LOGIKA PIERWSZEGO RZĘDU

LOGIKA PIERWSZEGO RZĘDU - ZADANIA
JĘZYK PIERWSZEGO RZĘDU
Zad.1. Określ, które zdania są prawdziwe, a które fałszywe, jeżeli zakresem zmiennej x jest zbiór liczb
rzeczywistych:
a) x x  3  xx  1 ,
x x  3  x  1 ,
c) x x  0  xx  0
d) x x  0  x  0.
b)
Zad.2. Za pomocą kwantyfikatorów, symboli logicznych i symboli działań arytmetycznych zapisz zdania:
a) Istnieje taka liczba rzeczywista, że jej kwadrat jest równy 2.
b) Dla wszystkich liczb rzeczywistych x, x  x  0 .
c) Dla pewnej liczby rzeczywistej z, z  4 z  1  0 .
d) Żadna liczba naturalna nie jest mniejsza od 0.
e) Dla każdej liczby naturalnej istnieje liczba naturalna od niej większa.
f) Nie istnieje największa liczba naturalna.
2
g) Układ równań
x  y  5
jest sprzeczny.

x  y  6
Zad.3. W dziedzinie ludzi i teorii matematycznych zapisz schematy logiczne poniższych zdań wprowadzając
potrzebne relacje i wykorzystując kwantyfikatory ograniczone:
a) Każdy matematyk zna pewną teorię matematyczną.
b) Pewien matematyk zna wszystkie teorie matematyczne
c) Pewna teoria matematyczna nie jest znana żadnemu matematykowi.
Zad.4. Sformułuj zaprzeczenia zdań z zad.2 na dwa sposoby i zapisz ich schematy logiczne. Podaj prawo
logiczne uzasadniające równoważność sformułowanych zaprzeczeń.
Zad.5. Zapisz za pomocą kwantyfikatorów, spójników zdaniowych i odpowiednio określonych relacji zdanie :
Nieprawda, że każdy Polak zna jakiś język obcy.
W otrzymanej formule sprowadź negację na poziom formuł atomowych za pomocą przekształceń
równoważnych.
Zad.6. Wykonaj podstawienia
 1  [ x / a] ,  2  [ x / y ]
(o ile są dopuszczalne) zgodnie z definicją indukcyjną w formułach:
A3  P x, a   xP x, y 
A1  xPa, b ; A2  yP x, y  ;
Zad.7. Dla następującej formuły:
xPx, g a, y   Qx, f  y   yPx, a 
a) wypisz wszystkie symbole relacyjne i funkcyjne i stałe; następnie termy, formuły atomowe, podformuły,
wolne i związane wystąpienia zmiennych przedmiotowych, zbiór zmiennych wolnych.
b) czy podstawienia [x/g(a,x)] i [y/f(a)] są dopuszczalne w powyższej formule? Jeżeli tak wykonaj te
podstawienia, jeżeli nie uzasadnij dlaczego.
SEMANTYKA
Zad. 8


Dany jest język pierwszego rzędu L  R ; f , g ; a, b
a) wśród następujących wyrażeń wskaż termy i formuły języka L:
2
2
2
x
R x, a 
R f ( x, a)
a
R f (a, b), x  g  f a, y), f ( x, b
f (a, x)
g ( y)
k (x)
R x, y   R g ( x, b), g ( y, b)
R g  x, y , a   R f ( x, y), y 
b) wyznacz wartości termów i formuł języka L (z punktu (a)) w strukturze M 1   N ;  ;,  ; 0,1 , gdzie N
oznacza zbiór liczb naturalnych, przy wartościowaniu s x   1, s y   2 i przy wartościowaniu
wx   0, w y   3
c) wyznacz wartości termów i formuł języka L (z punktu (a)) w strukturze M 2  P N ;  ;,  ; , N  ,
gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych, a P N  - zbiór wszystkich podzbiorów zbioru N, przy wartościowaniu
s x   2,3,5, s y   4,6,8 i przy wartościowaniu w x   2,3, w y   2,3,5
Zad. 9
Dana jest formuła P x   R x, y   P y  :
a) podaj język pierwszego rzędu (o minimalnej liczbie symboli) w jakim zapisana jest ta formuła
b) wyznacz wartość powyższej formuły w strukturze
A  N ; P A , R A  , gdzie
P A  N ; n  P A wtedy i tylko wtedy, gdy n jest parzyste
A
A
A
* R - relacja 2-arg w N, tzn. R  N  N ; n1 , n2  R wtedy i tylko wtedy, gdy n1  n2
*P
A
- relacja 1-arg w N, tzn.
s x   2, s y   2 i przy wartościowaniu w x   0, w y   7
B
B
c) wyznacz wartość powyższej formuły w strukturze B  N ; P , R  , gdzie
B
B
B
* P - relacja 1-arg w N, tzn. P  N ; P  2,7
B
B
B
* R - relacja 2-arg w N, tzn. R  N  N ; R   2,3 , 3,5 
przy wartościowaniu s x   2, s y   5 i przy wartościowaniu w x   7, w y   3
przy wartościowaniu
Zad. 10
Wskaż wartościowanie spełniające formułę
rzeczywistych, w której:
R f  x   Q g  x   R f  g  y  w strukturze  liczb
a  R  wtedy i tylko wtedy, gdy a jest liczbą wymierną

- aQ
wtedy i tylko wtedy, gdy a jest liczbą całkowitą
-
f  a   a 2 i
-
g  a   a
oraz wartościowanie nie spełniające tej formuły.
Zad.11
A  N ; P A , R A  , gdzie:
a, b  P A wtedy i tylko wtedy, gdy a  b  6
W strukturze
a, b  R A wtedy i tylko wtedy, gdy b  a  2
wyznaczyć wartość formuł:
a) xP x, y   xR x, y 
xP x, y   xR x, y 
c) xP x, y   xR x, z 
d) xP x, y   yR x, y 
b)
przy wartościowaniu
s x  2, s y   7, s z   1 i przy wartościowaniu w x   7, w y   3, w z   2 .
Zad.13.
Wykaż, że twierdzenia systemu aksjomatycznego (T1)-T(7) i (T9), (T10) oraz (T1’)-(T7’), (T10’) są
tautologiami LPR (metodą nie wprost). W przypadku (T2), (T2’) , (T4), (T4’), (T10), (T10’) wykaż, że
implikacje w przeciwnym kierunku nie są tautologiami LPR przez podanie interpretacji, w której nie są
prawdziwe.
Wykaz twierdzeń w pliku : 06_Tezy_LPR
SYNTAKTYKA
Zad.14.
W systemie aksjomatycznym udowodnij te spośród twierdzeń (T1)-T(7) i (T9),(T10), które nie zostały
udowodnione na ćwiczeniach. Następnie, korzystając z uzupełnienia systemu o aksjomaty dotyczące
kwantyfikatora  , udowodnij twierdzenia (T1’)-(T4’), (T7’),(T7’),(T10’). W dowodach można korzystać z
reguł wtórnych i twierdzenia o dedukcji, pamiętając o ograniczeniach przy stosowaniu tego twierdzenia.
Zad.15.
a) Zakładając twierdzenie (T7) i korzystając z twierdzenia o równoważności wykaż (T7’)
b) Korzystając z twierdzenia o równoważności udowodnij twierdzenia (T1’), (T3’), (T5’), zakładając
odpowiednio (T1), (T3), (T5) oraz prawa de Morgana dla kwantyfikatorów (T7) i (T7’).
Zad.16
a) Wypisz dokładnie wszystkie twierdzenia (T9): najpierw dla alternatywy (4 – po dwa dla każdego
kwantyfikatora) i oznacz przez (T9  ), a następnie dla koniunkcji i oznacz (T9  ).
b) Zakładając (T9  ) , prawa de Morgana dla kwantyfikatorów (T7) i (T7’) i stosując twierdzenie o
równoważności wykaż (T9  ) i (T9’).
Zad.17
Wykaż, że dla kwantyfikatorów ograniczonych mamy następujące twierdzenia:
a) x : W  A  B   x : W A  x : W B
x : W  A  B  x : W A  x : W B
c) x : W  A  x : W A
b)
wykorzystując twierdzenia dla kwantyfikatorów zwykłych i twierdzenie o równoważności.