Siła grawitacji jako siła dośrodkowa. III Prawo Keplera. Ruchy

Temat: Siła grawitacji
jako siła dośrodkowa.
III Prawo Keplera.
Ruchy satelitów.
1. Oddziaływania grawitacyjne są
odpowiedzialne za ruch wszystkich planet
Układu Słonecznego.
W celu uproszczenia rozważań przyjmuje się,
że:
- planety (i ich księżyce) poruszają się po
okręgach,
- promienie okręgów są równe średniej
odległości planet od Słońca (lub księżyców od
planet).
2. III prawo Keplera
Iloraz kwadratu okresu obiegu planety i
trzeciej potęgi jej średniej odległości od
Słońca jest jednakowy dla wszystkich planet
Układu Słonecznego.
T
 const
R
2
3
Powyższe twierdzenie Kepler sformułował na
podstawie długoletnich obserwacji.
3. Wyprowadzenie wzoru dla III prawa Keplera –
droga rozumowania dedukcyjnego.
Przyjmujemy, że siła grawitacji jest siłą
dośrodkową w ruchu planety o masie mp
wokół Słońca o masie Ms.
F F
G
d
GM m m V

r
r
GM
V
r
S
p
p
2
S
2
2
m
:
r
p
GM
V
r
GM  2r 


r
 T 
V  2r 


T 

2
S
2
S
GM 4 r

r
T
GM T
 4
r
T
4

r GM
2
2
S
2
T

r
2
2
2
S
3
2
2
3
S
2
: GM
S
T
4

r GM
4
 const
GM
2
2
3
S
2
S
T
 const
r
2
3
2
T T

r
r
1
2
3
1
2
2
3
4. III prawo Keplera można stosować dla
każdego układu satelitów krążących
wokół tego samego ciała niebieskiego.
5. I prędkość kosmiczna – to prędkość o
kierunku poziomym, którą trzeba nadać
ciału na powierzchni ciała niebieskiego,
aby okrążało je tuż nad powierzchnią.
6. Wzór na I prędkość kosmiczną.
Przyjmujemy, że siła grawitacji jest siłą
dośrodkową w ruchu planety o masie mp
wokół Słońca o masie Ms.
F F
d
G
m V GM m

r
r
GM
V 
r
2
p
S
2
2
S
GM
GM
VV 
rr
S S
I
p
m
:
r
p
7. Pierwsza prędkość kosmiczna Ziemi.
Nm
G  6,67 10
kg
GM
V 
M

6

10
kg
R
11
2
Z
24
I
Z
z
R  6,37 10 m
6
Z
m
km
V  7 ,9 10  7 ,9
s
s
3
I
2
8. II prędkość kosmiczna – najmniejsza
prędkość pozioma, którą trzeba nadać
ciału, aby odleciało od ciała niebieskiego
do nieskończoności.
Wartość drugiej prędkości kosmicznej
dla Ziemi wynosi:
km
V  11,2
s
II
9. Zachowanie ciała w zależności od poziomej
szybkości nadanej mu na powierzchni Ziemi.
a) V<7,9 km/s – ciało spada na powierzchnię
Ziemi,
b) V=7,9 km/s – ciało porusza się po okręgu
wokół Ziemi,
c) 7,9 km/s<V<11,2 km/s – ciało porusza się
po elipsach wokół Ziemi,
d) V>11,2 km/s – ciało odlatuje do
nieskończoności od Ziemi.
10. Satelita geostacjonarny – krąży po orbicie
leżącej w płaszczyźnie równika tak, że okres
jego obiegu jest równy okresowi ruchu
obrotowego Ziemi.
11. Promień satelity geostacjonarnego.
GM T
r
4
3
2
Z
2
Jego wartość wynosi r  42200km.
Po odjęciu promienia Ziemi, wysokość na jakiej
znajduje się satelita wynosi h  35830km.