Rozpoznanie cech geometrycznych charakteryzujących zmiany

PSYCHOGERIATRIA POLSKA 2008;5(3):129-137
artykuł oryginalny oryginal article
Rozpoznanie cech geometrycznych
charakteryzujących zmiany zanikowe mózgu
w chorobie Alzheimera dla danych obrazowych
z tomografii komputerowej
Recognition of the geometric features characterizing brain
atrophic changes in Alzheimer’s disease, based on computer
tomography image information
Marta Tabakow3, Martin Tabakow2, Halina Kwaśnicka2,
Anna Czarnecka1, Marek Sąsiadek1
1
Zakład Radiologii Ogólnej, Zabiegowej i Neuroradiologii Katedry Radiologii Akademii Medycznej we Wrocławiu
2
Instytut Informatyki Stosowanej Politechniki Wrocławskiej
3
Instytut Informatyki Ekonomicznej Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu
Słowa kluczowe: choroba Alzheimera, segmentacja obrazów TK, średnia typu Winsor,
korelacja rang Spearmana
Key words: Alzheimer’s disease, Image segmentation of CT scans, Truncated Mean,
Spearman’s rank correlation coefficient
Streszczenie
Wstęp. Zanik korowy i podkorowy mózgu należy do najważniejszych objawów stwierdzanych u chorych z chorobą Alzheimera (ch. A) w badaniach neuroobrazowych. Jest to jednak objaw mało swoisty,
dlatego próbuje się stosować techniki ilościowe oceny stopnia zaniku. Celem pracy było rozpoznanie
cech geometrycznych w tomografii komputerowej (TK), charakteryzujących zanik mózgu w chorobie
Alzheimera.
Materiał i metody. Materiał badawczy stanowiła grupa 40 pacjentów, u których na podstawie klasyfikacji klinicznych i badań neuropsychologicznych rozpoznano chorobę Alzheimera (ch. A). U wszystkich
chorych wykonano badanie TK głowy, które poddano segmentacji w celu wyodrębnienia płynu mózgowo-rdzeniowego. Wysegmentowane skany podzielono na 4 podgrupy. Następnie zanalizowano rozkład
13 cech geometrycznych dla poszczególnych podgrup oraz określono ich korelację ze stopniem zaniku
określonym przez radiologa w skali 0-3, za pomocą metody korelacji porządku rang Spearmana.
PGP 103
Wyniki. Przedstawiono zbiór cech geometrycznych, które wykazały korelację z rozpoznaniem radiologicznym w poszczególnych podgrupach skanów co najmniej na poziomie 0,7, a jednocześnie
charakteryzujące się zmiennością powyżej 15%. Najwięcej cech geometrycznych wykazało korelację
z zanikiem mózgu na poziomie środkowych i górnych części komór bocznych, natomiast najmniejsza
była korelacja z zanikiem na poziomie warstw nadkomorowych. Określono cechy geometryczne, które
najlepiej charakteryzują zanik korowy i podkorowy dla poszczególnych podgrup skanów.
Adres do korespondencji:
Prof. dr hab. Marek Sąsiadek
Zakład Radiologii Ogólnej, Zabiegowej i Neuroradiologii,
Katedra Radiologii, Akademia Medyczna we Wrocławiu; ul. Borowska 213, 50-556 Wrocław
Tel. (71) 7331660 e-mail: [email protected]
Copyright © 2008 Fundacja Ochrony Zdrowia Psychicznego
130
Marta Tabakow i wsp.: Cechy geometryczne zmian w AD
Wnioski. Określenie cech geometrycznych zaniku mózgu w badaniu TK może służyć jako metoda
wspomagania decyzji radiologicznych, zwłaszcza w odniesieniu do skanów na poziomie środkowych
i górnych części komór bocznych.
Summary
Background. Cortical and subcortical atrophy is one of the most important signs in the imaging
studies of patients with Alzheimer’s disease. However it is not specific finding, therefore quantitative
methods of the severity of the atrophy have been developed. The aim of the study was to recognize
the geometric features which characterize cerebral atrophy in computed tomography (CT) of patients
with Alzheimer’s disease.
Material and methods. The material consisted of 40 patients, in whom Alzheimer’s disease (AD)
was diagnosed based on clinical classifications and neuropsychological studies. All patients underwent
CT studies, which were postprocessed with segmentation algorithm to select cerebrospinal fluid. The
segmented scans were divided into 4 subgroups. The set of 13 geometric features for each subgroup
has been analyzed and their correlation with the degree of atrophy defined by a radiologist in 0-3 scale
has been assessed applying Spearman’s rank correlation coefficient.
Results. The set of geometric features presented was correlated with radiological diagnosis in particular subgroups of the scans at least at the 0,7 level and were characterized by variability greater than
15%. The greatest number of geometric features were correlated with cerebral atrophy at the levels of
middle and upper part of lateral ventricles, while the correlation with the atrophy on the supraventricular scans was the lowest. The geometric features which offer the best characterization of particular
subgroups of scans have been defined.
Conclusions. Recognition of the geometric features of cerebral atrophy in CT study may serve as the
decision support system, especially with the scans covering the middle and upper parts of the lateral
ventricles.
Wstęp
Badania neuroobrazowe odgrywają wzrastającą rolę w chorobie Alzheimera (ch. A.), jednak wciąż
charakteryzują się niewystarczającą specyficznością w rozpoznawaniu, różnicowaniu i monitorowaniu
ch. A., w związku z tym prowadzone są liczne badania nad zastosowaniem nowych technik neuroobrazowych, które poprawiłyby skuteczność diagnostyczną w ch. A.
Zanik korowy i podkorowy mózgu należy do najważniejszych objawów stwierdzanych u chorych z ch.
A, w badaniach neuroobrazowych: tomografii komputerowej (TK) i rezonansu magnetycznego (MR)
[1, 2]. Jest to jednak objaw mało swoisty, dlatego próbuje się stosować techniki ilościowe oceny stopnia
zaniku, zwłaszcza w okolicach typowych zmian w ch. A., jak przyśrodkowe części płatów skroniowych
[3]. Metody te jednak są zwykle czasochłonne i trudne do zastosowania w codziennej praktyce.
Celem naszej pracy było rozpoznanie cech geometrycznych mierzących ilościowo płyn mózgowo-rdzeniowy, charakteryzujących zanik mózgu w chorobie Alzheimera, przy wykorzystaniu informacji
obrazowych z tomografii komputerowej.
Materiał i metody
Materiał badawczy stanowiła grupa 40 pacjentów, u których na podstawie klasyfikacji klinicznych i badań neuropsychologicznych rozpoznano chorobę Alzheimera. U każdego pacjenta z ch. A. na podstawie
wysegmentowanych obrazów TK mózgu uwidaczniających płyn mózgowo-rdzeniowy, otrzymano zbiór
zmiennych jakościowych oceniających stopień zaniku korowego i podkorowego struktur mózgu oraz zbiór
13 cech geometrycznych. Proces rozpoznania płynu mózgowo-rdzeniowego mózgu zrealizowano przy
wykorzystaniu własnego nowego algorytmu segmentacji obrazów, opartego na rozmytym sterowaniu [4].
131
Marta Tabakow i wsp.: Cechy geometryczne zmian w AD
Na rys. 1, przedstawiono przykładową segmentację płynu mózgowo-rdzeniowego dla wybranych
skanów TK, z podziałem na lokalizację płynu przymózgową i w komorach mózgowych (odpowiednio
w przestrzeni przymózgowej i w komorach mózgowych).
Rys. 1. Wynikowa segmentacja płynu mózgowo-rdzeniowego dla wybranych obrazów TK pacjentów z rozpoznaną
chorobą Alzheimera w całej przestrzeni wewnątrzczaszkowej (lewa kolumna), w przestrzeni przymózgowej (środkowa
kolumna) i w komorach mózgowych (prawa kolumna
Fig. 1. Segmentation of cerebro-spinal fluid for selected CT images of the patients with Alzheimer’s disease including
the whole intracranial space (left column), extracerebral space (middle column) and intraventricular space (right
column)
Zmienne podzielono, na ocenę przez radiologa stopnia zaniku korowego i podkorowego w skali 0-3
oraz odpowiednie cechy geometryczne obrazów. Stopień zaniku korowego i podkorowego określono w
skali od 0 do 3, gdzie 0 oznacza brak zaniku, 1 – mały zanik, 2 – średni zanik, a 3 – duży zanik. Cechy
geometryczne wykorzystano do określenia kształtu, struktury i powierzchni wysegmentowanego płynu
mózgowo – rdzeniowego.
W przeprowadzonych eksperymentach zbadano następujące cechy geometryczne: 1.pole powierzchni (oznaczone poniżej jako S), 2. obwód (L), 3. współczynnik Malinowskiej (RM), 4. zmodyfikowany
współczynnik Malinowskiej (zRM), 5. współczynnik Blaira-Blissa (RB), 6. współczynnik Heralicka (RH),
7. współczynnik Fereta (RF), 8. współczynnik cyrkularności (RC1; wartość określona przy uwzględnieniu obwodu analizowanego obiektu), 9. współczynnik cyrkularności (RC2; wartość określona przy
uwzględnieniu pola powierzchni analizowanego obiektu), 10. współczynnik ‘wydłużoności’ obiektu (LP1),
11. współczynnik ‘wydłużoności’ obiektu (LP2), 12. względne pole powierzchni (nS; wartość modyfikowana poprzez pole powierzchni całego mózgu), 13. względny obwód (L; wartość modyfikowana poprzez
obwód całego mózgu).
Szczegółowy opis oraz definicję analizowanych cech geometrycznych można znaleźć w [5].
132
Marta Tabakow i wsp.: Cechy geometryczne zmian w AD
W przeprowadzonej analizie informacji obrazowej, uzyskanych na podstawie wyników segmentacji obrazów TK dla zaniku korowego, założono podział skanów każdego pacjenta na trzy podstawowe podgrupy:
2 skany zlokalizowane na poziomie dolnych części komór bocznych (K1), 3 skany obejmujące środkowe
i dolne części komór bocznych (K2) oraz 3 skany nadkomorowe (K3). Natomiast dla zaniku podkorowego
wybrano podgrupę skanów na poziomie środkowych części komóry mózgowych (P) (te same numery
skanów, co grupa K2). Przy wybieraniu skanów pominięto warstwy zlokalizowane w sąsiedztwie podstawy
i sklepienia czaszki, ze względu na artefakty kostne powodujące zafałszowanie obrazów.
Obrazy TK typowe dla każdej podgrupy skanów wybranego pacjenta przedstawiono na rycinach 2a-e.
U każdego pacjenta, dla każdej podgrupy skanów (K1, K2, K3 i P), określono rozkłady analizowanych
cech geometrycznych.
Kolejny etap prezentowanych badań dotyczył określenia wartości korelacji pomiędzy analizowanymi
cechami geometrycznymi a rozpoznaniem radiologicznym dokonanym a priori (przed zainicjalizowaniem procesu segmentacji obrazów TK). W celu zbadania korelacji wykorzystano współczynnik korelacji
rangowej Spearmana:
6 ⋅ ∑i =1 d i2
n
rs = 1 −
n ⋅ (n 2 − 1)
gdzie n jest liczbą obserwacji, d określa różnicę wartości obserwacji oraz -1≤ rs ≤1. Uzasadnieniem
wykorzystania korelacji rangowej w przeprowadzonych badaniach, stanowi wykorzystanie zmiennych
o różnym charakterze, tzn. ocena radiologiczna oraz wartości testów psychometrycznych są zmiennymi
mierzalnymi o charakterze porządkowym, natomiast cechy geometrycznych są to wartości o charakterze ciągłym [6].
Kolejnym etapem badań było sprawdzenie zróżnicowania wartości każdej z analizowanych cech geometrycznych, przy wykorzystaniu pozycyjnego współczynnika zmienności, określonego na podstawie
mediany oraz odchylenia ćwiartkowego [7]. Przez medianę (kwartyl 2) rozumie się wartość dzielącą
zbiorowość na dwie równe części, z których jedna połowa ma wartości równe lub mniejsze, a druga
połowa ma wartości równe lub większe od mediany; medianę nazywa się często wartością środkową.
Natomiast odchylenie ćwiartkowe jest to połowa różnicy między kwartylem 1 i kwartylem 3. W tym
badaniu znaczącą rolę odgrywają cechy geometryczne, których wartości nie są zbliżone do mediany,
a znacząco oscylują wokół niej.
Wyniki
Analiza cech geometrycznych wykazała w podgrupach K1 i K3 rozkłady wartości cech odpowiednio
– lewostronny oraz prawostronny. Dla rozkładu lewostronnego zaobserwowano wzrost wartości cech
geometrycznych w kolejnych skanach TK, natomiast dla rozkładu prawostronnego zaobserwowano
odwrotną zależność, tj. w kolejnych skanach TK wartości cech geometrycznych malały. W podgrupach
K2 i P stwierdzono na tyle dużą zmienność wartości cech, że nie rozróżniono typu asymetrii rozkładu.
Uwzględniając powyższe wyniki, dla każdej podgrupy wygenerowano średnią typu (α,β) – Winsor:
wα ,β =
1 [r ]
( ∑ x(i ) + m ⋅ x[ m+1] + (n − r ) ⋅ x[ r ] )
n i =[ m+1]
gdzie x(i) jest wartością analizowanej cechy dla i-tej obserwacji, n określa liczbę obserwacji oraz
0 ≤ α, β ≤ 0.5, m=(α.n), r = n – (β.n) [8]. Wartość ta jest tzw. estymatorem ‘odpornym’ (ang. robust
estimator) na dane odstające. Rozpoznanie rozkładu wartości analizowanych cech geometrycznych umożliwiło odpowiedni dobór wartości parametrów α i β dla każdej podgrupy skanów danego pacjenta.
133
Marta Tabakow i wsp.: Cechy geometryczne zmian w AD
Rys. 2a. Pełna sekwencja skanów TK u chorego z rozpoznaną chorobą Alzheimera
Fig. 2a. Full set of CT scans in the patient with diagnosis of Alzheimer’s disease
Rys. 2b. Skany TK podgrupy K1. Wybór 2 skanów – pierwsze dwie warstwy od dołu przechodzące przez komory boczne.
Ocena zaniku korowego na obrazach podstawowych (strona lewa) i obrazach wysegmentowanych (strona prawa)
Fig. 2b. CT scans, subgroup K1. The lowest two slices involving lateral ventricles were selected. Evaluation of cortical
atrophy on the plain (left side) and segmented (right side) images
Rys. 2c. Skany TK podgrupy P. Wybór 3 skanów – trzy skany na poziomie środkowych i górnych części komór
mózgowych, bezpośrednio sąsiadujace z podgrupą K1. Ocena zaniku podkorowego na obrazach podstawowych (strona
lewa) oraz wysegmentowanych (strona prawa)
Fig. 2c. CT scans, subgroup P. Three slices involving middle and upper lateral ventricles, adjacent to subgroup K1
were selected. Evaluation of subcortical atrophy on the plain (left side) and segmented (right side) images
Rys. 2d. Skany TK podgrupy K2. Wybór 3 skanów na poziomie środkowych i górnych części komór, bezpośrednio
sąsiadujacych z podgrupą K1 (te same skany co w podgrupie P). Obrazy podstawowe (strona lewa), obrazy wysegmentowane (strona prawa). Ocena zaniku korowego.
Fig. 2d. CT scans, subgroup K2. Three slices involving middle and upper lateral ventricles, adjacent to subgroup K1 (the same
that in subgroup P) were selected. Evaluation of cortical atrophy on the plain (left side) and segmented (right side) images
134
Marta Tabakow i wsp.: Cechy geometryczne zmian w AD
Rys. 2e. Skany TK podgrupy K3. Wybór 3 skanów – na poziomie nadkomorowym. Ocena zaniku korowego na obrazach
podstawowych (strona lewa) i wysegmentowanych (strona prawa)
Fig. 2e. CT scans, subgroup K3. Three supraventricular slices involving lateral ventricles were selected. Evaluation
of cortical atrophy on the plain (left side) and segmented (right side) images
Tabela 1. Wartości parametrów średniej typu (α,β)-Winsora dla analizowanych podgrup skanów TK
Tab. 1. The values of (α,β)-Winsor’s parameters for the analyzed subgroups of CT scans
Wartości parametrów α, β
Uzasadnienie
α = 0.02,
β = 0.01
Ze względu na lewostronność rozkładu wartości cech (który wynika
ze wzrostu powierzchni mózgowia, dla skanów TK tej podgrupy),
należy wybrać wartość α > β, w celu modyfikacji najmniejszych
wartości. Jednocześnie aby nie odrzucić żadnych danych, należy
przyjąć odpowiednio małe wartości dla α i β.
K3
α = 0.01,
β = 0.02
Ze względu na prawostronność rozkładu wartości cech (wynikający z wyraźnej redukcji powierzchni mózgowia dla skanów TK
tej podgrupy) należy wybrać wartość α < β, w celu modyfikacji
największych wartości. Jednocześnie aby nie odrzucić żadnych
danych, należy przyjąć odpowiednio małe wartości dla α i β.
K2, P
α = 0.01,
β = 0.01
Ze względu na dużą zmienność wartości cech dla tych podgrup (co
uniemożliwia scharakteryzowanie rozkładu cech), należy wybrać α
= β. Zmienność ta wynika z braku wyraźnego wzrostu lub redukcji
powierzchni mózgowia dla pośrednich skanów TK.
Podgrupa
K1
Wyniki korelacji wartości analizowanych cech geometrycznych w stosunku do rozpoznania radiologicznego (za pomocą metody korelacji porządku rang Spearmana – zob. wyżej) dla wszystkich badanych
pacjentów przedstawiono w tabeli 2. Istotność korelacji zbadano przy wykorzystaniu statystyki:
T = rs ⋅ n − 1
oraz wartości krytycznej obliczonej z dystrybuanty rozkładu normalnego, na poziomie ufności 0.99.
W tabeli 3 przedstawiono wyniki zmienności dla cech geometrycznych przy wykorzystaniu pozycyjnego
współczynnika zmienności.
135
Marta Tabakow i wsp.: Cechy geometryczne zmian w AD
Tabela 2. Wartości korelacji rang Spearmana, obliczone dla cech geometrycznych w stosunku do rozpoznania
radiologicznego.
Tab. 2. The values of Spearman’s rank correlation coefficients, calculated for the geometric features in the relationship to the
radiological diagnosis
Rozpoznanie radiologiczne (odpowiednio dla podgrup skanów)
Cechy Geometryczne
K1
K2
K3
P
S
0,78
0,89
0,67
0,92
L
0,81
0,88
0,71
0,79
RM
0,69
0,74
0,59
-0,29
zRM
-0,57
-0,77
-0,51
0,33
RB
0,81
0,88
0,67
0,89
RH
0,27
0,45
0,73
0,41
RF
0,04
-0,50
-0,32
-0,13
LP1
0,17
0,08
-0,19
-0,10
LP2
-0,68
-0,81
-0,61
-0,50
RC1
0,78
0,91
0,74
0,90
RC2
0,80
0,87
0,69
0,71
nS
0,80
0,88
0,69
0,89
nL
0,81
0,86
0,66
0,72
Tabela 3. Zmienność cech geometrycznych
Tab. 3 The variability of the geometric features
Zmienność cech
(odpowiednio dla podgrup skanów)
Cechy geometryczne
K1
K2
K3
P
S
37,50%
45,00%
50,00%
40,00%
L
40,00%
40,00%
25,00%
16,67%
RM
16,67%
25,00%
16,67%
22,50%
zRM
14,29%
50,00%
50,00%
22,50%
RB
33,33%
20,83%
50,00%
28,13%
RH
12,50%
8,33%
7,14%
7,14%
RF
28,13%
50,00%
12,50%
15,63%
LP1
16,67%
32,50%
70,83%
75,00%
LP2
0,00%
25,00%
25,00%
16,67%
RC1
25,00%
28,57%
20,00%
20,00%
RC2
30,00%
37,50%
30,00%
25,00%
nS
28,13%
37,50%
42,86%
25,00%
nL
30,00%
30,00%
40,63%
16,67%
136
Marta Tabakow i wsp.: Cechy geometryczne zmian w AD
Na podstawie uzyskanych wyników, przedstawionych w tabelach 2 i 3, do budowy systemu wspomagania decyzji radiologicznych wybrano cechy istotnie skorelowane (co najmniej na poziomie 0.7) oraz
jednocześnie charakteryzujące się dużą zmiennością (powyżej 15%). Wybrane cechy, dla wybranych
podgrup skanów, przedstawiono w tabeli 4. Najwięcej cech istotnie skorelowanych stwierdzono w grupie
K2, zaś najmniej w grupie K3
Tabela 4. Cechy geometryczne, określające stopień zaniku korowego i podkorowego, zgodnie z rozpoznaniem radiologicznym
Tab. 4. The geometric features, which define the degree of the cortical and subcortical atrophy, according
to the radiological diagnosis
Podgrupa skanów
Cechy geometryczne, które można uwzględnić w celu
rozpoznania stopnia zaników struktur korowych
i podkorowych w chorobie Alzheimera
K1
S, L, RB, RC1, RC2, nS, nL
K2
S, L, RM, zRM, RB, LP2, RC1, RC2, nS, nL
K3
L, RC1
P
S, L, RB, RC1, RC2, nS, nL
K1 + K2 + P
S, L, RB, RC1, RC2, nS, nL
Dyskusja
W niniejszej pracy postanowiono rozpoznać cechy geometryczne mierzące ilościowo płyn mózgowo-rdzeniowy, charakteryzujące zanik mózgu w przebiegu choroby Alzheimera, przy wykorzystaniu informacji obrazowych z tomografii komputerowej (TK). Podstawą analizy było zbadanie kierunku i siły
powiązań między analizowanymi cechami geometrycznymi a niezależną oceną radiologiczną. Wyniki
analizy umożliwiają wybór cech do budowy systemu ekspertowego wspomagającego diagnostykę radiologiczną w kierunku określenia stopnia zaniku mózgu u chorych z zaburzeniami poznawczymi, co
może przyczynić się do różnicowania postaci i stopnia zaawansowania choroby otępiennej.
Analiza uzyskanych wyników wykazała, że zanik korowy najlepiej charakteryzowany jest na skanach
TK obejmujących środkowe i dolne części komór bocznych (podgrupa K2), gdyż najwięcej cech geometrycznych związana była z podgrupą K2; w ramach tej podgrupy występuje też największa korelacja
z rozpoznaniem radiologicznym. Natomiast skany nadkomorowe (podgrupa K3) w niewielkim stopniu
charakteryzują zmiany zanikowe. Dlatego autorzy uważają, że w celu budowy systemów wspomagania
decyzji radiologicznych, w których wymagana jest analiza kompleksowa skanów TK, należy uwzględnić
cechy wspólne dla każdej podgrupy skanów, z pominięciem grupy skanów nadkomorowych. Są to cechy:
S, L, RB, RC1, RC2, nS, nL (tabela 4). W celu budowy systemów wspomagania decyzji radiologicznych,
w których nie jest wymagana analiza kompleksowa skanów TK (tj. celowe jest analizowanie skanów
w podgrupach) oraz w celu rozpoznania stopnia zaniku korowego i podkorowego, należy uwzględnić
istotnie skorelowane cechy osobno dla podgrup K1 , K2 oraz P, przedstawione w tabeli 4.
Wnioski
Określenie cech geometrycznych zaniku mózgu w badaniu TK może służyć jako metoda wspomagania
decyzji radiologicznych, zwłaszcza w odniesieniu do skanów na poziomie środkowych i górnych części
komór bocznych.
137
Marta Tabakow i wsp.: Cechy geometryczne zmian w AD
Piśmiennictwo
[1] Chetelat G, Baron JC. Early diagnosis of Alzheimer’s disease: contribution of structural neuroimaging. Neuroimage 2003; 18 (2): pp. 525-524.
[2] Frisoni GB. Structural imaging in clinical diagnosis of Alzheimer’s disease: problems and tools. J
Neurol Neurosurg Psychiatry, 2001; 70: pp. 711-718.
[3] Gołębiowski M. Dementive deseases (in Polish). In: Advances in neuroradiology. Walecki J. (Ed.).
Polish Foundation for Science Advancement (PFUN). Warsaw, 2007: pp. 247-264.
[4] Tabakow M, Kwaśnicka H, Krynicki K. A Rule-based Region Growing Fuzzy Segmentation System
for Pathological Brain Computed Tomography Images. (w przygotowaniu).
[5] Tadeusiewicz R. Komputerowa analiza i przetwarzanie obrazów. Wydawnictwo Fundacji Postępu
Telekomunikacji, Kraków, 1997.
[6] Ostasiewicz S, Rusnak Z, Siedlecka U. Statystyka elementy teorii i zadania. Wyd. Akademii
Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, 1995.
[7] Stanisz A. Przystępny kurs statystyki z zastosowaniem Statistica pl na przykładach medycznych,
modele liniowe i nieliniowe. StatSoft Polska, Kraków, 2007.
[8] Ostasiewicz W. Statystyczne Metody Analizy Danych. Wyd. Akademii Ekonomicznej im. Oskara
Langego we Wrocławiu, 1999.
Zrecenzowano/Reviewed: 02.10.08
Przyjęto do druku/Accepted: 09.10.08
138
KOMUNIKAT REDAKCJI
Zaproszenie do publikacji
Redakcja uprzejmie zaprasza
do nadsyłania
pełnotekstowych artykułów oryginalnych
i krótkich doniesień badawczych
mieszczących się w tematyce czasopisma
wcześniej niepublikowanych
oraz nieprzedłożonych do innych wydawnictw,
celem rozważenia Publikacji w Psychogeriatrii Polskiej
Wszystkie przedłożone artykuły
zostaną niezależnie zrecenzowane.
Wydawca Psychogeriatrii Polskiej
Fundacja Ochrony Zdrowia Psychicznego
50-119 Wrocław, ul. Nożownicza 4/8
http://www.fozp.org.pl
e-mail: [email protected]