Wyrażenia algebraiczne, w tym działania na

Wyrażenia algebraiczne, w tym działania na wielomianach
1. Działania na wyrażeniach algebraicznych – wzory skróconego mnożenia
Wymagane umiejętności:
Zakres podstawowy:
a) posługiwanie się wzorami skróconego mnożenia: a  b  , a  b  , a  b  , a  b  , a 2  b 2 , a 3  b 3 , a 3  b 3 ;
2
2
3
3
b) rozkładanie wielomianu na czynniki z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia, grupowania wyrazów oraz wyłączania wspólnego
czynnika poza nawias: (n  1)  N , (n  1)  N ;
c) dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów.
Zakres rozszerzony:
a) posługiwanie się wzorem: (a  1)(1  a  ...  a n 1 )  a n  1;
b) wykonywanie dzielenia wielomianu przez dwumian: x – a, stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian:
x – a;
c) stosowanie twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych.
1. Działania na wyrażeniach algebraicznych – wzory skróconego mnożenia
Wyrażenie algebraiczne to wyrażenie składające się liter oraz liczb, które są połączone ze sobą znakami działań oraz nawiasami.
Za pomocą wyrażeń algebraicznych zapisujemy różne zwroty matematyczne, wzory, twierdzenia oraz równania i nierówności.
Liczbę, literę lub liczby, litery lub liczby i litery połączone znakami działań, nawiasami nazywamy wyrażeniami algebraicznymi.
Litery występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
 jednomianem nazywamy wyrażenie, które jest iloczynem liczb i liter lub pojedynczą literą bądź liczbą;
 dwumian to suma dwóch jednomianów;
 wielomian, to suma więcej niż dwóch jednomianów.
Jeśli do danego wyrażenia w miejsce zmiennych (liter) wstawimy określone liczby i wykonamy wskazane działania, to otrzymamy liczbę, którą
nazywamy wartością liczbową danego wyrażenia.
Nazwa wyrażenia algebraicznego - to nazwa ostatniego wykonywanego działania.
Zapisując wyrażenie algebraiczne możemy pominąć znak mnożenia, jeżeli w iloczynie czynnikami są:
o
o
o
o
dwie litery,
liczba i litera (liczba poprzedza literę),
dwa wyrażenia w nawiasach,
liczba lub litera i wyrażenie w nawiasach.
Podstawowe definicje występujące przy działaniach na wyrażeniach algebraicznych
 współczynnik liczbowy
liczba która występuje na początku uporządkowanego jednomianu;
 suma algebraiczna
powstaje w wyniku dodawania jednomianów;
 wyrazy podobne
takie same zmienne w tej samej potędze, różnić się mogą współczynnikiem liczbowym;
 redukcja wyrazów podobnych
wykonanie działań na współczynnikach liczbowych, a zmienne przepisywane są bez zmian
 opuszczanie nawiasów
- jeżeli przed nawiasem jest znak plus lub nie ma znaku to opuszczając nawias przepisujemy wszystkie wyrazy z nawiasu bez zmian.,
- jeżeli przed nawiasem jest znak minus to opuszczając nawias zmieniamy znak każdego wyrazu w nawiasie na przeciwny
 mnożenie sum algebraicznych
aby pomnoży dwie sumy algebraiczne należy pomnożyć każdy wyraz pierwszej sumy przez każdy wyraz drugiej sumy.
Wzory skróconego mnożenia








Kwadrat sumy:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Kwadrat różnicy:
(a - b)² = a² – 2ab + b²
Sześcian sumy:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Sześcian różnicy:
(a - b)³ = a³ – 3a² b + 3ab² – b³
Różnica kwadratów:
a² - b² = (a - b)(a+b)
Suma sześcianów:
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
Różnica sześcianów:
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
Kwadrat sumy trzech składników: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
Rozwiązywanie równań i nierówności różnego stopnia oraz układów równań
i nierówności
1. Równania, nierówności I stopnia z jedną niewiadomą
2. Układy równań I stopnia z dwiema niewiadomymi
3. Układy nierówności I stopnia z dwiema niewiadomymi
Wymagane umiejętności
Zakres podstawowy:
a) rozwiązywanie równań i nierówności I stopnia; zapisywanie rozwiązań w postaci sumy przedziałów;
b) rozwiązywanie zadań (również umieszczonych w kontekście praktycznym), prowadzących do równań i nierówności I stopnia;
c) rozwiązywanie równań i nierówności wielomianowych metodą rozkładu na czynniki;
x 1
x 1
 2;
 2 x;
d) rozwiązywanie prostych równań wymiernych, prowadzących do równań liniowych, np.
x3
x
e) obliczanie wartości liczbowej wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej;
f) dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych; skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych;
g) rozwiązywanie zadań (również w kontekście praktycznym), prowadzących do prostych równań wymiernych;
h) rozwiązywanie prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną, typu: x  1  2  3; x  1  x  2  3.
1. Równania, nierówności I stopnia z jedną niewiadomą
Równanie jest to większe wyrażenie składające się z mniejszych wyrażeń połączonych znakiem równości. Najprostsze równanie
wygląda mniej więcej tak: wyrażenie po lewej = wyrażenie po prawej.
Rozwiązując równanie, musimy znaleźć taką liczbę, która podstawiona do równania zamiast pewnej zmiennej (czyli niewiadomej) x, f,
czy np. a spełni je, tzn. po lewej i po prawej stronie będziemy mieli te same wartości.
W celu poprawnego rozwiązania równania należy dokonywać przekształceń, tworząc w ten sposób równania równoważne, tzn.:
 dodamy (lub odejmiemy) z obu stron równania pewną wartość,
 wymnożymy (lub podzielimy) obie strony równania przez dowolną stałą różną od zera,
 obustronnie mnożymy (lub dzielimy) przez liczbę ujemną nierówność zmieniając znak na przeciwny.
2. Układy równań I stopnia z dwiema niewiadomymi
Układem dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcję takich równań, którą oznaczamy:
2
2

a1 x  b1 y  c1  a1  b1  0
(warunki oznaczają, że w obu równaniach nie mogą być równocześnie zeru oba współczynniki).

2
2

a
x

b
y

c

a

b

0
2
2
2
2
 2
Rozwiązaniem układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb rzeczywistych (x, y),
która spełnia jednocześnie obydwa równania.
Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy:



układem oznaczonym (układem równań niezależnych), jeśli posiada dokładnie jedno rozwiązanie,
układem nieoznaczonym (układem równań zależnych), jeśli posiada nieskończenie wiele rozwiązań,
układem sprzecznym, jeśli zbiór rozwiązań układu jest pusty.
Metody rozwiązywania układów równań I stopnia z dwiema niewiadomymi:
 Metoda podstawiania - polega na wyznaczeniu z któregoś równania jednej niewiadomej i podstawieniu jej do drugiego równania;
 Metoda przeciwnych współczynników - polega na dodawaniu równań stronami, w sytuacji gdy przy tej samej niewiadomej w
dwóch równaniach mamy przeciwne współczynniki.
 Metoda wyznaczników, przy założeniu, że oba równania zapisane są w postaci: ax + by = c , metoda polega na policzeniu trzech
Wy
W
wyznaczników i zastosowaniu dwóch wzorów, zwanych wzorami Cramera: x  x ; y 
W
W
 Metoda graficzna - polega na narysowaniu prostych w układzie współrzędnych:
 Dla układu oznaczonego proste przecinają się w 1 punkcie.
 Dla układu nieoznaczonego proste pokrywają się.
 Dla układu sprzecznego proste są równoległe i nie pokrywają się.
3. Układy nierówności I stopnia z dwiema niewiadomymi
Nierównością liniową z dwiema niewiadomymi nazywamy nierówność określoną jednym z podanych sposobów: Ax  By  C  0 lub
Ax  By  C  0 lub Ax  By  C  0 lub Ax  By  C  0 .
 Nierówności Ax  By  C  0 i Ax  By  C  0 gdzie A 2  B 2  0 opisują półpłaszczyznę otwartą, której krawędzią
jest prosta Ax  By  C  0 . Półpłaszczyzna otwarta to taka półpłaszczyzna, do której nie należy prosta będąca jej
krawędzią.
 Nierówności Ax  By  C  0 i Ax  By  C  0 , gdzie A 2  B 2  0 opisują półpłaszczyznę domkniętą, której
krawędzią jest prosta Ax  By  C  0 . Półpłaszczyzna domknięta ta taka półpłaszczyzna, do której należy prosta będąca
jej krawędzią.
Definicja:
Każdą parę liczb (m, n), która spełnia nierówność pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi (to znaczy, która podstawiona
do nierówności m za x oraz n za y daje nierówność prawdziwą) nazywamy rozwiązaniem tej nierówności.