Zestaw zadań z mechaniki kwantowej dla IFMU + I

Zestaw zadań z mechaniki kwantowej dla IFMU + I
1. Funkcja falowa, przestrzeń Hilberta, ortogonalizacja, operatory
1. Podstawowe wiadomości
1.1 Proszę podać interpretację funkcji falowej (interpretacja kopenhaska).
1.2 Proszę omówić podstawowe własności przestrzeni liniowej.
1.3 Proszę podać i wyjaśnić pojęcia:
a) zbiór wektorów liniowo niezależnych;
b) wymiar przestrzeni liniowej;
c) baza (przestrzeni liniowej);
d) składowe wektora w bazie;
e) iloczyn skalarny.
1.4 Proszę podać definicję przestrzeni Hilberta.
2. Zadania wprowadzające
2.1 Rozważyć trzy elementy przestrzeni liniowej rzeczywistych macierzy 2x2:
0 1
1 1
 − 2 − 1
1 =
, 2 =
, 3 =


.
0 0
0 1
 0 − 2
a) czy są one liniowo niezależne? Odpowiedź uzasadnij.
b) zaproponuj zbiór macierzy 2x2 (czterech) liniowo niezależnych. Odpowiedź uzasadnij.
2.2 Udowodnić, że dla dowolnego wektora rozkład:
n
V = ∑ vi i ,
i =1
(wektory i tworzą bazę) jest jednoznaczny.
3. Twierdzenie Grama-Schmidta
3.1 Zbuduj bazę ortonormalną w przestrzeni dwuwymiarowej, wychodząc od wektorów
A = 3i + 4 j i B = 2i − 6 j .
3.2 Z wektorów bazy
3
0 
 0




I = 0 , II = 1 , III = 2
 
 
 
0
2
5
utworzyć bazę ortonormalną.
4. Operatory liniowe – własności podstawowe
4.1 Wykazać, że dla operatora spełniającego równanie własne w postaci
ΩV =ωV
wartości własne ω wektora V można obliczyć z równania
det (Ω − ωI ) = 0
zaś wektory własne z równania
∑ (Ωij − ωδ ij )v j = 0 .
j
I jest macierzą jednostkową.
4.2 Wyznaczyć wszystkie unormowane wektory własne i wartości własne operatorów
1 0 0 
a) R = 0 0 − 1 ,


0 1 0 
1 3 1 
b) Ω = 0 2 0 .


0 1 4
5. Operatory w przestrzeni nieskończenie wymiarowej
5.1 Podać postać operatora kwadratu całkowitego pędu we współrzędnych kartezjańskich.
5.2 Podać postać operatora składowej lz momentu pędu w układzie sferycznym.
5.3 Podać postać operatora momentu pędu we współrzędnych:
a) kartezjańskich;
b) sferycznych (wykazać, że l 2 = − 2 Λ , gdzie Λ =
∂ 
∂2
1 ∂ 
1
).
ϑ
sin
+


sin ϑ ∂ϑ 
∂ϑ  sin 2 ϑ ∂ϕ 2