem. Na przykład, jeŜeli gaz
rozpręŜa się przesuwając tłok, wykonuje pracę
nad otoczeniem i praca W jest dodatnia.
Praca wychodząca
Ciepło dostarczone
Ciepło Q uwaŜa się za dodatnie, jeŜeli jest
dodatnie
dodatnie
dostarczane do układu i ujemne kiedy ciepło
jest odprowadzane z układu ( Rysunek 14-2 ).
Rysunek 14-2
Stosując tę konwencję i oznaczając energię
wewnętrzną przez U pierwszą zasadę termodynamiki moŜna zapisać w postaci:
Q = ∆U + W
14-8
Ciepło dostarczone do układu jest równe zmianie energii wewnętrznej
układu plus pracy wykonanej przez układ.
Pierwsza zasada termodynamiki
Równanie 14-8 jest takie samo jak twierdzenie o pracy i energii: Wzew = ∆Euk (Równanie 79 ) w wykładzie 6, poza dodaniem wyraŜenia na ciepło Q , zmianą konwencji określenia
znaku pracy i nazwaniu energii układu U .
Energia wewnętrzna U jest funkcją stanu układu, tak samo jak p , V i T . Rozpatrzmy
gaz w stanie początkowym ( p1 ,V1 ) . Temperatura T1 będzie określona równaniem stanu. Na
przykład, dla gazu doskonałego T1 = p1V1 / nR . Energia wewnętrzna U takŜe zaleŜy tylko
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
166
od stanu gazu, który jest określony przez dowolne dwie zmienne, na przykład p i V . JeŜeli
spręŜymy gaz lub pozwolimy mu się rozpręŜyć, doprowadzimy lub usuniemy ciepło z niego,
wykonamy pracę nad nim lub pozwolimy aby gaz wykonał pracę, to gaz będzie przechodził
przez szereg stanów, to znaczy będą zmieniały się funkcje stanu p , V , T i U . Jednak jeŜeli
gaz wróci do stanu początkowego
( p1 ,V1 ) , to temperatura
T i energia wewnętrzna U teŜ
muszą osiągnąć swoje początkowe wartości.
Z drugiej strony, wypadkowe ciepło dostarczone do układu Q i praca W wykonana przez
gaz nie są funkcjami stanu. Nie istnieje Ŝadna funkcja Q lub W związana z dowolnym
określonym stanem gazu. MoŜemy przeprowadzić gaz przez szereg stanów zaczynając i
kończąc w stanie ( p1 ,V1 ) w ten sposób, Ŝe gaz wykona pracę dodatnią i pobierze taką samą
ilość ciepła. MoŜemy równieŜ gaz przeprowadzić przez szereg innych stanów w ten sposób,
Ŝe zostanie wykonana praca nad gazem, a ciepło zostanie odprowadzone z gazu. Dlatego
poprawne będzie jeŜeli powiemy, Ŝe układ posiada duŜą ilość energii wewnętrznej, ale nie
poprawnie jeŜeli powiemy, Ŝe układ posiada duŜą ilość ciepła, czy pracy. Ciepło nie jest
czymś co jest utrzymywane w układzie. Jest raczej miarą energii jaka przepływa z jednego
układu do drugiego z powodu powstałej róŜnicy temperatur.
Dla bardzo małych ilości dostarczonego ciepła, wykonanej pracy lub zmiany energii
wewnętrznej przyjmuje się często zapis pierwszej zasady termodynamiki w postaci:
dQ = dU + dW
14-9
W równaniu tym dU jest róŜniczką zupełną funkcji energii wewnętrznej. Jednak ani dQ , ani
dW nie są róŜniczkami Ŝadnej funkcji. dQ oznacza jedynie, Ŝe mała ilość ciepła została
dostarczona do układu, a dW określa małą ilość pracy wykonanej przez układ.
14-4 Energia wewnętrzna gazu doskonałego.
Energia kinetyczna ruchu postępowego K cząsteczek gazu doskonałego jest związana z
temperaturą T równaniem 13-22:
∗
Wybiera się tak dlatego, poniewaŜ wtedy praca wykonana przez rozpręŜający się gaz jest dodatnia i praca wykonana przez silnik cieplny
teŜ jest wtedy dodatnia (Patrz następny wykład )
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
K=
167
3
nRT
2
gdzie n jest ilością moli gazu, a R jest uniwersalną stałą gazową. JeŜeli energia wewnętrzna
gazu jest po prostu energią ruchu postępowego, wtedy U = K i
U=
3
nRT
2
14-10
Wtedy energia wewnętrzna gazu będzie zaleŜeć tylko od temperatury gazu, a nie będzie
zaleŜeć od objętości i ciśnienia. JeŜeli cząsteczki posiadają dodatkowo inne rodzaje
energii, na przykład energię kinetyczną ruchu obrotowego, to energia wewnętrzna układu
będzie większa niŜ ta dana równaniem 14-10. Ale zgodnie z zasadą ekwipartycji energii,
średnia energia przypadająca na jeden stopień swobody będzie równa
cząsteczkę lub
1
kT na
2
1
RT na mol, tak więc znowu energia wewnętrzna będzie zaleŜeć tylko
2
od temperatury, a nie od objętości czy ciśnienia.
MoŜemy wyobrazić sobie, Ŝe energia wewnętrzna gazu rzeczywistego mogłaby zawierać
inne rodzaje energii, które zaleŜą od objętości i ciśnienia gazu. Przypuśćmy na przykład, Ŝe w
pobliŜu cząsteczek gazu występują siły przyciągania działające na te cząsteczki. Wtedy
potrzebna jest praca, aby zwiększyć odległość między cząsteczkami. W związku z tym
średnia odległość między cząsteczkami wzrasta i wzrasta energia potencjalna związana z
przyciągającymi
się
cząsteczkami.
W
związku z tym energia wewnętrzna będzie
wtedy zaleŜeć zarówno od objętości gazu
Gaz
PróŜnia
jak i jego temperatury.
Joule uŜywając aparatury przedstawionej
na rysunku 14-3 przeprowadził ciekawe
Rysunek 14-3
doświadczenie ustalające, czy energia wewnętrzna gazu zaleŜy od jego objętości. Początkowo
zbiornik po lewej stronie zawierał gaz, a w zbiorniku prawym istniała próŜnia. Pojemniki były
połączone, ale zawór był zamknięty. Cały układ był izolowany cieplnie od otoczenia – ciepło
nie mogło dostać się ani wydostać z układu i Ŝadna praca nie była wykonana. Kiedy zawór
został otwarty, gaz rozpręŜył się do naczynia próŜniowego. Proces ten nazywa się
swobodnym rozpręŜaniem. W końcu gaz osiągnął stan równowagi cieplnej. PoniewaŜ Ŝadna
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
168
praca nie została wykonana i Ŝadna ilość ciepła nie została dostarczona ani odprowadzona, to
końcowa energia wewnętrzna gazu powinna być równa początkowej energii wewnętrznej.
JeŜeli cząsteczki gazu działają na siebie siłami przyciągającymi, to energia potencjalna
związana z tymi siłami wzrośnie, jeŜeli zwiększy się objętość. PoniewaŜ energia jest
zachowana, to energia kinetyczna ruchu postępowego musi zmaleć i w rezultacie temperatura
gazu zmaleje.
Kiedy Joule przeprowadził swój eksperyment stwierdził, Ŝe temperatura końcowa jest
równa temperaturze końcowej. Następnie doświadczenia potwierdzały ten wynik, gdy gazy
miały małą gęstość. Wynika z tego, Ŝe dla gazów posiadających małą gęstość, to znaczy
zbliŜonych do gazu doskonałego, energia wewnętrzna zaleŜy tylko od temperatury. Jednak,
kiedy doświadczenie jest przeprowadzane dla duŜej ilości gazu znajdującego się początkowo
w lewym pojemniku, tzn. posiadającego początkowo duŜą gęstość, to temperatura po
rozpręŜeniu się gazu jest nieco niŜsza niŜ przed rozpręŜeniem. To pokazuje, Ŝe istnieje małe
przyciąganie między cząsteczkami w gazie rzeczywistym.
14-5 Praca i wykres pV dla gazu.
W wielu typach silników praca wykonana jest przez rozpręŜający się gaz nad ruchomym
tłokiem. Na przykład, w silniku parowym woda jest grzana w kotle w celu wytworzenia pary.
Następnie para ta podczas rozpręŜania wykonuje pracę i porusza tłokiem. W silniku
samochodowym mieszanina par benzyny i powietrza jest zapalana, powodując, Ŝe mieszanka
ta eksploduje. W rezultacie wysoka temperatura i ciśnienie powodują, Ŝe gaz rozpręŜa się
gwałtownie poruszając tłok i wykonując pracę.
Procesy (przemiany) kwazistatyczne.
Tłok o powierzchni A
Rysunek
14-4
przedstawia
gaz
doskonały
znajdujący się w pojemniku, w którym porusza
Gaz
pow
się bez tarcia ściśle dopasowany tłok. Kiedy tłok
się porusza, objętość gazu zmienia się. Musi się
zmieniać temperatura albo ciśnienie, albo oba te
parametry na raz,
poniewaŜ są one związane
Rysunek 14-4
równaniem stanu pV = nRT . JeŜeli nagle pchniemy tłok w celu spręŜenia gazu, to ciśnienie
początkowo będzie większe w pobliŜu tłoka niŜ dalej od niego. Po pewnym czasie gaz
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
169
osiągnie stan równowagi i ustali się nowe ciśnienie i nowa temperatura. Dopóki stan
równowagi w gazie nie zostanie przywrócony, dopóty nie jesteśmy w stanie określić
makroskopowych zmiennych takich jak T , p lub U dla całego układu gazu. Jednak, jeŜeli
będziemy przesuwać tłok bardzo wolno - krótkimi etapami i pozwolimy aby gaz za kaŜdym
razem osiągnął stan równowagi po kaŜdym etapie, to moŜemy spręŜyć lub rozpręŜyć gaz w
ten sposób, Ŝe nigdy nie znajdzie się daleko od stanu równowagi. W przemianie tego rodzaju,
zwanej procesem kwazistatycznym, gaz przechodzi przez serię stanów równowagowych. W
praktyce,
moŜliwe
jest
całkiem
dobre
przybliŜenie
jakiejś
przemiany
procesem
kwazistatycznym.
Niech gaz początkowo posiada wysokie ciśnienie i niech rozpręŜa się kwazistatycznie. Siła
wywierana przez gaz na tłok jest równa pA , gdzie A jest polem powierzchni tłoka, a p jest
ciśnieniem gazu. JeŜeli tłok przesunie się o mały odcinek dx , to praca wykonana przez gaz
nad tłokiem jest równa:
dW = Fdx = pAdx = pdV
14-11
gdzie dV = Adx jest równe przyrostowi objętości gazu. Aby obliczyć pracę wykonaną przez
gaz podczas jego rozpręŜania od objętości V1 do V2 , musimy wiedzieć jak zmienia się
ciśnienie podczas rozpręŜania.
Wykres pV.
Stany termodynamiczne gazu moŜna przedstawić na wykresie p w funkcji V . KaŜdy punkt
na wykresie pV przedstawia określony stan gazu. Rysunek 14-4 ilustruje wykres pV , na
którym narysowana jest pozioma linia reprezentująca ciąg
stanów mających to samo ciśnienie p . Linia ta opisuje
rozpręŜanie gazu przy stałym ciśnieniu. Przemianę taką
nazywamy rozpręŜaniem izobarycznym. Przy zmianie
objętości o
∆V zostaje wykonana praca p∆V , która na
wykresie jest równa zacienionemu polu powierzchni. W
przypadku ogólnym, praca wykonana przez gaz jest równa
polu powierzchni pod krzywą na wykresie pV :
Rysunek 14-4
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
170
W = ∫ pdV = Pole pod krzywą na wykresie p w funkcji V .
14-12
Praca wykonana przez gaz.
Rysunek 14-5
Droga A
Droga C
Droga B
Rysunek 14-5 przedstawia trzy róŜne drogi na wykresie pV dla gazu, który początkowo
znajdował się w stanie ( p1 ,V1 ) i przeszedł do stanu końcowego ( p2 ,V2 ) . Zakładamy,
Ŝe
gaz jest doskonały i temperatura początkowa i końcowa jest taka sama, czyli moŜemy
zapisać: p1V1 = p2V2 = nRT . PoniewaŜ energia wewnętrzna zaleŜy tylko od temperatury,
to początkowa i końcowa energia wewnętrzna musi być taka sama.
Na rysunku 14-5a gaz jest podgrzewany przy stałym ciśnieniu, aŜ do momentu gdy
objętość osiągnie wartość V2 , potem jest schładzany w stałej objętości do momentu
osiągnięcia ciśnienia p2 . Praca wykonana wzdłuŜ drogi A jest równa p1 (V2 − V1 ) dla
odcinka poziomego i zero dla części o stałej objętości.
Na rysunku 14-5b gaz jest początkowo chłodzony w stałej objętości aŜ osiągnie ciśnienie
p2 , po czym jest podgrzewany przy stałym ciśnieniu aŜ osiągnie objętość V2 . Praca
wykonana wzdłuŜ drogi B jest równa p2 (V2 − V1 ) i jest znacznie mniejsza niŜ wzdłuŜ drogi
A, co widać porównując zacienione pola.
Na rysunku 14-5c droga C przedstawia rozpręŜanie izotermiczne, tzn. takie kiedy cały
czas temperatura pozostaje stała. Policzmy pracę wykonaną wzdłuŜ drogi C korzystając z
p = nRT / V :
dW = pdV =
nRT
dV
V
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
171
Stąd praca wykonana podczas zmiany objętości od V1 do V2 jest równa :
W=
V2
∫ pdV =
V1
V2
nRT
∫ V dV
V1
PoniewaŜ w przemianie izotermicznej temperatura jest stała, to moŜemy wyłączyć ją przed
znak całki. W rezultacie otrzymamy:
Wizoter = nRT
V2
dV
V2
=
nRT
ln
∫V
V1
V1
14-13
Widzimy, Ŝe w kaŜdej z tych trzech przemian praca wykonana przez gaz jest inna
PoniewaŜ U 2 = U 1 , to ilość ciepła dostarczona musi być róŜna dla kaŜdej z tych przemian.
Dyskusja ta ilustruje fakt, Ŝe zarówno wykonana praca jak i dostarczone ciepło zaleŜą od tego
po jakiej drodze układ przechodzi z jednego stanu do drugiego, natomiast energia wewnętrzna
nie zaleŜy od sposobu przejścia ze stanu początkowego do stanu końcowego.
14-6 Pojemność cieplna gazów.
Określenie pojemności cieplnej substancji dostarcza nam informacji o jej energii
wewnętrznej, która z kolei zaleŜy od budowy cząsteczkowej tej substancji. Dla wszystkich
substancji rozszerzających się pod wpływem dostarczanego ciepła, pojemność cieplna przy
stałym ciśnieniu C' P jest większa od pojemności cieplnej przy stałej objętości C'V . Kiedy
ciepło jest dostarczane przy stałym ciśnieniu, to substancja rozszerza się wykonując pracę,
dlatego potrzeba dostarczyć więcej ciepła dla podwyŜszenia temperatury o zadaną wartość niŜ
wtedy, gdy substancja jest podgrzewana przy stałej objętości. Rozszerzalność jest praktycznie
zaniedbywalna dla ciał stałych i cieczy i w rezultacie C' P ≈ C'V . Jednak dla gazów
dostarczanie ciepła przy stałym ciśnieniu łatwo powoduje przyrost ich objętości i
wykonywana jest konkretna praca, tym samym C' P −C'V nie moŜe być zaniedbane.
JeŜeli ciepło jest dostarczane do gazu przy stałej objętości, to gaz nie wykonuje pracy, w
rezultacie całe dostarczone ciepło idzie na zwiększenie energii wewnętrznej gazu. Oznaczając
QV ciepło dostarczone do układu w stałej objętości otrzymujemy:
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
172
QV = C' V ∆T
PoniewaŜ W = 0 , to z pierwszej zasady termodynamiki otrzymamy:
QV = ∆U + W = ∆U
i w rezultacie:
∆U = C'V ∆T
Zakładając, Ŝe
∆T dąŜy do zera otrzymamy:
dU = C'V dT
14-15
i
C'V =
dU
dT
14-16
Pojemność cieplna w stałej objętości jest równa szybkości zmian energii wewnętrznej wraz ze
zmianą temperatury. PoniewaŜ U i T są funkcjami stanu, to równania 14-15 i 14-16 odnoszą
się do dowolnej przemiany.
Obliczmy teraz róŜnicę C' P −C'V dla gazu doskonałego. Z definicji C' P wynika, Ŝe
ciepło dostarczone przy stałym ciśnieniu jest równe:
QP = C' P ∆T
Z pierwszej zasady termodynamiki otrzymamy:
QP = ∆U + W = ∆U + p∆V
i
C' P ∆T = ∆U + p∆V
Dla nieskończenie małych zmian:
C' P dT = dU + pdV
Podstawiając 14-15 za dU otrzymamy:
C' P dT = C'V dT + pdV
14-17
Ciśnienie, objętość i temperatura dla gazu doskonałego są powiązane z sobą poprzez
pV = nRT
ZróŜniczkujmy powyŜsze równanie stanu przy załoŜeniu, Ŝe dp = 0 dla stałego ciśnienia.
pdV + Vdp = pdV = nRdT
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
173
Podstawiając powyŜsze do równania 14-17 otrzymamy: