zadania

Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw F 3
Imię i nazwisko........................................................................................., sala ........, miej sce <
Data ..................... godz. ................., suma punktów..................... ocena
1.
Z dwóch produktów A i B , w których są istotne dwa składniki: S1 i S2, należy ustalić dietę minimalizującą koszt żywienia. Zawartość
obydwu składników w produktach, ceny produktów ( w zł) oraz minimalną ilość tych składników w diecie zawiera tabela. Produktu A
w diecie nie może być więcej niż produktu B.
A
S1
2
S2
3
cena
4
ad. a) Zmienne decyzyjne:


B
2
0
2
Min. ilość składnika
12
6
Sformułuj powyższy problem w postaci zadania PL.
Znajdź optymalne jego rozwiązanie metodą graficzną.
Podaj ile wynosi nadwyżka składnika S1i S2 w diecie.
Utwórz zadanie dualne, którego optymalnym rozwiązaniem
jest: y1 = 1, y2 = 2/3 i y3 = 0.
Podaj jak się zmieni koszt, jeżeli musimy zwiększyć ilość
składnika S2 w diecie o 3 jed.
ad. b)
ad. c) Nadwyżka S1 =
, gdyż
Nadwyżka S2 =
, gdyż
ad. d) Zadanie dualne:
a)
b)
c)
d)
e)
Zadanie PL:





2.
>, grupa ..........
Roz. Opt. xA =
xB =
Koszt =
ad. e)
Inwestor zamierza kupić akcje dwóch firm A i B. W tabeli podano stopy zwrotu ( w %) w trzech ostatnich miesiącach.
miesiące
1
2
3
A
20
10
0
B
12
18
6
a)
b)
c)
ad. a) Stopa zwrotu:
Ustal średnią stopę zwrotu, wariancję i kowariancję dla
obydwu akcji.
Sformułuj zadanie maksymalizujące stopę zwrotu portfela
przy ryzyku v* = 36.
Sprawdź czy portfel: xA = 0, xB = 1 jest portfelem
optymalnym.
rA =
ad. b) Zmienne decyzyjne:
rB =


Wariancja:
vA =
vB =
Zadanie:




Kowariancja:
ad. c) Sprawdzenie rozwiązania:
cov (rA, rB)
Zestaw F 3
3.
Do oceny rozwoju pięciu krajów wybrano trzy cele cząstkowe: PKB (w tys. dolarów/osobę), liczba samochodów na 100 mieszkańców,
średnia długość życia (w latach)
kraje
PKB
l. samoch.
dł. życia
A
5
20
65
B
1,5
60
70
C
6
20
60
D
12
40
80
ad. b) Wartość metakryterium dla poszczególnych krajów



E
11
50
75
Utwórz macierz realizacji celów cząstkowych.
Stosując metakryterium z wagami w1 = 0,5, w2 = 0,2,
w3 = 0,3, ustal mierniki syntetyczne i uporządkuj kraje od
najlepszego do najgorszego.
c) Sprawdź, czy uporządkowanie się zmieni, jeżeli do
agregacji celów cząstkowych zastosujemy jednakowe wagi.
a)
b)
ad. a) Macierz stopni realizacji celów cząstkowych
kraje
A
B
C
D
PKB
l. samoch.
dł. życia
E

ad. c) Nowe uporządkowanie krajów:

Uporządkowanie krajów:
4.
Firma produkująca polędwicę ustaliła następującą zależność między popytem na polędwicę, mierzonym wielkością sprzedaży S
(w tonach/ tydz.), a poziomem dochodów konsumentów D (w zł /1 osobę) i ceną polędwicy (w zł /1 kg):
S = 40 D0,6 C-1,5.
Oszacowano także zależność między kosztem produkcji K (w tys. zł) a wielkością produkcji Q (w tonach/ na tydz.)
K = 40 + 15 Q.
Zakładamy, że tygodniowa produkcja jest równa tygodniowej sprzedaży. Aktualna cena C’ = 20 zł/1 kg, a aktualna sprzedaż
S’ = Q’ = 30 ton.
a) Ustal aktualny przychód, koszt i zysk.
b) Podaj jak się zmieni sprzedaż poledwicy, jeżeli jego cena zostanie obniżona o 10 %. Ustal nową cenę i nową sprzedaż.
c) Oblicz jaki będzie nowy przychód, koszt i zysk.
d) Podaj czy podjęta decyzja jest słuszna.
ad. a) Nowy przychód, koszt i zysk:
 P’ =
ad. c) Nowy przychód, koszt i zysk:
 P’’ =
 K’ =
 K’’ =
 Z’ =
 Z’’ =
ad. d) Uzasadnienie decyzji:
ad. b) zmiana sprzedaży, nowa sprzedaż, nowa cena:
  S/S =
 S’’ =
 C’’ =
Teoria:
1.
2.
3.
4.
Przedstaw, dlaczego podany graf nie opisuje poprawnie struktury przedsięwzięcia.
Podaj ideę metody potencjałów.
Co można ustalić korzystając ze wzoru analitycznego dla zagadnienia gazeciarza.
Dla gry o sumie zerowej, w której dwie firmy A i B walczą o udział na rynku, podano następującą macierz wypłat.
B1
B2
B3
A1
2
-3
4
A2
4
-5
-3
a) Ustal stan równowagi Nasha.
b) Podaj jak się zmienią udziały.
5. Podaj wykres funkcji hiperbolicznej y = 0 + 1/x i do opisu jakich zjawisk można ją wykorzystać.
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw F 4
Imię i nazwisko........................................................................................., sala ........, miej sce <
Data ..................... godz. ................., suma punktów..................... ocena
1.
>, grupa ..........
Mleczarnia może produkować do 8 ton masła tygodniowo. Wytwarza dwa gatunki masła A i B. Ze względu na ograniczony popyt
masła A nie można wytwarzać więcej niż 4 tony, natomiast masła B nie mniej niż 2 tony ( ze względu na podpisane umowy z
nabywcami). Cenę jednostkową i zysk jednostkowy ( w tys. zł/1 tonę) podano w tabeli:
A
10
2
Cena
Zysk
a)
B
15
-1
b)
c)
ad. a) Zmienne decyzyjne:

d)

Zadanie wielocelowe:

Sformułuj powyższy problem w postaci zadania
wielocelowego,
jeżeli
wiadomo,
że
mleczarnia
maksymalizuje swój przychód i zysk.
Znajdź optima cząstkowe stosując metodę graficzną.
Podaj maksymalny przychód, zysk oraz zbiór Pareto –
optymalny ( zaznacz go także na wykresie).
Ustal decyzję kompromisową, jeżeli dla decydenta
jednostka zysku ma wartość 5 razy wyższą od jednostki
przychodu.
ad. b)





ad. c) Max przychód =
max zysk =
Zbiór Pareto optymalny:
ad. d) Metakryterium:
Dec. Kompromisowa:
2.
Opt. roz. dla przychodu: xA =
, xB =
Opt. roz. dla zysku:
, xB =
xA =
Piekarnia zakupiła piec do wypieku chleba sterowany elektronicznie. Sterownik ten ulega awariom. W tabeli (na podstawie danych
historycznych), podano liczbę awarii sterownika oraz ilość przypadków, w których ta liczba awarii wystąpiła. Awaria sterownika
wymaga jego wymiany. Koszt zakupu dodatkowego sterownika wraz z piecem k1 = 3 tys. zł, natomiast koszt zakupu w warunkach
awarii k2 = 4 tys. zł. Piekarnia ponosi także straty z tytułu przestoju pieca s = 5 tys. zł.
Liczba awarii
Liczba przypadków
p(x)
F(x)
ad. a) Macierz strat:
0
0
1
2
3
0
4
1
3
2
2
3
1
a)
b)
c)
1
ad. b) Optymalna liczba części z* =
2
, gdyż
3
Ustal rozkład prawdopodobieństwa awarii i macierz strat.
Wyznacz ile należy zakupić dodatkowo sterowników, aby
oczekiwane straty były minimalne.
Podaj, jaka powinna być strata z tytułu przestoju pieca s,
aby optymalny był zakup 2 sterowników.
ad. c) Dopuszczalna strata z tytułu przestoju:
Zestaw F 4
3.
Zespół ciepłowni C1, C2, C3 zaopatruje się w węgiel w trzech kopalniach K1, K2, K3. Podaż węgla w kopalniach (w tys. ton), popyt
ciepłowni (w tys. ton) oraz jednostkowy koszt transportu (w tys. zł/tys. ton) zawiera tabela:
K1
C1
5
C2
10
C3
7
ai
20
K2
8
3
4
35
K3
11
9
6
25
bj
28
18
a) Wyznacz początkowe rozwiązanie:
b) Znajdź rozwiązanie optymalne.
c) Ustal dla niego minimalne koszty transportu oraz zapasy
węgla w kopalniach.
d) Podaj, czy rozwiązanie się zmienia, jeżeli na trasie
<K3, C2> obniżymy koszt o 5 tys. zł.
ad. b) Rozwiązanie optymalne
24
28
ad. a) Wyjściowe rozwiązanie
28
18
i
24
18
24
20
5
10
7
35
8
3
4
11
9
6
20
5
10
7
25
35
8
3
4
j
25
11
9
6
i
j
Schemat zmiany rozwiązania:
4.
Roczna sprzedaż sera żółtego (w tonach) w pewnym samie w latach 2000 – 2004 wynosi:
Rok
Sprzedaż
t
00
8
01
9
02
7
ad. a) Macierz CROSS:
y
y
t
1
ad. b) Szacowanie parametrów:
03
7
t
04
6
a)
b)
1
c)
d)
e)
Ustal macierz CROSS.
Oszacuj parametry liniowego trendu sprzedaży:
y = 1 t + 0.
Podaj interpretację parametrów modelu:
Oceń dopasowanie modelu do wyników do obserwacji.
Podaj prognozę sprzedaży sera na rok 2006, czy jest ona
wiarygodna.
ad. d) Oceń dopasowanie:
ad. c) Interpretacja parametrów modelu:
0 =
1 =
Teoria:
1.
2.
3.
4.
5.
ad. e) Prognoza sprzedaży sera:
Kiedy w zagadnieniu pośrednika wprowadzamy fikcyjnego dostawcę i ile wynosi jego podaż.
O czym mówią parametry funkcji Cobba Douglasa V = 20 K0,8 L0,3.
Jakie dwa podstawowe zadania rozpatruje się w analizie kosztowej.
Podaj jak obliczamy oczekiwana stopę zwrotu portfela.
Co musimy znać, aby w oparciu o wzór analityczny wyznaczyć optymalną liczbę części zamiennych.
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw D3
Imię i nazwisko........................................................................................., sala ........, miejsce <
Data ..................... godz. ................., suma punktów..................... ocena
>, grupa ... .......
1. Z dwóch produktów A i B , w których są istotne dwa składniki: S1 i S2, należy ustalić dietę minimalizującą koszt żywienia. Zawartość
obydwu składników w produktach, ceny produktów ( w zł) oraz minimalną ilość tych składników w diecie zawiera tabela. Produktu A
w diecie nie może być mniej niż produktu B.
A
S1
2
S2
3
cena
1
ad. a) Zmienne decyzyjne:


B
1
0
2
Min. ilość składnika
12
6
g)
Sformułuj powyższy problem w postaci zadania PL.
Znajdź optymalne jego rozwiązanie metodą graficzną.
Podaj ile wynosi nadwyżka składnika S1i S2 w diecie.
Utwórz zadanie dualne, którego optymalnym rozwiązaniem
jest y1 = ½, y2 = 0, y3 = 0.
Podaj, o ile wzrośnie koszt żywienia jeżeli składnika S1
musi być w diecie o 4 jed. więcej.
ad. b)
Zadanie PL:





ad. c) Nadwyżka S1 =
, gdyż
Nadwyżka S2 =
, gdyż
ad. d) Zadanie dualne:
a)
b)
c)
f)
Roz. Opt. x A =
xB =
Koszt =
(ad e) Zmiana kosztu
2. Inwestor zamierza kupić akcje dwóch firm A i B. W tabeli podano stopy zwrotu ( w %) w trzech ostatnich miesiącach.
ad. a) Stopa zwrotu:
a) Ustal średnią stopę zwrotu, wariancję i kowariancję dla
obydwu akcji.
b) Sformułuj zadanie maksymalizujące stopę zwrotu portfela
przy ryzyku v* = 30.
c) Sprawdź czy portfel: xA = 1, xB = 0 jest portfelem
optymalnym.
rA =
ad. b) Zmienne decyzyjne:
rB =


miesiące
1
2
3
A
20
10
0
B
12
9
6
Wariancja:
vA =
vB =
Zadanie:




Kowariancja:
cov (rA, rB)
ad. c) Sprawdzenie rozwiązania:
Zestaw D3
3. W tabeli podano oceny 5 uczniów z trzech podstawowych przedmiotów.
J. pol.
Mat.
Hist.
A
2
5
5
B
5
3
4
C
4
4
5
D
3
5
1
ad. a) Wartość metakryterium dla poszczególnych uczniów





Najlepszy uczeń:
gdyż:
E
2
3
4
Stosując metakryterium z wagami w1 = 2, w2 = 2, w3 = 1, ustal
najlepszego ucznia.
a) Utwórz macierz odchyleń celów cząstkowych i wybierz
najlepszego ucznia zakładając, że cele te są równoważne.
b) Podaj jaka inna reguła wyboru ma podobną konstrukcję i
kiedy ją stosujemy.
ad. b) Macierz odchyleń celów cząstkowych
A
B
C
J. pol.
Mat.
Hist.
D
E
Najlepszy uczeń:
ad. c) Zbliżona reguła
4. Firma produkująca kabanosy ustaliła następującą zależność między popytem na kabanosy, mierzonym wielkością sprzedaży S
(w tonach/ tydz.), a poziomem dochodów konsumentów D (w zł /1 osobę) i ceną sprzedaży C (w zł/1 kg)
S = 40 D0,6 C-1,5.
Oszacowano także zależność między kosztem produkcji K (w tys. zł) a wielkością produkcji Q (w tonach/ na tydz.)
K = 40 + 15 Q.
Zakładamy, że tygodniowa produkcja jest równa tygodniowej sprzedaży. Aktualna cena C’ = 20 zł/1 kg, a aktualna sprzedaż
S’ = Q’ = 20 ton.
a) Ustal aktualny przychód, koszt i zysk.
b) Podaj jak się zmieni sprzedaż kabanosów, jeżeli jego cena zostanie obniżona o 10 %. Ustal nową cenę i nową sprzedaż.
c) Oblicz jaki będzie nowy przychód, koszt i zysk.
d) Podaj czy podjęta decyzja jest słuszna.
ad. a) Aktualny przychód, koszt i zysk:

ad. c) Nowy przychód, koszt i zysk:





ad. d) Uzasadnienie decyzji:
ad. b) zmiana sprzedaży, nowa sprzedaż, nowa cena:



Teoria
5.
6.
7.
8.
9.
A1
A2
Podaj jakie wyjściowe parametry występują w zagadnieniu ustalania optymalnej liczby części zamiennych.
Przedstaw graficznie zbiór rozwiązań optymalnych w sensie Pareto. Podaj kiedy zbiór ten jest punktem, odcinkiem, krzywą.
Podaj wzór na funkcję produkcji Cobba – Douglasa i interpretację jego składowych.
Przedstaw jak liczymy całkowity zapas czasu (luz) oraz niezależny zapas czasu (podaj interpretację jego składowych).
Podaj, czy w grze o sumie zerowej, gracze mają strategie dominujące i osiągamy stan równowagi.
B1
5
7
B2
3
-2
B3
6
3
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw D4
Imię i nazwisko........................................................................................., sala ........, miejsce <
Data ..................... godz. ................., suma punktów..................... ocena
>, grupa ..........
1. Mleczarnia może produkować do 8 ton masła tygodniowo. Wytwarza dwa gatunki masła A i B. Ze względu na podpisane umowy z
nabywcami masła A musi wytworzyć nie mniej niż 3 tony, natomiast masła B nie mniej niż 2 tony. Cenę jednostkową i zysk
jednostkowy ( w tys. zł/1 tonę) podano w tabeli:
Cena
Zysk
A
10
2
B
14
-1
ad. a) Zmienne decyzyjne:


a)
Sformułuj powyższy problem w postaci zadania
wielocelowego,
jeżeli
wiadomo,
że
mleczarnia
maksymalizuje swój przychód i zysk.
b) Znajdź optima cząstkowe stosując metodę graficzną.
c) Podaj maksymalny przychód, zysk oraz zbiór Pareto –
optymalny ( zaznacz go także na wykresie)
d) Ustal w oparciu o punkt idealny rozwiązanie kompromisowe
(tylko na wykresie)
Zadanie wielocelowe:

ad. b)





ad. c) Max przychód =
max zysk =
Zbiór Pareto optymalny:
ad. d) Rozwiązanie kompromisowe:
Opt. roz. dla przychodu: xA =
, xB =
Opt. roz. dla zysku:
, xB =
xA =
Piekarnia zakupiła piec do wypieku chleba sterowany elektronicznie. Sterownik ten ulega awariom. W tabeli (na podstawie danych
historycznych), podano liczbę awarii sterownika oraz ilość przypadków, w których ta liczba awarii wystąpiła. Awaria sterownika
wymaga jego wymiany. Koszt zakupu dodatkowego sterownika wraz z piecem k 1 = 3 tys. zł, natomiast koszt zakupu w warunkach
awarii k2 = 5 tys. zł.
a) Ustal rozkład prawdopodobieństwa awarii, stratę z tytułu
Liczba awarii
0
1
2
3
nadmiaru i deficytu i macierz strat.
Liczba przypadków
4
3
2
1
b) Wyznacz, ile należy zakupić dodatkowo sterowników, aby
p(x)
oczekiwane straty były minimalne, podaj ich wartość.
F(x)
c) Podaj, jaka powinna być strata z tytułu przestoju pieca s, aby
rozwiązanie optymalne nie uległo zmianie.
ad. a) Macierz strat:
0
1
2
3
ad. c) Strata z tytułu przestoju s:
0
1
2
3
2.
s1 =
s2 =
ad. b) Optymalna liczba części z* =
, gdyż
Zestaw D4
3.
Koncern „ESSO” zamierz zbudować stacje benzynowe w trzech miastach: A, B, C. Koszt budowy jednej stacji 4 mln. zł. Łącznie
można wybudować co najwyżej 5 stacji. Przewidywane przychody (w mln. zł) z każdego miasta zależą od ilości wybudowanych tam
stacji benzynowych (zawiera je tabela).
Liczba stacji
1
2
3
A
12
19
26
ad. a) Macierz zysków:
Liczba stacji
A
1
2
3
B
13
24
30
B
Rok
Sprzedaż
t
ad. b) Macierz możliwych zysków:
(II etap)
C
0
1
2
ad. c) Macierz możliwych zysków:
(III etap)
3
0
1
2
3
4
5
ad. b) Macierz możliwych strategii:
x
x1
F1(x1)
x2
0
1
2
3
4
5
4.
a) Ustal macierz zysków.
b) Wyznacz optymalną strategię inwestowania stosując
programowanie dynamiczne. Podaj maksymalny zysk.
c) Podaj, jaki będzie zysk i optymalna strategia, jeżeli ESSO
może wybudować 3 stacje, ale tylko w miastach A i B.
C
9
14
20
1
2
3
ad. c) Optymalna strategia budowy w miastach A i B.
F2(x2)
x3
F3(x3)
Roczna sprzedaż sera żółtego (w tonach) w pewnym samie w latach 98 – 2002 wynosi:
98
8
99
9
00
7
ad. a) Macierz CROSS:
y
y
279
t
105
1
37
ad. b) Szacowanie parametrów:
01
7
t
02
6
1
a)
b)
Uzupełnij elementy macierzy CROSS.
Oszacuj parametry liniowego trendu sprzedaży:
y = 1 t + 0.
c)
d)
Podaj interpretację parametrów modelu:
Oceń dopasowanie modelu do wyników
obserwacji.
Podaj prognozę sprzedaży sera na rok 2003.
e)
ad. d) Oceń dopasowanie:
ad. c) Interpretacja parametrów modelu:
0 =
1 =
0
0
1
2
3
4
5
ad. e) Prognoza sprzedaży sera:
do
Teoria
5.
6.
7.
8.
9.
Podaj klasyfikację zadań decyzyjnych.
Przedstaw reguły tworzenia zadania dualnego.
Podaj równanie linii charakterystycznej w modelu Sharpe’a i interpretację jego składowych.
Omów regułę wyboru Savage’a (kiedy ją stosujemy i kolejne etapy).
Podaj co to jest ścieżka krytyczna i jak ją wyznaczamy.
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw D 6
Imię i nazwisko........................................................................................., sala ........, miej sce <
Data ..................... godz. ................., suma punktów..................... ocena
1.
>, grupa ..........
Z dwóch produktów A i B , w których są istotne dwa składniki: S1 i S2, należy ustalić dietę minimalizującą koszt żywienia. Zawartość
obydwu składników w produktach, ceny produktów ( w zł) oraz minimalną ilość tych składników w diecie zawiera tabela. Produktu A
w diecie nie może być więcej niż produktu B.
A
S1
2
S2
3
cena
1
ad. a) Zmienne decyzyjne:


B
2
0
2
Min. ilość składnika
20
6
a)
b)
c)
d)
Sformułuj powyższy problem w postaci zadania PL.
Znajdź optymalne jego rozwiązanie metodą graficzną.
Ustal ile wynosi nadwyżka składnika S1i S2 w diecie.
Podaj jak się zmieni roz. optymalne, jeżeli spada niezbędna
ilość składnika S1.
ad. b)
Zadanie PL:





ad. c) Nadwyżka S1 =
, gdyż
Nadwyżka S2 =
, gdyż
Roz. Opt. x A =
xB =
Koszt =
ad. d) Roz. optymalne przesuwa się:
2.
Inwestor zamierza kupić akcje dwóch firm A i B. W tabeli podano stopy zwrotu ( w %) w trzech ostatnich miesiącach.
miesiące
1
2
3
A
20
10
0
B
12
0
6
a)
b)
c)
ad. a) Stopa zwrotu:
Ustal średnią stopę zwrotu, wariancję i kowariancję dla
obydwu akcji.
Sformułuj zadanie maksymalizujące stopę zwrotu portfela
przy ryzyku v* = 30.
Sprawdź czy portfel: xA = 1/2, xB = 1/2 jest portfelem
optymalnym.
rA =
ad. b) Zmienne decyzyjne:
rB =


Wariancja:
vA =
vB =
Zadanie:




Kowariancja:
ad. c) Sprawdzenie rozwiązania:
cov (rA, rB)
3. Zespół elektrowni E1, E2, E3 zaopatruje się w węgiel z trzech kopalni K1, K2, K3. Podaż w kopalniach (w tys. ton) popyt elektrowni (w
tys. ton) oraz jednostkowy koszt transportu (w zł /t) przedstawia tabela
K1
K2
K3
bj
E1
12
9
10
25
E2
30
15
14
21
E3
14
8
16
24
ad. a) Rozwiązanie wyjściowe
ai
20
30
30
a)
b)
c)
d)
Utwórz tablicę transportową i wyznacz rozwiązanie
wyjściowe.
Sprawdź czy jest ono optymalne, podaj koszt transportu
oraz wykorzystanie zdolności produkcyjnych kopalni.
Czy można zmienić plan wydobycia węgla i jego
transportu nie zmieniając kosztów (przedstaw schemat
zmiany rozwiązania).
Czy obniżka kosztu na trasie (K1 E1), o 3 zł zmieni
rozwiązanie optymalne.
ad. b) Sprawdzenie rozwiązania
ad. c) Schemat zmiany
ad. d) Zmiana rozwiązania
4. Firma produkująca kabanosy ustaliła następującą zależność między popytem na kabanosy, mierzonym wielkością sprzedaży S
(w tonach/ tydz.), a poziomem dochodów konsumentów D (w zł /1 osobę):
S = 40 D0,6 C-1,5.
Oszacowano także zależność między kosztem produkcji K (w tys. zł) a wielkością produkcji Q (w tonach/ na tydz.)
K = 40 + 15 Q.
Zakładamy, że tygodniowa produkcja jest równa tygodniowej sprzedaży. Aktualna cena C’ = 20 zł/1 kg, a aktualna sprzedaż
S’ = Q’ = 10 ton.
a) Ustal aktualny, tygodniowy przychód, koszt i zysk.
b) Podaj jak się zmieni sprzedaż kabanosów, jeżeli jego cena wzrasta o 10 %. Ustal nową cenę i nową sprzedaż.
c) Oblicz jaki będzie nowy przychód, koszt i zysk.
d) Podaj czy podjęta decyzja jest słuszna.
ad. a) Stary przychód, koszt i zysk:
 P’ =
ad. c) Nowy przychód, koszt i zysk:
 P’’ =
 K’ =
 K’’ =
 Z’ =
 Z’’ =
ad. b) zmiana sprzedaży, nowa sprzedaż, nowa cena:

ad. d) Uzasadnienie decyzji:


Teoria:
1.
2.
3.
4.
5.
Podaj początkowe i wtórne dane (parametry) występujące w zagadnieniu ustalania optymalnej liczby części zamiennych.
Podaj przykład gry o sumie zerowej. Czy zawiera ona strategię dominującą.
Co to jest czynność krytyczna? Podaj dwie podstawowe definicje.
Opisz zagadnienie pośrednika (postać funkcji celu i warunki ograniczenia).
Jak ustalamy istotność parametrów modelu ekonometrycznego?
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw P 4
Imię i nazwisko........................................................................................., sala ........, miej sce <
Data ..................... godz. ................., suma punktów..................... ocena
1.
>, grupa ..........
Mleczarnia może produkować do 6 ton masła tygodniowo. Wytwarza dwa gatunki masła A i B. Ze względu na ograniczony popyt
masła A nie można wytwarzać więcej niż 4 tony, natomiast masła B nie mniej niż 1 tona ( ze względu na podpisane umowy z
nabywcami). Cenę jednostkową i zysk jednostkowy ( w tys. zł/1 tonę) podano w tabeli:
A
10
2
Cena
Zysk
a)
B
5
-1
b)
c)
ad. a) Zmienne decyzyjne:

d)

Sformułuj powyższy problem w postaci zadania
wielocelowego,
jeżeli
wiadomo,
że
mleczarnia
maksymalizuje swój przychód i zysk.
Znajdź optima cząstkowe stosując metodę graficzną.
Podaj maksymalny przychód, zysk oraz zbiór Pareto –
optymalny ( zaznacz go także na wykresie)
Podaj przy jakim popycie zbiór rozwiązań Pareto –
optymalnych redukuje się do jednego punktu
ad. b)
Zadanie wielocelowe:






ad. c) Max przychód =
max zysk =
Zbiór Pareto optymalny:
Opt. roz. dla przychodu: xA =
, xB =
ad. d) Popyt wzrasta co najmniej do:
Opt. roz. dla zysku:
, xB =
2.
xA =
Piekarnia zakupiła piec do wypieku chleba sterowany elektronicznie. Sterownik ten ulega awariom. W tabeli (na podstawie danych
historycznych), podano liczbę awarii sterownika oraz ilość przypadków, w których ta liczba awarii wystąpiła. Awaria sterownika
wymaga jego wymiany. Koszt zakupu dodatkowego sterownika wraz z piecem k 1 = 3 tys. zł, natomiast koszt zakupu w warunkach
awarii k2 = 4 tys. zł. Piekarnia ponosi także straty z tytułu przestoju pieca s = 6 tys. zł.
Liczba awarii
Liczba przypadków
p(x)
F(x)
ad. a) Macierz strat:
0
0
1
2
3
0
4
1
3
1
ad. b) Optymalna liczba części z* =
2
2
2
3
1
3
a)
Ustal rozkład prawdopodobieństwa awarii i macierz strat.
b)
Wyznacz ile należy zakupić dodatkowo sterowników, aby
oczekiwane straty były minimalne.
c)
Podaj, jaka powinna być strata z tytułu przestoju pieca s,
aby nieopłacalny był zakup dodatkowego sterownika.
ad. c) Maksymalna strata z tytułu przestoju pieca:
, gdyż
3.
Koncern „ESSO” zamierz zbudować stacje paliw w trzech miastach: A, B, C. Koszt budowy jednej stacji 4 mln. zł. Łącznie można
wybudować co najwyżej 5 stacji. Przewidywane przychody (w mln. zł) z każdego miasta zależą od ilości wybudowanych tam stacji
benzynowych (zawiera je tabela).
Liczba stacji
1
2
3
A
12
19
26
ad. a) Macierz zysków:
Liczba stacji
A
1
2
3
B
11
24
30
B
a)
b)
C
9
14
20
Ustal macierz zysków.
Wyznacz optymalną strategię inwestowania stosując
programowanie dynamiczne.
Podaj dlaczego w tym przypadku nie można stosować
procedur uproszczonych.
c)
ad. b) Macierz możliwych zysków:
(II etap)
C
0
1
2
ad. b) Macierz możliwych zysków:
(III etap)
3
0
1
2
3
4
5
ad. b) Macierz możliwych strategii:
x
x1
F1(x1)
x2
0
1
2
3
4
5
ad.c)
F2(x2)
x3
0
1
2
F3(x3)
Uzasadnienie niemożności
uproszczonych.
stosowania
procedur
Optymalna strategia:
4.
Roczna sprzedaż sera żółtego (w tonach) w pewnym samie w latach 95 – 99 wynosi:
Rok
Sprzedaż
t
95
8
96
9
97
7
ad. a) Macierz CROSS:
y
y
t
1
98
7
t
99
5
1
a)
b)
Ustal macierz CROSS
Oszacuj parametry liniowego trendu sprzedaży:
y = 1 t + 0.
c)
d)
e)
Podaj interpretację parametrów modelu:
Oceń dopasowanie modelu do wyników do obserwacji.
Podaj prognozę sprzedaży sera na rok 2001.
ad. d) Oceń dopasowanie:
ad. b) Szacowanie parametrów:
ad. c) Interpretacja parametrów modelu:
0 =
1 =
3
0
1
2
3
4
5
ad. e) Prognoza sprzedaży sera:
Teoria:
5. Przedstaw graficznie kiedy zadanie PL nie ma rozwiązania optymalnego.
6. Przedstaw reguły tworzenia zadania dualnego.
7. Podaj równanie linii charakterystycznej w modelu Sharpe’a i interpretację jego składowych.
8. Omów regułę wyboru Savage’a (kiedy ją stosujemy i kolejne etapy).
9. Opisz wzór rekurencyjny w zagadnieniu gazeciarza.
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw E 1
Imię i nazwisko........................................................................................., sala ........, miej sce <
Data ..................... godz. ................., suma punktów..................... ocena
3.
>, grupa ..........
Z dwóch produktów A i B , w których są istotne dwa składniki: S1 i S2, należy ustalić dietę minimalizującą koszt żywienia. Zawartość
obydwu składników w produktach, ceny produktów ( w zł) oraz minimalną ilość tych składników w diecie zawiera tabela. Produktu A
w diecie nie może być mniej niż produktu B.
A
S1
2
S2
3
cena
4
ad. a) Zmienne decyzyjne:


B
2
0
2
Min. ilość składnika
20
6
e)
f)
g)
h)
Sformułuj powyższy problem w postaci zadania PL.
Znajdź optymalne jego rozwiązanie metodą graficzną.
Ustal, ile wynosi nadwyżka składnika S1i S2 w diecie.
Podaj jak się zmienia roz. optymalne, jeżeli spada
niezbędna ilość składnika S1. Jaki będzie najmniejszy
koszt żywienia?
ad. b)
Zadanie PL:





ad. c) Nadwyżka S1 =
, gdyż
Nadwyżka S2 =
, gdyż
Roz. Opt. xA =
xB =
Koszt =
ad. d) Roz. optymalne przesuwa się:
Najmniejszy koszt żywienia:
4.
Inwestor zamierza kupić akcje dwóch firm A i B. W tabeli podano stopy zwrotu ( w %) w trzech ostatnich miesiącach.
miesiące
1
2
3
A
8
10
0
B
12
-6
6
d)
e)
f)
ad. a) Stopa zwrotu:
Ustal średnią stopę zwrotu, wariancję i kowariancję dla
obydwu akcji.
Sformułuj zadanie maksymalizujące stopę zwrotu portfela
przy ryzyku v* = 20.
Sprawdź czy portfel: xA = 1, xB = 0 jest portfelem
optymalnym.
rA =
ad. b) Zmienne decyzyjne:
rB =


Wariancja:
vA =
vB =
Zadanie:




Kowariancja:
ad. c) Sprawdzenie rozwiązania:
cov (rA, rB)
Zestaw E 1
5.
W tabeli podano dla 5 kopalń trzy podstawowe parametry: zysk (w zł /ton), wydajność (w tonach/na osobę), wypadkowość (liczba
zabitych/1 mln wydobycia).
zysk
wydajność
wypadkowość
A
40
150
3
B
50
300
4
C
-40
140
5
D
-30
250
4
E
-50
100
2
e)
f)
g)
ad. b) Wartość metakryterium dla poszczególnych kopalń





Uporządkowanie kopalń:
Utwórz macierz realizacji celów cząstkowych.
W oparciu o macierz realizacji, stosując metakryterium
z wagami w1 = 2, w2 = 1, w3 = 2, uporządkuj kopalnie od
najlepszej do najgorszej.
Które kopalnie zamkniemy jeżeli wiadomo, że należy trzy
zlikwidować.
ad. a) Macierz stopni realizacji celów cząstkowych
A
B
C
D
zysk
wydajność
wypadkowość
E
Kopalnie do likwidacji:
6.
Firma produkująca kabanosy ustaliła następującą zależność między popytem na kabanosy, mierzonym wielkością sprzedaży S
(w tonach/ tydz.), a poziomem dochodów konsumentów D (w zł /1 osobę) i cena sprzedaży C (w zł 1/kg):
S = 40 D0,6 C-1,5.
Oszacowano także zależność między kosztem produkcji K (w tys. zł) a wielkością produkcji Q (w tonach/ na tydz.)
K = 140 + 15 Q.
Zakładamy, że tygodniowa produkcja jest równa tygodniowej sprzedaży. Aktualna cena C’ = 25 zł/1 kg, a aktualna sprzedaż
S’ = Q’ = 20 ton.
e) Ustal aktualny, tygodniowy przychód, koszt i zysk.
f) Podaj jak się zmieni sprzedaż kabanosów, jeżeli jego cena wzrasta o 10 %, a dochód wzrasta o 5%. Ustal nową cenę i nową sprzedaż.
g) Oblicz jaki będzie nowy przychód, koszt i zysk.
h) Podaj czy podjęta decyzja jest słuszna.
ad. a) Aktualny przychód, koszt i zysk:
 P’ =
ad. c) Nowy przychód, koszt i zysk:
 P’’ =
 K’ =
 K’’ =
 Z’ =
 Z’’ =
ad. b) zmiana sprzedaży, nowa sprzedaż, nowa cena:

ad. d) Uzasadnienie decyzji:


Teoria:
7. Przedstaw graficznie przypadek, kiedy zbiór rozwiązań Pareto-optymalnych jest odcinkiem.
8. Co to jest droga krytyczna w analizie czasowej.
9. Co musimy znać (jakie dane), aby ustalić optymalną liczbę gazet na podstawie wzoru analitycznego.
10. Podaj wzór na funkcję Törnquista I rodzaju i interpretację jego składowych.
11. Przedstaw co oznaczają liczby [8, 1] w polu [N, P] w macierzy wypłat dla dylematu więźnia.
B
N
P
AA
N
2,2
8,1
P
1,8
5,5
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw E 2
Imię i nazwisko........................................................................................., sala ........, miejsce <
Data ..................... godz. ................., suma punktów..................... ocena
>, grup a ..........
10. Mleczarnia może produkować do 10 ton sera tygodniowo. Wytwarza dwa gatunki sera A i B. Ze względu na ograniczony popyt sera A
nie można wytwarzać więcej niż 4 tony, natomiast sera B nie mniej niż 4 tony ( ze względu na podpisane umowy z nabywcami). Cenę
jednostkową i zysk jednostkowy ( w tys. zł/1 tonę) podano w tabeli:
A
10
2
Cena
Zysk
e)
B
5
-1
f)
g)
ad. a) Zmienne decyzyjne:

h)

Sformułuj powyższy problem w postaci zadania
wielocelowego,
jeżeli
wiadomo,
że
mleczarnia
maksymalizuje swój przychód i zysk.
Znajdź optima cząstkowe stosując metodę graficzną.
Podaj maksymalny przychód, zysk oraz zbiór Pareto –
optymalny ( zaznacz go także na wykresie).
Podaj jaki będzie minimalny popyt na ser A, przy którym
zbiór Pareto-optymalny redukuje się do 1 punktu.
ad. b)
Zadanie wielocelowe:






ad. c) Max przychód =
max zysk =
Zbiór Pareto optymalny:
Opt. roz. dla przychodu: xA =
, xB =
ad. d) Minimalny popyt:
Opt. roz. dla zysku:
, xB =
xA =
11. Piekarnia zakupiła piec do wypieku chleba sterowany elektronicznie. Sterownik ten ulega awariom. W tabeli (na podstawie danych
historycznych), podano liczbę awarii sterownika oraz ilość przypadków, w których ta liczba awarii wystąpiła. Awaria sterownika
wymaga jego wymiany. Koszt zakupu dodatkowego sterownika wraz z piecem k 1 = 3 tys. zł, natomiast koszt zakupu w warunkach
awarii k2 nie jest dokładnie znany i mieści się w przedziale
Liczba awarii
Liczba przypadków
p(x)
F(x)
ad. c) Macierz strat:
0
0
1
2
3
0
3
1
3
1
2
2
2
3
2
3
k 2  4,6
a)
d)
e)
Ustal rozkład prawdopodobieństwa awarii.
Sprawdź czy zakup jednego sterownika jest optymalną
decyzją.
Zakładając, że średni koszt zakupu w warunkach awarii
f)
k 2  5 , ustal macierz strat.
Oblicz minimalną oczekiwaną stratę.
ad. d) Ustalenie oczekiwanych strat:
ad. b) Sprawdzenie optymalności decyzji:
Minimalna oczekiwana strata:
Zestaw E 2
12. Koncern „ESSO” zamierz zbudować stacje paliw w trzech miastach: A, B, C. Koszt budowy jednej stacji 5 mln. zł. Łącznie można
wybudować co najwyżej 5 stacji. Przewidywane przychody (w mln. zł) z każdego miasta zależą od ilości wybudowanych tam stacji
benzynowych (zawiera je tabela).
Liczba stacji
1
2
3
A
7
13
16
ad. a) Macierz zysków:
Liczba stacji
A
1
2
3
B
11
23
29
B
d)
e)
C
9
14
21
f)
Ustal macierz zysków.
Wyznacz optymalną strategię inwestowania stosując
programowanie dynamiczne. Podaj maksymalny zysk.
Podaj, dlaczego w tym przypadku nie można stosować
procedur uproszczonych.
ad. b) Macierz możliwych zysków:
(II etap)
C
0
1
2
ad. b) Macierz możliwych zysków:
(III etap)
3
0
1
2
3
4
5
ad. b) Macierz możliwych strategii:
x
x1
F1(x)
x2
0
1
2
3
4
5
F2(x)
x3
F3(x)
0
1
2
3
0
1
2
3
4
5
ad. c) Uzasadnij niedopuszczalność stosowania procedur
uproszczonych.
Optymalna strategia:
13. Roczna sprzedaż cukru (w tonach) w pewnym samie w latach 99 – 03 wynosi:
Rok
Sprzedaż
t
99
8
00
9
01
10
ad. a) Macierz CROSS:
y
y
t
1
02
11
t
Ustal macierz CROSS
f)
Oszacuj parametry liniowego trendu sprzedaży:
y = 1 t + 0.
03
12
1
g)
h)
i)
Podaj interpretację parametrów modelu:
Oceń dopasowanie modelu do wyników do obserwacji.
Podaj prognozę sprzedaży cukru na rok 2005. Czy jest ona
wiarygodna?
ad. d) Oceń dopasowanie:
ad. b) Szacowanie parametrów:
ad. c) Interpretacja parametrów modelu:
0 =
ad. e) Prognoza sprzedaży cukru:
1 =
Teoria:
14. Jaki interpretujemy zmienną dualną w zagadnieniu ustalania planu produkcji i o czym ona mówi.
15. Jakie dane uwzględniamy ustalając macierz wypłat w zagadnieniu wojny cenowej.
16. O czy mówi całkowity i niezależny zapas czasu.
17. Podaj co najmniej dwie definicje ryzyka w analizie portfelowej.
18. Podaj wzory, według których w analizie wielokryterialnej ustalamy macierz stopni realizacji.
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw E 3
Imię i nazwisko ....................................................., sala ....., miejsce <
data ................., godz. ........., suma punktów........., ocena
1.
Firma może produkować dwa wyroby A i B, przy ich produkcji zużywa się jeden istotny surowiec S. Zasób surowca, normy jego
zużycia i ceny wyrobów ( w tys. zł) przedstawia tabela. Ze względu na podpisane umowy produkcja wyrobu B nie może być mniejsza
od 2 jed., natomiast z powodu ograniczonego popytu produkcja wyrobu A nie może przekraczać 3 jed. Zasób surowca S musi być w
pełni wykorzystany.
S
Cena
c)
d)
>, grupa ......
A
2
4
B
3
2
Zasób
18
X
a)
b)
Sformułuj powyższy problem w postaci zadania PL
Znajdź optymalne rozwiązanie tego zadania metodą
graficzną.
Podaj (zaznaczając także na wykresie) jak się zmienia rozwiązanie optymalne, jeżeli wzrasta popyt na wyrób A.
Przy jakiej cenie wyrobu B zadanie będzie miało wiele rozwiązań optymalnych.
(ad. a) Zmienne decyzyjne:


(ad. b)
Roz. Opt. x1 =
x2 =
Przychód =
Model:





(ad. c) Zmiana rozwiązania optymalnego:
(ad. d) Nowa cena
gdyż
2.
c2 ' 
Ogrodnik posiada 3 ha ziemi i może na niej uprawiać kapustę, pomidory i ogórki. Dochód z uprawy każdej rośliny zależy od stanu
pogody i podany jest w tabeli (w tys. zł /1 ha)
S1
S2
S3
K
15
18
10
P
12
16
18
O
11
9
14
a)
b)
c)
d)
(ad. a) Reguła Savage’a
Macierz odchyleń
K
P
S1
S2
S3
max.
odchyl.
O
(ad. b) Zmienne decyzyjne:



Model:




Stosując regułę Savage’a przy  = 1, ustal optymalną
strategię czystą realizowaną jeden raz.
Sformułuj zadanie PL, wyznaczające optymalną strategię
mieszaną realizowaną jeden raz przy założeniu, że udział
pomidorów w ogólnym obszarze nie może przekroczyć
50 %.
Podaj jakie będzie minimalny dochód jeżeli ogrodnik
uprawia 2 ha kapusty i 1 ha pomidorów.
Ustal jaki będzie oczekiwany dochód, jeżeli prawdopod.
kolejnych stanów pogody wynosi: 0,2; 0,4; 0,4
(ad. c) Dochody dla poszczególnych
stanów:
S1 :
S2 :
S3 :
Minimalny dochód:
ad. d) Oczekiwany dochód
Zestaw E 3
3.
Przedsięwzięcie składa się z 5 czynności: A, B, C, D, E. W tabeli dla każdej czynności podany został zbiór poprzedników, czas jej
trwania ( w tyg.) koszt wykonania (w tys. zł) oraz koszt skrócenia czynności ( w tys. zł /1 tydzień).
Czynność
Zbiór poprzedników
Czas trwania
Koszt wykonania
Koszt skrócenia
A
5
15
6
B
A
3
18
2
C
A
8
10
7
D
CB
7
12
2
E
CB
7
10
3
a)
b)
c)
(ad. a) Sieć czynności:
Zbuduj sieć czynności.
Ustal, najkrótszy czas realizacji, całkowite zapasy czasu
(luzy) dla poszczególnych czynności oraz koszt realizacji
całego przedsięwzięcia.
Ustal, jakie czynności należy skrócić, aby zmniejszyć czas
realizacji przedsięwzięcia o jednostkę. Podaj nowy koszt
realizacji.
(ad. b) Czas realizacji =
Koszt realizacji =
(ad. c) Sieć krytyczna:
4.
W tabeli podano ceny ropy naftowej (w dolarach / 1
baryłkę) dla wybranych wielkości dziennego wydobycia (w
mln baryłek).
Cena ropy (yi)
Wielkość wydobycia (xi)
30
18
(ad. a) Macierz CROSS
Y
Y
X
1
25
20
18
23
X
15
25
10
32
1
a)
b)
c)
d)
e)
Ustal macierz CROSS,
Oszacuj, parametry liniowego modelu ceny ropy
y = 1 x + 0.
Oceń jakość dopasowania.
Podaj interpretacje parametrów modelu.
Ustal jaka powinna być cena baryłki ropy o ile wydobycie
wynosi 40 mln baryłek. Podaj komentarz dla tej prognozy.
ad. b) Parametry modelu
ad. c) Jakość dopasowania:
ad. d) Interpretacja parametrów:
ad. e) Prognoza ceny
Teoria:
5.
Zapisz algebraicznie warunek zapewniający konsumentowi odpowiednią ilość i-tego składnika odżywczego w zagadnieniu diety.
6.
Przedstaw graficznie jak można wyznaczyć rozwiązanie kompromisowe w oparciu o punkt idealny, jeżeli cele są równoważne.
7.
O czym mówi nam parametr  j  1,5 w modelu Sharpe’a.
1.
8.
Podaj wzór według, którego liczymy ryzyko akcji na podstawie danych historycznych.
Jakie informacje podaje nam elastyczność cenowa i dochodowa następującej funkcji popytu: P  100C 1,5  D0,6 gdzie:
popyt (w tonach),
P
C
cena bananów (w zł/1 kg),
D=
dochód (w zł/osobę).
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw E 4
Imię i nazwisko ....................................................., sala ....., miejsce <
data ................., godz. ........., suma punktów........., ocena
>, grupa ......
Rolnik posiada 12 ha ziemi. Może na niej uprawiać jęczmień i ziemniaki. Dochód (w tys. zł /1 ha) oraz nakład robocizny
(w rob. godz./1ha) przedstawia tabela. Obszar uprawy jęczmienia nie może być większy od obszaru uprawy ziemniaków. Obszar
uprawy jęczmienia nie może być większy od 8 ha. Rolnik maksymalizuje swój dochód oraz minimalizuje nakład robocizny.
a)
Sformułuj powyższy problem w postaci zadania
J
Z
wielocelowego.
Dochód
6
3
b)
Ustal, graficznie optima cząstkowe i zaznacz zbiór
Robocizna
50
100
rozwiązań Pareto – optymalnych.
c)
Sformułuj zadanie pomocnicze wyznaczające decyzję
(ad. a) Zmienne decyzyjne:
kompromisową, o ile rolnika zadawala 30 tys. zł dochodu.

d)
Ustal decyzję kompromisową.

2.
Model:






(ad. b)
(ad. c) Zadanie pomocnicze:
ad. d) Roz. kompromisowe x1 =
, x2 =
Min. rob. :
Max doch. :
Zbiór Pareto – optymalny:
,
Spółka rybacka dzierżawi 3 jeziora A, B, C. Wielkość połowów (w tonach) zależy od liczby rybaków skierowanych do
poszczególnych jezior i przedstawia to tabela. Spółka zatrudnia 6 rybaków. Cena 1 tony ryb 2 tys. zł, a koszt zatrudnienia rybaka
5 tys. zł.
a) Utwórz macierz zysków.
Liczba rybaków
A
B
C
b) Ustal, ilu rybaków powinna zatrudniać spółka i jaki
1
8
9
10
osiągnie wówczas maksymalny zysk.
2
15
14
16
c) Jak przydzielić 6 rybaków do trzech jezior i jaki wtedy jest
3
18
16
19
maksymalny zysk.
4
19
18
21
d) Czy warto zatrudnić dwóch dodatkowych rybaków, jeżeli
żądają oni po 6 tys. zł miesięcznie.
(ad. a) Macierz zysków
3.
Liczba rybaków
1
2
3
4
A
(ad. b) Strategia optymalna:
Należy zatrudnić:
B
C
(ad. c) Macierz zysków krańcowych:
Liczba rybaków
A
1
2
3
4
Optymalna strategia:
Max zysk:
Max zysk:
(ad. d) Co robimy:
B
C
Zestaw E 4
4.
Inwestor zamierza kupić akcje dwóch firm A i B. Przewidywane (możliwe) stopy zwrotu ( w %) i prawdopodobieństwo ich
wystąpienia zawiera tabela. Minimalna, akceptowana przez inwestora stopa zwrotu r* = 5%.
Stan giełdy
S1
S2
Prawdopod.
0,5
0,5
A
8
16
B
-5
15
a)
b)
c)
(ad. a) Oczekiwana stopa zwrotu:
Ustal oczekiwane stopy zwrotu, wariancję i kowariancję
dla poszczególnych akcji.
Sformułuj zadanie minimalizujące ryzyko portfela.
Sprawdź, czy portfel: xA = 0, xB = 1 jest portfelem
optymalnym.
(ad. b) Zmienne decyzyjne:


rA =
rB =
Zadanie:

Wariancja:
vA =



vB =
Kowariancja: cov (rA, rB) =
(ad. 3) Sprawdzenie rozwiązania:
W Instytucie Górnictwa ustalono zależność między ceną węgla C (w zł /1 tonę), a wielkością podaży X (w mln ton):
C = 100 + 10.000 / X
Ustalono także zależność między całkowitym kosztem produkcji K (w mln zł), a wielkością produkcji X (w mln. ton):
5.
a)
b)
c)
K = 10.000 + 20X + 0,5 X2
Podaj jaki będzie zysk przy aktualnej produkcji 100 mln ton.
Ustal, wielkość produkcji maksymalizującą zysk.
Oblicz wartość tego zysku. Co zrobić z produkcją ?
Wyznacz wielkość produkcji minimalizującą koszt jednostkowy.
(ad. b) Optymalna wielkość produkcji:
(ad. a) Aktualny zysk:
 P’ =
 K’ =
 Z’ =
Maksymalny zysk:
 P’’ =
(ad. c) Produkcja minimalizująca koszt jednostkowy:
 K’’ =
 Z’’ =
Teoria:
6. Podaj funkcje celu w zagadnieniu diety.
7. Kiedy oszacowany model ekonometryczny jest odrzucany.
8.
Do czego możemy wykorzystać wzór analityczny
F z  1 
k 2  k1
 F z  .
k2
9. Podaj wzór, według, którego ustalamy optymalną liczbę kanałów obsługi (interpretacja jego składowych).
10. Co musimy znać, aby ustalić całkowity i niezależny zapas czasu.
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw F 1
Imię i nazwisko ....................................................., sala ....., miejsce <
data ................., godz. ........., suma punktów........., ocena
1.
Firma może produkować dwa wyroby A i B przy ich produkcji zużywa się jeden istotny surowiec S. Zasób surowca, normy jego
zużycia i ceny wyrobów ( w tys. zł) przedstawia tabela. Ze względów technologicznych produkcja wyrobu A nie może być
większa od produkcji wyrobu B, natomiast z powodu ograniczonego popytu produkcja wyrobu A nie może przekraczać 4 jed.
S
Cena
e)
f)
>, grupa ......
A
3
4
B
3
2
Zasób
18
X
c)
d)
Sformułuj powyższy problem w postaci zadania PL
Znajdź optymalne rozwiązanie tego zadania metodą
graficzną.
Podaj (zaznaczając także na wykresie) jak się zmienia rozwiązanie optymalne, jeżeli zwiększa się zasób surowca S.
Podaj minimalną cenę wyrobu A, przy której rozwiązanie nie ulega zmianie.
(ad. a) Zmienne decyzyjne:


(ad. b)
Roz. Opt. x1 =
x2 =
Przychód =
Zadanie PL:





(ad. c) Rozwiązanie optymalne:
(ad. d) Minimalna cena cA =
gdyż
5.
Ogrodnik posiada 2 ha ziemi i może na niej uprawiać kapustę, pomidory i cebulę. Dochód z uprawy każdej rośliny zależy od stanu
pogody i podany jest w tabeli (w tys. zł /1 ha)
S1
S2
S3
d)
K
15
8
10
P
12
18
18
C
11
11
14
Podaj, czy to rozwiązanie jest rozwiązaniem optymalnym
także dla zadania z pkt. (a).
(ad. a) Zmienne decyzyjne:




Zadanie PL:
a)
b)
c)
(ad. b) Zmienne decyzyjne:



Zadanie PL:




Sformułuj zadanie PL wyznaczające strategię mieszana
realizowaną jeden raz.
Sformułuj zadanie PL, wyznaczające optymalną strategię
mieszaną realizowaną wielokrotnie przy założeniu, że
udział pomidorów w ogólnym obszarze nie może
przekroczyć 50 %.
Podaj jakie będzie dla punktu pkt. (b) optymalne
rozwiązanie i średni dochód z uprawy.
(ad. c) Optymalna strategia:
x1 =
x2 =
x3 =
Średni dochód:
(ad. d)
Zestaw F 1
6.
Przedsięwzięcie składa się z 5 czynności: A, B, C, D, E. W tabeli dla każdej czynności podany został zbiór poprzedników, optymalny
czas jej trwania ( w tyg.) koszt wykonania (w tys. zł) oraz koszt skrócenia czynności ( w tys. zł /1 tydzień), co najwyżej o 1 tydzień.
Czynność
Zbiór poprzedników
Czas trwania
Koszt wykonania
Koszt skrócenia
A
5
15
-
B
A
8
18
2
C
A
5
10
3
D
B
7
12
1
E
CB
6
20
5
(ad. a) Sieć czynności:
a) Zbuduj sieć czynności.
b) Ustal plan realizacji minimalizujący koszt. Podaj czas i koszt
realizacji przedsięwzięcia, całkowite zapasy czasu (luzy) dla
poszczególnych czynności.
e) Ustal, jakie czynności należy skrócić, aby zminimalizować
czas realizacji przedsięwzięcia. Podaj ostateczny koszt i
czas realizacji.
(ad. c) Sieci krytyczne:
(ad. b) Czas realizacji =
Koszt realizacji =
7.
W tabeli podano ceny ropy naftowej (w dolarach / 1
baryłkę) dla wybranych wielkości dziennego wydobycia (w
mln baryłek).
Cena ropy (yi)
Wielkość wydobycia (xi)
34
18
30
20
(ad. a) Macierz CROSS
Y
Y
X
1
24
23
X
20
25
10
30
1
a) Ustal macierz CROSS
b) Oszacuj, parametry liniowego modelu ceny ropy
y = 1 x + 0.
c) Oceń jakość dopasowania.
d) Podaj interpretacje parametrów modelu.
e) Ustal jaka powinna być cena baryłki ropy o ile wydobycie
wynosi 40 mln baryłek i oceń jakość tej prognozy.
ad. c) Jakość dopasowania:
ad .b) Szacowanie parametrów modelu:
ad. d) Interpretacja parametrów:
ad. e) Prognoza ceny
Teoria:
1. Podaj jakie parametry występują w zagadnieniu pośrednika.
2. Przedstaw graficznie 2 przypadki, gdy zadanie PL nie ma rozwiązania optymalnego.
3. Kiedy metoda zysków końcowych (kosztów końcowych) gwarantuje uzyskanie rozwiązania optymalnego w zagadnieniu
rozdziału.
4. Przedstaw funkcję Tornquista II rodzaju (wzór, wykres, interpretacja składowych).
5. Jakiego typu ryzyko minimalizujemy w analizie portfelowej zgodnie z modelem Sharpe’a.
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw F 2
Imię i nazwisko ....................................................., sala ....., miejsce <
data ................., godz. ........., suma punktów........., ocena
>, grupa ......
11. Rolnik posiada 12 ha ziemi. Może na niej uprawiać jęczmień i ziemniaki. Dochód (w tys. zł /1 ha) oraz nakład robocizny
(w rob. godz./1ha) przedstawia tabela. Obszar uprawy jęczmienia nie może być mniejszy od obszaru uprawy ziemniaków. Obszar
uprawy jęczmienia nie może być większy od 8 ha. Rolnik maksymalizuje swój dochód oraz minimalizuje nakład robocizny.
a) Sformułuj powyższy problem w postaci zadania
J
Z
wielocelowego.
Dochód
6
3
b) Ustal, graficznie optima cząstkowe i zaznacz zbiór
Robocizna
50
100
rozwiązań Pareto – optymalnych.
c) Sformułuj zadanie pomocnicze wyznaczające decyzję
(ad. a) Zmienne decyzyjne:
kompromisową, o ile rolnika zadawala 24 tys. zł dochodu.

d) Ustal decyzję kompromisową, podaj dla niej dochód i

robociznę.
Zadanie PL:






(ad. b)
(ad. c) Zadanie pomocnicze:
ad. d) Rozwiązanie kompromisowe:
Dochód =
Robocizna =
Min. rob. :
Max doch. :
Zbiór Pareto – optymalny:
12. Spółka rybacka dzierżawi 3 jeziora A, B, C. Wielkość połowów (w tonach) zależy od liczby rybaków skierowanych do
poszczególnych jezior i przedstawia to tabela. Spółka zatrudnia 4 rybaków. Cena 1 tony ryb 2 tys. zł, a koszt zatrudnienia rybaka
5 tys. zł.
e) Utwórz macierz zysków.
Liczba rybaków
A
B
C
f) Ustal ilu rybaków powinna zatrudniać spółka i jaki
1
10
9
8
osiągnie wówczas zysk.
2
15
14
14
g) Jak przydzielić 4 rybaków do trzech jezior i jaki wówczas
3
18
16
16
osiągnie zysk.
4
19
18
17
h) Ilu dodatkowo rybaków warto zatrudnić, jeżeli żądają oni
po 7 tys. zł.
(ad. a) Macierz zysków
Liczba rybaków
1
2
3
4
A
B
C
(ad. c) Macierz zysków krańcowych:
(ad. b) Strategia:
Liczba rybaków
1
2
3
4
Liczba rybaków:
Optymalna strategia:
Max zysk:
Max zysk:
A
(ad. d) Warto zatrudnić dodatkowo:
B
C
Zestaw F 2
13. Inwestor zamierza kupić akcje dwóch firm A i B. Przewidywane (możliwe) stopy zwrotu ( w %) i prawdopodobieństwo ich
wystąpienia zawiera tabela. Minimalna, akceptowana przez inwestora stopa zwrotu r* = 7,5%.
Stan giełdy
S1
S2
Prawdopod.
0,5
0,5
A
10
0
B
+5
15
d)
e)
f)
(ad. a) Oczekiwana stopa zwrotu:
Ustal oczekiwane stopy zwrotu, wariancję i kowariancję
dla poszczególnych akcji.
Sformułuj zadanie minimalizujące ryzyko portfela.
Sprawdź, czy portfel: xA = 1/2, xB = 1/2 jest portfelem
optymalnym.
(ad. b) Zmienne decyzyjne:


rA =
rB =
Wariancja:
Zadanie:

vA =
vB =
Kowariancja:
cov (rA, rB) =



(ad. 3) Sprawdzenie rozwiązania:
14. W Instytucie Hutnictwa ustalono zależność między ceną wyrobów walcowanych C (w zł /1 tonę), a wielkością podaży X (w mln ton)
na te wyroby:
C = 440 – 10X
Ustalono także zależność między całkowitym kosztem produkcji K (w mln zł), a wielkością produkcji X (w mln. ton):
d)
e)
f)
K = 1.440 + 40X + 10 X2
Podaj jaki będzie zysk przy aktualnej produkcji 8 mln ton.
Ustal, wielkość produkcji maksymalizującą zysk.
Oblicz wartość tego zysku.
Wyznacz wielkość produkcji minimalizującą koszt jednostkowy.
Jaka będzie wówczas cena, koszt i zysk jednostkowy.
(ad. a) Aktualny zysk:
(ad. b) Optymalna wielkość produkcji:
 P’ =
 K’ =
 Z’ =
Maksymalny zysk:
 P’’ =
(ad. c) Produkcja minimalizująca koszt jednostkowy:
x0 =
 K’’ =
 Z’’ =
cj =
kj =
zj =
Teoria:
1. Podaj funkcję celu z zamkniętym zagadnieniem transportowym.
2. O czym mówi całkowity zapas czasu i niezależny zapas czasu.
3. Na czym polega reguła wyboru Savage’a i kiedy ją stosujemy.
4.
Oszacowano funkcję Tornquista I rodzaju dla wydatków mieszkaniowych w Poznaniu:
Dla dochodu rodziny 5.000 zł, podaj jaka będzie
a) wysokość wydatków mieszkaniowych,
b) elastyczność dochodowa tych wydatków.
Podaj pięć podstawowych reguł tworzenia zadania dualnego.
y
1.500 x
.
x  2.000
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw K 3
Imię i nazwisko ....................................................., sala ....., miejsce <
data ................., godz. ........., suma punktów........., ocena
1.
Firma może produkować dwa wyroby A i B, przy ich produkcji zużywa się jeden istotny surowiec S. Zasób surowca, normy jego
zużycia i ceny wyrobów ( w tys. zł) przedstawia tabela. Ze względu na podpisane umowy produkcja wyrobu B nie może być mniejsza
od 3 jed., natomiast z powodu ograniczonego popytu produkcja wyrobu A nie może przekraczać 4 jed. Zasób surowca S musi być w
pełni wykorzystany.
S
Cena
g)
h)
>, grupa ......
A
3
4
B
3
2
Zasób
18
X
f)
g)
Sformułuj powyższy problem w postaci zadania PL
Znajdź optymalne rozwiązanie tego zadania metodą
graficzną.
Podaj (zaznaczając także na wykresie) jak się zmienia rozwiązanie optymalne, jeżeli spada popyt na wyrób A.
Przy jakiej cenie wyrobu B produkcja wyrobu A jest nieopłacalna.
(ad. a) Zmienne decyzyjne:


(ad. b)
Roz. Opt. x1 =
x2 =
Przychód =
Model:





(ad. c) Zmiana rozwiązania optymalnego:
(ad. d) Minimalna cena c2 >
gdyż
8.
Ogrodnik posiada 3 ha ziemi i może na niej uprawiać kapustę, pomidory i ogórki. Dochód z uprawy każdej rośliny zależy od stanu
pogody i podany jest w tabeli (w tys. zł /1 ha)
S1
S2
S3
K
15
18
10
P
12
16
18
O
11
9
14
d)
e)
f)
(ad. a) Reguła Hurwicza
hk (1) =
hp (1) =
ho (1) =
Optymalna strategia:
(ad. b) Zmienne decyzyjne:



Model:




Stosując regułę Hurwicza przy  = 1, ustal optymalną
strategię czystą realizowaną jeden raz.
Sformułuj zadanie PL, wyznaczające optymalną strategię
mieszaną realizowaną jeden raz przy założeniu, że udział
pomidorów w ogólnym obszarze nie może przekroczyć
50 %.
Podaj jakie będzie minimalny dochód jeżeli ogrodnik
uprawia 2 ha kapusty i 1 ha pomidorów.
(ad. c) Dochody dla poszczególnych
stanów:
S1 :
S2 :
S3 :
Minimalny dochód:
Zestaw K 3
9.
Przedsięwzięcie składa się z 5 czynności: A, B, C, D, E. W tabeli dla każdej czynności podany został zbiór poprzedników, czas jej
trwania ( w tyg.) koszt wykonania (w tys. zł) oraz koszt skrócenia czynności ( w tys. zł /1 tydzień).
Czynność
Zbiór poprzedników
Czas trwania
Koszt wykonania
Koszt skrócenia
A
5
15
6
B
A
3
18
2
C
8
10
3
D
CB
7
12
7
E
CB
6
10
5
(ad. a) Sieć czynności:
a) Zbuduj sieć czynności.
a) Ustal, najkrótszy czas realizacji, całkowite zapasy czasu
(luzy) dla poszczególnych czynności oraz koszt realizacji
całego przedsięwzięcia.
b) Ustal, jakie czynności należy skrócić aby zmniejszyć czas
realizacji przedsięwzięcia o jednostkę. Podaj nowy koszt
realizacji.
(ad. b) Czas realizacji =
Koszt realizacji =
(ad. c) Sieć krytyczna:
10. W tabeli podano ceny ropy naftowej (w dolarach / 1
baryłkę) dla wybranych wielkości dziennego wydobycia (w
mln baryłek).
Cena ropy (yi)
Wielkość wydobycia (xi)
30
18
(ad. a) Macierz CROSS
Y
Y
X
1
25
20
18
23
X
15
25
10
32
1
e)
f)
c)
d)
e)
Ustal macierz CROSS,
Oszacuj, parametry liniowego modelu ceny ropy
y = 1 x + 0.
Oceń jakość dopasowania.
Podaj interpretacje parametrów modelu.
Ustal jaka powinna być cena baryłki ropy o ile wydobycie
wynosi 30 mln baryłek.
ad. b) Parametry modelu
ad. c) Jakość dopasowania:
ad. d) Interpretacja parametrów:
ad. e) Prognoza ceny
Teoria:
5. Podaj wzór rekurencyjny dla zagadnienia gazeciarza.
9.
Przedstaw graficznie jak można wyznaczyć rozwiązanie kompromisowe w oparciu o punkt idealny jeżeli cele są równoważne.
10. Podaj jaką metodę wyznaczania optymalnej strategii stosujemy, gdy wielkość zasobu może być dowolna (uzasadnij).
11. Omów, czym się kierujemy ustalając postać analityczną modelu ekonometrycznego.
12. Podaj jak liczymy stopę zwrotu akcji w okresie t.
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw K 4
Imię i nazwisko ....................................................., sala ....., miejsce <
data ................., godz. ........., suma punktów........., ocena
>, grupa ......
15. Rolnik posiada 10 ha ziemi. Może na niej uprawiać jęczmień i ziemniaki. Dochód (w tys. zł /1 ha) oraz nakład robocizny
(w rob. godz./1ha) przedstawia tabela. Obszar uprawy jęczmienia nie może być większy od obszaru uprawy ziemniaków. Obszar
uprawy jęczmienia nie może być mniejszy od 2 ha. Rolnik maksymalizuje swój dochód oraz minimalizuje nakład robocizny.
a)
Sformułuj powyższy problem w postaci zadania
J
Z
wielocelowego.
Dochód
2
3
b)
Ustal, graficznie optima cząstkowe i zaznacz zbiór
Robocizna
50
100
rozwiązań Pareto – optymalnych.
g)
Sformułuj zadanie pomocnicze wyznaczające decyzję
(ad. a) Zmienne decyzyjne:
kompromisową, o ile rolnika zadawala 15 tys. zł dochodu.

h)
Ustal decyzję kompromisową.

Model:






(ad. b)
(ad. c) Zadanie pomocnicze:
ad. d) Roz. kompromisowe x1 =
, x2 =
Min. rob. :
Max doch. :
Zbiór Pareto – optymalny:
,
16. Spółka rybacka dzierżawi 3 jeziora A, B, C. Wielkość połowów (w tonach) zależy od liczby rybaków skierowanych do
poszczególnych jezior i przedstawia to tabela. Spółka zatrudnia 7 rybaków. Cena 1 tony ryb 2 tys. zł, a koszt zatrudnienia rybaka
10 tys. zł.
i) Utwórz macierz zysków.
Liczba rybaków
A
B
C
j) Ustal, ilu rybaków powinna zatrudniać spółka i jaki
1
8
9
10
osiągnie wówczas maksymalny zysk.
2
15
14
16
k) Jak przydzielić 7 rybaków do trzech jezior i jaki wtedy jest
3
18
16
19
maksymalny zysk.
4
19
18
21
l) Co zrobić z aktualnym zatrudnieniem, jeżeli zwolnienie
rybaka wymaga wypłacenia odprawy w wysokości 3 tys. zł
(ad. a) Macierz zysków
Liczba rybaków
1
2
3
4
A
(ad. b) Strategia optymalna:
B
C
(ad. c) Macierz zysków krańcowych:
Liczba rybaków
1
2
3
4
Należy zatrudnić:
Optymalna strategia:
Max zysk:
Max zysk:
(ad. d) Co robimy:
A
B
C
Zestaw K 4
17. Inwestor zamierza kupić akcje dwóch firm A i B. Przewidywane (możliwe) stopy zwrotu ( w %) i prawdopodobieństwo ich
wystąpienia zawiera tabela. Minimalna, akceptowana przez inwestora stopa zwrotu r* = 5%.
Stan giełdy
S1
S2
Prawdopod.
0,5
0,5
A
4
16
B
-5
15
g)
h)
i)
(ad. a) Oczekiwana stopa zwrotu:
Ustal oczekiwane stopy zwrotu, wariancję i kowariancję
dla poszczególnych akcji.
Sformułuj zadanie minimalizujące ryzyko portfela.
Sprawdź, czy portfel: xA = 0, xB = 1 jest portfelem
optymalnym.
(ad. b) Zmienne decyzyjne:


rA =
rB =
Wariancja:
Zadanie:

vA =



vB =
Kowariancja: cov (rA, rB) =
(ad. 3) Sprawdzenie rozwiązania:
18. W Instytucie Górnictwa ustalono zależność między ceną węgla C (w zł /1 tonę), a wielkością podaży X (w mln ton):
C = 100 – X
Ustalono także zależność między całkowitym kosztem produkcji K (w mln zł), a wielkością produkcji X (w mln. ton):
g)
h)
i)
K = 10.000 + 60X + 0,5 X2
Podaj jaki będzie zysk przy aktualnej produkcji 100 mln ton.
Ustal, wielkość produkcji maksymalizującą zysk.
Oblicz wartość tego zysku. Co zrobić z produkcją ?
Wyznacz wielkość produkcji minimalizującą koszt jednostkowy.
(ad. a) Aktualny zysk:
(ad. b) Optymalna wielkość produkcji:
 P’ =
 K’ =
 Z’ =
Maksymalny zysk:
 P’’ =
(ad. c) Produkcja minimalizująca koszt jednostkowy:
 K’’ =
 Z’’ =
Teoria:
19. Opisz trzy podstawowe rodzaje modeli decyzyjnych.
20. Jakie dwa zasadnicze zadania stawiamy w analizie kosztowej przedsięwzięcia .
21. Podaj wzór na funkcję Tornquista II rodzaju i interpretację jego składowych.
22. Przedstaw dowolną macierz wypłat dla dylematu więźnia i ustal, czy istnieje strategia dominująca.
23. Przedstaw zagadnienie diety (parametry i model).
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw K 1
Imię i nazwisko........................................................................................., sala ........, miej sce <
Data ..................... godz. ................., suma punktów..................... ocena
>, grupa ..........
12. Z dwóch produktów A i B , w których są istotne dwa składniki: S1 i S2, należy ustalić dietę minimalizującą koszt żywienia. Zawartość
obydwu składników w produktach, ceny produktów ( w zł) oraz minimalną ilość tych składników w diecie zawiera tabela. Produktu A
w diecie nie może być mniej niż produktu B.
A
S1
2
S2
3
cena
4
ad. a) Zmienne decyzyjne:


B
2
0
2
Min. ilość składnika
20
12
i)
j)
k)
l)
Sformułuj powyższy problem w postaci zadania PL.
Znajdź optymalne jego rozwiązanie metodą graficzną.
Ustal ile wynosi nadwyżka składnika S1i S2 w diecie.
Podaj jak się zmieni roz. optymalne, jeżeli spada niezbędna
ilość składnika S1.
ad. b)
Zadanie PL:





ad. c) Nadwyżka S1 =
, gdyż
Nadwyżka S2 =
, gdyż
Roz. Opt. x A =
xB =
Koszt =
ad. d) Roz. optymalne przesuwa się:
13. Inwestor zamierza kupić akcje dwóch firm A i B. W tabeli podano stopy zwrotu ( w %) w trzech ostatnich miesiącach.
miesiące
1
2
3
A
20
10
0
B
12
-6
6
g)
h)
i)
ad. a) Stopa zwrotu:
Ustal średnią stopę zwrotu, wariancję i kowariancję dla
obydwu akcji.
Sformułuj zadanie maksymalizujące stopę zwrotu portfela
przy ryzyku v* = 30.
Sprawdź czy portfel: xA = 1/2, xB = 1/2 jest portfelem
optymalnym.
rA =
ad. b) Zmienne decyzyjne:
rB =


Wariancja:
vA =
vB =
Zadanie:




Kowariancja:
ad. c) Sprawdzenie rozwiązania:
cov (rA, rB)
Zestaw K 1
14. W tabeli podano oceny 5 uczniów z trzech podstawowych przedmiotów.
J. pol.
Mat.
Hist.
A
4
5
3
B
5
3
4
C
4
4
5
D
3
5
4
E
2
3
4
h)
i)
j)
ad. a) Kryterium cząstkowym jest:
Zmienna decyzyjna jest:
ad. b) Wartość metakryterium dla poszczególnych uczniów





Najlepszy uczeń:
gdyż:
Podaj co w tym zadaniu jest kryterium cząstkowym a co
zmienną decyzyjną.
Stosując metakryterium z wagami w1 = 2, w2 = 3, w3 = 2,
ustal najlepszego ucznia.
Utwórz macierz realizacji celów cząstkowych i wybierz
najlepszego ucznia zakładając, że cele (czyli oceny
z przedmiotów) są równoważne.
ad. c) Macierz stopni realizacji celów cząstkowych
A
B
C
D
J. pol.
Mat.
Hist.
E
Najlepszy uczeń:
15. Firma produkująca kabanosy ustaliła następującą zależność między popytem na kabanosy, mierzonym wielkością sprzedaży S
(w tonach/ tydz.), a poziomem dochodów konsumentów D (w zł /1 osobę) i cena sprzedaży C (w zł 1/kg):
S = 40 D0,6 C-1,5.
Oszacowano także zależność między kosztem produkcji K (w tys. zł) a wielkością produkcji Q (w tonach/ na tydz.)
K = 140 + 15 Q.
Zakładamy, że tygodniowa produkcja jest równa tygodniowej sprzedaży. Aktualna cena C’ = 25 zł/1 kg, a aktualna sprzedaż
S’ = Q’ = 20 ton.
i) Ustal aktualny, tygodniowy przychód, koszt i zysk.
j) Podaj jak się zmieni sprzedaż kabanosów, jeżeli jego cena wzrasta o 20 %. Ustal nową cenę i nową sprzedaż.
k) Oblicz jaki będzie nowy przychód, koszt i zysk.
l) Podaj czy podjęta decyzja jest słuszna.
ad. a) Aktualny przychód, koszt i zysk:
 P’ =
ad. c) Nowy przychód, koszt i zysk:
 P’’ =
 K’ =
 K’’ =
 Z’ =
 Z’’ =
ad. b) zmiana sprzedaży, nowa sprzedaż, nowa cena:

ad. d) Uzasadnienie decyzji:


Teoria:
16. Podaj jakie wyjściowe i wtórne parametry występują w zagadnieniu wojny cenowej.
17. Przedstaw graficznie zbiór rozwiązań optymalnych w sensie Pareto. Podaj kiedy zbiór ten jest punktem, odcinkiem, krzywą.
18. Podaj wzór na ustalanie optymalnej liczby kanałów obsługi..
19. Opisz ideę metody simpleks.
20. Przedstaw jak liczymy całkowity zapas czasu (luz) oraz niezależny zapas czasu (podaj interpretację jego składowych).
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw K 2
Imię i nazwisko........................................................................................., sala ........, miej sce <
Data ..................... godz. ................., suma punktów..................... ocena
>, grupa ..........
19. Mleczarnia może produkować do 10 ton sera tygodniowo. Wytwarza dwa gatunki sera A i B. Ze względu na ograniczony popyt sera A
nie można wytwarzać więcej niż 4 tony, natomiast sera B nie mniej niż 3 tony ( ze względu na podpisane umowy z nabywcami). Cenę
jednostkową i zysk jednostkowy ( w tys. zł/1 tonę) podano w tabeli:
A
10
2
Cena
Zysk
Sformułuj powyższy problem w postaci zadania wielocelowego,
jeżeli wiadomo, że mleczarnia maksymalizuje swój przychód i
zysk.
i) Znajdź optima cząstkowe stosując metodę graficzną.
j) Podaj maksymalny przychód, zysk oraz zbiór Pareto –
optymalny ( zaznacz go także na wykresie)
k) Ustal decyzję kompromisową jeżeli dla decydenta
jednostka zysku ma wartość 5 razy wyższą od jednostki
przychodu.
B
15
-1
ad. a) Zmienne decyzyjne:


Zadanie wielocelowe:

ad. b)





ad. c) Max przychód =
max zysk =
Zbiór Pareto optymalny:
ad. d) Metakryterium:
Decyzja kompromisowa:
Opt. roz. dla przychodu: xA =
, xB =
Opt. roz. dla zysku:
, xB =
xA =
20. Piekarnia zakupiła piec do wypieku chleba sterowany elektronicznie. Sterownik ten ulega awariom. W tabeli (na podstawie danych
historycznych), podano liczbę awarii sterownika oraz ilość przypadków, w których ta liczba awarii wystąpiła. Awaria sterownika
wymaga jego wymiany. Koszt zakupu dodatkowego sterownika wraz z piecem k 1 = 3 tys. zł, natomiast koszt zakupu w warunkach
awarii k2 = 4 tys. zł. Piekarnia ponosi także straty z tytułu przestoju pieca s = 9 tys. zł.
Liczba awarii
Liczba przypadków
p(x)
F(x)
ad. a) Macierz strat:
0
0
1
2
3
0
3
1
3
2
2
3
2
a)
g)
h)
i)
1
2
Ustal rozkład prawdopodobieństwa awarii i macierz strat.
Wyznacz ile należy zakupić dodatkowo sterowników, aby
oczekiwane straty były minimalne.
Oblicz ile wynosi minimalna strata.
Ustal czy zmieni się rozwiązanie, jeżeli pominiemy stratę
z tytułu przestoju pieca s.
3
ad. c) Minimalna oczekiwana strata:
ad. d) Wielkość zakupu z pominięciem straty s:
ad. b) Optymalna liczba części z* =
, gdyż
Zestaw K 2
21. Koncern „ESSO” zamierz zbudować stacje paliw w trzech miastach: A, B, C. Koszt budowy jednej stacji 5 mln. zł. Łącznie można
wybudować co najwyżej 5 stacji. Przewidywane przychody (w mln. zł) z każdego miasta zależą od ilości wybudowanych tam stacji
benzynowych (zawiera je tabela).
Liczba stacji
1
2
3
A
12
19
26
ad. a) Macierz zysków:
Liczba stacji
A
1
2
3
B
11
23
29
B
g)
h)
C
9
14
21
i)
Ustal macierz zysków.
Wyznacz optymalną strategię inwestowania stosując
programowanie dynamiczne. Podaj maksymalny zysk.
Jaki będzie zysk i optymalna strategia, jeżeli ESSO może
wybudować tylko 3 stacje.
ad. b) Macierz możliwych zysków:
(II etap)
C
0
1
2
ad. b) Macierz możliwych zysków:
(III etap)
3
0
1
2
3
4
5
ad. b) Macierz możliwych strategii:
x
x1
F1(x)
x2
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
0
1
2
3
4
5
ad. c) Optymalna strategia dla 3 stacji.
F2(x)
x3
F3(x)
Optymalna strategia:
22. Roczna sprzedaż cukru (w tonach) w pewnym samie w latach 95 – 99 wynosi:
Rok
Sprzedaż
t
95
8
96
9
97
7
ad. a) Macierz CROSS:
y
y
t
1
98
7
t
Ustal macierz CROSS
j)
Oszacuj parametry liniowego trendu sprzedaży:
y = 1 t + 0.
99
8
1
k)
l)
m)
Podaj interpretację parametrów modelu:
Oceń dopasowanie modelu do wyników do obserwacji.
Podaj prognozę sprzedaży cukru na rok 2002. Czy jest ona
wiarygodna?
ad. d) Oceń dopasowanie:
ad. b) Szacowanie parametrów:
ad. c) Interpretacja parametrów modelu:
0 =
ad. e) Prognoza sprzedaży cukru:
1 =
Teoria:
23. Przedstaw graficznie kiedy zadanie PL ma jedno lub wiele rozwiązań optymalnych.
24. Przedstaw reguły tworzenia zadania dualnego.
25. Podaj model zagadnienia minimalizacji ryzyka przy zadanym poziomie stopy zwrotu.
26. Omów regułę wyboru Bayesa (kiedy ją stosujemy i kolejne etapy).
27. Opisz wzór analityczny w zagadnieniu gazeciarza.
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw K 5
Imię i nazwisko........................................................................................., sala ........, miej sce <
Data ..................... godz. ................., suma punktów..................... ocena
>, grupa ..........
1. Stolarz produkuje krzesła i stoły. Do ich produkcji zużywa się drewno (D). Jego zasób wynosi 12 jednostek. Normy zużycie drewna
oraz ceny sprzedaży wyrobów zawiera tabela. Krzeseł musi być co najmniej 2 razy więcej niż stołów. Ze względu na ograniczony popyt
krzeseł nie może być więcej niż 8.
Krzesło
1
1
D
Cena w tys. zł
Stół
2
4
Sformułuj powyższy problem w postaci zadania PL.
Znajdź optymalny plan produkcji. Podaj maksymalny
przychód.
Zaznacz jak się zmieni rozwiązanie optymalne jeżeli
zmniejsza się zasób drewna.
Jaka musi być minimalna cena krzesła, aby opłacalne było
zwiększenie jego produkcji.
a)
b)
c)
ad. a) Zmienne decyzyjne:

d)

Zadanie PL:

ad. b)





ad. c) Zmiana rozwiązania:
ad. d) Zmiana ceny krzesła:
Opt. plan:
x1 =
, x2 =
Maksymalny przychód:
2. W mleczarni ustalono, jak kształtuje się dzienny popyt na mleko (w tys. l) w zależności od ceny jego sprzedaży: c 1 = 2 zł bądź c1’ = 2,5 zł
za 1 l. Prawdopodobieństwo popytu p(x) dla ceny c1 oraz prawdopodobieństwo popytu p’(x) dla ceny c1’ zawiera tabela. Koszty produkcji
1 l mleka k = 1,5 zł, a cena zwrotu c2 = 0,5 zł.
Popyt (x)
p(x)
p’(x)
5
0,2
6
0,1
0,3
7
0,2
0,2
ad. a) Macierz zysków dla c1 = 2 zł:
8
0,3
0,2
9
0,2
0,1
10
0,2
-
a)
b)
c)
Ustal macierze zysków dla obydwu cen.
Podaj jaka powinna być optymalna strategia cen oraz
wielkość produkcji mleka, aby oczekiwany zysk był
maksymalny.
Oblicz różnice zysku między obydwoma strategiami.
ad. b) Oczekiwane zyski przy c1 = 2 zł
Macierz zysków dla c1’ = 2,5 zł:
Oczekiwane zyski przy c1’ = 2,5 zł
b=
s=
b’ =
ad. c) Różnica w zysku:
Optymalna strategia:
Zestaw K 5
3. W firma zajmującą się dystrybucją bananów, ustalono następującą zależność między popytem na banany, mierzonym wielkością
sprzedaży S (w tonach/ tydz.), a poziomem dochodów konsumentów D (w zł /1 osobę) i cena sprzedaży C (w zł na 1/kg):
S = 10 D0,5 C-1,2.
Oszacowano także zależność między kosztami dystrybucji Kd (w tys. zł) a wielkością sprzedaży S (w tonach/ na tydz.)
Kd = 10 + S.
Ustalono także zależność między ceną zakupu Cz (w tys. zł za tonę) a wielkością zakupu Q (w tonach): Cz = 1 + 0,01Q. Aktualna cena
sprzedaży C’ 3 zł za kg a wielkość sprzedaży S’ = 50 ton. Zakładamy, ze zakup = sprzedaży.
a)
Ustal aktualną cenę zakupu, przychód, łączny koszt oraz zysk.
b)
Podaj jak się zmieni sprzedaż jeżeli cenę sprzedaży podniesiono o 10%. Ustal nową cenę i nową sprzedaż.
c)
Oblicz nowy przychód, koszt i zysk. Czy decyzja zmiany ceny sprzedaży była słuszna.
ad. a) Aktualny przychód, koszt, zysk i cenę zakupu:
 P’ =
ad. c) Nowy przychód, koszt i zysk:
 P’’ =
 K’ =
 K’’ =
 Z’ =
 Z’’ =
 Cz’ =
ad. d) Uzasadnienie decyzji:
ad. b) zmiana sprzedaży, nowa sprzedaż, nowa cena:



4. Inwestor zamierza zakupić jedną z trzech akcji: A, B, C. Przewidywane (możliwe) stopy zwrotu (w %) i prawdopodobieństwo ich
wystąpienia zawiera tabela.
rB =
Ustal oczekiwaną stopę zwrotu, wariancję i odchylenie
standardowe dla poszczególnych akcji.
k) Utwórz w oparciu o te parametry macierz stopni realizacji
jeżeli wiadomo, że inwestor maksymalizuje stopę zwrotu i
minimalizuje
ryzyko
mierzone
odchyleniem
standardowym.
l) Ustal jaką akcję powinien wybrać inwestor.
m) Podaj jaką akcję wybiera inwestor, jeżeli wzrost ryzyka
mierzonego odchyleniem o 1% wymaga wzrostu stopy
zwrot o 2% (  = 2)
rC =
(ad. b) Macierz stopni realizacji:
j)
Stan giełdy
S1
S2
Prawdopod.
0,5
0,5
A
4
16
B
-5
15
C
0
4
(ad. a) Oczekiwana stopa zwrotu:
rA =
Wariancja:
A
vA =
vB =
C
(ad. c) Wybiera akcję:
vC =
Odchylenie standardowe
sA =
sB =
B
Stopa zwrotu (rj)
Ryzyko (sj)
g(x)
sC =
(ad. d) Metakryterium:
u(A) =
u(B) =
u(C) =
Teoria:
5. Przez jakie punkty na rysunku przechodzimy rozwiązując zadanie PL metodą simpleks.
6. Przedstaw model ustalanie planu produkcji z kryterium zysku.
7. Podaj, co to jest ścieżka krytyczna, czynność krytyczna. Jak się zmienia czas realizacji przedsięwzięcia, jeżeli czynność krytyczna
wydłuża się bądź skraca o k jednostek.
8. Opisz procedurę Hellwiga doboru zmiennej objaśniających.
9. Co to jest reguła wyboru Savage’a (kiedy stosujemy, opis procedury).
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw K 6
Imię i nazwisko........................................................................................., sala ........, miej sce <
Data ..................... godz. ................., suma punktów..................... ocena
>, grupa ..........
1. Szklarz wycina dwa rodzaje szyb: S1 i S2 z dwóch tafli szkła: A i B. Z jednej tafli A uzyskuje się 2 szyby S1 i 2 szyby S2, a z jednej tafli
B – 3 szyby S1. Odpad dla tafli A wynosi 5 jednostek, a dla tafli B 2 jednostki. Klient zamówił 12 szyb S1 i 6 szyb S2. Szklarz
minimalizuje odpad
ad. a) Zmienne decyzyjne:

a)
b)
c)

Zadanie Pl:

d)

ad. b)
Sformułuj powyższy problem w postaci zadania Pl.
Ustal optymalny plan cięcia szkła.
Cena jednej tafli A 20 zł, a tafli B 50 zł. Podaj czy zmieni
się rozwiązanie optymalne, jeżeli szklarz minimalizuje
koszt zużytego surowca.
Zaznacz jak wygląda rozwiązanie Pareto optymalne jeżeli
potraktujemy to zadanie jako dwukryterialne.


ad. c) Nowa funkcja celu:

Nowe rozwiązanie optymalne:
ad. d) Rozwiązanie Pareto optymalne:
Optymalny plan:
xA =
, xB =
2. Przedsięwzięcie polegające na budowie domku opisane jest następującą siecią czynności. Dla każdej czynności podany jest optymalny
czas wykonania (w miesiącach) oraz koszt jego skrócenia o kolejny miesiąc (w kwadratach – w tys. zł). Koszt minimalny realizacji domku
Km = 200 tys. zł. Czas dyrektywny jego ukończenia T* = 8 miesięcy.
a)
Ustal plan realizacji domku, minimalizujący koszt jego
wykonania w zadanym czasie T* = 8 miesięcy.
b)
Podaj minimalny koszt oraz czasy wykonania
poszczególnych czynności.
7 [5,6]
6 [3,4]
ad. a)
2 [5]
A
C
B
D
ad. a)
P1: T1 =
K1 =
Sieć krytyczna:
4 [7]
P2: T2 =
K2 =
Sieć krytyczna:
P3: T2 =
K3 =
ad. b) Koszt minimalny:
czas wykonania czynności:
TA =
TC =
TB =
TD =
Zestaw K 6
3. W pewnym województwie na rynku margaryny do pieczenia dominują dwie firmy A i B. Konkurują one cenami. Firma A przewiduje
stosowanie dwóch strategii cen CA1 = 10 zł/1kg oraz CA2 = 12 zł/1kg. Podobnie firma B przewiduje także dwie strategie cen C B1 = 11 zł/1kg
oraz CB2 = 12 zł/1kg. Koszt produkcji 1 kg w firmie A K A = 7 zł, a w firmie KB = 8 zł. Tygodniowy popyt (sprzedaż – w tys. ton) zależy od
stosowanej strategii przez obydwie firmy i zawiera go tabela (N – niska cena, W – wysoka cena).
a)
Ustal zyski obydwu firm w poszczególnych przypadkach.
b)
Utwórz macierz wypłat.
Strategie
Popyt
c)
Ustal strategie dominujące dla obydwu firm.
d)
Czy zmowa monopolistyczna jest w tym przypadku
A
B
A
B
możliwa (uzasadnienie)?
N
N
6
8
N
W
8
5
W
N
4
9
W
W
5
ad. a) Zysk dla A
ad. b) Macierz wypłat:
B
N
6
A
Zysk dla B
W
N
W
ad. c) Strategia dominująca:




Firma A:
Zysk =
Firma B:
Zysk =
ad. d)
4. W Ministerstwie Gospodarki ustalono ceny węgla (w zł/1tonę)
przy różnej wielkości jego podaży (w mln ton) na rynku
krajowym. Dane te przedstawia tabelka:
Cena węgla (yi)
Podaż węgla (xi)
180
120
(ad. a) Macierz CROSS
Y
Y
X
1
190
100
X
200
80
220
70
250
60
1
a)
b)
c)
d)
e)
Ustal macierz CROSS,
Oszacuj, parametry liniowego modelu ceny węgla
y = 1 x + 0.
Oceń jakość dopasowania.
Podaj interpretacje parametrów modelu.
Ustal jaka powinna być cena węgla przy podaży 90 mln
ton.
ad. b) Parametry modelu:
ad. c) Jakość dopasowania:
ad. d) Interpretacja parametrów:
ad. e) Prognoza ceny:
Teoria:
5. Podaj interpretacje parametrów w zagadnieniu diety.
6. Podaj wzór, jak liczymy stratę, jeżeli kupujemy z części a liczba awarii wynosi x.
7. Podaj jak w modelu Sharpe’a liczymy ryzyko systematyczne (rynkowe) oraz ryzyko niesystematyczne.
8. Przedstaw podstawowe reguły tworzenia zadania dualnego.
9. Podaj jakie funkcje kosztów produkcji można stosować, gdy jedyną zmienną objaśniającą jest wielkość produkcji.
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw D 5
Imię i nazwisko ....................................................., sala ....., miejsce <
data ................., godz. ........., suma punktów........., ocena
2.
Firma może produkować dwa wyroby A i B przy ich produkcji zużywa się jeden istotny surowiec S. Zasób surowca, normy jego
zużycia i ceny wyrobów ( w tys. zł) przedstawia tabela. Ze względu na podpisane umowy produkcja wyrobu B nie może być
mniejsza od 4 jed., natomiast z powodu ograniczonego popytu produkcja wyrobu A nie może przekraczać 4 jed.
S
Cena
i)
j)
>, grupa ......
A
2
4
B
3
2
Zasób
18
X
h)
i)
Sformułuj powyższy problem w postaci zadania PL
Znajdź optymalne rozwiązanie tego zadania metodą
graficzną.
Jaki jest maksymalny popyt, którego zmniejszenie zmienia rozwiązanie optymalne. Podaj (zaznaczając także na wykresie) jak się
zmienia rozwiązanie optymalne, jeżeli spada popyt.
Przy jakiej cenie wyrobu B produkcja wyrobu A jest nieopłacalna.
(ad. a) Zmienne decyzyjne:


(ad. b)
Roz. Opt. x1 =
x2 =
Przychód =
Model:





(ad. c) Maksymalny popyt =
Roz. Optymalne zmienia się:
(ad. d) Minimalna cena c2 >
gdyż
11. Ogrodnik posiada 6 ha ziemi i może na niej uprawiać kapustę, pomidory i cebulę. Dochód z uprawy każdej rośliny zależy od stanu
pogody i podany jest w tabeli (w tys. zł /1 ha)
S1
S2
S3
K
15
8
10
P
12
18
18
C
11
9
14
g)
h)
i)
(ad. a) Reguła Walda
wk =
wp =
wc =
Optymalna strategia:
(ad. b) Zmienne decyzyjne:



Model:




Stosując regułę Walda (maxmin) ustal optymalną strategię
czystą realizowaną jeden raz.
Sformułuj zadanie PL, wyznaczające optymalną strategię
mieszaną realizowaną jeden raz przy założeniu, że udział
pomidorów w ogólnym obszarze nie może przekroczyć
25 %.
Podaj jakie będzie minimalny dochód jeżeli ogrodnik
uprawia 2 ha kapusty, 1 ha pomidorów i 3 ha cebuli.
(ad. c) Dochody dla poszczególnych
stanów:
S1 :
S2 :
S3 :
Minimalny dochód:
Zestaw D 5
12. Przedsięwzięcie składa się z 5 czynności: A, B, C, D, E. W tabela dla każdej czynności podany został zbiór poprzedników, czas jej
trwania ( w tyg.) koszt wykonania (w tys. zł) oraz koszt skrócenia czynności ( w tys. zł /1 tydzień).
Czynność
Zbiór poprzedników
Czas trwania
Koszt wykonania
Koszt skrócenia
A
5
15
6
B
A
8
18
2
C
A
3
10
3
D
B
7
12
4
E
C
6
20
5
(ad. a) Sieć czynności:
a)
c)
Zbuduj sieć czynności.
Ustal, najkrótszy czas realizacji, całkowite zapasy czasu
(luzy) dla poszczególnych czynności oraz koszt realizacji
całego przedsięwzięcia.
d) Ustal, jakie czynności należy skrócić aby zmniejszyć czas
realizacji przedsięwzięcia o jednostkę. Podaj nowy koszt
realizacji.
(ad. b) Czas realizacji =
Koszt realizacji =
(ad. c) Sieć krytyczna:
13. W tabeli podano ceny ropy naftowej (w dolarach / 1
baryłkę) dla wybranych wielkości dziennego wydobycia (w
mln baryłek).
Cena ropy (yi)
Wielkość wydobycia (xi)
30
16
(ad. a) Macierz CROSS
Y
Y
X
1
25
20
19
23
X
15
25
10
30
1
i)
j)
c)
d)
e)
Ustal macierz CROSS,
Oszacuj, parametry liniowego modelu ceny ropy
y = 1 x + 0.
Oceń jakość dopasowania.
Podaj interpretacje parametrów modelu.
Ustal jaka powinna być cena baryłki ropy o ile wydobycie
wynosi 28 mln baryłek.
ad. b) Parametry modelu
ad. c) Jakość dopasowania:
ad. d) Interpretacja parametrów:
Teoria:
1.
2.
3.
4.
5.
ad. e) Prognoza ceny
Podaj postać funkcji celu w zagadnieniu diety.
Przedstaw wzór analityczny w zagadnieniu gazeciarza.
Podaj uliniowienie funkcji Tornquista I rodzaju.
Omów etapy budowy modelu ekonometrycznego.
Podaj jak liczymy stopy zwrotu oraz ryzyko akcji na podstawie danych historycznych (z próby) .
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw P 2
Imię i nazwisko ....................................................., sala ....., miejsce <
data ................., godz. ........., suma punktów........., ocena
>, grupa ......
24. Rolnik posiada 12 ha ziemi. Może na niej uprawiać jęczmień i ziemniaki. Dochód (w tys. zł /1 ha) oraz nakład robocizny
(w rob. godz./1ha) przedstawia tabela. Obszar uprawy jęczmienia nie może być mniejszy od obszaru uprawy ziemniaków. Obszar
uprawy jęczmienia nie może być mniejszy od 3 ha. Rolnik maksymalizuje swój dochód oraz minimalizuje nakład robocizny.
Sformułuj powyższy problem w postaci zadania wielocelowego.
J
Z
e) Ustal, graficznie optima cząstkowe i zaznacz zbiór
Dochód
2
3
rozwiązań Pareto – optymalnych.
Robocizna
50
200
f) Sformułuj zadanie pomocnicze wyznaczające decyzję
kompromisową, o ile rolnika zadawala 15 tys. zł dochodu.
(ad. a) Zmienne decyzyjne:
g)
Podaj decyzję kompromisową.


(ad. b)
Model:






(ad. c) Zadanie pomocnicze:
Min. rob. :
Max doch. :
Zbiór Pareto – optymalny:
ad. d) Roz. kompromisowe x1 =
, x2 =
,
25. Spółka rybacka dzierżawi 3 jeziora A, B, C. Wielkość połowów (w tonach) zależy od liczby rybaków skierowanych do
poszczególnych jezior i przedstawia to tabela. Spółka zatrudnia 5 rybaków. Cena 1 tony ryb 2 tys. zł, a koszt zatrudnienia rybaka
5 tys. zł.
m) Utwórz macierz zysków.
Liczba rybaków
A
B
C
n) Ustal, ilu rybaków powinna zatrudniać spółka i jaki
1
8
9
10
osiągnie wówczas maksymalny zysk.
2
15
14
16
o)
Jak przydzielić 5 rybaków do trzech jezior i jaki wtedy jest
3
18
16
19
maksymalny zysk.
4
19
18
21
(ad. c) Macierz zysków krańcowych:
(ad. a) Macierz zysków
Liczba rybaków
1
2
3
4
A
B
C
Liczba rybaków
1
2
3
4
(ad. b) Strategia optymalna:
Optymalna strategia:
Należy zatrudnić:
Max zysk:
Max zysk:
A
B
C
Zestaw P 2
26. Inwestor zamierza kupić akcje dwóch firm A i B. Przewidywane (możliwe) stopy zwrotu ( w %) i prawdopodobieństwo ich
wystąpienia zawiera tabela. Minimalna, akceptowana przez inwestora stopa zwrotu r* = 5%.
Stan giełdy
S1
S2
Prawdopod.
0,5
0,5
A
8
16
B
-5
15
n)
o)
p)
(ad. a) Oczekiwana stopa zwrotu:
Ustal oczekiwane stopy zwrotu, wariancję i kowariancję
dla poszczególnych akcji.
Sformułuj zadanie minimalizujące ryzyko portfela.
Sprawdź, czy portfel: xA = 0, xB = 1 jest portfelem
optymalnym.
(ad. b) Zmienne decyzyjne:


rA =
rB =
Wariancja:
Model:

vA =



vB =
Kowariancja: cov (rA, rB) =
(ad. 3) Sprawdzenie rozwiązania:
27. W Instytucie Hutnictwa ustalono zależność między ceną wyrobów walcowanych C (w zł /1 tonę), a wielkością popytu X (w mln ton)
na te wyroby:
C = 400 – 10X
Ustalono także zależność między całkowitym kosztem produkcji K (w mln zł), a wielkością produkcji X (w mln. ton):
j)
k)
l)
K = 1.500 + 40X + 10 X2
Podaj jaki będzie zysk przy aktualnej produkcji 12 mln ton.
Ustal, wielkość produkcji maksymalizującą zysk.
Oblicz wartość tego zysku. Co zrobić z produkcją ?
Wyznacz wielkość produkcji minimalizującą koszt jednostkowy.
(ad. a) Aktualny zysk:
(ad. b) Optymalna wielkość produkcji:
 P’ =
 K’ =
 Z’ =
Maksymalny zysk:
 P’’ =
(ad. c) Produkcja minimalizująca koszt jednostkowy:
 K’’ =
 Z’’ =
Teoria:
28. Podaj jakie wyjściowe i wtórne parametry występują w zagadnieniu gazeciarza.
29. Przedstaw o czym mówi całkowity i niezależny zapas czasu.
30. Podaj wzór na funkcję Tornquista I rodzaju i interpretację jego składowych.
31. Przedstaw dowolną macierz wypłat dla dylematu więźnia i podaj czy istnieje strategia dominująca.
32. Przedstaw zagadnienie diety (parametry i model).
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw G 1
Imię i nazwisko ....................................................., sala ....., miejsce <
data ................., godz. ........., suma punktów........., ocena
3.
>, grupa ......
Firma może produkować dwa wyroby A i B przy ich produkcji zużywa się jeden istotny surowiec S. Zasób surowca, normy jego
zużycia i ceny wyrobów (w tys. zł) przedstawia tabela. Ze względów technologicznych produkcja wyrobu A nie może być
większa od produkcji wyrobu B, natomiast z powodu ograniczonego popytu produkcja wyrobu A nie może przekraczać 2 jed.
S
Cena
c)
d)
A
4
4
B
4
2
Zasób
24
X
a)
b)
Sformułuj powyższy problem w postaci zadania PL
Znajdź optymalne rozwiązanie tego zadania metodą
graficzną.
Podaj (zaznaczając także na wykresie) jak się zmienia rozwiązanie optymalne, jeżeli spada zasób surowca S.
Podaj maksymalną cenę wyrobu A, przy której nie opłaca się go produkować.
(ad. a) Zmienne decyzyjne:


(ad. b)
Roz. Opt. x1 =
x2 =
Przychód =
Zadanie PL:





(ad. c) Rozwiązanie optymalne:
(ad. d) Maksymalna cena cA =
gdyż
14. Ogrodnik posiada 2 ha ziemi i może na niej uprawiać kapustę, pomidory i cebulę. Dochód z uprawy każdej rośliny zależy od stanu
pogody i podany jest w tabeli (w tys. zł /1 ha)
S1
S2
S3
d)
K
15
8
10
P
12
10
8
C
11
11
14
Podaj, czy to rozwiązanie jest rozwiązaniem optymalnym
także dla zadania z pkt. (a).
(ad. a) Zmienne decyzyjne:




Zadanie PL:
a)
b)
c)
(ad. b) Zmienne decyzyjne:



Zadanie PL:




Sformułuj zadanie PL wyznaczające strategię mieszaną
realizowaną jeden raz.
Sformułuj zadanie PL, wyznaczające optymalną strategię
mieszaną realizowaną wielokrotnie przy założeniu, że
udział każdej rośliny w ogólnym obszarze nie może
przekroczyć 50 %.
Podaj jakie będzie dla punktu (b) optymalne rozwiązanie i
średni dochód z uprawy.
(ad. c) Optymalna strategia:
x1 =
x2 =
x3 =
Średni dochód:
(ad. d)
Zestaw G 1
15. Przedsięwzięcie składa się z 5 czynności: A, B, C, D, E. W tabeli dla każdej czynności podany został zbiór poprzedników, optymalny
czas jej trwania ( w tyg.) minimalny koszt wykonania (w tys. zł) oraz koszt skrócenia czynności ( w tys. zł /1 tydzień), co najwyżej o 2
tygodnie.
Czynność
Zbiór poprzedników
Czas trwania
Koszt wykonania
Koszt skrócenia
A
5
15
-
B
8
18
2
C
A,B
6
10
3
D
B
7
12
1
E
C,D
6
20
5
(ad. a) Sieć czynności:
a) Zbuduj sieć czynności.
b) Ustal plan realizacji minimalizujący koszt. Podaj czas i koszt
realizacji przedsięwzięcia, całkowite zapasy czasu (luzy) dla
poszczególnych czynności.
c) Ustal, jakie czynności należy skrócić, aby zminimalizować
koszt przy czasie realizacji nie większym od 19 tygodni.
Podaj ostateczny koszt i czas realizacji.
(ad. c) Sieci krytyczne:
(ad. b) Czas realizacji =
Koszt realizacji =
16. W tabeli podano ceny ropy naftowej (w dolarach / 1
baryłkę) dla wybranych wielkości dziennego wydobycia (w
mln baryłek).
Cena ropy (yi)
Wielkość wydobycia (xi)
70
10
(ad. a) Macierz CROSS
Y
Y
8909
X
11,3983
1
207
40
20
30
30
X
11,3983
0,0149
0,245
25
40
22
50
20
60
1
a) Ustal brakujące elementy macierzy CROSS dla modelu
pomocniczego
b) Oszacuj parametry nieliniowego modelu ceny ropy
y = 0.+ (1 / x)
c) Oceń jakość dopasowania.
d) Podaj interpretacje parametrów modelu.
e) Ustal jaka powinna być cena baryłki ropy gdy wydobycie
wynosi 25 mln baryłek i oceń jakość tej prognozy.
ad. c) Jakość dopasowania:
ad .b) Szacowanie parametrów modelu:
ad. d) Interpretacja parametrów:
ad. e) Prognoza ceny
Teoria:
6. Jak interpretujemy przewóz xi,n+1 i wagę di,n+1 (ci,n+1) w kolumnie fikcyjny odbiorca w zagadnieniu pośrednika i OZT?
7. Podaj klasyfikację gier oraz jakiego typu grą jest dylemat więźnia.
8. Oszacowano funkcję Tornquista I rodzaju dla wydatków mieszkaniowych w Gnieźnie: y= (1000 x) / (x + 200)
a) Podaj jakie są wydatki na mieszkanie rodziny o dochodzie 3000 zl
b) Ustal jaka jest dla tej rodziny elastyczność dochodowa wydatków.
c) Podaj maksymalny poziom wydatków na mieszkania w Gnieźnie.
9. Podaj wzór na ryzyko portfela w modelu Markovitza
10. Jakie parametry początkowe (dane) występują w zagadnieniu gazeciarza?
Teoria (inny zestaw):
Podaj zasadnicze różnice między analizą czasową a analizą kosztową przedsięwzięcia
O czym mówi zmienna dualna i kiedy przyjmuje wartość zerową?
Podaj wzór na wariancję akcji, jeżeli dany jest rozkład stóp zwrotu.
O czym mówią parametry funkcji Cobba-Douglasa:
V = 20K0,6L0,5
15. Podaj funkcję celu w zagadnieniu diety.
11.
12.
13.
14.