1.3 Przestrzenie ilorazowe 1.4 Kilka przydatnych nierówności

1.3
Przestrzenie ilorazowe
Niech X0 będzie podprzestrzenią liniową X0 , +, · przestrzeni liniowej X, +, ·. Określmy zbiór
x + X0 := {x + y : y ∈ X0 } .
Zbiór ten nazywamy warstwą elementu x ∈ X względem podprzestrzeni X0 . Zbiór takich warstw nazywamy
przestrzenią ilorazową przestrzeni X przez podprzestrzeń X0 i oznaczamy symbolem X / X0 . Jeśli teraz w
X mamy określoną relację równoważności R:
x R y ⇐⇒ y − x ∈ X0 ,
to warstwy x + X0 są klasami równoważności względem tej relacji. Taką klasę równoważności oznaczamy
symbolem [x].
Dwie klasy [x1 ] i [x2 ] są zawsze identyczne albo rozłączne. Ponadto, jeśli [x1 ] = [x2 ] i [y1 ] = [y2 ], to [x1 + y1 ] =
[x2 + y2 ] oraz, jeśli [x1 ] = [x2 ] i α ∈ K, to [αx1 ] = [αx2 ] Stąd wynika, że możemy w sposób jednoznaczny
określić działania
+̇ : (X / X0 ) × (X / X0 ) → (X / X0 ) jako [x1 ]+̇[x2 ] = [x1 + x2 ]
: K × (X / X0 ) → (X / X0 ) jako α[x1 ] = [αx1 ].
Przy tych działaniach X / X0 , +̇, jest przestrzenią wektorową. Elementem zerowym tej przestrzeni jest
warstwa [θ] = X0 .
Określmy teraz odwzorowanie
T : X ⊃ x → [x] ∈ X / X0 .
Jest ono liniowe i przekształca X na X / X0 . Ponadto
ker(T ) = {x ∈ X : T x = θ} = {x ∈ X : [x] = [θ]} = {x ∈ X : x − θ ∈ X0 } = {x ∈ X : x ∈ X0 } = X0 .
1.4
Kilka przydatnych nierówności
Lemat 1.1. Niech dane będą dwie liczby u, v 0 oraz p, q > 1 takie, że
1
p
+ 1q = 1 (wykładnik q nazywamy
wtedy sprzężeniem do wykładnika p). Wtedy
uv up v q
+ .
p
q
(4)
Lemat 1.2. Nierówność Höldera (dla sum).
Niech p > 1 i
1
p
+
1
q
= 1. Wtedy
n
k=1
|tk sk | n
|sk |
k=1
p
1 n
p
k=1
12
1
|tk |
q
q
.
(5)
Lemat 1.3. Nierówność Minkowskiego (dla sum).
Niech p > 1 i
1
p
+
1
q
= 1. Wtedy
n
1
p
|tk + sk |p
k=1
2
n
1
|sk |p
p
+
k=1
n
1
|tk |q
q
.
(6)
k=1
Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha
2.1
Przestrzenie unormowane
Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem K liczb rzeczywistych lub zespolonych.
Definicja 2.1.
Nieujemną funkcję x → ||x|| : X → K nazywamy normą, gdy spełnia ona dla dowolnych x, y ∈ X i dowolnego
a ∈ K warunki (tzw. aksjomaty normy):
1. ||x|| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = θ,
2. ||x + y|| ||x|| + ||y|| (warunek trójkąta, inaczej: warunek subaddytywności),
3. ||ax|| = |a| · ||x|| (warunek jednorodności)
Jeżeli funkcja ta spełnia tylko warunki 2 i 3 (niekoniecznie 1), to nazywamy ją pseudonormą (seminormą
lub quasi-normą).
Definicja 2.2.
Przestrzeń liniową X wraz z określoną w niej normą || · ||, czyli parę X, || · || nazywamy przestrzenią
unormowaną.
Również tutaj będziemy w skrócie pisać tylko X, jeśli nie będzie to prowadziło do nieporozumień.
W tej samej przestrzeni liniowej można wporwadzić różne definicje normy, uzyskując w ten sposób różne
przestrzenie unormowane. Na przykład, jeśli weźmiemy przestrzeń funkcji ciągłych na przedziale [0, 1] o
wartościach rzeczywistych, to normę można określić wzorem ||x||C = max0t1 |x(t)|, ale można ją też określić
wzorem ||x||L =
1
0
|x(t)| dt, uzyskując dwie różne przestrzenie unormowane (w pierwszym przypadku mamy
przestrzeń zupełną, a w drugim nie).
Każdą przestrzeń unormowaną traktuje się jako przestrzeń metryczną. Wystarczy przyjąć następującą
definicję odległości dwóch punktów x, y ∈ X:
d(x, y) = ||x − y||.
13
(7)
Łatwo sprawdzić, że tak zdefiniowana odległość spełnia wszystkie aksjomaty metryki.
Ponadto, ze względu na tę definicję odległości, wszystkie pojęcia topologiczne określone dla przestrzeni metrycznych, takie jak np. zupełność, ośrodkowść, zwartość, odnoszą się również do przestrzeni unormowanych.
W szczególności zbieżność ciągu punktów (xn )∞
n=1 ⊂ X do punktu x ∈ X oznacza, że
lim ||xn − x|| = 0.
n→∞
Tak określoną zbieżność nazywamy zbieżnością według normy.
Wymieńmy teraz kilka własności normy, wynikających wprost z definicji.
Lemat 2.1.
Dla dowolnych punktów x1 , x2 , . . . , xn ∈ X zachodzi nierówność:
||x1 + x2 + · · · + xn || ||x1 || + ||x2 || + · · · + ||xn ||.
Jest to uogólnienie nierówności z akjomatu 2 normy.
Dowód. Wystarczy zastosować indukcję względem n.
Lemat 2.2.
Dla dowolnych punktów x, y ∈ X zachodzi nierówność:
|||x|| − ||y||| ||x − y||.
(8)
Dowód. Na mocy aksjomatu 2 mamy
||x|| = ||y + (x − y)|| ||y|| + ||x − y||,
czyli ||x|| − ||y|| ||x − y||. Ze względu na symetrię i aksjomat 3 mamy również: ||y|| − ||x|| ||x − y||.
Razem dostajemy tezę.
Lemat 2.3.
Norma jest funkcjonałem ciągłym, tzn. jeżeli xn → x przy n → ∞, to ||xn || → ||x|| (dla xn , x ∈ X).
Dowód. Jest to natychmiastowy wniosek z nierówności (8).
Lemat 2.4.
Działania algebraiczne w przestrzeni unormowanej są ciągłe, tzn. dla xn , yn , x, y ∈ X oraz an , a ∈ K dla
n = 1, 2 . . . mamy
a) jeżeli xn → x i yx → y, to xn + yn → x + y,
b) jeżeli an → a i xn → x, to an xn → ax.
14
Dowód. Mamy
||(xn + yn ) − (x + y)|| = ||(xn − x) + (yn − y)|| ||xn − x|| + ||yn − y||
dla n = 1, 2, . . . , czyli a). Dla dowodu b) wystarczy zauważyć, że
||an xn − ax|| = ||an (xn − x) + (an − a)x|| ||an (xn − x)|| + ||(an − a)x|| = |an |||xn − x|| + |an − a|||x||
dla n = 1, 2, . . . .
Definicja 2.3.
Dwie normy ||x||1 i ||x||2 w przestrzeni X nazywamy równoważnymi, jeżeli określają to samo pojęcie zbieżności, tzn. jeśli ||xn − x||1 → 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ||xn − x||2 → 0.
Na przykład, jeśli weźmiemy wspomnianą wcześniej, przestrzeń funkcji ciągłych na przedziale [0, 1] o
wartościach rzeczywistych, i normy określone wzorami ||x||C = max0t1 |x(t)|, ||x||L =
1
0
|x(t)| dt, to nie są
one równoważne.
2.2
Przykłady przestrzeni unormowanych
Klasyczny przykład przestrzeni unormowanej skończenie wymiarowej:
Przykład 7.
Przestrzeń lnp , gdzie p 1. Elementami tej przestrzeni są omawiane już wcześniej układy n liczb rzeczywistych
lub zespolonych z Kn : x = (t1 , t2 , . . . , tn ) z normą
||x|| :=
n
1
p
|tk |p
.
k=1
Należy sprawdzić, że spełnione są aksjomaty normy. Aksjomat 1 i 3 otrzymujemy natychmiast, bo
n
1
p
|tk |p
= 0 ⇐⇒ tk = 0 ∀k=1,2,... ⇐⇒ x = θ
k=1
oraz
||ax|| =
n
1
|atk |
p
p
= |a|
k=1
p
n
1
|tk |
p
p
= |a|
k=1
n
1
|tk |
p
p
= |a|||x||.
k=1
Warunek trójkąta dla p = 1 jest oczywisty również (z nierówności trójkąta dla wartości bezwzględnej). Dla
p > 1 zastosujemy nierówność Minkowskiego (6) z x = (s1 , s2 , . . . , sn ) i y = (t1 , t2 , . . . , tn ). Wtedy
||x + y|| =
n
k=1
1
|tk + sk |
p
p
n
1
|sk |
k=1
Zatem || · || jest normą.
15
p
p
+
n
k=1
1
|tk |
q
q
= ||x|| + ||y||.
Zauważmy, że w przypadku p = 2 otrzymujemy zwykłą przestrzeń euklidesową n-wymiarową z odległością
między punktami wyrażoną metryką euklidesową, a dodatkowo w przypadku n = 2 otrzymujemy R2 lub Z2
(czyli punkty na płaszczyźnie) ze “szkolną” definicją odległości.
Klasycznymi przykładami przestrzeni unormowanych ciągowych nieskończenie wymiarowych są:
Przykład 8.
Przestrzeń m ciągów ograniczonych z normą ||x|| = supk |tk |, dla x = (tk )∞
k=1 ∈ m. Przestrzeń tę oznacza się
też symbolem l∞ .
Oczywiście || · || jest normą, co wynika z własności supremum.
Istotnie. Dla dowolnych x = (tk ), y = (sk ) ∈ m, α ∈ K mamy
||x|| = 0 ⇐⇒ sup |tk | = 0 ⇐⇒ |tk | = 0 ∀k=1,2,... ⇐⇒ tk = 0 ∀k=1,2,... ⇐⇒ x = θ.
k
||x + y|| = sup |tk + sk | sup(|tk | + |sk |) sup |tk | + sup |sk | = ||x|| + ||y||.
k
k
k
k
||αx|| = sup |αtk | = sup(|α||tk |) = |α| sup |tk | = |α|||x||.
k
k
k
Przykład 9.
Przestrzeń c ciągów zbieżnych z normą ||x|| = supk |tk |.
Przykład 10.
Przestrzeń c0 ciągów zbieżnych do zera z normą ||x|| = supk |tk |.
Przykład 11.
Przestrzeń lp szeregów zbieżnych z p-tą potęgą, gdzie p 1. Elementami tej przestrzeni są ciągi nieskończone
liczb rzeczywsitych lub zespolonych x = (tk )∞
k=1 , dla których
∞
k=1
|tk |p < ∞ z normą ||x|| = (
∞
k=1 |tk |
p
1
)p .
Istotnie. Aksjomaty 1 i 3 normy są spelnione w sposób oczywisty. Aby zaś udowwodnić nierówność trójkąta i
liniowość przestrzeni, należy skorzystać z nierówności Minkowskiego dla sum (6). Przechodząc w niej stronami
do granicy przy n → ∞, otrzymujemy:
∞
k=1
1
|tk + sk |
p
p
∞
1
|sk |
p
k=1
p
+
∞
1
|tk |
q
q
, p 1,
(9)
k=1
wykonując podstawienia jak w przypadku przestrzeni lnp .
Klasycznymi przykładami przestrzeni funkcyjnych nieskończenie wymiarowych są:
Przykład 12.
Przestrzeń C(Ω, K) funkcji ciągłych x : Ω → K, gdzie Ω jest zbiorem zwartym (w prostym przypadku może
to być np. przedział domnknięty [a, b] z normą ||x|| = supt∈Ω |x(t)|. Oczywiście norma jest dobrze określona,
tzn. jest to na pewno liczba i jest nieujemna, bo każda funkcją ciągła na zbiorze zwarytm jest też ograniczona
(i osiąga swoje kresy). Spełnienie aksjomatów normy jest oczywiste.
16
Przykład 13.
Przestrzeń Lp (Ω, Σ, µ) funkcji całkowalnych z p-tą potęgą, p 1.
Wyjaśnienie:
Σ jest σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω,
µ jest miarą w Ω Lp (Ω, Σ, µ) jest przestrzenią klas równoważności funkcji x, które są Σ-mierzalne i takie, że
Ω
|x(t)|p dµ < ∞, ze względu na relację równości µ-prawie wszędzie, tzn. utożsamiamy ze sobą każde dwie
funkcje, które są równe sobie µ-prawie wszędzie na Ω (bo wtedy różnią się tylko na zbiore miary zero, a taki
zbiór nie ma wpływu na wartość całki). Dla indywidualnej funkcji x będziemy pisali krótko x ∈ Lp , gdy
odpowiadająca tej funkcji klasa równoważności [x] ∈ Lp .
Zauważmy najpierw, że Lp jest przestrzenia liniową. Istotnie, weźmy x, y ∈ Lp oraz α ∈ K. Wtedy
∞i
Ω
Ω
|x(t)|p dµ <
|y(t)|p dµ < ∞. Zauważmy ponadto, że
|x(t) + y(t)|p 2p (|x(t)|p + |y(t)|p) ,
zatem
Ω
|x(t) + y(t)|p dµ Ω
2p (|x(t)|p + |y(t)|p ) dµ = 2p
Ω
|x(t)|p dµ +
Ω
|y(t)|p dµ < ∞,
więc x + y ∈ Lp . Analogicznie pokazujemy, że αx ∈ Lp .
Określamy w tej przestrzeni normę:
||x|| =
p
Ω
|x(t)| dµ
1
p
.
Aksjomaty 1 i 3 normy są spełnione w sposób oczywisty (z wlasności całek). Pozostaje pokazać nierówność
trójkąta. Niech więc x ∈ Lp , y ∈ Lq , gdzie
1
p
+
1
q
= 1, p, q > 1. Biorąc w nierówności (4):
|x(t)|
|y(t)|
u= 1 , v =
1
( Ω |x(s)|p dµ) p
( Ω |y(s)|q dµ) q
i całkując ją stronami względem t, otrzymujemy nierówność Höldera dla całek:
Ω
|x(t)y(t)| dµ gdzie x ∈ Lp , y ∈ Lq , p, q > 1,
1
p
+
1
q
Ω
|x(t)|p dµ
1 p
Ω
|y(t)|q dµ
1
q
,
(10)
= 1. Stosująć tę nierówność, otrzymujemy podobnie, jak wcześniej,
nierówność Minkowskiego dla całek:
Ω
p
|x(t) + y(t)| dµ
1
p
Ω
p
|x(t)| dµ
1
p
+
Ω
p
|y(t)| dµ
1
p
,
(11)
gdzie x, y ∈ Lp , p 1. Zapisując nierówność Minkowskiego za pomocą normy w Lp , otrzymujemy nierówność
trójkąta dla || · ||.
17
2.3
Przestrzenie Banacha
Powiemy, że przestrzeń unormowana X, || · || jest zupełna, jeśli przestrzeń metryczna X, d jest zupełna
(skoro każda przestrzeń unormowana jest metryczna z metryką d(x, y) = ||x − y||).
Przypomnijmy zatem, że przestrzeń metrycza X jest zupełna, jeśli każdy ciąg (xn )∞
n=1 jej elementów, spełniający warunek Cauchy’ego, jest zbieżny do pewnego elementu x0 tej przestrzeni X.
Przypomnijmy również, że ciąg (xn )∞
n=1 elementów przetrzeni metrycznej X, d spełnia warunek Cauchy’ego
(jest ciągiem Cauchy’ego) w X, d, gdy dla każdej liczby ε > 0 istnieje taka liczba N, że dla każdych
m, n > N zachodzi nierówność d(xn , xm ) < ε.
Zapiszmy to za pomocą normy w przestrzeni unormowanej.
Ciąg (xn )∞
n=1 elementów przetrzeni unormowanej X, || · || spełnia warunek Cauchy’ego (jest ciągiem
Cauchy’ego) w X, || · ||, jeśli
∀ε>0 ∃N ∀m,n>N ||xn − xm || < ε.
Definicja 2.4.
Przestrzeń unormowaną X, || · ||, która jest zupełna, nazywamy przestrzenią Banacha.
Wszystkie przestrzenie unormowane z poprzedniego paragrafu są przestrzeniami Banacha. Wystarczy
tylko pokazać ich zupełność. Zrobimy to na końcu niniejszego wykłdu.
Przykład 14. Przestrzenie c, c0 i lp .
Ćwiczenie.
Uwaga 3.
Jeżeli 1 p1 < p2 , to lp1 ⊂ lp2 ,
Uwaga 4.
Jeżeli 1 p1 < p2 i µ(Ω) < ∞ to Lp1 (Ω, Σ, µ) ⊂ Lp2 (Ω, Σ, µ).
2.4
Ośrodkowość wybranych przestrzeni.
Przypomnijmy najpierw pojęcie ośrodkowości przestrzeni.
Definicja 2.5.
Przestrzeń metryczna X jest ośrodkowa, jeśli istnieje zbiór co najwyżej przeliczalny Z ⊂ X gęsty w X, tzn.
domknięcie zbioru Z równe jest całej przestrzeni X.
Wynika stąd natychmiast, że również przestrzeń unormowana X jest ośrodkowa, jeśli istnieje zbiór co
najwyżej przeliczalny Z ⊂ X gęsty w X.
18
Wiadomo, że przestrzeń X = K = R jest ośrodkowa, zbiorem Z jest wtedy zbiór liczb wymiernych, bo jest
przeliczalny i jego domknięcie jest całym R. Analogicznie można stwierdzić, że jeśli X = C, to zbiorem Z
(ośrodkiem) jest wtedy zbiór liczb postaci a + bi, gdzie a, b są wymierne. Postępując tak dalej, dostaniemy,
2
że przestrzeń lm
przestrzeń euklidesowa m-wymiarowa jest ośrodkowa, ośrodek stanowić będą punkty o
współrzęnych wymiernych. Zajmijmy się teraz przestrzeniami nieskończenie wymiarowymi.
Przykład 15. X = m - przestrzeń ciągów liczbowych z normą supremum
Przestrzeń ta nie jest ośrodkowa.
Istotnie, gdyby istniał zbiór Z ⊂ m przeliczalny i gęsty w m, to wtedy (oznaczając elementy zbioru Z przez
x) zbiór wszystkich kul K(x, 12 ) dla x ∈ Z pokrywałby całą przestzreń m. Niech teraz zbiór Z0 oznacza zbiór
wszystkich ciągów zero-jedynkowych. Oczywiście ciągi te są ograniczone, ale jest ich nieprzeliczalna ilość.
Ponieważ kul jest co najwyżej przeliczalna ilość, więc w przynajmniej jednej kuli muszą leżeć dwa różne
punkty x1 , x2 ∈ Z0 . Niech x0 będzie środkiem takiej kuli. Wtedy
||x1 − x2 || ||x1 − x0 || + ||x0 − x2 || <
1 1
+ = 1,
2 2
co jest niemożliwe, bo z definicji normy w przestrzeni m wynika, że ||x1 − x2 || = supk |tk − sk | = 1.
Przykład 16. X = l - przestrzeń ciągów sumowalnych
Przestrzeń ta jest ośrodkowa.
Należy wskazać zbiór Z będący jej ośrodkiem. Niech więc Z będzie zbiorem wszystkich punktów postaci
y = (t1 , t2 , . . . , tm , 0, 0, . . . ),
gdzie m = 1, 2, . . . , a t1 , t2 , , . . . tm są liczbami wymiernymi. Wtedy y ∈ l bo,
∞
k=1
|tk | =
m
k=1 |tk |
< ∞. Jak
łatwo widać, zbiór Z jest przeliczalny, wystarczy więc pokazać jego gęstość w l. Weźmy w tym celu dowolny
x = (ts )∞
k=1 ∈ l. Musimy pokazać, że w dowolnym jego otoczeniu istnieją punkty ze zbioru Z. Weźmy zatem
ε > 0 i niech m będzie takie ustalone, że
∞
1
|sk | ε.
2
k=m+1
Wybierzmy dalej takie liczby wymierne t1 , t2 , . . . , tm tak, aby
m
1
|tk − sk | ε.
2
k=1
Przyjmijmy y = (t1 , t2 , . . . , tm , 0, 0, . . . ). Wtedy
||y − x|| =
m
|tk − sk | +
k=1
∞
|sk | ε.
k=m+1
Zatem w każdym epsilonowym otoczeniu punktu x ∈ l istnieją punkty y ∈ Z. Z dowolności x mamy tezę.
Zanim podamy kolejny przykład przestrzeni ośrodkowej, sformułujemy przydatne twierdzenie o aproksymacji funkcji ciągłych wielomianami. Zainteresowanych szczegółami dowodu, odsyłamy do [5] lub [6].
19
Twierdzenie 2.1. Twierdzenie Weierstrassa o aproksymacji funkcji ciągłych wielomianami.
Jeżeli u jest funkcją ciągłą określoną na podzbiorze zwartym Ω przestrzeni euklidesowej m-wymiarowej, to
istnieje ciąg wielomianów zbieżny jednostajnie na Ω do funkcji u.
Twierdzenie 2.2. Twierdzenie Weierstrassa o aproksymacji funkcji ciągłych wielomianami trygonometrycznymi.
Jeżeli u jest funkcją ciągłą zmiennej rzeczywsitej okresową o okresie 2π, to istnieje ciąg wielomianów trygonometrycznych zbieżny jednostajnie na na zbiorze R do funkcji u.
Wyjaśnijmy, że wielomianem trygonometrycznym nazywamy funkcję postaci
w(t) = a0 +
n
(ak coskt + bk sinkt),
k=1
przy czym z określenia tego widać, że jeśli w(t) jest wielomianem trygonometrycznym, to w(t + t0 ) też oraz,
że suma i iloczyn dwóch wielomianów trygonomterycznych też są wielomianami trygonometrycznymi.
Przykład 17. Przestrzeń C(Ω, K)
Przestrzeń ta jest ośrodkowa. Przykładem zbioru przeliczalnego gęstego Z jest zbiór wszystkich wielomianów
o współczynnnikach wymiernych. Istotnie, weźmy dowolną funkcję u : Ω → K. Zbiór Ω jest zwarty, więc na
podstawie twierdzenia Weierstrassa o aproksymacji funkcji ciągłych wielomianami dla każdej liczby ε > 0
istnieje taki wielomian w0 , że
1
|u(t) − w0 (t)| ε dla wszystkich t ∈ Ω.
2
Oczywiście można znaleźć wielomian w o współczynnikach wymiernych, spełniający nierówność:
1
|w0 (t) − w(t)| ε dla wszystkich t ∈ Ω
2
(wystarczy, aby współczynniki wielomianu w dostatecznie mało różniły się od odpowiednich współczynnników wielomianu w0 ). Z obu powyższych nierówności wynika, że
|u(t) − w(t)| |u(t) − w0 (t)| + |w0 (t) − w(t)| dla wszystkich t ∈ Ω.
Zatem
||u − w|| = sup |u(t) − w(t)| ε.
t∈Ω
Z dowolności funkcji u ∈ C(Ω, K) i ε > 0 wynika, że zbiór wielomianów o współczynnikach wymiernych jest
gęsty w tej przestrzeni. Wystraczy jeszcze tylko zauważyć, że zbiór ten jest przeliczalny.
Przykład 18. Przestrzeń L(Ω, K)
Przestrzeń ta jest ośrodkowa. A jeśli zbiór Ω jest ograniczony, to zbiór przeliczalny złożony ze wszystkich
wielomianów o współczynnikach wymiernych jest gęsty w tej przestrzeni.
20
2.5
Izomorfizm przestrzeni unormowanych
Rozważmy dwie przestrzenie unormowane X, || · || ( w skrócie będziemy pisali tylko X i Y ).
Definicja 2.6.
Przestrzenie unormowane X i Y nazywamy izomorficznymi, jesli istnieje odwzorowanie różnowartościowe
liniowe U przestrzeni X na przestrzeń Y takie, że ||xn || → 0 wtedy i tylko wrtedy, gdy ||U(xn )|| → 0.
Odwzorowanie U nazywamy izomorfizmem X na Y .
Jeśli dodatkowo spełniony jest warunek ||U(x)|| = ||x|| dla każdego x ∈ X, to przestrzenie X i Y nazywamy
izometrycznie izomorficznymi.
Przykład 19.
Przestrzenie c i c0 są izomorficzne. Jako odwzorowanie U przestrzeni c na c0 będące izomofizmem można
∞
wybrać U(x) = y, dla y = (sk )∞
k=1 dla x = (tk )k=1 , przy czym s1 = g, sk+1 = g − tk dla k = 1, 2, . . . ,
g = limk→∞ tk .
2.6
Szeregi elementów przestrzeni unormowanej
Rozważmy ciąg nieskończony elementów przestrzeni unormowanej X, czyli ciąg postaci (an )∞
n=1 , gdzie an ∈ X
dla każdego n = 1, 2, . . . . W szczególnym przypadku, gdy X = R jest to znany z wcześniejszych wykładów
ciąg liczbowy.
Definicja 2.7.
Powiemy, że szereg
∞
n=1
an jest zbieżny, jeżeli zbieżny jest jego ciąg sum częściowych, tzn. ciąg elementów:
Sm =
m
an = a1 + a2 + · · · + am P dla m = 1, 2, . . .
n=1
jest zbieżny do pewnego elementu a ∈ X. Element a nazywamy wówczas sumą szeregu i piszemy
∞
an = a.
n=1
Z ciągłości działań w przestrzeni unormowanej wynikaja natychmiast twierdzenia.
Twierdzenie 2.3.
Jeżeli szeregi
szereg
∞
∞
n=1 (an
n=1
an i
∞
n=1 bn
elementów przestrzeni unormowanej X są zbieżne, to zbieży jest również
+ bn ) i zachodzi równość:
∞
Twierdzenie 2.4. Jeżeli szereg
∞
liczby α zbieży jest również szereg
n=1
n=1 an
∞
(an + bn ) =
n=1
∞
an +
n=1
∞
an .
n=1
elementów przestrzeni unormowanej X jest zbieżny, to dla każdej
αan i zachodzi równość:
∞
αan = α ·
n=1
∞
n=1
21
an .
Twierdzenie 2.5.
Załóżmy, że X jest przestrzenią Banacha. Szereg
∞
n=1
an elementów tej przestrzeni jest zbieżny wtedy i tylko
wtedy, gdy
∀ε>0 ∃N ∈N ||am+1 + am+2 + · · · + a)m || ε dla m > n N,
(12)
Dowód.
Zauważmy że
||am+1 + am+2 + · · · + am || = ||Sm − Sn ||,
zatem warunek (12) jest równoważny temu, że ciąg (Sm )∞
m=1 sum częściowych tego szeregu jest ciągiem
Cauchy’ego. Ale X jest przestrzenią Banacha, więc jest to równoważne zbieżności tego ciągu, co z definicji,
daje zbieżność szeregu
∞
n=1 an .
Definicja 2.8.
Powiemy, że szereg
∞
n=1
an jest zbieżny bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg liczbowy
∞
n=1 ||an ||.
Twierdzenie 2.6.
Każdy bezwzględnie zbiezny szereg
∞
n=1
an elementów przestrzeni Banacha jest zbieżny, a jego suma spełnia
nierówność:
∞
an ∞
n=1
||an ||.
(13)
n=1
Dowód.
Zauważmy że, jeżeli ε jest daną liczbą dodatnią, to wobec zbieżności szeregu liczbowego
∞
n=1
||an || istnieje
takie N, że
||an+1 + an+2 + · · · + ||am || ε dla m > n N.
Z nierówności trójkąta dla normy mamy natychmiast:
||am+1 + am+2 + · · · + am || ||an+1 + an+2 + · · · + ||am || ε dla m > n N.
Zatem zbieżność szeregu
∞
n=1 an
jest konsekwencja poprzedniego twierdzenia (bo ciąg sum częściowych
spełnia warunek Cauchy’ego). Aby uzyskać nierówność (13) wystarczy przejść do granicy przy m → ∞ w
nierówności
m
an n=1
m
||an || (m = 1, 2, . . . ),
n=1
uwzględniając ciągłość normy (i fakt, że szeregi są zbieżne).
Można odowodnić również twierdzenie odwrotne:
Twierdzenie 2.7.
Jeżeli każdy bezwzględnie zbieżny sezreg
∞
n=1 an
elementów przestrzeni unormowanej X jest zbieżny, to X
jest przestrzenią Banacha.
22