Teoria Pola Elektromagnetycznego

Teoria Pola
Elektromagnetycznego
Wykład 2
Pole elektrostatyczne
Stefan Filipowicz
2. Pole elektrostatyczne
1.1. Ładunek elektryczny
• Przy badaniu zjawisk pola elektrycznego, w wielu ważnych z
punktu widzenia praktyki przypadkach można nie uwzględniać
struktury atomowej elektryczności. Takie badania
makroskopowe zjawisk elektrycznych stacjonarnych
uzasadniamy tym, że wyniki obliczeń zgadzają się w pełni z
doświadczeniem. Ładunki elektryczne można traktować jako
nieskończenie podzielne i korzystać z pojęcia gęstości
ładunku. Jeżeli ładunek q rozłożony jest w przestrzeni, to
gęstość objętościową ładunku
określamy wzorem:
dq
ρ=
dV
• Odpowiednio możemy wyrazić ładunek:
q = ∫ ρdV
V
2.1. Ładunek elektryczny
• Jeżeli ładunek rozłożony jest na powierzchni S, to gęstość
powierzchniowa ładunku wynosi:
dq
σ=
dS
• a ładunek można określić z zależności:
q = ∫ σ dS
S
• Analogicznie określa się gęstość liniową ładunku:
• przy czym dl – element długości wzdłuż której
• rozłożony jest ładunek:
dq
τ=
dl
q = ∫ τdl
l
• Jeżeli wymiary geometryczne ciała naładowanego są małe w
porównaniu z odległością od tego ładunku do punktów, w
których rozpatruje się to pole to ładunek nazywamy ładunkiem
punktowym. Jest oczywiste, że gęstość ładunku punktowego
można traktować jako nieskończenie wielką.
2.1. Ładunek elektryczny
• Dwa ładunki punktowe tego samego znaku wzajemnie się
odpychają. Siłę wzajemnego odpychania F dwóch ładunków
umieszczonych w próżni określa się prawem Coulomba:
Qq
F =k 2
r
• gdzie: Q i q ładunek pierwszy i drugi, r – odległość między
ładunkami, k – współczynnik proporcjonalności zależny od
wyboru układu jednostek.
• Należy pamiętać, że prawo Coulomba słuszne jest tylko w
odniesieniu do ciał naładowanych ładunkiem punktowym. Tylko
w tym przypadku kształt ciał naładowanych nie wpływa na siły
wzajemnego oddziaływania.
• Jeżeli ciała naładowane nie znajdują się w próżni lecz w
środowisku jednorodnym nieprzewodzącym to siła odpychająca
jest εr razy mniejsza, czyli:
Qq
F =k
εrr2
nosi nazwę
• Wielkość bezwymiarowa εr
przenikalności elektrycznej względnej środowiska w którym
znajdują się ciała naładowane.
2.1. Ładunek elektryczny
• Kierunek siły F wzajemnego oddziaływania jest zgodny z
kierunkiem prostej łączącej ciała naładowane. Jeżeli ładunki Q
i q są różnego znaku to siła wzajemnego oddziaływania między
nimi jest siłą przyciągającą. Siłę działającą na ładunek q można
przedstawić w postaci wektorowej w sposób następujący:
Qq
1r
F =k
2
εrr
• przy czym 1r - wektor jednostkowy o zwrocie od punktu w
którym znajduje się ładunek Q do punktu w którym się znajduje
ładunek q.
• W międzynarodowym układzie jednostek miar SI i MKSA
ładunek mierzy się w kulombach [C], siłę w niutonach [N] a
odległość w metrach [m].
• W powyższych układach jednostek
1
k≈
współczynnik k ma wartość:
4πε 0
2.1. Ładunek elektryczny
• Wielkość ε0 nosi nazwę przenikalności elektrycznej
bezwzględnej próżni lub stałej elektrycznej. Wartość ε0
wynosi:
10 7
1
−12 [ F ]
ε0 =
≈
= 8,856 ⋅ 10
2
9
[ m]
4πc
4π ⋅ 9 ⋅ 10
• przy czym c – prędkość rozchodzenia się światła.
• Iloczyn przenikalności elektrycznej względnej εr oraz
przenikalności elektrycznej bezwzględnej próżni nazywamy
przenikalnością elektryczną bezwzględną ε.
• Ostatecznie wzór wyrażający siłę dwóch ładunków uzyska
postać:
Qq
1r
F=k
2
4πε r
2.2. Natężenie pola elektrycznego
•
•
Ładunek elektryczny jest zawsze związany z polem
elektromagnetycznym. Jeżeli ładunek nie jest w ruchu to pole
elektryczne wytworzone przez ten ładunek jest polem
elektrostatycznym.
Granica stosunku siły F działającej na próbny ładunek do
wartości tego ładunku q, gdy ładunek ten dąży do zera,
nazywamy natężeniem pola elektrycznego:
F
E = lim
q
•
•
dla q dążącego do zera.
Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego wynosi:
Jednostką natężenia pola elektrycznego jest volt na metr
[V/m].
Q
1r
E=
2
4πε r
2.2. Natężenie pola elektrycznego
• Poprzednia definicja natężenia pola elektrycznego dobrze
oddaje jego istotę fizyczną. Z praktycznego punktu widzenia
jest jednak mało użyteczna, gdyż posługuje się fikcyjnym w
istocie ładunkiem próbnym, którego użycie wcale nie jest
konieczne do stwierdzenia istnienia pola elektrycznego o
natężeniu E.
• Jeśli w określonym punkcie przestrzeni istnieje pole elektryczne
natężeniu E, to na umieszczony w tym punkcie ładunek
punktowy q działa siła mechaniczna:
F = qE
• Kierunek tej siły jest zgodny z kierunkiem wektora E, zaś zwrot
zależy od znaku ładunku q.
2.2. Natężenie pola elektrycznego
• Jeżeli pole elektryczne wytworzone jest przez kilka
ładunków punktowych to wypadkowe natężenie pola
elektrycznego E w dowolnym punkcie jest równe sumie
wektorowej pól pochodzących od każdego ładunku z
osobna co można wykazać na drodze eksperymentalnej.
EA (r) = E1 + E2 =
'
1
q1 (r' )
4πε r − r'
'
1
2
1R1 +
−q2 (r' )
'
2
4πε r − r'
'
2
2
1R2
2.2. Natężenie pola elektrycznego
• Uogólniając, wektor natężenia pola od N punktowych
ładunków w punkcie określonym przez wektor r:
1
E = E1 + E 2 + ... + E n =
4πε
N
∑
i =1
qi (r 'i )
r − r 'i
2
1Ri
• Z tego równania można obliczyć natężenie pola
elektrycznego E jeżeli jest znany rozkład ładunków w
przestrzeni. Obliczenia te sprowadzają się do wyznaczenia
rzutów wektora E w takim układzie współrzędnych w którym
obliczenia są najprostsze.
2.3. Bezwirowość pola elektrostatycznego
• Jeżeli do pola elektrostatycznego o natężeniu E wprowadzony
zostanie ładunek punktowy q, to pod wpływem sił pola ładunek
ten zacznie się poruszać. Praca wykonana przez siły pola przy
przemieszczaniu się ładunku z punktu 1 do punktu 2 wynosi:
2
2
1
1
W = ∫ F ⋅ dl = q ∫ E ⋅ d l
• Pole elektrostatyczne charakteryzuje się wieloma
własnościami, np. praca wykonana wzdłuż drogi zamkniętej
równa jest zeru.
∫ E ⋅ dl = 0
l
2.3. Bezwirowość pola elektrostatycznego
• W przypadku gdy mamy ładunek punktowy, to uwzględniając to
otrzymamy:
∫
l
Q
1 r ⋅ dl = 0
2
4πεr
dr
r 2 po krzywej
• Ponieważ 1r dl = dl cos(rdl) = dr, zaś całka ∫l
zamkniętej jest równa zeru (granica dolna i górna jest taka
sama), wobec tego i całka liniowa natężenia pola elektrycznego
E wzdłuż krzywej zamkniętej jest równa zeru. Punkt w którym
r = 0 jest punktem osobliwym pola należy okrążyć przy wyborze
drogi całkowania.
2.3. Bezwirowość pola elektrostatycznego
• Jeżeli pole elektryczne powstaje od dowolnie rozłożonego
ładunku to ładunek ten możemy rozłożyć na ładunki
elementarne dq i każdy taki ładunek można traktować jako
punktowy. Wtedy wektor natężenia pola takiego ładunku
punktowego określimy jako:
dq
dE =
1r
2
4πεr
• Wypadkowe natężenie pola elektrostatycznego E otrzymamy
sumując geometrycznie wektory dE. Ponieważ całka liniowa
każdego wektora natężenia pola elektrostatycznego dE wzdłuż
jakiejkolwiek drogi zamkniętej jest równa zeru to również całka
liniowa wypadkowego wektora natężenia pola
elektrostatycznego E wzdłuż jakiejkolwiek
drogi zamkniętej jest równa zeru.
E ⋅ dl = 0
∫
l
2.3. Bezwirowość pola
elektrostatycznego
• Wykorzystując twierdzenie Stokesa powyższa całkę można
przedstawić w postaci:
∫ E ⋅ dl = ∫ rotE ⋅ ds
l
1x
∂
rotE = ∇ × E =
∂x
Ex
1y
∂
∂y
Ey
S
• Ponieważ całka natężenia pola elektrostatycznego wzdłuż
jakiejkolwiek drogi zamkniętej równa jest zeru, to i rotacja
natężenia pola elektrostatycznego równa jest zeru.
rotE ⋅ ds = 0
• To równanie wyraża podstawową własność pola
elektrostatycznego: pole jest bezwirowe.
1z
∂
∂z
Ez
2.4. Potencjał elektryczny
• Ponieważ pole elektrostatyczne jest polem bezwirowym
(rot E = 0), to można wyznaczyć taką funkcję skalarną j, której
gradient wzięty ze znakiem minus równy jest wektorowi
natężenia pola E
grad j = ≤E
W teorii pola przyjmuje się znak minus za względu na zgodność
zwrotu wektora natężenia pola z kierunkiem spadku potencjału.
Funkcję skalarną j nazywamy po prostu potencjałem.
Potencjał w dowolnym punkcie pola określa się zależnościa:
ϕ = − ∫ E ⋅ dl + const
2.4. Potencjał elektryczny
• Różnica potencjałów między punktami a i b znajdującymi się w
polu elektrycznym określona jest:
b
ϕ a − ϕ b = ∫ E ⋅ dl
a
• Jednostką potencjału jest 1 wolt [V].
• Łatwo można wykazać, że różnica potencjałów nie zależy od
kształtu drogi całkowania a zależy jedynie od wyboru punktu
początkowego i końcowego.
2.4. Potencjał elektryczny
• Potencjał wytworzony od ładunku punktowego można łatwo
wyznaczyć podstawiając zależność określającą wektor
natężenia pola elektrycznego:
Q
ϕ = −∫
1 r ⋅ dl + const
2
4πεr
• Potencjał pola wytworzonego przez ładunki objętościowe,
powierzchniowe i liniowe będące w spoczynku można
wyznaczyć stosując zasadę superpozycji
ρ dV
σ dS
τ dl
+∫
+∫
ϕ=∫
V 4πε
V 4πε
V 4πε
2.4. Potencjał elektryczny
• Mając wyznaczony potencjał można wyznaczyć natężenie
pola elektrycznego z zależności:
E = - grad j
• W polu wytworzonym przez ładunki objętościowe wektor
natężenia pola elektrycznego E w każdym punkcie ma
wartość skończoną i jest ciągły.
• W polu wytworzonym przez ładunki powierzchniowe wektor
natężenia pola elektrycznego E w każdym punkcie pola ma
wartość skończoną i jest nieciągły na powierzchni S na której
ładunek jest rozłożony.
• W polu wytworzonym przez ładunki liniowe, wektor natężenia
pola elektrycznego E równy jest nieskończoności na
przewodniku, wzdłuż którego jest rozłożony.
2.5. Przedstawienie graficzne pola
elektrostatycznego
• Pole elektrostatyczne można przedstawić graficznie za
pomocą powierzchni ekwipotencjalnych i linii wektora pola.
Powierzchnie ekwipotencjalne określamy równaniem
j = const
• Przedstawiając różne wartości stałej otrzymamy rodzinę
powierzchni.
• Linie wektora pola elektrycznego są we wszystkich punktach
styczne do kierunku natężenia pola elektrycznego.
• Linie wektora natężenia pola elektrostatycznego przecinają
się pod kątem prostym z powierzchniami ekwipotencjalnymi.
• Równanie różniczkowe linii można przedstawić jako iloczyn
wektorowy:
E×dl = 0
2.5. Przedstawienie graficzne pola
elektrostatycznego
• W układzie współrzędnych prostokątnych poprzedni iloczyn
wektorowy rozdziela się na trzy równania:
Eydz –Ezdy=0;
Ezdx-Exdz=0; Exdy-Eydx=0
• W polu elektrostatycznym linie wektora natężenia pola
elektrycznego są krzywymi otwartymi. Mają one swój początek
na ładunkach dodatnich, a kończą się na ładunkach ujemnych.
• Jeżeli linia wektora natężenia pola elektrycznego byłaby
zamknięta, to cyrkulacja wektora E wzdłuż tej linii nie mogłaby
się równać zeru. Przeczyłoby to podstawowemu prawu
elektrostatyki:
∫ E ⋅ dl = 0
l
2.6. Polaryzacja elektryczna i
indukcja elektryczna
• W środowisku nieprzewodzącym natężenie pola
elektrycznego jest εr razy mniejsze niż w próżni.
• Zmiana natężenia pola elektrycznego wywołana jest
polaryzacją dielektryka. Stopień polaryzacji dielektryka
charakteryzuje się wektorem polaryzacji P, który w przypadku
dielektryków jednorodnych i izotropowych umieszczonych w
polu elektrycznym o stosunkowo małym natężeniu jest
proporcjonalny do natężenia pola elektrycznego
P = ε0κE
Bezwymiarową wielkość κ nazywamy podatnością elektryczną
dielektryka. Podatność elektryczna związana jest z
przenikalnością dielektryczną względną dielektryka
zależnością:
κ = ε r-1
2.6. Polaryzacja elektryczna i
indukcja elektryczna
• Wektor indukcji elektrycznej (zwany również
przesunięciem) określamy zależnością:
D = ε0 E+P = ε0 (1 +κ) E= ε0 ε0 E = ε E
• Indukcja elektryczna jest więc proporcjonalna do
natężenia pola elektrycznego.
• Współczynnik proporcjonalności jest równy
przenikalności elektrycznej bezwzględnej ε .
• Polaryzację dielektryka P i indukcję elektryczną D
mierzymy w kulombach na metr kwadratowy [C/m2]
2.7. Twierdzenie Gaussa
• Twierdzenie Gaussa jest jednym z podstawowych twierdzeń
teorii pola i brzmi: strumień wektora indukcji elektrycznej D
przez dowolną powierzchnię zamkniętą S równy jest sumie
algebraicznej ładunków swobodnych Q, znajdujących się w
obszarze ograniczonym tą powierzchnią:
∫ D ⋅ dS = ∑ ( ± Q )
S
• Dla ładunku punktowego D = [Q/4pr2].1r a strumień wektora
indukcji równa się :
∫
S
Q
1 ⋅ dS
2 r
4πεr
2.7. Twierdzenie Gaussa
• Wyrażenie 1rdS/r2 = dSrr2 = dW przedstawia kąt bryłowy.
Jeżeli wierzchołek bryłowy umieścimy w punkcie, w którym
znajduje się ładunek Q to element powierzchni widzimy pod
katem dW. Kąt bryłowy pod którym jest widziana cała
powierzchnia S wynosi 4p steradianów. A więc podstawiając
wartość kąta bryłowego otrzymamy:
Q
∫ D ⋅ dS = 4π ∫ dΩ = 0
S
S
• A ponieważ D = εE to:
∫ εE ⋅ dS = Q , a jeżeli ε= const
S
to:
∫ E ⋅ dS =
S
Q
ε
2.7. Twierdzenie Gaussa
• Dowolny układ ładunków może być rozłożony na ładunki
elementarne dQ, z których każdy można traktować jako
punktowy. W odniesieniu do każdego ładunku punktowego
spełnione jest prawo Gaussa. Sumując elementarne ładunki
znajdujące się w obszarze ograniczonym powierzchnią S
otrzymamy:
∫ D ⋅ dS = ∑ Q
S
• Gdzie Q jest sumą algebraiczną wszystkich ładunków
wewnątrz obszaru ograniczonego powierzchnią S.
• Jeżeli ładunek jest umieszczony poza rozpatrywanym
obszarem to strumień wektora indukcji elektrycznej D przez
tą powierzchnię równy jest zeru.
2.8. Twierdzenie Gaussa w postaci
różniczkowej
• Przekształćmy strumień wektora indukcji elektrycznej
zgodnie z twierdzeniem Ostrogradzkiego-Gaussa:
∫ D ⋅ dS = ∫ divDdV
•
S
∫ E ⋅ dl = ∫ rotE ⋅ ds
l
S
tw. Stokesa
V
• W przypadku objętościowego rozkładu ładunku, ładunek Q
Q= =∫VρdV.
ρdV
∫
∫ D ⋅ dS = Q
V
S
∫ divDdV = ∫ ρdV
V
V
2.8. Twierdzenie Gaussa w postaci
różniczkowej
• Obszar V został wybrany dowolnie i dlatego poprzednia
zależność słuszna jest dla wszystkich wartości V. przy takim
założeniu, funkcje pod znakiem całek powinny być sobie
równe:
div D = ρ
Otrzymana zależność przedstawia twierdzenie Gaussa w
postaci różniczkowej. Twierdzenie to wyraża fakt, że źródła
pola elektrycznego znajduję się tylko w tych miejscach w
których znajdują się ładunki elektryczne.
• W środowisku o stałej przenikalności elektrycznej
div E = ρ/ε
• Podane zależności są słuszne również w przypadku pola
elektromagnetycznego zmiennego w czasie.
2.9. Równanie Poissona i Laplace’a
• W przypadku ogólnym obliczenie pola polega na rozwiązaniu
równań Poissona i Laplace’a. Aby otrzymać te równania
wykorzystujemy następujące zależności:
div E = ρ/ε
i
E = -gradj
Podstawiając E do pierwszej zależności otrzymamy:
div gradj = - ρ/ε
Dywergencję gradientu przyjęto nazywać laplasjanami
oznaczać “2 Można więc zapisać:
“2 j= - ρ/ε
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
divE = ∇ ϕ = 2 +
+ 2
2
∂x
∂y
∂z
2
Zależność ta przedstawia równanie Poissona.
W tych punktach pola gdzie nie ma ładunku:
i to jest równanie Laplace’a.
“2 j= 0
2.9. Równanie Poissona i Laplace’a
• Rozwiązanie powyższych równań można przedstawić w
postaci całki:
ρ dV
ϕ=∫
V 4πεr
• Wprowadzenie pojęcia potencjału ułatwia wyznaczenie
pola elektrostatycznego. Sprowadza się to do obliczenia
jednej funkcji skalarnej potencjału j. Gdy znamy ten
potencjał można w łatwy sposób obliczyć natężenie pola
elektrycznego E z zależności:
E = -gradj
2.10. Twierdzenie o jednoznaczności
rozwiązania równań pola elektrycznego
• Równania Poissona i Laplace’a są równaniami o pochodnych
cząstkowych; dopuszczają one istnienie wielu, liniowo od
siebie niezależnych rozwiązań. Z rozwiązań tych w każdym
obliczanym przypadku należy wybrać jedno, spełniające
warunki brzegowe opisujące pole na granicach między
dielektrykami czy między dielektrykami a przewodnikami.
• Wyznaczenie tych rozwiązań jest zwykle zadaniem trudnym,
jedynie w szczególnych przypadkach, przy prostych
kształtach granic pola, udaje się otrzymać rozwiązania
analityczne.
• W badaniach praktycznych często stosuje się obliczenia
przybliżone.
2.11. Pole elektrostatyczne na
granicy dwóch dielektryków
• Pole elektrostatyczne na granicy między dwoma dielektrykami,
o przenikalności dielektrycznych ε1 oraz ε2 określone jest
następującymi warunkami brzegowymi:
• Składowa styczna wektora natężenia pola Et jest ciągła. Stąd:
Et1 = Et2
• Składowa normalna wektora indukcji (przesunięcia
dielektrycznego) jest ciągła, jeżeli na powierzchni granicznej
nie ma ładunków swobodnych.
D1n = D2n
• W wyniku otrzymamy wzory:
Dt2 = Dt1 ε2/ ε1
i
En2 = En1 ε1/ ε2
• Łatwo zauważyć, że na granicy dwóch dielektryków następuje
załamanie linii natężenia pola elektrycznego E i linii indukcji D.
2.12. Warunki brzegowe w polu
elektrostatycznym
• Na granicy dwóch różnych środowisk wektory
charakteryzujące pole powinny spełniać określone warunki,
które nazywamy warunkami brzegowymi.
2.13. Przewodniki w polu
elektrostatycznym
• Jeżeli do przewodnika zostanie doprowadzony ładunek, to
pod wpływem sił odpychających ładunki przemieszcza się w
przewodniku i skupią w pewnej warstwie na jego powierzchni.
Warstwę tą można traktować jako nieskończenie cienką.
• Wewnątrz przewodnika pole elektrostatyczne nie może
istnieć. Wektor natężenia pola elektrostatycznego E wewnątrz
przewodnika musi być równy zeru. Linie natężenia pola
elektrostatycznego na powierzchni przewodnika są do niej
prostopadłe.
• Wszystkie punkty przewodnika muszą mieć ten sam
potencjał. Oznacza to, że powierzchnia przewodnika jest
powierzchnią ekwipotencjalną.
2.13. Przewodniki w polu
elektrostatycznym
• Jeżeli pierwsze środowisko jest dielektrykiem o
przenikalności elektrycznej bezwzględnej εr a drugie jest
przewodnikiem,
wtedy warunki brzegowe można przedstawić
następująco:
E2 = 0; D2 = 0;
D1n = D1 = σ
E1t = 0
lub
lub
j2 = const
ε E1 = σ
D1t = 0
2.14. Energia pola elektrostatycznego
• W polu elektrostatycznym istnieje pewien zasób energii.
Można ją przedstawić za pomocą zależności:
We = ∫
V
ϕρ
2
dV + ∫
S
ϕσ
2
dS
• Przyjmijmy, że w środku małej objętości dV znajduje się
punkt m. Ładunek zawarty w objętości dV równy jest ρdV,
przy czym ρ jest gęstością objętościową ładunku. Załóżmy,
że potencjał pola w nieskończoności równy jest zeru zaś w
punkcie m niech wynosi j. Zasób energii w małej objętości
dV jest równy:
1
d W = ϕσ d V
2
2.14. Energia pola elektrostatycznego
• Zgodnie z twierdzeniem Gaussa ρ = —D dokonajmy
przekształcenia wynikającego z roli operatora różniczkowego:
j—D = —(jD)- D(—j) = —(jD) + DE
(ponieważ E = -—j) lub [j divD = div(jD) - D grad j]
• Jest to przekształcenie tego typu co wzór na różniczkowanie
iloczynu.
• Całkowitą energię w polu elektrostatycznym można wyznaczyć
jako sumę całek po całej objętości pola V
∇ (ϕD)
DE
W =∫
dV + ∫
dV
2
2
V
V
Przykład I
An infinitely long line charge of uniform densityρ L 0 [C / m ] is situated along
the z axis. We wish to obtain the electric field intensity due to this line charge
in the observation point P.
First we divide the line into a
number of infiniesmal
segments each of length dz,
as it is shown in figure. Such
charges in each segment can
be considered as a point
charge.
The electric field intensity
due to each point charge is
directed radially away from
that point charge and varies
inversely as the square of the
distance from that charge.
Przykład I
To determine the magnitude of E, let us consider the segment at the point A
at a distance z above O. The electric field intensity at point P due to this
segment is equal to:
ρ L 0 dz
4πε 0 (r + z
2
2
)
i AP
The component of this electric field intensity along OP is
ρ L 0dz
4πε 0 (r + z
2
2
)
i AP ⋅ i r =
ρ L 0dz
4πε 0 (r + z
2
2
)
cos α =
ρ L 0 rdz
4πε 0 (r + z
2
)
2 3/ 2
We need not consider the component normal to OP since it gets cancelled
from the contribution due to another segment at the point B at a distance
z below O.
Przykład I
The component along OP is, on the other hand, doubled from the
contribution due to this second segment.
dE =
2 ρ L 0 rdz
4πε 0 (r + z
2
)
2 3/ 2
The magnitude of the electric field intensity at P due to the entire line charge
is now given by the integral of dE where the integration is to be performed
.
between the limits z=0 and z=¶
∞
2 ρ L0r
E = ∫ dE =
4πε 0
z =0
∞
∫ (r
z =0
dz
2
+z
)
2 3/ 2
Example I
Introducing
z = r tan α
π /2
ρ L0
ρ L0
=
E=
cos
α
d
α
∫
2πε 0 r α = 0
2πε 0 r
Recalling that E is directed radially away from the line charge, we have
ρ L0
E=
ir
2πε 0 r
Przykład II
A sheet charge of uniform density ρ s 0 C/m 2 extends over the entire xy plane
as shown in figure below. We wish to obtain the electric field intensity due to
this infinite sheet charge.
Let us consider a point P
at a distance z from the xy
plane, with the projection
of the point P on the xy
plane being 0.
The field intensity at point
P due to the charge on the
Entire ring of radius r and
width dr is directed ormally
away from the sheet
charge.
Przykład II
To find the magnitude of E, we note that the component along OP of the
field intensity at P, due to the infinitesmal charge ρ s 0 rdrd Φ at point A, is
given by
ρ s 0 r dr dΦ
ρ s 0 r z dr dΦ
dE =
cos α =
2
2
2
2 3/ 2
4πε 0 (r + z )
4πε 0 (r + z )
∞
2π
∞
2π
ρ s 0 r z dr dΦ
E = ∫ ∫ dE = ∫ ∫
=
3
/
2
2
2
(
)
r
z
4
πε
+
r =0 Φ =0
r =0 Φ =0
0
∞
r dr
ρ s0 z
=
2ε 0 r∫=0 (r 2 + z 2 )3 / 2
Przykład II
Introducing
r = z tan α we obtain
π /2
ρ s0
ρ s0
sin α d α =
E=
∫
2ε 0 α = 0
2ε 0
Recalling that E is directed normally away from the sheet charge, we have
ρ s0
ρ s0
E=
in =
iz
2ε 0
2ε 0
Przykład III
The expression for E for an electric dipole of moment p oriented along
the positive z axis is
E=
p
4πε 0 r
3
(2 cos Θ i r + sin Θ i Θ )
It is desired to obtain the equation for the direction lines for this field.
Noting that
2 p cos Θ
Er =
4πε 0 r 3
p sin Θ
EΘ =
4πε 0 r 3
EΦ = 0
We have
dr
r dΘ
r sin Θ dΦ
=
=
3
3
2 p cos Θ / (4πε 0 r ) p sin Θ / (4πε 0 r )
0
Przykład III
or
dr
= 2 cot Θ dΘ
r
ln r = − 2 ln cos sec Θ + constant
r cosec 2 Θ = constant
A few direction lines in
constant Φ plane are
sketched in this figure.
dΦ = 0
Φ = constant
Φ = constant
Przykład IV
An infinitely long line charge of uniform density ρ L 0 C / m is situated along
the z axis. It is desired to find the electric field flux cutting the portion of the
plane x=1 m lying between the planes z=0 m and z=1 m as shown in this figure.
We have to note that E
due to the line charge is
given by
ρ L0
ir
2πε 0 r
Where r is the radial
distance from the line
charge and i r is the unit
vector directed radially
away from the line charge.
Przykład IV
Considering an infinitesimal area dy dz at the location (l,y,z) on a given plane,
the infinitesimal amount of flux cutting this area is given by
E ⋅ ds =
ρ L0
ρ L 0 dy dz
i ⋅ dy dz i x =
2
2 r
(
)
2
πε
1
+
y
1+ y
0
2πε 0
Than the total flux is equal to
∞
∞
ρ L 0 dy dz
ρ L0
E ⋅ ds = ∫ ∫
=
2
∫
∫
2πε 0 (1 + y ) 2πε 0
y = −∞ z = 0
y = −∞ z = 0
1
1
π /2
ρ L0
dΦ =
∫
2ε 0
Φ = −π / 2
Przykład V
An infinitely long line charge of uniform densityρ L 0 C / m
is situated along
the z axis as it is shown in the figure. We wish to obtain the electric field
intensity due to this line charge using Gauss’ law.
The electric field intensity from the line
charge is
E = E r ( r )i r
Choosing the Gaussian surface S as the
Surface of a cylinder of radius r with the
line charge as its axis we have
∫ E ⋅ ds = ∫ E ⋅ ds + ∫ E ⋅ ds
surface of
cylinder , S
curved
surface S1
plane sur −
face S2 , S3
Przykład V
The second integral on the right side is zero since E is tangential to the surfaces.
Noting that field intensity is consant on the curved surface, we find that the first
integral can be written as
∫ E ⋅ ds = ∫ E i
r r
curved
surface S1
Thus
∫ E ⋅ ds = 2πrl E
⋅ ds1 i r = E r ∫ ds1 =E r (2π rl )
S1
S1
r
S
But, from Gauss’ law
∫ E ⋅ ds =
S
So
ρ L0
E=
ir
2πε 0 r
charge enclosed by S
ε0
ρ L 0l
=
ε0
Przykład VI
ρ s0 C / m
A sheet charge of uniform density
extends over the entire xy plane
as shown in figure bellow. We wish to obtain the electric field intensity due to
this infinite sheet charge using Gauss’ law.
2
Przykład VI
W przykładzie II założono, że E due to nieskończenie cienka charge of
uniform density is directed normally away from the sheet charge and
that is uniform in planes parallel to the sheet charge.
Choosig the Gaussian surface S as the surface of a rectangular pill box
of sides l, w and t (see figure above), such that half of the box is above
the sheet charge and the other half below it, we have
∫ E ⋅ ds = ∫ E ⋅ ds + ∫ E ⋅ ds + ∫ E ⋅ ds
S
top
surface
bottom
surface
side
surfaces
The last integral on the right side is equal zero since E is parallel to the
side surfaces and hence E·ds. is zero throughout these surfaces.
Because field intensity is constant and is the same on both the top and
bottom surfaces, than above equation reduces to
Przykład VI
∫ E ⋅ ds = 2 ∫ E ⋅ ds = 2 ∫ E i
n n
S
top
surface
But from Gauss’ law,
⋅ dsi n = 2E n
top
surface
ρ s 0lw
∫S E ⋅ ds = ε 0
And finally we have
ρ s0
E=
in
ε0
∫ ds = 2 E
top
surface
n
lw