Elektrotechnika i Elektronika

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA CZ. 1
Wykład 1: Oznaczenia w odwodach elektrycznych, moc dostarczona, moc
użyteczna, dopasowanie odbiornika do źródła w układach prądu stałego.
Sprawność układu zasilania. Równoważna zamiana źródeł. ................................ 2
Wykład 2: Metody rozwiązywania liniowych układów rozgałęzionych prądu
stałego. Zasada superpozycji. ................................................................................ 7
Wykład 3: Dwójniki liniowe aktywne. Parametry zastępcze układu
równoległego. Metoda dwóch węzłów. Twierdzenia Thevenine’a, Nortona. .... 17
Wykład 4: obwody nieliniowe prądu stałego: metoda charakterystyki
wypadkowej, metoda przecięcia charakterystyk, zastosowanie tw. Thevenine’a.
............................................................................................................................. 22
Wykład 5: Układy prądu przemiennego jednofazowego. Przebiegi sinusoidalne.
Wartości chwilowe, maksymalne, średnie, skuteczne napięć i prądów.
Interpretacja wektorowa wielkości elektrycznych w przestrzeni czasowej.
Elementy idealne: opornik, cewka indukcyjna, kondensator; moc chwilowa i
średnia.................................................................................................................. 33
Wykład 6: Impedancja, reaktancja, admitancja i susceptacja. Moc czynna, bierna
i pozorna. Wykresy wektorowe. Rezonans napięć i prądów. ............................. 46
1
Wykład 1: Oznaczenia w odwodach elektrycznych, moc dostarczona, moc
użyteczna, dopasowanie odbiornika do źródła w układach prądu stałego.
Sprawność układu zasilania. Równoważna zamiana źródeł.
1. Strzałkowanie prądów i napięcia w obwodzie
I
+
Rodb
G
UG
Uodb
-
źródło
odbiornik
R
I
U
2. Generatory Energii Elektrycznej
2.1 Źródło napięcia
a) idealne źródło napięcia
- oznaczenie na schemacie
U=E
gdzie – E siła elektromotoryczna źródła napięcia
E
Rw=0
2
- charakterystyka napięciowo – prądowa idealnego źródła napięcia
I
U
E
przy E = const, gdy Rw = 0 (oporność wewnętrzna źródła), teoretycznie
można pobierać prąd I  
a) rzeczywiste źródło napięcia
I
Rw
Rodb
E
źródło
Rw>0
U
odbiornik
U=Uodb=I . Robc
- Bilans napięć w obwodzie ze źródłem o rezystancji wewnętrznej Rw
E  I  Rw  U
U  U odb  E  I  Rw
- Stan jałowy źródła napięcia:
Robc    I  0
U=E
3
- Stan zwarcia rzeczywistego źródła napięcia:
Robc = 0  U = 0
I
E
Rw
- Charakterystyka zewnętrzna (obciążenia) rz. źr. napięcia
U
Uw = I * Rw
Punkt pracy układu
E
Uodb = I * Rodb
I
E
I
Rw
2.2 Źródła prądu
a) Idealne źródła prądu
- oznaczenie na schemacie
Iźr
Iźr – prąd źródłowy (wydajność prądowa źródła)
- charakterystyka napięciowo – prądowa idealnego źródła prądu
I
Iźr
U
Rw = 0, Gw 
1

Rw
4
b) Rzeczywista źródła prądu
I
Gw
Robc
Iźr
źródło
Rw>0  Gw>0
U
odbiornik
I = Iobc
I źr  I w  I obc
I obc  I źr 
U
 I źr  U  G w
Rw
- Stan jałowy źródła prądu
Robc =   I = 0
U = Iźr . Rw
- Stan zwarcia rz. źródła prądu
Robc = 0  I = Iźr  Iw = 0
U=0
- charakterystyka zewnętrzna (obciążenia) rz. źr prądu
5
I
I = Iźr
Iw 
Iźr
I  I odb 
U
 U  Gw
Rw
Punkt pracy układu
U
Rodb
Uw = Iźr * Rw
U
3. Równoważna zamiana źródeł
a) zamiana źródła napięcia na źródło prądu
a
a
Iźr
Rw
U
R
Gw
U
R
E
b
U  E  Rw
b

I
E U
Rw
I
E
U

Rw Rw
E
U

I
Rw Rw
I źr  I w  I
gdy I = 0  I żr 
E
 E  Gw
Rw
b) zamiana źródła prądu na źródło napięcia
6
a
a
Iżr
Rw
Gw
U
R
U
R
E

I  I obc  I źr  U  Gw
I źr  I obc I źr I obc


Gw
Gw Gw
I
gdy Iobc=0 U  E  źr
Gw
U
Wykład 2: Metody rozwiązywania liniowych układów rozgałęzionych prądu
stałego. Zasada superpozycji.
Prawo Ohma i prawa Kirchhoffa
1. Postaci wektorowe
- natężenie pola elektrycznego E - wektor (niezmienne w czasie)
- gęstość prądu J - wektor
Prawo Ohma: w postaci wektorowej (lub różniczkowej)
J  E
 - przewodność właściwa, konduktywność
I prawo Kirchhoffa: w postaci wektorowej
 J  dS   J  dS   J  dS   J  dS   J  dS
S1
S2
 J  dS  0
S3
S4
S5
Pole wektorowe gęstości prądu jest bezźródłowe
S
II prawo Kirchhoffa: w postaci wektorowej
7
D
A
B
E
C
E
Eźr
U AB   E  dl ; U BC   E  dl
AB
BC
U ABC   E  dl   E  dl 
AB
BC
 E  dl ;
E ADC 
ABC
E
g
 dl
ADC
 E  dl
E
ABC
g
 dL 
E
g
E źr - źródłowe natężenie pola elektrycznego
 dL
ADC
UWAGA: W różnych punktach drogi całkowania: – A – B, B – C,
natężenie pola elektrycznego E jest różne w związku z rozmaitymi
przekrojami poprzecznymi i różnymi konduktywnościami na drodze
całkowania.
2. Postaci skalarne
- Prawo Ohma
*) I   J  dS
***) R   
S
**) U  U AB   E  dl
l
S
G    Sl
AB
w postaci skalarnej (lub całkowej)
U=R . I
I=G . U
8
I prawo Kirchhoffa
I3
I1
I4
I2
I5
I1 + I2 + I3 = I4 + I5
II prawo Kirchhoffa
R1
E2
I1
R2
E1
I2
R3
I3
R1 . I1 + R2 . I2 – R3 . I3 = E1 – E2
9
Bilans energetyczny
Podczas przepływu prądu przez oporniki wydziela się na nich ciepło.
Zgodnie z zasadą zachowania energii – ilość ciepła wydzielona w
jednostce czasu winna być równa ilości energii dostarczonej przez źródła
układu:
a) gdy układ zasilany jest tylko ze źródeł SEM
I
2
 R   E  I I – moc źródła napięcia
I
E
R
b) gdy układ zasilany jest tylko ze źródeł prądu:
I
2
 R  U ab  I źr
Iźr
Iżr
a
R
Uab
b
c) całkowity bilans energetyczny
I
2
 R   E  I  U ab  I k
Zasada superpozycji:
Prąd w k-ej gałęzi jest równy sumie algebraicznych prądów wzbudzanych przez
każdą SEM układu z osobna.
Ik = Ik1 + Ik2 + … + Iki
Jest to zasada ważna dla wszystkich liniowych układów elektrycznych.
10
Ik1
E1
Ik
E1
Ei
Ik2
E2
Iki
Ei
Uwaga:
Uziemienie jednego punktu układu
przy uziemieniu jednego dowolnego punktu układu rozpływ prądów w
układzie nie zmienia się.
METODY ROZWIĄZYWANIA ROZGAŁĘZIONYCH
UKŁADÓW LINIOWYCH PRĄDU STAŁEGO.
A. metoda praw Kirchhoffa
- układ rozgałęziony jest rozwiązywany ze względu na niewiadome układu tj.
najogólniej – prądy gałęziowe.
- zagadnienie jest następujące:
- ile równań należy ułożyć żeby układ rozwiązać?
- ile równań należy ułożyć:
- zgodnie z I pr. Kirchhoffa?
- zgodnie z II pr. Kirchhoffa?
Jeśli:
b – liczba gałęzi układu
bźr – liczna gałęzi układu ze źródłami prądu
11
to liczba nieznanych prądów = (b – bźr) (zakładamy, że znamy źródła prądowe)
Aby otrzymać układ równań liniowo niezależnych zgodnie z I pr. Kirchhoffa,
ich liczba wynosi
(y – 1),
gdzie
y – liczba węzłów układu
Pozostałe równania należy ułożyć zgodnie z II pr. Kirchhoffa tj.
(b – bźr) – (y – 1) = b – bźr – y + 1
ponadto:
- układając równania zgodnie z II pr. Kirchhoffa należy uwzględnić wszystkie
gałęzie układu
- każde nowe oczko dla którego układane jest równanie winno zawierać co
najmniej jedną nową gałąź; są to tzw. oczka niezależne.
PRZYKŁAD:
I1
R3
E1
R2
R1
R4
E2
Dane:
I3
Szukane:
E1 = 80 V
R3 = 3 Ω
I1 = ?
E2 = 64 V
R4 = 1 Ω
I2 = ?
R1 = 6 Ω
I3 = ?
R2 = 4 Ω
12
Rozwiązanie:
w układzie:
- b = 3, bźr = 0, y = 2;
- zgodnie z I pr. K. liczba równań (y – 1), tj.
- I1 + I2 = I3
jedno równanie prądowe
- zgodnie z II pr. K. liczba równań:
(b – bźr) – (y – 1) = (3 – 0) – (2 – 1) = 2
2 równania napięciowe
- wybór oczek niezależnych;
- określenie obiegu konturowego w oczkach niezależnych, w tym przypadku
zgodnie z ruchem wskazówek zegara
- I1 . R1 – I2 . R2 = E1 + E2
- I2 . R2 + I3(R3 + R4) = -E2
Po rozwiązaniu układu trzech równań z trzema niewiadomymi otrzymuje się:
I1 = 14 A
I2 = -15 A
I3 = -1 A.
Znaki minus oznaczają, że zwroty prądów rzeczywistych są przeciwne do
przyjętych na rysunku.
B. metoda prądów oczkowych
Wprowadza się pojęcie prądu oczkowego i przyjmując, że:
- każde niezależne oczko ma swój prąd oczkowy;
- ze względu na prądy oczkowe, dla oczek niezależnych, układa się równania
napięciowe
- równania oczkowe są rozwiązywane przede wszystkim ze względu na prądy
oczkowe.
Następnie zostają wyznaczone prądy gałęziowe z pomocą I pr. K.
13
Uwaga: W metodzie prądów oczkowych zasadniczą liczba niewiadomych jest
równa liczbie prądów oczkowych, stąd podstawowy układ równań jest mniejszy
niż w metodzie praw Kirchhoffa.
PRZYKŁAD
R2
R3
R1
R5
I11
R4
I22
E1
E5
E4
Równanie napięciowe pierwszego oczka:
(R1 + R2)I11 + R5(I11 – I22) = E1 + E5
lub
(R1 + R2 + R5)I11 + (-R5)I22 = E1 + E5
dla drugiego oczka:
-R5(I11 – I22) + (R3 + R4)I22 = -E5 – E4
lub
(-R5)I11 + (R3 + R4 + R5)I22 = -E5 – E4
w postaci ogólnej:
R11 . I11 + R12 . I22 = E11
R21 . I11 + R22 . I22 = E22
R11 = R1 + R2 + R5
E11 = E1 + E5
R22 = R3 + R4 + R5
E22 = -E4 – E5
14
R12 = R22 = -R5
[R] . [I] = [E]
C. zamiana kilku równoległych gałęzi, zawierających źródła sem i źródła
prądu z jedną gałęzią zastępczą
I
I1
a
I3
I2
R1
I
a
R2
Ir
R3
E1
Is
Gz
E2
E3
Ez
b
b
I1 + I2 + I3 + Ir + Is = I
I1 =
E1  U ab
= (E1 – Uab)G1
R1
I2 = (E2 – Uab)G2
…
In = (En – Uab)Gn
Stąd:
n
I   Ik 
k 1
n
E
k 1
k
q
n
k 1
k 1
 Gk   I k - U ab  G k
I = Ez . Gz – Uab . Gz
gdzie:
n
G z   Gk
k 1
n
q
k 1
k 1
E z  G z   E k  Gk   I k
15
q
n
Ez 
 E k  Gk   I k
k 1
k 1
n
G
k 1
k
PRZYKŁAD
Dokonać równoważnej zamiany układu równoległego gałęzią zastępczą
I
I
a
a
E1’
Rz
Iżr
E2
R3
R1
R2
E3
Ez
E1’’
b
b
E1’ = 10 V
R1 = 2 Ω
E1’’ = 30 V
R2 = 4 Ω
G2 = 0,25 S
E2 = 40 V
R3 = 1 Ω
G3 = 1 S
E3 = 60 V
R4 = 5 Ω
G4 = 0,2 S
Rz 
1

4
G
k 1
Ez 
k 1
G1 = 0,5 S
1
 0,513
0,5  0,25  1  0,2
k
4
E
Iżr = 6 A
k
 Gk  I K
4
G
k 1

(10  30)  0,5  40  0,25  60  1  6
 18,4V
1,95
k
Rz = 0, 513 Ω
Ez = 18,4 V
16
Wykład 3: Dwójniki liniowe aktywne. Parametry zastępcze układu
równoległego. Metoda dwóch węzłów. Twierdzenia Thevenine’a, Nortona.
Metoda dwóch węzłów
a
R1
R2
a
R3
E1
R4
E2
R5
Gz
E3
U0 = Uab = Ez
b
b
Niech w równaniu (*) (p. pkt. C)
n
n
q
n
k 1
k 1
k 1
k 1
I   J k   Ek  Gk   J k  U ab  Gk
prąd I = 0, wówczas
q
n
U ab 
E
k 1
k
 Gk   J k
k 1
n
G
k 1
n
gdzie
G z   Gk
k 1
k
PRZYKŁAD
W podanym układzie:
- obliczyć napięcie na zaciskach Uab,
- zbilansować moc układu,
17
I1
I2
a
I3
I4
R1
E3
R2
R3
R4
E1
b
E1 = 120 V
E3 = 50 V
R1 = 2 Ω
R2 = 4 Ω
R3 = 1 Ω
R4 = 10 Ω
 U ab 
I1 

120 * 0,5  50 *1
10

 5,4V
0,5  0,25  1  0,1 1,85
E1  U ab 120  5,4

 57,3 A
R1
2
E 2  U ab 0  5,4

 1,35 A
R2
4
I 3  55,4 A
I2 
I 4  0,54 A
 Zapotrzebowanie mocy w układzie wynosi:
I12 . R1 + I22 . R2 + I32 . R3 + I42 . R4 =
= 57,32 . 2 + 1,352 . 4 + 55,42 . 1 + 0,542 . 10 = 9647 W
 Źródła sem. dostarczają mocy:
E1 . I1 – E3 . I3 = 120 . 57,3 – 50 . 55,4 = 9647 W
18
Twierdzenie o zastępczym generatorze napięcia – twierdzenie Thevenine’a
A
a
Ez = U0a-b
b
Rz = Rwej a-b
A – dwójnik:
- liniowy,
- aktywny
Twierdzenie: każdy liniowy dwójnik aktywny o zaciskach a-b można zastąpić
układem szeregowo połączonych:
- sem. zastępczej– Ez, o wartości równej napięciu stanu jałowego U0a-b na
zaciskach tego dwójnika.
- i rezystancji zastępczej Rz widzianej od strony zacisków a-b dwójnika, przy
zwarciu samodzielnych źródeł napięcia i rozwarciu samodzielnych źródeł prądu.
19
Twierdzenie o zastępczym generatorze napięcia c.d.
PRZYKŁAD
Wyznaczyć prąd o płynący przez R5, korzystając z twierdzenia Thevenine’a
R1 = R4 = 1 Ω
R2 = 4 Ω
R3 = 2 Ω
R5 = 2 Ω
E1 = 10 V
a
a
R1
R3
c
d
R5
R2
c
R4
Rab
E1
Rz = Rwej 
ab
d
d
R1  R3
R R
1 * 2 4 *1
 2 4 

 1,47
R1  R3 R2  R4 1  2 4  1
Uab = Va - Vb
U ab 
E1
E1
R2
R1
4
1
R2 
R1  E1 (

)  10(

)  4,67V
R2  R4
R1  R3
R2  R4 R1  R3
4 1 1 2
20
PRZYKŁAD
Wyznaczyć wskazanie amperomierza
U
+
R1
-
E3
E2
a
A
E1
R1
I
b
R1 = 10 Ω
R2 = 20 Ω
E1 = 60 V
E2 = 20 V
E3 = 10 V
U = 40 V
rozwiązanie:
E1 + E2 = I(R1 + R2) – U
I
E1  E2  U 60  20  40

 4A
R1  R2
10  20
Uab = E1 – I . R1 + E3 = 60 – 4 . 10 + 10 = 10 V
Rz 
R1  R2 10  20 3

 
R1  R2
30
2
I A  I3 
U ab 10

 15 A
2
Rz
3
21
Wykład 4: obwody nieliniowe prądu stałego: metoda charakterystyki
wypadkowej, metoda przecięcia charakterystyk, zastosowanie tw. Thevenine’a.
- Układy nieliniowe są to układy które nie spełniają zasady superpozycji; są to
układy z elementami nieliniowymi.
- Nieliniowe elementy układu:
- nieliniowa rezystancja,
- nieliniowa indukcyjność,
- nieliniowa pojemność.
- Oporności nieliniowe można podzielić na dwie grupy:
1. oporności nieliniowe niesterowane
2. oporności nieliniowe sterowane
Przykłady charakterystyk oporów nieliniowych (w zakresie prądu stałego)
a) napięciowo – prądowa charakterystyka symetryczna
I
U
f(x) = - f ( -x )
22
b) napięciowo – prądowa charakterystyka niesymetryczna (prostownik)
I
f (x)  - f (-x)
U
c) Dioda Zenera - stabilition
I
Uz
U
23
d) Dioda tunelowa – element z opornością ujemną
I
U
e) rodzina napięciowo – prądowych charakterystyk tranzystora
I
5
4
3
2
S
T
E
R
O
W
A
N
I
E
1
U
24
f) napięciowo – prądowa charakterystyka tyrystora
I
U
Podstawowe metody graficzne rozwiązywania obwodów elektrycznych
nieliniowych prądu stałego
I.
Metoda charakterystyki wypadkowej
II.
Metoda przecięcia charakterystyk
25
Rozwiązywanie zadań z jednym elementem nieliniowym
1. W układzie szeregowo połączonych elementów
R
a
I
E
RN
b
Dane są E, R oraz charakterystyka RN
a) Układ rozwiązać metodą charakterystyki wypadkowej.
I
R
RN
P
Rwyp
B
A
(A + B)
U
U
RN
UR
E
Dodawanie prądowe charakterystyk składowych
26
b) Układ rozwiązać metoda przecięcia charakterystyk
I
RN
Iz 
E
R
Iukł
P
R
Charakterystyka dwójnika a-b,
zasilającego opornik RN
U
RN
UR
U
E = UO
Wyznaczenie punktu pracy P układu jako punktu przecięcia charakterystyk
dwójnika a-b (zasilającego RN) i charakterystyki opornika RN.
2. Połączenie równoległe
I1
R
Igł
Ugł
RN
I2
E
27
a) Metoda charakterystyki wypadkowej
Rwyp
I
(a + b)
Igł
P
RN
b
R
I2
b
a
I1
a
U
Ugł = E
Dodanie napięciowe charakterystyk składowych
b) Metoda przecięcia charakterystyk
I
RN
I1
R
P
I2


U
Ugł = E
28
Wyznaczenie punktu przy P układu na podstawie przecięcia charakterystyk
dwójnika a – b (zasilającego opornik RN), i charakterystyki opornika RN.
Rozwiązywanie zadań z kilkoma elementami nieliniowymi
1. Szeregowe połączenie rezystancji nieliniowych
RN1
RN2
E
metoda charakterystki wypadkowej:
U
Rwyp
E
RN2
RN1
UN2
UN1
I
Iukł
29
2. Układ szeregowo – równoległy połączenia rezystancji nieliniowych
RN2
RN1
RN3
metoda charakterystyki wypadkowej:
I
RN1 + RN2
RN2
RN1
RN3
Rwyp.
U
30
Zastosowanie twierdzenia Thevenine’a do rozwiązywania obwodów
nieliniowych prądu stałego
E3
E1
R1
E2
R2
R3
Iźr
R4
a
b
RN
Dane są charakterystyka nieliniowej RN
I
RN
U
oraz parametry układu a – b:
R1
E1
R2
E2
R3
E3
R4
Iżr
31
I krok rozwiązania: równoważna zamiana dwójnika a – b zgodnie z
twierdzeniem Thevenin’a.
a
a
A
Ez = U0
b
Rz
b
II krok rozwiązania: na przykład metoda przecięcia charakterystyk:
I
a
I
IN
Ez
Ez
Rz
Rz
P
IN
b
E2
U
RN
U
U
R2
U
I  I N
 RN  RN
I RN
U  U RN
W punkcie P  
Tak obliczona wartość parametru RN wchodzi do danych zadania w przypadku
gdy chcemy wyznaczyć prądy i napięcie w części liniowej układu.
32
Wykład 5: Układy prądu przemiennego jednofazowego. Przebiegi sinusoidalne.
Wartości chwilowe, maksymalne, średnie, skuteczne napięć i prądów.
Interpretacja wektorowa wielkości elektrycznych w przestrzeni czasowej.
Elementy idealne: opornik, cewka indukcyjna, kondensator; moc chwilowa i
średnia.
Prąd sinusoidalnie przemienny – jest generowany przez źródła jakimi są
generatory przemiennej sinusoidalnie sem.
 2  t

i  I m  sin 
    I m  sin t   
 T

T
Im


2
T/2
T
t
Im – amplituda przebiegu (prądu)
T – okres funkcji okresowej, czas w którym dokonuje się jedno pełne drgnienie
f 
1
- częstotliwość, oznacza liczbę drgań (na 1 sek) na jednostkę czasu)
T
  2f 
2
- częstość kątowa
T
(t   ) - argument kątowy funkcji sinus
 - składowa argumentu kątowego, faza początkowa
33
Dowolną funkcję sinusoidalną określają trzy wielkości:
- amplituda,
- częstość kątowa,
- faza początkowa.
Sinusoidalne sem:
- w zakresie do kilku kHz otrzymuje się dzięki generatorom
synchronicznym (przetworniki elektromechaniczne)
- w zakresie wysokich częstotliwości, z pomocą generatorów
półprzewodnikowych
Oznaczenie wielkości w elektortechnice
u
 małe litery, wartości chwilowe
i
Um 
 duże litery, tu: wartości maksymalne (indeksowanie)
Im 
 - kąt fazy początkowej zależy od wyboru chwili początkowej
np.
t = 0,
sin( 0   )  1 ,
wówczas
gdy i = imax,
stąd
  90 
Różnica ( 1   2 ) dwóch funkcji i1(t) oraz i2(t) oznacza różnicę faz, lub
przesunięcie fazowe tych funkcji
34
Wartość średnia prądu i napięcia sinusoidalnego – wartość średnia
półokresowa
T
2
I śr 
1
2
I m  sin t  dt   I m

T 0

2
I śr 
2

 I m  0,638  I m
podobnie
T
2
T
2

1
1
1 Em
E śr   e  dt  E m  sin t  dt  
sin t  d (t )  0,638E m
T 0
T
T  0
0
2
2
2
U śr 
2

Um
Wartość skuteczna
T
1 2
I
i dt =
T 0
E
Em
U 
Um
T
I
1
2
I m  sin 2 t  dt  m  0,707 I m

T0
2
2
2
Tak definiowane wartości nazywane są również wielkościami
średniokwadratowymi.
35
Interpretacja fizyczna wartości skutecznej
T
2
T
Im
0 u  i  dt  0 R  i  dt  R  2  T
2
2
I
R  m  T  R  I 2 staly  T
2
I staly  I 
Im
2
Wartość skuteczna I prądu sinusoidalnego przemiennego odpowiada takiej
wartości prądu stałego, który płynąc przez rezystancję R wydzieli na niej taką
samą ilość ciepła co prąd stały płynący przez opornik R w tym samym czasie.
Współczynnik amplitudy (lub współczynnik szczytu) to stosunek amplitudy
funkcji okresowej do jej wartości skutecznej.
ka 
Im
=
I
2
Współczynnik kształtu
Im
kk 
I

 1,11
= 2 
2
I śr
2
2
Im

UWAGA: dla przebiegów okresowych niesinusoidalnych
ka  2
k k  1,11
36
Interpretacja wektorowa przebiegu sinusoidalnie przemiennego.
W interpretacji wektorowej sinusoidalnie przemiennych przebiegów
elektrycznych, promieniom jednostkowym w kole trygonometrycznym można
nadać walor wektora ***
koło
trygonometryczne

Im
i
t
t=0
np. i  I m  sin t
Im lub
Im
2
I

i
t
t=0

np. i  I m  sin( t   )
37
niech np. i  i1  i2  I m1  sin t  I m2  sin( t  90) ,
Im1

i1

Im
i
i2
Im2
wówczas wartość amplitudy wektora wypadkowego określa wyrażenie
I m  I m1  I m 2
2
2
I2

I
przesunięcie
równoległe
wektora I2
I1
I2
Sumowanie wektorów wartości skutecznych prądów i1(t) i i2(t).
UWAGA: Wektory nie muszą mieć swoich początków w początku układu
współrzędnych ale można je przesunąć do początku układu współrzędnych
38
U2
U3
U
U1
U = U1 + U2 + U3
sumowanie geometryczne wektorów napięć
UWAGA:
Wykresy wektorowe (wskazowe) są stosowana przede wszystkim ze względu na
wyznaczanie:
- wartości wypadkowej kilku wielkości składowych
- przesunięć fazowych przebiegów prądów i napięć w układzie
Idealna rezystancja w obwodzie prądu przemiennego
R
C = 0, L = 0
i
R
u
i
U Um

 sin t  I m  sin t
R
R
Im 
Um
U
, I
R
R
39
Przebiegi czasowe wartości chwilowych prądu i napięcia
u, i
Um
u
Im
i
t
U
I
wykres wektorowy (wskazowy)
p  2  U  I  sin 2 t
T
p  U  I  U  I  sin 2t 
sin   sin  
P
1
p  dt  U  I
T 0
1
1
cos(   )  cos(   )
2
2
Moc chwilowa, moc średnia
u  U m sin t
i  I m sin t
p  u  i  U m sin t  I m sin t  U m  I m sin 2 t
Um  U  2
Im  I  2
u, i, p
p
U*I
i
u
t
40
Idealna pojemność w obwodzie prądu przemiennego
C
R = 0, L = 0
i
C
u
iC
u  U m  sin t
du
d [sin t ]
 C U m
dt
dt
i  I m  sin t
Przebiegi czasowe i (t), u (t)
U, i
u
I
i
t
U
wykres wektorowy (wskazowy)
41
Moc chwilowa, moc średnia
p  u  i  U m sin t  I m cos t  2U m  I m sin t cos t  U  I  sin 2t
u, i, p
p
+
+
u
i
t
-
T
1
P   U  I  sin 2t  0
T0
Idealna indukcyjność w obwodzie prądu przemiennego
L
R = 0, C = 0
e
i
L
U
U
e  L
di
dt
U L
di
dt
i  I m  sin t
u  U m sin( t  90)  U m  cos t
42
Przebiegi czasowe i (t), u (t)
U, i
U
u
i
t
I
Moc chwilowa i moc średnia
p  u  i  U m cos t  I m sin t  U  I  sin 2t
u, i, p
p
+
+
u
i
t
-
T
P
1
U  I  sin 2t  0
T 0
43
Moc chwilowa i średnia układu złożonego
Dany jest układ:
UR
UL
I
U
u, i, p
p
+
u
+
i
t
-
-
UL
U

I
UR
(i, u )
44
Moc chwilowa:
i  I m sin t
u  U m sin( t   )
p  U m  I m  sin( t   )  sin t
p  U  I  cos   U  I  cos( 2t   )
1
2
składowa
składowa
stała
przemienna
Moc średnia
T
1
P   p  dt  U  I  cos 
T0
to
gdy: cos   
 :
i
jeśli: I = const,
U = const
to P  ;
lub
jeśli P = const,
U = const
to I 
45
Wykład 6: Impedancja, reaktancja, admitancja i susceptacja. Moc czynna,
bierna i pozorna. Wykresy wektorowe. Rezonans napięć i prądów.
Moc czynna, bierna i pozorna
UR
UL
UC
I
U
UL
UC
U
(UL – UC)

UR
I
UC
Wyznaczenie napięcia układu U:
U  U R  (U L  U C ) 2 (*)
2
U  UR U X
2
2
U R  U  cos 
U X  U  sin 
46
I – wspólny prąd układu;
Obustronne mnożenie równania (*) przez prąd I:
U  UR U X * I
2
2
I  U  ( I  U R ) 2  ( I  U X ) 2  ( I  U  cos  ) 2  ( I  U  sin  ) 2 ; oznaczając
moc pozorna
U I  S
[VA]
moc czynna
U  I  cos   P
[W]
moc bierna
U  I  sin   Q
[VAr]
S  P2  Q2
stąd trójkąt mocy
S
Q

P
Trójkąt oporności w układach prądu przemiennego
Obustronne dzielenie równania (*) przez prąd I
U  UR U X : I
2
2
U 2R  U 2x 
U
U
 U

  
   cos     sin  
 
I
I
 I

 I   I 
U
Z
I
oporność pozorna, impedancja;
47
U
 cos   Z  cos   R
I
oporność czynna, rezystancja;
U
 sin   Z  sin   X
I
oporność bierna, reaktancja;
U L UC 
2
2


  (X L  X C )  Z  R  (X L  XC )
I
I


UL  X L  I  X L    L
UL  XC  I  XL   C
L1
L2
L3
X L  2f  L
n
L   Li
i 1
C1
n
1
1

C i 1 Ci
C2
XC 
C3
1
2f  C
Trójkąt oporności
Z
X

R
48
Układy rozgałęzione, układ równoległy RLC
R
IR
XL
IL
I
XC
IC
U
a) Wykres wektorowy napięć i prądów
IC
-IL
I
(IL – IC)
Ic

IR
U
IL
I R  I  cos 
I X  I  sin 
I  IR  I X :U
2
2
2
I
I  I 
  R   X 
U
U  U 
2
Y  G2  B2
49
Y
1
Z
admitancja, przewodność pozorna;
G
1
R
konduktancja;
B
1
X
susceptancja;
I
U
 U Y
Z
G  Y  cos 
B  Y  sin 
Równoważna zamiana układu oporowego RLC na układ przewodnościowy
G  Y  cos  
R  Z  cos 

B  Y  sin  
X  Z  sin 
cos  
R
Z
sin  
X
Z
Y
1
Z
G
1 R
R
  2
Z Z Z
B
1 X
X
  2
Z Z Z
2
 R   X 
Y   2   2 
Z  Z 
2
50
Rezonans napięć
R
XL
XC
I
U
Z  R2  ( X L  X C )2
jeśli:
XL = XC
to:
XLC = 0
Z=R
-
XL = XC:
o  L 
1
o 
fo 
1
o C
LC
1
2 LC
-
UL = UC
 1 
  I
(o  L)  I  
 o  C 
U
 I max
R
-
I
-
U L  U C  0  L  I
U L  U C  o  L 
o  L
R

U
1
U


R o  R R
U
1
 L Q
o  C  R U
Dobroć układu rezonansowego
51
DOBROĆ układu rezonansowego: Ile razy napięcie na indukcyjności
(pojemności) przewyższa napięcie na wejściu układu.
UL
-UC
UR
I
UC
Niech {R, L, C i U} = const
 = var
I
L
U
1 

R 2   L 

C 

QR
0
C
1
o  R  Q
I
U

R
1
  o 

1  Q 2 



o


2
(**)
52
Wyznaczenie przebiegów w funkcji częsttliwości:
I, Z, UL, UC = f (  )

X  L 
1
C
  0 
X 
to
-
z (**)  I  0
o 
I
1
LC
 X 0
U
 I max
R
-
   X 
I 0
Z  R2  ( X L  X C )2
dla
  0  Z 
X C 
dla
  o  Z  R
XC  XL
dla
  Z 
X L 
UL  I  X L 
U
R2  ( X L  X C )2
 XL
lub
Q
U L  L  I  U

o
  o 

1  Q 



 o

2
2
jeśli
f  0 UL  0
f  U L  U
53
ULmax dla f > fr, gdy
dU L
0
df
Z
I
UC
UL
U

fr
Pasmo przepuszczania
Jeśli
R  Q  *1 *
R  Q  *2 *
I
Ir
*2*
Ir
2
*1*
1
2

54
Moc pobierana przez układ przy rezonansie
Pmax  U  I r
1
U I
U Ir
Pmax 


2
2
2 2
I
Ir
2
Pasmo przepuszczania:
1    2 gdy
I
Ir
2
Dobroć układu rezonansowego:
 2  1
R
1


r
r  L Q
PRZYKŁAD:
Dane:
Szukane:
R = 10 Ω
o = ?
L=1
Q=?
C = 1 µF
UC = ?
U = 10 mV
o 
Q
I
1
LC
o  L
R


1
10
6
 10 3 [ s 1 ]
10 3  1
 100
10
U 0,01

 1[mA]
R
10
U C  Q  U  100  0,01  1[V ]
55
Rezonans prądów
I
IL
U
IC
IR
I  U  G 2  ( BL  BC ) 2
  C 
jeśli BL = BC
  o 
1
L
1
LC
wówczas
IC = U . BC,
IL = U . B L
IC = IL
56
IC
-IL
IR
U
IL
Jeśli
BC = BL
to
Y = Ymin  Z = Zmax
gdy
G  0  Z 
I
IC
IL
IR
r

57