2.3. Przykłady przestrzeni probabilistycznych

Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzenie dyskretne
Prawdopodobieństwo geometryczne
Rachunek prawdopodobieństwa
Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie
prawdopodobieństwa
Rozdział 2.3: Przykłady przestrzeni probabilistycznych.
Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzenie dyskretne
Prawdopodobieństwo geometryczne
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna
Definicja
Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie:
Ω jest dowolnym zbiorem
(przestrzeń zdarzeń elementarnych),
F jest σ–ciałem podzbiorów zbioru Ω
(rodzina zdarzeń losowych),
P : F → [0, 1] jest funkcją prawdopodobieństwa (miarą
probabilistyczną)
(prawdopodobieństwo)
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzenie dyskretne
Prawdopodobieństwo geometryczne
Przykład 1
Rzucamy dwiema monetami. Podaj przykład zgodnej z
rzeczywistością przestrzeni probabilistycznej, która odpowiada
temu eksperymentowi, jeśli:
1
Ω = {0, 1, 2} to liczba wyrzuconych orłów;
2
Ω = {(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)} to
zbiór par; uporządkowanych;
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzenie dyskretne
Prawdopodobieństwo geometryczne
Przykład 2
Grzesiu wybiera w sposób losowy liczbę ze zbioru liczb naturalnych
N = {1, 2, 3, 4, . . .} w ten sposób, że liczba n wybrana jest z
prawdopodobieństwem 1/2n (np. rzuca uczciwą monetą, aż uzyska
orła a wylosowana liczba to liczba rzutów – ale o tym później).
Podaj przykład zgodnej z rzeczywistością przestrzeni
probabilistycznej, która odpowiada temu eksperymentowi.
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzenie dyskretne
Prawdopodobieństwo geometryczne
Co mają wspólnego powyższe przykłady?
Dyskretna przestrzeń probabilistyczna
Ω = {ω1 , ω2 , . . . } jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym
F = 2Ω to zbiór wszystkich podzbiorów Ω
P ({ωi }) = pi , gdzie
p1 , p2 , . . . to ciąg liczb nieujemnych, taki że
p1 + p2 + . . . = 1
a prawdopodobieństwo zadajemy wzorem
(patrz A3 definicji prawdopodobieństwa i własność
prawdopodobieństwa W2)
P({ωk1 , ωk2 , . . . }) := pk1 + pk2 + · · · ;
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzenie dyskretne
Prawdopodobieństwo geometryczne
Dyskretna przestrzeń probabilistyczna
Przykład 3
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa:
Ω = {ω1 , . . . , ωn } jest zbiorem skończonym;
F = 2Ω to zbiór wszystkich podzbiorów Ω;
prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych
p1 = · · · = pn = n1 są równe
Dla A = {ωi1 , ωi2 , . . . , ωik } (tzn. |A| = k)
P(A) = pi1 + pi2 + . . . + pik =
1 1
k
1
|A|
+ + ... + = =
n {z
n} n
|Ω|
|n
k
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzenie dyskretne
Prawdopodobieństwo geometryczne
Intuicja
Przykład 4
Tola przychodzi na przystanek rano w
dowolnym momencie między 7.00 a 8.00
(każdy moment równo prawdopodobny).
Pasują jej dwa autobusy: 74 i 91. Oba
jeżdżą punktualnie według rozkładu:
74: 7.00, 7.15, 7.30, 7.45, 8.00, ... ;
91: 7.05, 7.20, 7.35, 7.50, 8.05, ... ;
Tola wsiada do pierwszego z nich, który
przyjedzie. Jaka jest szansa, że Tosia
pojedzie autobusem 74?
Rozwiązanie intuicyjne:...
Jaką przestrzeń probabilistyczną
wykorzystaliśmy?
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzenie dyskretne
Prawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne
Przestrzeń probabilistyczna z prawdopodobieństwem
geometrycznym
Definiujemy przestrzeń probabilistyczną (Ω, F, P), gdzie:
Ω jest pewnym podzbiorem Rn o dodatniej skończonej mierze
(zwykle w naszych przykładach n = 1, 2, 3)
F jest rodziną zbiorów borelowskich w Ω
P : F → [0, 1] jest funkcją prawdopodobieństwa określoną
wzorem
λ(A)
P (A) :=
,
λ(Ω)
gdzie λ(·) jest miarą Lebesgue’a zbioru w Rn .
W rozważanych przykładach:
n = 1: długość, n = 2: pole, n = 3: objętość.
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzenie dyskretne
Prawdopodobieństwo geometryczne
Porównanie
Definicja klasyczna
Ω–niepusty zbiór
skończony;
Prawdopodobieństwo geometryczne
Ω– podzbiór Rn
o dodatniej skończonej mierze.
F = 2Ω – wszystkie
podzbiory Ω;
F jest rodziną borelowskich
podzbiorów Ω;
Prawdopodobieństwo
zdarzenia losowego A
jest równe
Prawdopodobieństwo zdarzenia
losowego A jest równe
|A|
P(A) =
|Ω|
| · | jest miarą zbioru,
tzn. liczbą elementów.
.
P (A) :=
λ(A)
,
λ(Ω)
gdzie λ(·) jest miarą zbioru w Rn .
n = 1: długość,
n = 2: pole,
n = 3: objętość.
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzenie dyskretne
Prawdopodobieństwo geometryczne
Przykład 5
Wybrano losowo dwie liczby (a, b): a z przedziału [0, 1/2] i b z
przedziału [0, 1]. Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, że
pierwsza z liczb jest mniejsza?
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzenie dyskretne
Prawdopodobieństwo geometryczne
Przykład 5
Wybrano losowo dwie liczby (a, b): a z przedziału [0, 1/2] i b z
przedziału [0, 1]. Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, że
pierwsza z liczb jest mniejsza?
Przykład 5 bis
Asia i Basia umówiły się w restauracji między 18:00 a 19:00. Asia
przychodzi w losowym momencie między 18:00 a 18:30 a Basia
między 18:00 a 19:00. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Asia
przyjdzie pierwsza ?
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzenie dyskretne
Prawdopodobieństwo geometryczne
Przykład 6
Asia i Basia umówiły się w restauracji między 18:00 a 19:00. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że nie będą na siebie czekać dłużej niż
kwadrans ? Zakładamy, że każda z nich przychodzi w losowym
momencie z podanego przedziału.
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzenie dyskretne
Prawdopodobieństwo geometryczne
Przykład 7
Z przedziału [0; 1] wybieramy jedną liczbę. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia:
1
wylosowana liczba jest równa 1/2.
2
wylosowana liczba jest postaci 1/n dla pewnego n ∈ N.
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzenie dyskretne
Prawdopodobieństwo geometryczne
Przykład 8
1
Czy istnieje przestrzeń probabilistyczna, w której P ({ω}) = 0
dla wszystkich ω ∈ Ω?
2
Czy z faktu, że P (A) = 0 wynika, że A = ∅?
3
Czy z faktu, że P (A) = 1 wynika, że A = Ω?
4
Czy z faktu, że P (A ∪ B) = P (A) + P (B) wynika, że
A ∩ B = ∅.
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzenie dyskretne
Prawdopodobieństwo geometryczne
Przykład 9
1
Podaj przykład ciągu zdarzeń A1 , A2 . . . (Ai 6= Aj dla i 6= j), w
którym dla dowolnego Ai mamy P (Ai ) = 1, ale Ai 6= Ω.
2
Wykorzystując własności prawdopodobieństwa wykaż, że jeśli
T
P(An ) = 1 dla n = 1, 2, . . . , to P ( ∞
n=1 An ) = 1.
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzenie dyskretne
Prawdopodobieństwo geometryczne
Przykład 10 [Paradoks Bertranda]
Na okręgu o promieniu 1 skonstruowano losowo cięciwę AB. Jaka
jest szansa, że zajdzie zdarzenie C – wylosowana cięciwa jest
dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg?
Wyznacz P (C ) przyjmując za zdarzenia elementarne:
1
wybór kąta środkowego α, opartego na cięciwie AB.
2
odległość środka skonstruowanej cięciwy od środka okręgu.
3
wybór dowolnego punktu wewnątrz koła (wybór środka
cięciwy).
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzenie dyskretne
Prawdopodobieństwo geometryczne
Przykład 11
Rzucamy nieskończoną liczbę razy monetą. Podaj sensowną
przestrzeń probabilistyczną odpowiadającą temu eksperymentowi,
w której każdy możliwy wynik jest „równo prawdopodobny”.
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzenie dyskretne
Prawdopodobieństwo geometryczne
Po co nam zbiory Borelowskie?
Szczypta teorii miary itp.
Z odcinka [0, 1] wybieramy losowo punkt zgodnie z
prawdopodobieństwem geometrycznym. Wtedy
prawdopodobieństwo trafienia punktu z odcinka [a, b] (jego miara)
jest równa długości odcinka i P (A + t) = P (A) (o ile A ⊆ [0, 1] i
t + A ⊆ [0, 1]). Można pokazać, że dla tak zdefiniowanego
prawdopodobieństwa (miary) jeśli założylibyśmy, że F = 2[0,1] , to
znalazłby się zbiór w F dla którego nie można znaleźć
prawdopodobieństwa (zbiór niemierzalny).
Zainteresowanych konstrukcją odsyłamy do zadań dla chętnych.