Termodynamika

10. FALE, ELEMENTY TERMODYNAMIKI I HYDRODYNAMIKI.
10.9. Podstawy termodynamiki i praw gazowych.
Podstawowe pojęcia
Gaz doskonały: -
Symbolika:
cząsteczki są punktami materialnymi,
-
nie oddziałują ze sobą siłami międzycząsteczkowymi,
-
poruszają się ruchem jednostajnym, prostoliniowym,
-
zderzenia ich są idealnie sprężyste.
- M – masa cząsteczki gazu,
-
m – masa wszystkich cząsteczek gazu w naczyniu,
-
 - masa molowa,
-
N – liczba cząsteczek gazu
-
n – liczba moli gazu,
-
NA – liczba Avogadro (N = n NA)
Stopnie swobody:
cząsteczka jednoatomowa
i=3
cząsteczka dwuatomowa
i=5
Temperatura bezwzględna gazu jest wprost proporcjonalna do średniej energii kinetycznej
ruchu postępowego cząsteczek gazu:
E k  kT gdzie k – stała Boltzmana
Zasada ekwipartycji energii.
W stanie równowagi termodynamicznej, na każdy stopień swobody cząsteczki przypada
przeciętnie taka sama energia kinetyczna Ek = ½ kT (niezależnie od ilości stopni swobody).
1
E k  i  kT
2
Cząsteczka
1
3
Ek  3  kT  kT
2
2
1 – atomowa:
2 – atomowa: E k  E Kpost  E Kobr
1
1
5
Ek  3  kT  2  kT  kT
2
2
2
1
2
1
2
wieloatomowe: E k  3  kT  3  kT  3kT
Równanie stanu gazu doskonałego.
Z teorii kinetyczno-molekularnej gazu wynika, że o ciśnieniu gazu zawartego w naczyniu
decyduje: p 
skoro
Ek 
2N
Ek
3V
3
kT
2
a więc dla stałej masy gazu
więc
m

N
kT
V
pV
 const
T
Dla n – moli gazu jednoatomowego
Skoro n 
p
pV
 nR
T
równanie stanu gazu zapisujemy:
gdzie R – stała gazowa (R = 8,31
pV 
m

J
)
mol  K
RT jest to równanie Clapeyrona.
Energia wewnętrzna i praca.
Energia wewnętrzna – suma wszystkich rodzajów energii, wszystkich cząsteczek danego
ciała. W procesach termodynamicznych zmianie może ulegać tylko suma energii
kinetycznych (i ew. potencjalnych) cząsteczek gazów.
Dla gazu doskonałego energia wewnętrzna
czyli dla gazu jednoatomowego
U
i
U  N  kT
2
3
NkT
2
Zmiana energii wewnętrznej gazu jest równa
U 
3
Nk  T
2
co oznacza, że jest
ona jednoznacznie związana ze zmiana temperatury gazu.
Obliczamy pracę siły zewnętrznej przy sprężaniu gazu tłokiem o powierzchni S.

W  F  dr
korzystając z definicji ciśnienia
F = p S oraz S dr = dV
V2
otrzymujemy W   p  dV
V1
Zał.: r na tyle małe, że p  const wówczas praca wykonana przez siłę zewnętrzną
W  F  r  p  V
Skoro przy sprężaniu V= - V więc
Praca wykonana przez gaz
W = -p V > 0
Wgazu =-p V
I zasada termodynamiki.
Ciepło dostarczone do układu jest zużywane na: zwiększenie energii wewnętrznej gazu i
wykonanie przez układ pracy przeciw siłom zewnętrznym.
Q = U + W  dU = dQ – dW
Najczęściej energia wewnętrzna układu zmienia się równocześnie przez wykonanie pracy i
przekazanie do układu ciepła:
U = Q + W
W przemianach termodynamicznych zmiana energii wewnętrznej U zależy wyłącznie od
tego jaki jest stan początkowy i końcowy układu.
Przemiany gazowe.
1. Przemiana izotermiczna.
p
T1 > T 2 > T 3
T = const
p1V1 = p2V2
U = 0 więc W = -Q
W  RT  ln
V2
V1
T2
T3
T1
V
Rozprężanie izotermiczne: V > 0  W < 0  Q > 0 - gaz pobiera ciepło z otoczenia i
jego kosztem wykonuje pracę.
Sprężanie izotermiczne: V < 0  W > 0  Q < 0 - siła zewnętrzna wykonuje pracę i
gaz oddaje otoczeniu ciepło (o wartości równej wykonanej pracy).
2. Przemiana izochoryczna.
p
V1> V2 > V3
V = const
p1 p 2

T1 T2
V1
V2
V = 0  W = 0  U = Q
V3
T
Ogrzewanie izochoryczne: T > 0  U > 0 
Q > 0 - energia wewnętrzna gazu wzrasta kosztem pobranego ciepła.
Oziębianie izochoryczne: T < 0  U < 0 
Q < 0 - energia wewnętrzna gazu maleje o tyle, ile gaz oddał ciepła do otoczenia.
p
3. Przemiana izobaryczna.
p1> p2 > p3
p = const
p1
V1 V2

T1 T2
p2
p3
W = pV
V
Ogrzewanie izobaryczne:
T > 0  V > 0  W < 0
 Q>0
 U > 0
czyli
U = Q – W
czyli gaz pobiera ciepło z otoczenia, część tego ciepła zostaje zamieniona na pracę, a część
zużyta na wzrost energii wewnętrznej gazu.
Oziębianie izobaryczne:
T < 0  V < 0  W > 0
 Q<0
 U < 0
czyli
U = W – Q
czyli gaz oddaje ciepło do otoczenia, a energia wewnętrzna gazu maleje.
4. Przemiana adiabatyczna.
Brak wymiany ciepła z otoczeniem, tzn. Q = 0  U = W.
Zmianie ulegają wszystkie parametry gazu. Opisana jest równaniem Poissona:
p
p1V1  p 2V2
gdzie  
Cp
CV
adiabata
(Cp, CV to ciepła
molowe w stałym ciśnieniu i objętości).
izoterma
Podczas np. rozprężania adiabatycznego gaz
wykonuje pracę kosztem swojej energii wewnętrznej.
V
W przypadku gazów, ciepło właściwe zależy nie tylko od rodzaju gazu, ale i od tego w jakim
procesie ciepło jest wymieniane z otoczeniem. Inną ilość ciepła należy dostarczyć podczas
ogrzewania izochorycznego, a inną podczas izobarycznego:
Gdy
V = const
p = const
QV= cvmT = CV  nT
Qp= cpmT = Cp  nT
gdzie CV =  cv
gdzie Cp =  cp
QV = U (bo W = 0)
Qp = U – W = U + p V
obu przypadkach energia wewnętrzna gazu wzrasta o tyle samo, bo T są jednakowe
a więc Qp = QV + p V
p V = nR T
Z równania Clapeyrona mamy
a zatem
Qp = QV + nR T
Podstawiając odpowiednio za QV
stąd
Cp = CV + R
i
Qp
otrzymujemy Cp  nT = CV  nT + nR T