Ćwiczenie 1 POMIARY IMPEDANCJI 1. Wprowadzenie 1.1

Ćwiczenie 1
POMIARY IMPEDANCJI
1. Wprowadzenie
1.1.
Rezystancja
W roku 1826 Georg Simon Ohm stwierdził doświadczalnie, że wartość prądu elektrycznego
jednokierunkowego I, przepływającego przez metalowy przewodnik jest wprost proporcjonalna do napięcia U, wynikającego z różnicy potencjałów początku V1 i końca V2 przewodnika (U = V1 – V2):
I ~ U;
I=
U
.
R
(1.1)
Zależność (1.1) jest powszechnie nazywana prawem Ohma. Współczynnik proporcjonalności R nosi nazwę rezystancji (oporu elektrycznego).
Zależność (1.1) może być przedstawiona również w postaci
I = G ⋅U ,
gdzie: G =
(1.1a)
1
nazywa się konduktancją (przewodnością elektryczną).
R
Jednostką rezystancji jest om [1 Ω], a jednostką konduktancji – simens [1 S].
Związek określający rezystancję z zależności od napięcia i prądu można przedstawić graficznie jako charakterystykę napięciowo-prądową tej rezystancji. W przypadku, gdy wartość rezystancji jest niezależna od prądu i napięcia, charakterystyka napięciowo-prądowa jest linią
prostą, a rezystancja nazywa się rezystancją liniową. Dla rezystancji liniowej przebiegi czasowe prądu i napięcia są do siebie proporcjonalne. Jeżeli charakterystyka napięciowoprądowa nie jest linią prostą, to rezystancja zależy od prądu i napięcia i nazywa się rezystancją nieliniową. Charakterystyki napięciowo-prądowe pokazano na rys. 1.
a)
b)
U
U
I
I
Rys.1. Charakterystyki U = f(I) rezystancji: a) rezystancja liniowa; b) rezystancja nieliniowa
1
Rezystancja przewodu jest tym większa, im większa jest jego długość l i im mniejszy przekrój
poprzeczny s. Te zależności można zapisać za pomocą równania:
R=
ρ ⋅l
s
.
(1.2)
Współczynnik proporcjonalności ρ jest stałą, której wartość zależy od rodzaju materiału
przewodu. Stała ta nazywa się rezystywnością materiału, lub opornością właściwą. Jednostką
rezystywności jest [1 Ω·m]. W praktyce używa się często jednostki pokrewnej, dostosowanej
do wymiaru przewodów. Jest nią [1
Ω ⋅ mm 2
m
]. Wielkość odwrotna nazywa się konduktyw-
nością, lub przewodnością właściwą.
Zgodnie z równaniem (1.2), rezystancja materiału ma, w zależności od konduktywności, postać następującą:
R=
l
.
γ ⋅s
(1.3)
Jednostką konduktywności jest [1 S·m-1] lub [1 S·m/mm2].
W tablicy 1 podano wartości rezystywności i konduktywności niektórych materiałów stosowanych w elektrotechnice.
Z punktu widzenia przewodzenia prądu elektrycznego, materiały dzieli się na trzy grupy:
• przewodniki,
• dielektryki,
• półprzewodniki.
Przewodniki są to materiały o małej rezystywności, przewodzące łatwo prąd pod wpływem
przyłożonego napięcia. Do przewodników zalicza się materiały, w których przepływ prądu
polega na ruchu elektronów swobodnych (przewodnictwo elektronowe). Do tej grupy należą
metale i węgiel. Metale mają bardzo dużą liczbę elektronów swobodnych (ok. 1023 w cm3).
Do przewodników zalicza się również materiały, w których przepływ prądu polega na ruchu
jonów naładowanych dodatnio lub ujemnie (przewodnictwo jonowe). Do tej klasy przewodników należą wodne roztwory zasad, kwasów i soli).
Dielektryki są to materiały mające tylko nieznaczną liczbę elektronów swobodnych, wskutek
czego praktycznie prądu nie przewodzą. Dlatego stosuje się je jako materiały izolacyjne. Należą do nich gazy, oleje oraz ciała stałe z wyjątkiem przewodników. W elektrotechnice jako
2
materiały izolacyjne stosowane są najczęściej: płótna bawełniane, jedwabne, szklane, porcelana, olej, guma, papier, mika, tworzywa sztuczne itp.
Półprzewodniki, w których przenoszenie ładunków odbywa się przez ruch elektronów, mają
pośrednią zdolność przewodzenia prądu: w pewnych warunkach zachowują się one jak izolatory, w innych jak przewodniki. Ich przewodnictwo elektryczne zmienia się pod wpływem
różnych czynników fizycznych, np. światło, temperatura. Do półprzewodników należą: selen,
german, krzem, tlenki miedzi, metali alkalicznych, uranu, oraz niektóre siarczki i węgliki.
Rezystancja materiału zależy nie tylko od wielkości występujących w równaniach (1.2) i
(1.3), lecz także od temperatury. W praktyce przyjęto podawać wartości rezystancji R20 dla
temperatury 20 oC (293 K). Jeżeli temperatura odbiega od 20 oC, występuje przyrost rezystancji ∆R, który wynosi:
∆R = α ⋅ R20 ⋅ ∆t ,
(1.4)
gdzie: α – temperaturowy współczynnik rezystancji,
∆t – przyrost temperatury w stosunku do 20 oC.
Temperaturowy współczynnik rezystancji α jest to względny przyrost rezystancji przy wzroście temperatury o 1 K (1 oC). Jego wymiar wynosi [K-1].
Współczynnik α zależy również od temperatury, jednak dla temperatur występujących w elektrotechnice przyjmuje się wartość α odpowiadającą 20 oC. W wielu przypadkach błąd spowodowany tym założeniem jest niewielki. Wartości temperaturowych współczynników rezystancji przy 20 oC dla niektórych materiałów podano w tablicy 1.
Rezystancję zależną od temperatury określa się z wyrażenia:
R = R20 + α 20 ⋅ R20 ⋅ ∆t = R20 (1 + α 20 ⋅ ∆t ).
(1.5)
Zależność (1.5) jest często wykorzystywana w elektrotechnice do wyznaczania przyrostu
temperatury uzwojeń urządzeń elektrycznych, jeżeli zostanie zmierzona rezystancja uzwojenia w stanie zimnym i w stanie nagrzanym. Taka metoda nazywa się metodą rezystancyjną
pomiaru przyrostu temperatury uzwojeń.
Niektóre półprzewodniki, szczególnie tlenki magnezu, niklu, miedzi i kobaltu, wykazują duży
ujemny temperaturowy współczynnik rezystancji, tj. ich rezystancja spada gwałtownie ze
wzrostem temperatury. Materiały te są znane jako termistory NTC*i stosowane jako bardzo
*
Negative Temperature Coefficient – ujemny współczynnik temperaturowy (zmian rezystancji)
3
czułe elementy termometrów rezystancyjnych.
Dodatni temperaturowy współczynnik rezystancji mają termistory PTC**
(inaczej pozystory). Są to elementy ceramiczne, wykonane z modyfikowanego tytanianu baru
(BaTiO3). Stosowane są między innymi jako czujniki do zabezpieczania silników elektrycznych od przeciążeń.
Niektóre materiały wykazują gwałtowny spadek rezystancji w pobliżu zera
bezwzględnego (0 K). Np. aluminium wykazuje rezystancję równą zeru przy 1,1 K, cynk przy
0,79 K, rtęć przy 4K. Na rys. 3 pokazano typowy przebieg rezystywności przy niskich temperaturach. Zjawisko to nazywa się nadprzewodnictwem elektrycznym. Nadprzewodniki mogą przenosić znacznie większe gęstości prądu niż konwencjonalne przewodniki, co pozwala
radykalnie zmniejszyć wymiary i ciężar uzwojeń. Ponadto, dzięki uzyskaniu pola magnetycznego o bardzo dużym natężeniu, powstaje możliwość eliminacji ciężkiego rdzenia magnetycznego.
Rys.3. Typowy przebieg rezystywności w niskich temperaturach
Tablica1. Rezystywność, konduktywność, współczynnik temperaturowy rezystancji różnych przewodników
Nazwa przewodnika
Rezystywność w
o
temp. 20 C
2
o
temp. 20 C
Współczynnik
temp. rezystancji
2
Ω·mm /m
S· m/mm
1/K
0,0283
35,3
0,0039
Chromonikielina
1,1
0,91
0,00015
Cyna
0,12
8,33
0,0044
Aluminium
**
Konduktywność w
Positive Temperature Coefficient – dodatni współczynnik temperaturowy (zmian rezystancji)
4
Cynk
0,063
15,9
0,0037
Kanthal A1
1,49
0,672
0,000064
Konstantan
0,48
2,1
0,00003
Manganin
0,44
2,3
0,00008
0,0168
59,4
0,00393
0,0185-0,0175
54,0-57,0
0,00393
0,08-0,07
12,5-14,3
0,0013-0,0019
0,091
11,0
0,0044
Nikielina
0,5
2
0,00028
Ołów
0,21
4,8
0,004
Platyna
0,111
9,0
0,00385
Rtęć
0,958
1,044
0,0009
Srebro
0,016
62,5
0,0041
Stal
0,1-0,5
2,0-10
0,0052
Wolfram
0,055
18,2
0,0046
Żeliwo
2,0-5,0
0,2-0,5
0,0052
Miedź czysta
Miedź przewodowa
Mosiądz
Nikiel
1.2.
Impedancja
Pojęcie rezystancji jest całkowicie ścisłe tylko dla obwodów prądu stałego. W obwodach prądu przemiennego pojęcie to należy rozszerzyć na parametry cewek indukcyjnych
i kondensatorów. Impedancja (Z) jest wielkością charakteryzującą elementy elektryczne
właśnie w obwodach prądu zmiennego. Definiuje się ją jako współczynnik proporcjonalności między prądem i napięciem sinusoidalnym dla gałęzi R - X. Jest to uogólnienie pojęcia rezystancji znanej z obwodów prądu stałego, co pozwala podać ogólny wzór na impedancję, wynikający z prawa Ohma:
U
(1.6)
Z=
I
Wartości symboliczne U i I są liczbami zespolonymi, określonymi są dla przebiegów
sinusoidalnych o określonej pulsacji ω następująco:
- dla przebiegu napięcia u( τ ) = U m cos( ωτ + ϕ u ) wartość symboliczna wynosi:
U
U = m e jϕu
2
- dla przebiegu prądu i( τ ) = I m cos( ωτ + ϕ i ) wartość symboliczna wynosi:
I
I = m e jϕi
2
5
Impedancja jest więc wielkością zespoloną i może być przedstawiona w postaci wykładniczej:
Z = Z e jϕ
Gdzie Z jest modułem równym stosunkowi amplitudy U m (lub wartości skutecznej
Um
Im
) prądu w dwójniku; kąt ϕ
2
2
zwany jest argumentem (głównym) impedancji i jest równy różnicy pomiędzy początkowym kątem fazowym napięcia ( ϕ u ) i prądu ( ϕ i ).
) napięcia do amplitudy I m (lub wartości skutecznej
Impedancja jest wypadkową oporu czynnego (rezystancji) i biernego (reaktancji)
(1.10). Jej postać zespolona może zostać przedstawiona w postaci algebraicznej, która dla
ogólnego przypadku obwodu składającego się z elementów R, L, C możne być przedstawiona jako:
1
Z = R + jX = R + j( ωL −
)
(1.10)
ωC
gdzie:
R = Re ( Z ) - rezystancja, Ω
X = Im( Z ) = X L − X C - reaktancja, Ω
X L = ωL - reaktancja indukcyjna, Ω
1
XC =
- reaktancja pojemnościowa, Ω
ωC
ω = 2πf - pulsacja prądu lub napięcia, rd/s
Wartość modułową impedancji zapisujemy jako:
Z = R2 + X 2
(1.11)
Powyższe zależności są wygodne do opisu obwodów z szeregowo połączonymi elementami R, L, C. W przypadku gałęzi równoległych wygodnie jest posługiwać się bliźniaczymi pojęciami admitancji, kondunktancji i susceptancji, będącymi odwrotnościami
wprowadzonych pojęć impedancji, rezystancji i reaktancji. Admitancja (Y) opisuje zatem
równoległe połączenie elementów G, B:
1
Y = G + jB = G + j( ωC −
)
(1.12)
ωL
gdzie:
G - konduktancja, S
B = BC − BL - susceptancja, S
BC = ωC - susceptancja pojemnościowa, S
1
BL =
- susceptancja indukcyjna, S
ωL
Wartość modułowa admitancji wyznaczana jest jako:
Y = G2 + B2
(1.13)
Z powyższych zależności łatwo zauważyć, iż admitancja jest odwrotnością impedancji. Obowiązują więc zależności:
1
1
(1.14)
Y= ; Y=
Z
Z
6
Z powyższych zależności wynika, że zarówno wartość reaktancji (X), jak i susceptancji (B) zależna jest od częstotliwości przebiegu. Rezystancja (R) oraz konduktancja
(G) formalnie nie wykazują takiej zależności.
Elementy R, L, C definiowane są jako współczynniki proporcjonalności pomiędzy odpowiednimi wielkościami fizycznymi według niniejszych relacji:
U
ψ
Q
R= ; L= ; C=
(1.15)
I
I
U
Zależności zachodzące pomiędzy rezystancją, reaktancją i impedancją zespoloną mogą być odwzorowane na płaszczyźnie w postaci trójkąta (rys. 4), który obrazuje
związki zachodzące pomiędzy tymi wielkościami i argumentem ϕ impedancji zespolonej.
Rys. 4. Trójkąty impedancji
Idealne elementy R, L, C samoistnie nie występują w obwodach prądu przemiennego.
W zależności od częstotliwości występują w zestawach podwójnych lub potrójnych,
jak pokazano na rys. 5. W zakresie częstotliwości niskich (do około 10 kHz) stosuje
się najczęściej następujące schematy zastępcze elementów R, L, C:
- rezystor – jako element idealny Z = R + j0
- cewka indukcyjna – jako gałąź szeregowa Z L = RL + jX L
- kondensator jako gałąź równoległa: Z C = GC + jBC
RC
a)
b)
R
RL
L
R
RL
L
CR
C
C
LC
RC
Rys. 5. Schematy zastępcze rezystora, cewki i kondensatora.
a) dla f ≤ 10 kHz ; b) dla f ≅ 10 MHz
2. Metody pomiarowe
Pomiary rezystancji mogą być wykonywane zarówno metodami pośrednimi, jak i bezpośrednimi.
7
2.1. Metody pośrednie
Metodą pośrednią jest metoda techniczna, pomiarowo-obliczeniowa, w której nieznaną impedancję Zx wyznacza się pośrednio z pomiaru prądu i napięcia. Podane poniżej rozważania
odnoszą się do pomiarów impedancji przy przebiegach przemienno prądowych. Jeżeli układy
pomiarowe pokazane na rys. 6 zasilone zostaną napięciem stałym, wówczas mierzona będzie
rzeczywista część impedancji, czyli rezystancja. Należy pamiętać, iż w układach stałoprądowych cewka stanowi zwarcie, a kondensator przerwę w obwodzie.
Metoda ta, wykorzystująca amperomierz i woltomierz, jest metodą najbardziej rozpowszechnioną. Ten sposób pomiaru wynika wprost z prawa Ohma
Zx =
U
.
I
(2.1)
Stosowane są tu dwa układy pomiarowe: do pomiaru rezystancji małych (rys.6a – układ poprawnie mierzonego napięcia), i do pomiaru rezystancji dużych (rys.6b – układ poprawnie
mierzonego prądu). Wartość mierzonej impedancji zostaje wyznaczona ze wskazań obu mierników.
a)
b)
A
U
Ua
Ix
I
A
Iv
V
ZX
U
V
I
Ux
ZX
Rv
Rys.6. Układ do pomiaru impedancji: a) małych (poprawnie mierzonego napięcia); b) dużych
(poprawnie mierzonego prądu)
W pierwszym z tych układów (rys. 6a), woltomierz V o rezystancji wewnętrznej RV, przez
który płynie prąd IV mierzy napięcie na impedancji Zx. Amperomierz A mierzy sumę prądów
IV i Ix
I = IV + I x .
(2.2)
Wartość impedancji obliczona ze wskazań mierników
8
U
U
=
,
I I x + IV
Zx =
(2.3)
natomiast wartość rzeczywista impedancji:
Z xrz =
U
.
Ix
(2.4)
Pomiar obarczony jest błędem (uchybem). Jest to błąd metody pomiarowej. Nie zależy on od
dokładności użytych przyrządów, a tylko od konfiguracji obwodu. Jego wartość względną (w
procentach) można obliczyć ze wzoru
δ1 =
1
⋅ 100 [%] .
RV
1+
Zx
(2.5)
Ze wzoru (2.5) wynika, że błąd spowodowany niedokładnością metody pomiarowej jest
mniejszy w przypadku stosowania woltomierza o dużej rezystancji wewnętrznej RV oraz pomiaru rezystancji Rx o małej wartości.
Przy pomiarze dużych imedancji (rys. 6b) woltomierz V mierzy sumę spadków napięć: na
amperomierzu o rezystancji wewnętrznej RA i na impedancji Zx
U = U A + U Rx .
(2.6)
Wartość impedancji obliczona na podstawie wskazań przyrządów
Zx =
U U A + U Rx
=
,
I
I
(2.7)
natomiast wartość rzeczywista impedancji:
Z xrz =
U Rx
I
.
(2.8)
Pomiar obarczony jest błędem metody. Wartość jego (w procentach) oblicza się ze wzoru
δ2 =
RA
⋅ 100 [%] .
Rx
(2.9)
Błąd spowodowany niedokładnością metody jest mniejszy w przypadku stosowania amperomierzy o małej rezystancji wewnętrznej RA oraz pomiaru rezystancji Rx o dużej wartości.
Przedstawiona metoda techniczna umożliwia również wyznaczenie samej tylko rezystancji,
9
gdy układ zasilimy stałym prądem lub napięciem.
Innym układem pozwalającym na pomiar impedancji i jej parametrów R i X jest układ pozwalający na pomiar napięcia (U), prądu (I) oraz mocy czynnej (P), pokazany na rys. 7. Tę metodę pomiaru również można nazwać metodą techniczną. Jednak dla rozróżnienia pokazanych
metod, będzie ona nazywana metodą woltomierza – amperomierza - watomierza. Układ z rysunku 7a jest przydatny do pomiaru małych impedancji odbiornika (Z) w porównaniu z rezystancją zastępczą równolegle połączonych obwodów woltomierza i cewki napięciowej watomierza. Układ z rysunku 7b stosowany jest wówczas, gdy rezystancja amperomierza i cewki
prądowej watomierza jest znacznie mniejsza niż impedancja mierzona.
a)
b)
A
U~
W
W
V
ZX
U~
A
ZX
V
Rys. 7. Układy do pomiaru impedancji, reaktancji i rezystancji.
Pomijając wpływ rezystancji wewnętrznych przyrządów, parametry elementu badanego wyznaczyć można na podstawie następujących zależności:
Z=
U
I
;
R=
P
;
I2
X = Z 2 − R2
(2.10)
Znając częstotliwość napięcia zasilającego, można obliczyć indukcyjność lub pojemność odbiornika.
Niedokładność pomiarów wynika z niedoskonałości przyrządów pomiarowych, niedokładności odczytów i wpływu narażeń środowiska (temperatura, wilgotność, obce pola elektromagnetyczne).
2.2. Metoda bezpośrednia pomiaru rezystancji
Miernikami, służącymi do szybkiego, bezpośredniego pomiaru rezystancji, są omomierze.
10
Cechują się niezbyt dużą dokładnością pomiaru i stosuje się je do sprawdzania wartości rezystancji różnych elementów aparatury i sprzętu elektrycznego, oraz do wyszukiwania miejsc
przerw lub zwarć w obwodach elektrycznych. Ze względu na układ pracy, dzielą się na szeregowe i równoległe (rys. 7).
a)
b)
V
I
Rogr
Rv
U=
RA
RX
U=
RX
A
IA
Rys.7. Układy omomierzy: a) szeregowego; b) równoległego
RV – rezystancja wewnętrzna woltomierza; RA – rezystancja wewnętrzna amperomierza
Omomierz szeregowy stanowi szeregowe połączenie woltomierza z rezystancją mierzoną.
Układ zasilany jest ze źródła napięcia stałego, którym jest najczęściej ogniwo suche (bateria).
Pod wpływem napięcia U baterii, przez cewkę organu ruchomego woltomierza płynie prąd
I=
U
.
RV + Rx
(2.12)
Odchylenie α wskazówki woltomierza jest proporcjonalne do wartości tego prądu, a zatem
α~
U
,
RV + Rx
czyli odchylenie to przy stałym napięciu jest funkcją rezystancji Rx.
Z zasady działania omomierza szeregowego wynika, że odchylenie wskazówki jest największe (α = αmax) przy Rx = 0 ( I = I max =
U
). Położenie spoczynkowe wskazówki (α = 0), (I =
RV
0) oznacza, że do zacisków omomierza nie jest przyłączony żaden opornik (Rx = ∞). Skala
pomiaru rezystancji jest dla takiego przyrządu nieliniowa.
Omomierz równoległy stanowi równoległe połączenie amperomierza z rezystancją mierzoną.
Opornik ograniczający Rogr zabezpiecza układ przed przeciążeniem przy Rx = 0. Prąd, płynący przez amperomierz zależy od wartości rezystancji Rx
11
IA =
U ⋅ Rx
.
Rogr (Rx + R A ) + Rx R A
(2.13)
Widać więc, że przy stałym napięciu U odchylenie wskazówki przyrządu zależy tylko od wartości rezystancji Rx. Przy Rx = 0 wskazówka zajmuje położenie spoczynkowe (α = 0) (IA = 0).
Przy Rx = ∞ wskazówka jest najbardziej odchylona, α = αmax i wtedy przez miernik płynie
prąd I A = I Amax =
U
. Podziałki omomierza szeregowego i równoległego, wyskalowane
Rogr + R A
w omach, są względem siebie odwrócone.
We współczesnych omomierzach szeregowych stosowane jest źródło prądowe, co pozwala na
wyeliminowanie większości błędów pomiarowych a skala jest wprost proporcjonalna do wartości mierzonego oporu.
3. Pomiary
W niniejszym ćwiczeniu należy wykonać pomiary impedancji, oraz określić jej poszczególne
składowe, korzystając z wiadomości zawartych w rozdziale 2 niniejszej instrukcji.
3.1. Pomiar rezystancji metodą techniczną.
Układ pomiarowy pokazano na rys.6. Wykonać pomiary dwóch wartości rezystancji: R1 =
300 … 400 Ω; R2 = 3000 … 4000 Ω, oraz dla różnych wartości indukcyjności i pojemności.
Pomiary wykonać dla dwóch układów z rys 6, dla podłączenia woltomierza „za” i „przed”
amperomierzem. Policzyć wartości rzeczywiste R, L, C. Wyniki pomiarów i obliczeń zamieścić w protokole.
3.3. Pomiar rezystancji omomierzem
Wykonać omomierzem pomiary dwóch wartości rezystancji: R1 = 300 … 400 Ω; R2 = 3000
… 4000 Ω. Wyniki pomiarów i obliczeń błędów zamieścić w protokole.
LITERATURA
1. Jabłoński W.: Elektrotechnika. WSiP, Warszawa 1989.
2. Pilawski M. W.: Pracownia elektryczna dla ZSE. WSiP, Warszawa 1978.
3. Woźniak J.: Zadania do zajęć w pracowni elektrycznej. WSiP, Warszawa 1974.
12