w krainie trapezów

W KRAINIE TRAPEZÓW
W "Szkole Myślenia" stawiamy na umiejętność rozumowania, zadawania pytań
badawczych, rozwiązywania problemów oraz wykorzystania wiedzy w praktyce.
Program realizowany jest w ramach prowadzonej od sześciu lat akcji "Szkoła z
klasą".
Pragniemy zachęcić nauczycieli do stosowania metod rozwijających myślenie, w
tym uczniowskich projektów edukacyjnych, zarówno z zakresu nauk
matematyczno - przyrodniczych, jak i humanistyczno - społecznych.
Jak wynika z międzynarodowych badań, polscy uczniowie dobrze wypadają w
zadaniach wymagających prostych umiejętności, np. odtwarzania informacji, a
znacznie gorzej w rozwiązywaniu problemów, formułowaniu wniosków i sądów,
myśleniu krytycznym, twórczym czy naukowym. Celem jest, by program
przyczynił się do popularyzacji atrakcyjnych dla uczniów - a zarazem skutecznych sposobów uczenia tych umiejętności.
Program realizuje idee zawarte w projekcie Podstawy Programowej Kształcenia
Ogólnego, przygotowanym przez Ministerstwo Edukacji Narodowej. Program
skierowany jest do szkół podstawowych, gimnazjów oraz szkół
ponadgimnazjalnych z całej Polski.
Prezentacja ta jest efektem końcowym naszej pracy
.
Co to jest TRAPEZ ???
Trapez jest to czworokąt mający parę równoległych
boków – podstawy oraz ramiona.
Suma miar kątów:
Wysokością trapezu nazywamy odległość między podstawami (odcinek
DE).
nazywamy taki trapez, który ma
jedno z ramion prostopadłe do podstaw. Prostopadłe ramię
jest jednocześnie wysokością.
nazywamy taki trapez, który ma
ramiona równej długości. W trapezie równoramiennym kąty przy
podstawie są równe. Przekątne trapezu równoramiennego są równe.
Wysokości poprowadzone z końców mniejszej podstawy odcinają dwa
przystające trójkąty prostokątne.
Pole trapezu
a, b - długości podstaw trapezu
h - wysokość trapezu
Odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy
do podstaw tego trapezu i równy jest połowie sumy
długości obu podstaw.
n liczb
jest to
pierwiastek ze średniej arytmetycznej kwadratów tych liczb.
Na przykład, średnią kwadratową liczb 2, 2 , 5 i 7 jest :
n liczb dodatnich
nazywamy liczbę:
Na przykład średnią harmoniczną liczb 2, 2, 5 i 7 jest:
Średnia harmoniczna jest wówczas, gdy pierwsza liczba
przewyższa drugą o ułamek siebie samej, podczas gdy druga
przewyższa trzecią o ten sam ułamek trzeciej. I tak na
przykład 4 jest średnią harmoniczną 6 i 3, ponieważ 6
przewyższa 4 o 2, która stanowi trzecią część 6 i ponieważ 4
przewyższa 3 o 1, czyli jedną trzecią 3.
Średnią harmoniczna (dla liczb różnych od zera) nazywamy
odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności tych liczb.
Średnia harmoniczna jest zawsze mniejsza od średniej
geometrycznej, która jest zawsze mniejsza niż średnia
arytmetyczna.
n dodatnich liczb
nazywamy liczbę:
Średnia geometryczna n liczb, to pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu
tych liczb.
Średnia geometryczna dwóch liczb eksponuje mnożenie i dzielenie.
Liczba b jest średnią geometryczną liczb a i c i spełnia równanie
Średnią geometryczną dwóch liczb można opisać: pierwsza ma
się do drugiej tak, jak druga do trzeciej.
Na przykład średnią geometryczną liczb 2, 2, 5 i 7 jest:
dwóch liczb znana jest po
prostu jako średnia. Jest to połowa sumy dwóch liczb.
Średnią arytmetyczną n liczb
liczbę:
nazywamy
Inaczej mówiąc jest to iloraz sumy n liczb i n (gdzie n to ilość
sumowanych liczb).
Na przykład średnią liczb -5,-3, 0 i 12 jest:
Liczba b jest średnią arytmetyczną liczb a i c i spełnia równanie
a - b = b - c. Nadwyżka pierwszej liczby w stosunku do drugiej
równa się nadwyżce drugiej w stosunku do trzeciej.
Rozważamy trapezy, w które można wpisać okrąg. Wtedy suma
długości podstaw takiego trapezu jest równa sumie długości jego
ramion. Korzystając z tej własności oraz z twierdzenia Pitagorasa
wyraź długość wysokości trapezu w zależności od długości
podstaw a i b, jeżeli trapez jest:
a) równoramiennym
ab
x
2
Własność:
a  b  2c 
ab
c
2
Aby obliczyć długość wysokości korzystamy z twierdzenia
Pitagorasa:
h2  x2  c2  h2  c2  x2
ab a b
h2  
 

2
2

 

2
2
Po przekształceniu wzoru i pierwiastkowaniu otrzymujemy wzór
na długość wysokości, jest to równocześnie wzór średniej
geometrycznej długości podstaw:
h  ab
b) Prostokątny
Własność:
ab  ch  c  abh
Własność:
x  a b
Z twierdzenia Pitagorasa:
h c x
2
2
2
h  a  b  h   a  b 
2
2
2
Po przekształceniu otrzymujemy wzór na długość wysokości, jest to
równocześnie wzór średniej harmonicznej:
2ab
h
ab
Zadanie 1
Oblicz długość odcinka dzielącego na 2 części o równych
polach.
Stąd:
Stąd:
Po przekształceniach otrzymujemy:
Wniosek: Długość odcinka dzielącego trapez na dwie części o
równych polach jest średnią kwadratową długości podstaw tego
trapezu.
Zadanie 2
Oblicz długość odcinka równoległego do podstaw i
przechodzącego przez punkt przecięcia przekątnych.
Z (1):
Z (2):
Wniosek: Długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i
przechodzącego przez punkt przecięcia przekątnych jest średnią
harmoniczną długości jego podstaw.
Zadanie 3
Wykaż, że długość odcinka łączącego środki ramion w trapezie jest średnią
arytmetyczną długości podstaw tego trapezu.
Z treści zadania wiemy, że |FC| = |BF|. A zatem obracając trójkąt FCD
wokół punktu F o 180o, otrzymamy trójkąt BFG. Zauważmy, że |AG| = a
+ b. Ponadto odcinek EF łączy środki boków w trójkącie AGD. Stąd
wynika, że |EF| = ½ (a + b). Otrzymana wartość to średnia
arytmetyczna długości podstaw trapezu ABCD.
Zadanie 4
Na okręgu opisano trapez równoramienny ABCD, w którym
długości podstaw wynoszą a oraz b.
a) Oblicz długość ramienia trapezu.
b) Oblicz długość wysokości trapezu.
c) Wykaż, że pole trapezu jest nie mniejsze niż kwadrat długości
wysokości.
d) Wykaż, że średnia harmoniczna długości podstaw w trapezie
ABCD jest nie większa niż średnia geometryczna długości
podstaw w tym trapezie.
Ad a) Z twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu oraz z własności
trapezu równoramiennego mamy:
Stąd:
Czyli długość ramienia to średnia arytmetyczna długości podstaw.
Ad b) Z własności trapezu równoramiennego i z tzw. Pitagorasa
otrzymamy:
Okazuje się, że długość wysokości to średnia geometryczna
długości podstaw.
Ad c) Z poprzednich równości wynika, że:
Ad d) Korzystając z tego, że h2 = ab oraz z poprzedniej
nierówności otrzymamy:
A stąd po przekształceniach:
To oznacza, że średnia harmoniczna długości podstaw w trapezie
ABCD jest nie większa niż średnia geometryczna długości
podstaw w tym trapezie.
Średnia harmoniczna
Średnia geometryczna
Średnia arytmetyczna
Średnia kwadratowa