wst p do teorii gier - Instytut Matematyczny

UNIWERSYTET WROCŠAWSKI
Wydziaª Matematyki i Informatyki
Instytut Matematyczny
M.Majsnerowska
semestr letni 2016/2017 r.
WST†P DO TEORII GIER
Plan wykªadu
1. Wprowadzenie i przykªady gier
gry wielosobowe, dwuosobowe, dwuosobowe o sumie zero, wieloetapowe, losowe
2. Podstawowe poj¦cia i twierdzenia
strategia: czysta, mieszana, warto±¢ gry i:gracza, punkt równowagi Nasha, dominowanie,
twierdzenie Nasha o istnieniu punktu RN, twierdzenie Nasha o no±nikach
3. Gry o sumie zero
wªasno±ci strategii optymalnych
metody rozwi¡zywania niektórych typów gier dwuosobowych
4. Gry z niepeªn¡ informacj¡
5. Schemat arbitra»owy Nasha
6. Posuni¦cia strategiczne
uzgodnienia kolejno±ci ruchów graczy, obietnice, gro¹by
7. Gry n-osobowe i koalicje
gry w postaci funkcji charakterystycznej, imputacje, dominacje, rdze«, warto±¢ Shapleya
Literatura
1. R. D. Luce, H. Raia, Gry i decyzje
2. Ph. Stran, Game Theory and Strategy
3. T. Pªatkowski, Wst¦p do teorii gier
4. S. Tadelis, Game Theory
Zasady zaliczenia ¢wicze« b¦d¡ podane na pierwszym wykªadzie
Wst¦p do teorii gier
Lista zada« nr 1
Dla opisanych poni»ej gier okre±l zbiory strategii graczy, funkcj¦ (macierz) wypªat oraz warto±ci
gry ka»dego gracza. Zakªadamy, »e trzy ostatnie s¡ grami dwuosobowymi o sumie zero.
1. Dwóch my±liwych mo»e polowa¢ na jelenia (J) lub zaj¡ce (Z). Ich decyzje zapadaj¡ równocze±nie i niezale»nie (tzn. bez wiedzy o decyzji drugiego). Jele« ma warto±¢ 4, zaj¡ce po 1.
Je±li obaj zapoluj¡ na jelenia, upoluj¡ go, otrzymuj¡c po 2. Je±li jeden wybierze J, a drugi Z,
to pierwszy nic nie upoluje, a drugi upoluje zaj¡ca. Je±li obaj wybior¡ Z, otrzymuj¡ po 1.
2. Dwóch pracowników wykonuje pewn¡ prac¦, przy czym ka»dy z nich mo»e pracowa¢ (wtedy
si = 1) lub udawa¢ prac¦ (wtedy si = 0), i = 1; 2: Je±li gracz pracuje, ponosi koszt 3, je±li
tylko udaje 0. Wynik pracy wynosi 2(s1 + s2 ) dla ka»dego z nich, niezale»nie od tego, czy
pracowaª, czy udawaª.
3. Dwóch kierowców stoi na drodze zasypanej przez lawin¦. Caªkowity nakªad energii potrzebny
do od±nie»enia drogi wynosi c > 0, korzy±¢ ka»dego z nich z dojechania do domu to b > c.
Energia (wypªata) ka»dego gracza, gdy obaj nic nie robi¡ wynosi a < b c:
4. Dwóch graczy ma do podziaªu kwot¦ 100: A proponuje B podziaª: x dla B, reszta dla A, gdzie
x 2 f1; 2; : : : ; 100g: Gracz B mo»e si¦ zgodzi¢ i wtedy wypªaty s¡ takie, jak zaproponowaª A,
albo nie zgodzi¢ i wtedy ka»dy otrzymuje zero.
5. Uczestnicy tej wieloosobowej gry rozwa»aj¡ podj¦cie pewnej inicjatywy { akcji. Ka»dy z nich
ma do wyboru jedn¡ z dwóch decyzji: "wzi¡¢ w niej udziaª" lub "pozosta¢ z boku". Je±li
wi¦cej ni» poªowa uczestników przyª¡czy si¦ do akcji, to ka»dy z nich otrzymuje wypªat¦ 100.
Gdy uczestnicy, którzy tak zdecyduj¡, nie osi¡gn¡ wi¦kszo±ci, to ka»dy z nich zapªaci "kar¦"
wysoko±ci 10. W ka»dym przypadku gracze, którzy nie przyª¡cz¡ si¦ do akcji, ani nie otrzymuj¡
premii, ani nie pªac¡ kary.
6. Ka»dy gracz rzuca dwoma lub trzema kostkami i jednocze±nie jedn¡ monet¡. Je±li I gracz
wybierze l1 kostek, a drugi gracz l2 kostek oraz n jest liczb¡ orªów, które pojawiªy si¦ w
rzutach obu graczy, to I gracz otrzymuje wygran¡ równ¡
Wn(l1 ; l2) = jl1 2nj + jl2 2nj:
7. Gracz I zapisuje na kartce jedn¡ z 26 liter alfabetu. Nie pokazuj¡c tej kartki graczowi II, mówi,
co napisaª, ale mo»e skªama¢. Gracz II zgaduje, czy przeciwnik powiedziaª prawd¦, stwierdzaj¡c: prawda lub faªsz. Je±li gracz I zostanie przyªapany na kªamstwie, to pªaci garczowi II
kwot¦ 100. Gdy gracz II odgadnie prawidªowo, »e gracz I mówi prawd¦, to gracz I pªaci 20.
Je±li gracz II pomyli si¦, to gracz I otrzymuje 60.
8. Gracz I wybiera jedn¡ z trzech kart: króla, 10 lub 2. Wtedy gracz II zgaduje S lub M . Je±li
ma racj¦ (król jest kart¡ starsz¡ S , a 2 { mªodsz¡ M ), otrzymuje kwot¦ 3 od gracza I, a pªaci
mu kwot¦ 2, gdy si¦ pomyli. Je±li I gracz wybraª 10, to gracz II wygra kwot¦ 2, je±li oceni
j¡ jako M , ale gracz I b¦dzie musiaª wybiera¢ mi¦dzy królem a 2, je±li gracz II oceni 10 jako
S . Wtedy gracz II znów zgaduje: S lub M i wygra kwot¦ 1, je±li ma racj¦, a traci kwot¦ 3 w
przeciwnym razie.
Wst¦p do teorii gier
Lista zada« nr 2
1. Wyznacz punkty równowagi Nasha (punkty RN) dla gier opisanych w zadaniach 1 - 5 listy 1:
2. Poka», »e para strategii mieszanych ((0:5; 0:5); (0:5; 0:5)) stanowi punkt RN w grze Kot
Mysz:
3. Uzasadnij, »e w grze dwuosobowej o sumie zero okre±lenie punktu RN sprowadza si¦ do:
W1(x; y) W1 (x; y) W1(x; y); x 2 X; y 2 Y:
4. Sprawd¹, czy istniej¡ punkty siodªowe dla gier opisanych w zadaniach 6 - 8 listy 1:
5. Udowodnij tw. Brouwera o punkcie staªym dla funkcji ci¡gªej na prostej rzeczywistej.
Wsk. Zauwa», »e A = [a; b] i rozwa» funkcj¦ g(x) = (x) x:
6. Uzasadnij, »e zbiór strategii mieszanych gracza jest zbiorem wypukªym, ograniczonym i domkni¦tym.
7. Udowodnij nast¦puj¡cy lemat:
Je±li X = fx = (x1 ; : : : ; xn ); Pni=1 xi = 1; xi 0g, to dla dowolnych s1; : : : ; sn zachodzi
max
x2X
n
X
i=1
xi si = maxfs1; : : : ; sng:
8. Dla gier o nast¦puj¡cych macierzach wypªat wyznacz wszystkie punkty RN:
!
!
!
; 4) (1; 0)
(3; 3) ( 1; 5)
(0; 1) (1; 1)
M = (2
(3; 1) (0; 4) ; N = (5; 1) (0; 0) ; P = (2; 2) (0; 0) ;
1
0
(0; 1) (0; 1) (2; 4)
Q = B@ (5; 1) (4; 2) (1; 0) CA
(4; 3) (1; 4) (1; 0)
9. Rozwa»aj¡c maksima funkcji wypªat obu graczy wyznacz wszystkie punkty RN dla gry o
nast¦puj¡cej macierzy wypªat
1
0
(3; 3) (0; 2) (0; 2)
P = B@ (2; 0) (2; 2) (2; 0) CA :
(2; 0) (0; 2) (3; 3)
10. Stosuj¡c twierdzenie Nasha o no±nikach wyznacz wszystkie punkty RN dla gry:
!
; 2) (2; 7) (3; 6)
R = (7
(2; 7) (7; 2) (4; 5) :
11. Sprawd¹, czy dla poni»szej gry istniej¡ punkty RN o no±nikach postaci
a) f1; 3g f1; 2g;
b) f1; 2; 3g f1; 2; 3g;
0
1
(0; 1) (0; 2) (2; 3)
V = B@ (0; 0) (2; 1) (1; 1) CA :
(2; 2) (1; 4) (1; 1)
Wyznacz ponadto wszystkie punkty RN w zbiorze strategii czystych.
12. Uzasadnij, »e wypªata dla punktu RN jest równa wypªacie dla dowolnej strategii czystej z
no±nika strategii mieszanej wyst¦puj¡cej w tym punkcie RN.
13. Sprawd¹, czy znalezione w poprzednich zadaniach punkty RN w zbiorach strategii czystych
s¡ optymalne w sensie Pareto.
14. Uzasadnij, »e w grach o sumie zero wszystkie strategie s¡ optymalne w sensie Pareto.
Wst¦p do teorii gier
Lista zada« nr 3
Wszystkie zadania tej listy dotycz¡ gier dwuosobowych o sumie zero.
1. Poka», »e dodanie staªej do wszystkich wyrazów macierzy wypªat nie zmienia zbioru strategii
optymalnych obu graczy. Jak zmienia warto±¢ gry?
A je±li pomno»ymy wyrazy macierzy wypªat przez staª¡ ró»n¡ od zera?
2. Sprawd¹, czy wektory
1 1 1
1 5 1
x = 4; 2; 4 ; y = 4; 8; 8
s¡ optymalnymi strategiami w grze o macierzy wypªat postaci
0
1
5 1 3
W = B@ 1 3 1 CA :
2 2 4
Je±li tak, to podaj warto±¢ tej gry, je±li nie, jej oszacowanie.
3. Sprawd¹, czy wektory
1 5 1
1 1 1
x = 4; 2; 4 ; y = 4; 8; 8
s¡ optymalnymi strategiami w grze o macierzy wypªat postaci
0
2
B
V =@ 2
0
2
0
1
1
0
1C
A:
1
Je±li tak, to podaj warto±¢ tej gry, je±li nie, jej oszacowanie.
4. Znajd¹ rozwi¡zania gier o nast¦puj¡cych macierzach wypªat:
A=
4 0
6 2
4
2
0
a
E=B
@0
0
0 2 14 1
B
C
C
H = BB@ 28 100 C
A;
10
8
0
1
0
2
1
0
5 6
3 2 ; B=B
C
B
@ 2 0 3 A; C = @ 7 5
3 1
1 3 3
8 8
1
0
1
0
a aC
3 2 7
1
a a A ; a 6= 0; F = B@ 8 4 0 CA ; G = B@ 0
0 a
1 6 5
0
02 3 3 31
02 3 1 41
BB 3 2 3 3 CC
B 6 4 1 5 CC
I =B
B
C
;
K
=
B@ 3 3 2 3 CA ;
@4 3 3 2A
!
2
3 2
4
3 3 3 0
5. Wiedz¡c, »e x = 21 ; 0; 0; 21 jest strategi¡ optymaln¡ I gracza oraz y =
jest strategi¡ optymaln¡ II gracza w grze o macierzy wypªat
1
0
6
0
C
B
7 A; D = @ 1
5
3
1
3
2
0
1
2
0C
A
1
0 0
2 0C
A;
0 3
0
BB
B
L = BB
B@
1
4
4
0
5
3
3
4
1
2
2
;4 u; w ; u; w > 0;
2
4
3
7
2
4
2
2
2
2
1
CC
CC
CC
A
0a
B
C = BB@ 15
1 b1
5 0C
CC ;
1 0A
4 4 1
znajd¹ warto±ci parametrów a; b; u; w oraz warto±¢ gry.
Wst¦p do teorii gier
Lista zada« nr 4
1. Dla rozwa»anej na wykªadzie gry wej±cia wylicz pozostaªe elementy macierzy wypªat.
2. Przyjmuj¡c w powy»szej grze p = 2=3 poka», »e macierz wypªat jest postaci
!
(0; 2) (0; 2)
(0; 2)
(0; 2) :
(1; 1) (4=3; 4=3) ( 1=3; 1=3) ( 1; 0)
Sprawd¹, »e w zbiorach strategii czystych X = fO; E g oraz Y = fAA; AF; FA; FF g; odpowiednio, gra ma punkty RN postaci: (O; FA), (O; FF ) oraz (E; AF ):
3. Korzystaj¡c z drzewa gry "game of chicken" omawianej na wykªadzie wyznacz macierz wypªat,
a potem przyjmuj¡c R = 8; H = 16; L = 0; czyli dla macierzy postaci
0 (0; 0) (0; 4)
B
(4; 0) ( 1; 1)
B
B
@ (4; 0) (3; 1)
(8; 0) (2; 6)
(0; 4) (0; 8)
( 1; 3) ( 6; 2)
(3; 3) (2; 2)
(2; 2) ( 4; 4)
1
CC
CA
wszystkie punkty RN.
4. Wyznacz punkty RN dla dwuosobowej gry z niepeªn¡ informacj¡ okre±lonej przez
zbiory typów graczy 1 = ftg; 2 = ft1 ; t2g;
zbiory akcji A1 = fa; bg; A2 = fc; dg;
przekonania graczy: 1(t1 jt) = 0:6; 2(tjti ) = 1; i = 1; 2
macierze wypªat w zale»no±ci od poszczególnych typów II gracza, tzn. dla t1; t2 , odpowiednio:
!
!
(1; 2) (0; 1) ;
(1; 3) (0; 4) :
(0; 4) (1; 3)
(0; 1) (1; 2)
5. Znajd¹ rozwi¡zanie przetargowe Nasha dla gry o macierzy wypªat postaci:
!
(2; 6) (10; 5) ;
(4; 8) (0; 0)
przyjmuj¡c za wspóªrz¦dne punktu SQ poziomy bezpiecze«stwa ka»dego z graczy.
6. Przypu±¢my, »e dwaj gracze maj¡ w wyniku negocjacji wybra¢ jeden z wyników:
a) A(0; 0); B (2; 0); C (4; 2); D(1; 5),
b) A(1; 8); B (6; 7); C (8; 6); D(9; 5); E (10; 3); F (11; 1); G( 1; 1)
b¡d¹ pewien rozkªad probabilistyczny na nich. W obu przypadkach, je±li nie dojd¡ do porozumienia, maj¡ zagwarantowane wypªaty (2,1). Wyznacz dla obu zagadnie« rozwi¡zanie
przetargowe Nasha.
7. Dla ka»dej z poni»szych macierzy wypªat porównaj rozwi¡zania przetargowe Nasha dla punktów SQ b¦d¡cych poziomami bezpiecze« stwa z rozwi¡zaniami dla punktów SQ odpowiadaj¡cych strategiom gró¹b:
!
!
!
; 12) (10; 10) ; N = (2; 7) (7; 2) ; P = (0; 10) (10; 0) :
M = (2
(4; 16) (0; 0)
(0; 1) (1; 0)
(0; 10) ( 10; 0)
Wst¦p do teorii gier
Lista zada« nr 5
1. Dla rozwa»anych na wykªadzie gier w przykªadach: 2.4. oraz 2.5. poka», »e jakakolwiek kolejno±¢ wyboru strategii przez poszczególnych graczy nie zmieni rezultatu gry uzyskanego w
wyniku jednoczesnego podejmowania decyzji przez graczy.
2. Nawi¡zuj¡c ponownie do gier omawianych na wykªadzie uzasadnij, »e gracz I mo»e uwiarygodni¢ swoje posuni¦cia strategiczne (obietnice, gro¹by) obni»aj¡c swoj¡ wypªat¦:
a) za strategi¦ Ba z 5 do 2 w grze z przykªadu 2.5.;
b) za strategi¦ Ab z 1 do -1 oraz za Ba z 4 do 2 w grze z przykªadu 2.6.
3. Wyniki w poni»szych grach nie pozwalaj¡ osi¡gn¡¢ I graczowi jego maksymalnej wypªaty. Dla
ka»dej z nich sprawd¹, czy gracz I mo»e zyska¢ wykonuj¡c co najmniej jedno z nast¦puj¡cych
posuni¦¢ strategicznych:
a) zagwarantowa¢ sobie pierwszy ruch,
b) zmusi¢ do wykonania pierwszego ruchu gracza II,
c) sformuªowa¢ gro¹b¦,
d) sformuªowa¢ obietnic¦,
e) sformuªowa¢ obietnic¦ i gro¹b¦.
W jaki sposób gracz I mo»e uwiarygodni¢ swoj¡ deklaracj¦?
!
!
!
; 4) (4; 3) ; N = (3; 4) (4; 2) ; P = (2; 4) (3; 3) ;
M = (3
(1; 2) (4; 1)
(2; 3) (1; 1)
(2; 2) (1; 1)
!
!
; 2) (4; 1) ; S = (3; 2) (1; 1) :
Q = (2
(2; 4) (4; 3)
(1; 3) (3; 4)
4. Podaj przykªad gry maj¡cej rozwi¡zanie w ±cisªym sensie, niewra»liwej ani na uzgodnienia
kolejno±ci ruchów graczy, ani na gro¹by, ani na obietnice.
5. Rozwa»my gr¦, w której stronami s¡: porywacz i wzi¦ty przez niego zakªadnik. Porywacz
mo»e zabi¢ zakªadnika b¡d¹ go uwolni¢, zakªadnik mo»e zapªaci¢ okup b¡d¹ nie, a w razie
uwolnienia zgªosi¢ porawnie policji b¡d¹ nie. Wypªaty dla porywacza wynosz¡ kolejno: 5, gdy
dostanie okup, 2, gdy porwanie zostanie zgªoszone oraz 1, gdy zabije zakªadnika. Wypªaty
zakªadnika to, odpowiednio: -10, gdy zostanie zabity, 2, gdy zapªaci okup oraz 1, gdy zgªosi
porwanie policji. Zakªadamy, »e wypªaty ka»dego gracza dodaj¡ si¦, tzn. gdy, na przykªad
porywacz dostanie okup, ale porwanie zostanie zgªoszone, to jego wypªata wynosi 5 2 = 3:
a) Utwórz drzewo gry oraz macierz wypªat;
b) wyznacz punkty RN;
c) przyjmuj¡c, »e zakªadnik jest w stanie przekona¢ porywacza obietnic¡ lub gro¹b¡, zaproponuj jej sformuªowanie i wyznacz nowe rozwi¡znie gry;
d) wykonaj podpunkt c) w odniesieniu do porywacza.
Wst¦p do teorii gier
Lista zada« nr 6
1. W nawi¡zaniu do rozwa»anej na wykªadzie gry w przykªadzie 2:7 rozwa» dwie mo»liwe pozostaªe koalicje, wyznacz ich warto±ci, strategie optymalne graczy tworz¡cych koalicje oraz
graj¡cych samodzielnie.
2. Korzystaj¡c z wyników poprzedniego zadania wyznacz oczekiwane wypªaty poszczególnych
graczy. Czy na ich podstawie mo»emy przewidywa¢, jakie powstan¡ koalicje?
3. Dwie poni»sze macierze odpowiadaj¡ wypªatom w grze trzyosobowej dla strategii czystych oraz III gracza, odpowiednio:
!
(4; 3; 3) (1; 2; 7)
(3; 5; 2) (0; 4; 6) ;
!
(3; 6; 1) (2; 5; 3) :
(2; 7; 1) (1; 6; 3)
a) Wyznacz dla tej gry o staªej sumie punkty RN (wykorzystuj¡c diagram ruchu oraz ewentualne dominacje);
b) uªó» i rozwi¡» gr¦ odpowiadaj¡c¡ sytuacji, gdy powstaje koalicja II i III gracza przeciwko
I graczowi oraz wyznacz oczekiwane wypªaty poszczególnych graczy;
c) to samo dla dwóch pozostaªych koalicji;
d) wyznacz najbardziej po»¡danego partnera koalicyjnego ka»dego z graczy;
e) wyznacz funkcj¦ charakterystyczn¡ gry dla sytuacji, gdy dopuszczamy wypªaty uboczne.
4. Skonstruuj gr¦ w postaci funkcji charakterystycznej modeluj¡c¡ nast¦puj¡c¡ sytuacj¦:
A. jest przewodnicz¡cym komisji, w skªad której wchodz¡ tak»e B., C. oraz D. Komisja podejmuje decyzje poprzez gªosowanie wi¦kszo±ciowe, w przypadku równego rozkªadu gªosów
decyduje gªos przewodnicz¡cego.
5. Wyznacz normalizacj¦ wzgl¦dem 0 1 gry:
v(;) = 0; v(I ) = 1; v(II ) = 2; v(III ) = 3;
v(fI; II g) = 5; v(fI; III g) = 7; v(fII; III g) = 9; v(fI; II; III g) = 12:
6. Dla gry w postaci funkcji charakterystycznej
v(;) = v(I ) = v(II ) = v(III ) = 0; v(fI; II g) = 5;
v(fII; III g) = 3; v(fI; III g) = 2; v(fI; II; III g) = 6
zaznacz na trójk¡cie imputacji rdze«. Które imputacje wyznaczaj¡ jego wierzchoªki?
7. Wyznacz dla rozwa»anej na wykªadzie gry satelitów komunikacyjnych normalizacj¦ wzgl¦dem
0 1 i poka», »e rdze« jest pusty.
8. Wyznacz warto±¢ Shapleya dla
a) gry satelitów komunikacyjnych;
b) gry opisanej w zadaniu 4.
Czy nale»y ona do rdzenia?