Elektrony i dziury w półprzewodnikach
advertisement
1 Elektrony i dziury w półprzewodnikach Atomy i rdzenie atomowe Si oraz Ge 2 • Si oraz Ge należą do grupy IV układu okresowego pierwiastków. Mają po 4 zewnętrzne elektrony. • Tylko zewnętrzne elektrony uczestniczą w tworzeniu wiązań kowalencyjnych. • Pozostałe elektrony i jądra można traktować w przybliżeniu jako rdzeń atomowy o ładunku +4q. 1 Wiązania kowalencyjne w krysztale Si 3 Atom Si w sieci krystalicznej dzieli się swoimi 4 elektronami walencyjnymi z 4 otaczającymi go atomami, tworząc wiązanie kowalencyjne. Energia Energetyczny model pasmowy półprzewodnika 4 Kryształ jako zbiór periodycznie rozłożonych studni potencjału. położenie • W półprzewodniku, w wyniku oddziaływania rdzeni atomowych, dochodzi do utworzenia pasma przewodnictwa. • Jest ono oddzielone przerwą energetyczną od pasma walencyjnego. • Elektrony pasma walencyjnego i niższych nie mogą poruszać się swobodnie po krysztale. W. Marciniak, „Przyrządy półprzewodnikowe i układy scalone”, WNT, 1979 2 Krzem krystalizuje w strukturze diamentu 5 Si α Si Si Si Si ostrosłup Krzem jest czterowartościowy, więc w sieci krystalicznej tworzy atom w środku ostrosłupa trójkątnego regularnego ze związanymi z nim atomami Si w wierzchołkach Wiązania między ostrosłupami dają sieć z komórką regularną, powierzchniowo centrowaną – Si, Ge, C (diament)... S.M.Sze, Kwok K.Ng, Physics of Semiconductor Devices, 3 ed, Wiley, 2006 GaAs krystalizuje w strukturze blendy cynkowej 6 Atom jednej grupy jest w środku ostrosłupa trójkątnego regularnego tworzonego przez atomy innej grupy GaAs, GaP, InP, InAs.... 3 Równanie Schrödingera dla elektronu w sieci krystalicznej 7 a – niech będzie wielkością komórki sieci kryształu o strukturze regularnej (kubicznej). Równanie Schrödingera dla pojedynczego elektronu w sieci krystalicznej po wielu przybliżeniach: 2 2 ∇ + V (r ) Ψ (r , k ) = E (k )Ψ (r , k ) − 2m gdzie = h 2π h – stała Plancka; r = (x,y,z)T - wektor współrzędnych położenia w przestrzeni XYZ; k - wektor falowy; m - masa elektronu; V(r) – przestrzennie periodyczny rozkład energii potencjalnej pola elektrycznego sieci krystalicznej; E(k) – dozwolone wartości energii elektronu (wartości własne); Ψ(r,k) – funkcja falowa elektronu. Zależność dyspersji pomiędzy wektorem falowym, energią elektronu 8 E(k) S.M.Sze, Kwok K.Ng, Physics of Semiconductor Devices, 3 ed, Wiley, 2006 Si GaAs Energia (eV) Energia (eV) dno pasma przewodnictwa schematycznie zaznaczono elektrony - szczyt pasma walencyjnego schematycznie zaznaczono dziury + ka=−π ka=0 ka=π zredukowany wektor falowy k·a ka=−π ka=0 ka=π zredukowany wektor falowy k·a 4 Masa efektywna, prędkość grupowa i pseudopęd elektronu S.M.Sze, Kwok K.Ng, Physics of Semiconductor Devices, 3 ed, Wiley, 2006 9 W pobliżu ekstremów pasm zależność E(k) można aproksymować parabolą Si E ( k ) = E0 + dno pasma przewodnictwa 2k 2 2m* gdzie masa efektywna elektronu m* Energia (eV) 1 1 ∂ 2 E (k ) = m* 2 ∂k 2 W przypadku ogólnym masa efektywna jest tensorem mij* 1 1 ∂ 2 E (k ) ≡ 2 * mij ∂ki ∂k j szczyt pasma walencyjnego Prędkość grupową elektronu określamy jako vg = ka=−π ka=0 ka=π zredukowany wektor falowy k·a 1 dE dk Pseudopęd elektronu określamy jako p = ħk 10 Przerwa energetyczna Eg S.M.Sze, Kwok K.Ng, Physics of Semiconductor Devices, 3 ed, Wiley, 2006 Elektrony (ani dziury) nie mogą obsadzać stanów energetycznych w przerwie energetycznej (paśmie zabronionym) Si Ev < E < Ec Energia (eV) dno pasma przewodnictwa gdzie Eg = Ec - Ev szerokość przerwy energetycznej. Zależność Eg(T) dla Si oraz GaAs szczyt pasma walencyjnego ka=−π ka=0 ka=π zredukowany wektor falowy k·a 5 Z okresowym ułożeniem atomów w krysztale wiąże się struktura pasmowa 11 • Elektrony, te które są, mogą się swobodnie (prawie) poruszać w paśmie przewodnictwa • Dziury – braki elektronów, mogą się swobodnie (prawie) poruszać w paśmie walencyjnym Strukt_pasmowa_2 amorficzny Si – 1 Struktura energetyczna półprzewodników amorficznych 12 H H H H H H Schematyczna reprezentacja amorficznego Si. Struktura ma defekty - brakujące atomy, „wiszące” wiązania.... Nie ma uporządkowania dalekiego zasięgu. Schematyczna reprezentacja ułożenia atomów w krysztale Si Dwuwymiarowa schematyczna reprezentacja amorficznego Si z „wiszącymi” wiązaniami zakończonymi atomami wodoru. Liczba atomu wodoru - zawyżona Półprzewodnik amorficzny: • Brak uporządkowania dalekiego zasięgu. • Uporządkowanie bliskiego zasięgu - na odległość typowo 1 nm. • Duża koncentracja defektów. Kasap, Capper, Springer Handbook of Electronic and Photonic Materials, 2006 S.O.Kasap, Principles of Electronic Materials and Devices, McGraw-Hill, 2002 6 Struktura energetyczna półprzewodników amorficznych amorficzny Si - 2 Dwuwymiarowa schematyczna reprezentacja amorficznego Si H z „wiszącymi” wiązaniami zakończonymi atomami wodoru. Liczba atomu wodoru - zawyżona H H H H E Ec H 13 stany związane z brakiem uporządkowania dalekiego zasięgu stany związane z defektami Ev stany związane z brakiem uporządkowania dalekiego zasięgu N(E) Rozkład gęstości stanów w funkcji energii N(E) Gęstość stanów w zakresie energii Ev < E < Ec nie jest zerowa jak dla idealnego kryształu M.Polowczyk, E.Klugmann, Przyrządy Półprzewodnikowe", Wyd.PG, 2001 Półprzewodnik samoistny - monokryształ e– h+ 14 W idealnym krysztale półprzewodnika, bez defektów – również bez domieszek, w temperaturze zera bezwzględnego pasmo walencyjne powinno być pozbawione dziur, a w paśmie przewodnictwa nie powinno być elektronów Dla T > 0 K termiczne drgania atomów prowadzą do zerwania niektórych wiązań i generacji par elektron-dziura o koncentracji odpowiednio ni = pi. Elektrony w paśmie przewodnictwa i dziury w paśmie walencyjnym mogą przewodzić prąd elektryczny. Thermal vibrations of atoms can break bonds and thereby create electron-hole pairs. S.O.Kasap, Principles of Electronic Materials and Devices, McGraw-Hill, 2002 T.Floyd, Electronic Devices, Prentice-Hall, 1999 7 Temperaturowa zależność koncentracji nośników samoistnych ni w GaAs, Si oraz Ge ni(Eg, T) 600°C 400°C 200°C 27°C 0°C Intensywność generacji termicznej par elektron-dziura zwiększa się ze wzrostem T. 1018 Koncentracja samoistna ni [cm-3] 15 2,4·1013 cm-3 1015 Zależy również wykładniczo od szerokości przerwy energetycznej Eg. Ge 1012 EgGe=0,7 eV 1,45·1010 109 EgSi=1,1 eV Si 106 103 cm-3 2,1·106 cm-3 efektywne gęstości stanów EgGaAs=1,4 eV GaAs 1 1,5 2,5 2 3 1000/T [1/K] S.O.Kasap, Principles of Electronic Materials and Devices, McGraw-Hill, 2002 Eg ni = pi = N *c N *v ⋅ exp − 2 k BT 3,5 4 Dla Si w temperaturze 300 K ni(300K) = pi(300K) ≈ 1,45·1010 cm-3 kB – stała Boltzmanna, 1,38·10-23 J/K Ruch dziury w paśmie walencyjnym T.Floyd, Electronic Devices, Prentice-Hall, 1999 16 „Oswobodzenie” elektronu – przejście do pasma przewodnictwa zostawia dziurę w paśmie walencyjnym ruch elektronu pasma walencyjnego odpowiadający mu ruch dziury Bariera energetyczna pomiędzy dziurą, a elektronami walencyjnymi sąsiednich atomów Si jest niewielka. Termiczne drgania atomów w sieci krystalicznej wystarczają do jej pokonania i prowadzą do przemieszczania się dziury swobodnie po krysztale w paśmie walencyjnym. 8 Półprzewodnik typu n 17 • Dodajmy atomy z grupy V układu okresowego do krzemu, tak aby wbudowały się w jego sieć krystaliczną. • Atomy z grupy V – P, As, Sb - mają po 5 elektronów w zewnętrznych powłokach. • Tylko 4 z nich uczestniczą w tworzeniu wiązań sieci krystalicznej krzemu. P, As, Sb – domieszki donorowe w krzemie Koncentrację donorów, ich ilość w jednostkowej objętości, oznaczamy jako ND T.Floyd, Electronic Devices, Prentice-Hall, 1999 • Piąty elektron związany jest słabo z rdzeniem atomu domieszki. • Termiczne drgania atomów w sieci krystalicznej prowadzą do uwolnienia tego elektronu – może się poruszać swobodnie po krysztale jako elektron pasma przewodnictwa. • Dodatnio zjonizowany atom domieszki donorowej, np. As+, pozostaje nieruchomy. Półprzewodnik typu p 18 • Dodajmy atomy z grupy III układu okresowego do krzemu, tak aby wbudowały się w jego sieć krystaliczną. • Atomy z grupy III – B, Al, Ga - mają po 3 elektrony w zewnętrznych powłokach. • To o jeden elektron za mało z punktu widzenia wiązań sieci krystalicznej krzemu. B, Al, Ga – domieszki akceptorowe w krzemie Koncentrację akceptorów, ich ilość w jednostkowej objętości, oznaczamy jako NA T.Floyd, Electronic Devices, Prentice-Hall, 1999 • Powstaje dziura w paśmie walencyjnym krzemu. • Bariera energetyczna pomiędzy tą dziurą, a elektronami walencyjnymi sąsiednich atomów Si jest niewielka. • Termiczne drgania atomów w sieci krystalicznej wystarczają do jej pokonania i prowadzą do przemieszczania się dziury swobodnie po krysztale w paśmie walencyjnym. • Ujemnie zjonizowany atom domieszki akceptorowej, np. B-, pozostaje nieruchomy. 9 Koncentracja elektronów koncentracja n -1 19 Koncentracja elektronów zależy od gęstości dozwolonych poziomów energetycznych N(E) oraz prawdopodobieństwa ich obsadzenia f(E). ∞ n = N C ( E ) f ( E )dE Ec gdzie NC(E)dE – gęstość stanów elektronowych (ilość na jednostkę objętości) w przedziale energii elektronów od E do E+dE. Gęstość stanów elektronowych NC(E) wyznacza się z zależności dyspersji E(k): NC (E) = M C 3/ 2 2 mde ( E − Ec )1/ 2 ⋅ π2 3 gdzie MC – ilość równoważnych minimów pasma przewodnictwa mde – masa efektywna gęstości stanów pasma przewodnictwa. Rozkład Fermiego-Diraca - prawdopodobieństwo obsadzenia stanów elektronowych f(E) silnie zależy od temperatury f (E) = koncentracja n -2 1 E − EF 1 + exp k BT EF – poziom energii Fermiego; średnia wartość energii elektronu w równowadze termodynamicznej kB - stała Boltzmanna, kB = 1,38·10-23 J/K Koncentracja elektronów 20 Koncentracje elektronów i dziur zależą od gęstości dozwolonych poziomów energetycznych N(E) oraz prawdopodobieństwa ich obsadzenia f(E). ∞ n = N C ( E ) f ( E )dE Ec p = NV ( E )[1 − f ( E )]dE Ev −∞ 10 Poziom Fermiego EF - 1 Poziom Fermiego EF E − EF n ≈ N C* exp − c k BT 21 E − Ev p ≈ NV* exp − F k BT E − Ev pn ≈ N C* NV* exp − c k BT Dla półprzewodnika w stanie równowagi termodynamicznej iloczyn koncentracji dziur i elektronów pn nie zależy od koncentracji donorów ND lub akceptorów NA . Poziom Fermiego EF - 2 Poziom Fermiego EF 22 Ec – Ev = Eg Dla półprzewodnika w stanie równowagi termodynamicznej iloczyn koncentracji dziur i elektronów pn nie zależy od koncentracji donorów ND lub akceptorów NA i jest równy: Eg pn ≈ N C* NV* exp − k BT W szczególnym przypadku półprzewodnika samoistnego, ND = NA = 0 oraz ni = pi Eg = ni2 pn = N C* NV* exp − k BT Eg ni = pi = N *c N *v ⋅ exp − 2 k BT Dla półprzewodnika w stanie równowagi termodynamicznej iloczyn koncentracji dziur i elektronów pn jest równy kwadratowi samoistnej koncentracji elektronów ni2 . pn = ni2 Iloczyn ten nie zależy od domieszkowania, silnie zależy od T. 11 Poziom Fermiego EF Poziom Fermiego EF - 3 23 W stanie równowagi ładunek elektryczny elektronów i zjonizowanych akceptorów NA- jest równoważony przez ładunek dziur i zjonizowanych donorów ND+ : n + NA- = p + ND+ Przy niezbyt wysokich koncentracjach, w krzemie, w temperaturze pokojowej NA- = NA oraz ND+ = ND Koncentracje równowagowe elektronów n i dziur p oraz poziom energii Fermiego EF wyznacza się z warunku równowagi elektrycznej podstawiając: E − EF n ≈ N C* exp − c k BT Poziom Fermiego n-Si E − Ev p ≈ NV* exp − F k T B Poziom Fermiego EF w krzemie typu n 24 W stanie równowagi, w krzemie z przewagą donorów nad akceptorami, ND > NA nośniki większościowe nośniki mniejszościowe 1 (N D − N A ) + 2 ni2 pn 0 = nn 0 (N D − N A )2 + 4ni2 nn 0 = E − EF n ≈ N C* exp − c k BT Poziom energii Fermiego EF wyznacza się z: Dla N D − N A >> ni oraz N D >> N A wyrażenia na koncentracje upraszczają się: nn 0 ≈ N D ni2 pn 0 = ND 12 Poziom Fermiego EF w krzemie typu p Poziom Fermiego p-Si 25 Podobnie, w stanie równowagi, w krzemie z przewagą akceptorów nad donorami, NA > ND 1 (N A − N D ) + 2 n2 = i p p0 nośniki większościowe p p0 = nośniki mniejszościowe n p0 (N A − N D )2 + 4ni2 E − Ev p ≈ NV* exp − F k BT Poziom energii Fermiego EF wyznacza się z: Dla N A − N D >> ni oraz N A >> N D wyrażenia na koncentracje upraszczają się: p p0 ≈ N A Poziom Fermiego EF Poziom Fermiego EF - 4 n p0 ni2 = NA 26 S.M.Sze, Kwok K.Ng, Physics of Semiconductor Devices, 3 ed, Wiley, 2006 półprzewodnik samoistny półprzewodnik typu n (domieszkowany donorami) półprzewodnik typu p (domieszkowany akceptorami) pasma energetyczne gęstości stanów rozkład prawdopodobieństwa obsadzenie pasm elektronami i dziurami dla elektronów 13 Położenie poziomu Fermiego wewnątrz przerwy energetycznej Si oraz GaAs w zależności od domieszkowania Si 27 GaAs S.M.Sze, Kwok K.Ng, Physics of Semiconductor Devices, 3 ed, Wiley, 2006 Wpływ temperatury na koncentrację elektronów w krzemie typu n Zakres wysokich T. Wszystkie atomy domieszki donorowej zjonizowane ND+ ≈ ND. Ale ni >> ND n ≈ ni 28 Si ND = 1015 cm-3 Wszystkie atomy domieszki donorowej zjonizowane ND+ ≈ ND. n ≈ ND Zakres niskich T. Nie wszystkie atomy domieszki donorowej zjonizowane. Koncentracja atomów domieszek zjonizowanych ND+ maleje ze zmniejszaniem T. S.M.Sze, Kwok K.Ng, Physics of Semiconductor Devices, 3 ed, Wiley, 2006 14 Ruch termiczny nośników -1 Ruch termiczny nośników ładunku w półprzewodniku 29 krzem typu n rozkład energii elektronów i dziur Pseudopęd elektronu p jest związany bezpośrednio z wektorem falowym k: energia elektronu p = ħk potencjalna przy czym * p = m n ·v mn*v 2 2 kinetyczna Średnia energia kinetyczna ruchu termicznego elektronu gdzie Emnth = * mn - masa efektywna elektronu v – wektor prędkości elektronu ħ = h/2π h – stała Plancka = 6,62·10-34 J·s Ruch termiczny nośników -2 E = Ec + mn*v mnth 2 2 Emnth = 3 k BT 2 Średnia wartość prędkości ruchu termicznego elektronu: vmnth = 3k BT mn* (kB – stała Boltzmanna) (Si, 300 K – vthav = 200 km/s) Ruch termiczny nośników ładunku w półprzewodniku 30 krzem typu n rozkład energii elektronów i dziur Średnia energia kinetyczna ruchu termicznego elektronu Emnth = 3 k BT 2 Średnia wartość prędkości ruchu termicznego elektronu: vmnth = 3k BT mn* (kB – stała Boltzmanna) λmn = vmnthτ mn Obliczone wartości są średnie dla chaotycznego co do kierunku i wartości prędkości ruchu termicznego elektronów. Ustalają się one w wyniku rozpraszania E oraz v w licznych kolizjach elektronów z drganiami sieci krystalicznej (fononami), atomami domieszek, innymi elektronami, dziurami ... Analogicznie jest dla dziur! λmn – średnia droga swobodna elektronu między rozproszeniami (kolizjami) w sieci krystalicznej τmn – średni czas swobodnego przelotu elektronu między rozproszeniami (kolizjami) w sieci krystalicznej τ mn = λmn vmnth = λmn 3k BT mn* 15 Średnia droga swobodna Średnia droga swobodna nośników ładunku w półprzewodniku 31 L >> λmn λmn = vmnthτ mn W krzemie, przy T = 300 K λmn = 7 nm - średnia droga swobodna elektronu między rozproszeniami (kolizjami) w sieci krystalicznej wynosi około 7 nm. λmn – średnia droga swobodna elektronu między rozproszeniami (kolizjami) w sieci krystalicznej τmn – średni czas swobodnego przelotu elektronu między rozproszeniami (kolizjami) w sieci krystalicznej τ mn = λmn vmnth = Dla modelowania przyrządów półprzewodnikowych o długości ścieżki przepływu elektronów L dużo większych od λmn wygodnie jest rozpatrywać ruch elektronów wywołany przyłożeniem napięć na tle uśrednionego ruchu termicznego elektronów. W GaAs, przy T = 300 K λmn = 100 nm. W GaAs, przy T = 4,2 K, w temperaturze ciekłego helu, λmn > 1 µm. λmn 3k BT mn* L << λmn • Dla modelowania przyrządów półprzewodnikowych o długości L mniejszych od λmn nie możemy tak zrobić. • Kolizje elektronów w sieci są nieliczne na drodze L. Można je pomijać w analizie. • Taki transport elektronów nazywamy balistycznym. Możliwe mechanizmy transportu dziur i elektronów 32 Dyfuzja i unoszenie w polu elektrycznym L >> λmn Si, T = 300 K L >> 7 nm Dla modelowania przyrządów półprzewodnikowych o długości ścieżki przepływu elektronów L dużo większych od λmn wygodnie jest rozpatrywać ruch elektronów wywołany przyłożeniem napięć na tle uśrednionego ruchu termicznego elektronów. W krzemie, przy T = 300 K λmn = 7 nm - średnia droga swobodna elektronu między rozproszeniami (kolizjami) w sieci krystalicznej wynosi około 7 nm. źródło dren • W obecnie produkowanych przyrządach odległość dren – źródło jest tak duża, że elektrony doznają wielokrotnego rozpraszania. Ich energie i pędy relaksują. • Wprowadza się pojęcie średniej prędkości unoszenia w polu E na drodze między rozproszeniami. • Transport nośników opisywany jest przy pomocy pojęć: dyfuzji, i unoszenia w polu E z uśrednioną prędkością. mechanizmy transportu – drift-dif 16 mechanizmy transportu – ballistic - 1 Możliwe mechanizmy transportu dziur i elektronów L << λmn Transport balistyczny • Dla modelowania przyrządów półprzewodnikowych o długości L mniejszych od λmn nie możemy rozpatrywać ruchu elektronów wywołanego przyłożeniem napięć na tle uśrednionego ruchu termicznego elektronów. • Kolizje elektronów w sieci są nieliczne na drodze L. Można je pomijać w analizie. • Taki transport elektronów nazywamy balistycznym. 33 Si, T = 300 K L << 7 nm źródło dren • Elektrony nie doznają rozpraszania na drodze źródło - dren. Ich energie i pędy nie relaksują. • Ich energie całkowite nie zmieniają się. W GaAs, przy T = 300 K λmn = 100 nm, przy T = 4,2 K λmn > 1 µm. W krzemie, przy T = 300 K λmn = 7 nm mechanizmy transportu – ballistic - 2 • W polu E na drodze bariera-dren wzrasta pęd elektronu, a zatem jego energia kinetyczna. • Energia kinetyczna może być bardzo wysoka, więc czas przelotu – bardzo krótki. • Aby uniknąć rozpraszania odległość źródło-dren powinna być w GaAs < 20 nm, w krzemie < 5 nm. • Takie tranzystory mogłyby działać przy f > 1012 Hz (f > 1 THz) Możliwe mechanizmy transportu dziur i elektronów 34 Kiedy przyrząd jest tak krótki, że można pominąć rozpraszanie elektronów - transport balistyczny Si, T = 300 K L << 7 nm L << λmn • Kolizje elektronów w sieci są nieliczne na drodze L. Można je pomijać w analizie. • Taki transport elektronów nazywamy balistycznym. W GaAs, przy T = 300 K λmn = 100 nm, przy T = 4,2 K λmn > 1 µm. W krzemie, przy T = 300 K λmn = 7 nm źródło dren Transport elektronów opisujemy zgodnie z zasadami dynamiki Newtona, używając masy efektywnej mn*. Na elektron działa siła F wywołana przez zewnętrzne pole elektryczne E. F = − qE Elektron doznaje przyspieszenia a a=− qE mn* Czyli w stałym polu elektrycznym E. prędkość elektronu vn zmienia się od wartości vn0 jak v n (t ) = v n 0 − qE t mn* 17 32 nm CMOS - driftdiffusion Transport z rozpraszaniem elektronów czy balistyczny? 35 Charakterystyki statyczne tranzystorów z kanałami o długości 32 nm, CMOS - FUJITSU - 2007 FUJITSU - T.Miyashita et al. IEDM 2007 S10P03 nMOS pMOS We współczesnych przyrządach krzemowych elektrony doznają wielokrotnego rozpraszania. Si, T = 300 K Lch = 32 nm >> λmn = 7 nm Transport elektronów nie jest balistyczny. HEMT 2008 ft 600 GHz - overshoot Transport z rozpraszaniem elektronów czy balistyczny? 36 Tranzystor HEMT (high electron mobility transistor) o rekordowo wysokiej częstotliwości granicznej fT = 628 GHz (2008 r.) - z kanałem z InAs - oraz In0.52Al0.48As jako materiałem bramki o dużej szerokości przerwy energetycznej – w roli izolatora bramki Au – metal bramki Au – metal drenu pasywacja Bramka o długości LG = 30 - 50 nm. źródło In0.52Al0.48As jako izolator bramki kanał In0.53Ga0.47As/InAs/In0.53Ga0.47A s 2/5/3 nm - na podłożu InP Obraz przekroju z transmisyjnego mikroskopu elektronowego MIT - Kim, Alamo, IEEE Electron Dev. Lett, v.29, p830, 2008 18 HEMT 2008 ft 600 GHz – overshoot -2 Transport z rozpraszaniem elektronów czy balistyczny? 37 HEMT o rekordowo wysokim fT = 628 GHz (2008 r.) - z kanałem z InAs , oraz In0.52Al0.48As jako materiałem bramki, LG = 30 – 50 nm Au – metal bramki Au – metal drenu pasywacja Bramka o długości LG = 30 - 50 nm. źródło In0.52Al0.48As jako izolator bramki kanał In0.53Ga0.47As/InAs/In0.53Ga0.47A s 2/5/3 nm - na podłożu InP MIT - Kim, Alamo, IEEE Electron Dev. Lett, v.29, p830, 2008 • W półprzewodnikach III-V, w temperaturze pokojowej λmn > 100 nm. • Ale tylko dla niewielkich napięć dren – źródło. • Ocenia się, że dla realnie pracujących przyrządów transport balistyczny powinien dominować przy długości kanału Lg < 20 nm. • Jesteśmy blisko! HEMT 2008 ft 600 GHz – overshoot - 3 HEMT o rekordowo wysokim fT = 628 GHz (2008 r.) - z kanałem z InAs , oraz In0.52Al0.48As jako materiałem bramki, LG = 30 – 50 nm 38 fmax – graniczna częstotliwość przy której tranzystor może wzmacniać moc, to jest przy której Pwy / Pwe > 1 fT – graniczna częstotliwość przy której tranzystor może wzmacniać prąd, to jest przy której, dla składowej zmiennej Id / Ig > 1 MIT - Kim, Alamo, IEEE Electron Dev. Lett, v.29, p830, 2008 19 HF transistors fmax-fT Rekordowe częstotliwości fT i fmax tranzystorów oraz częstotliwości pracy układów fcircuit 39 (2015 r) fmax – graniczna częstotliwość przy której tranzystor może wzmacniać moc, to jest przy której, dla składowej zmiennej Pout / Pin > 1 fT – graniczna częstotliwość przy której tranzystor może wzmacniać prąd, to jest przy której, dla składowej zmiennej Id / Ig > 1 Półprzewodnik w polu elektrycznym 40 E – energia E – natężenie pola elektrycznego Ψ – potencjał elektryczny q – ładunek elementarny, q = -e ≈ 1,6·10-19 C = 1,6·10-19 A·s E = − q⋅Ψ dΨ 1 dE = ⋅ E =− dx q dx EC EC EV EV kierunek pola elektrycznego E kierunek pola elektrycznego E 20 pojecie ruchliwości Ruchliwość nośników ładunku elektrycznego w półprzewodniku 41 Kiedy przyrząd jest tak długi, że nie można pominąć rozpraszania elektronów L >> λmn • Elektrony (dziury) doznają wielokrotnego rozpraszania. Ich energie i pędy zmieniają się podlegając regułom statystycznym. • Na tle tego ruchu termicznego rozważa się ich średnie prędkości unoszenia vdrift w zewnętrznym polu elektrycznym E. λmn = vmnthτ mn λmn – średnia droga swobodna elektronu między rozproszeniami (kolizjami) w sieci krystalicznej τmn – średni czas swobodnego przelotu elektronu między rozproszeniami (kolizjami) w sieci krystalicznej τ mn = λmn vmnth = λmn 3k BT mn* ruch i rozpraszanie elektronu (średnio) bez zewnętrznego pola elektrycznego z zewnętrznym polem elektrycznym J.-P. Colinge, C.A. Colinge, "Physics of Semiconductor Devices", Springer 2002 pojecie ruchliwości Ruchliwość nośników ładunku elektrycznego w półprzewodniku 42 Kiedy przyrząd jest tak długi, że nie można pominąć rozpraszania elektronów L >> λmn • Elektrony (dziury) doznają wielokrotnego rozpraszania. Ich energie i pędy zmieniają się podlegając regułom statystycznym. • Na tle tego ruchu termicznego rozważa się ich średnie prędkości unoszenia vdrift w zewnętrznym polu elektrycznym E. λmn = vmnthτ mn • Dla niewielkich natężeń E średnia prędkość unoszenia elektronów vdriftn: v driftn = − μ nE λmn – średnia droga swobodna elektronu między rozproszeniami (kolizjami) w sieci krystalicznej τmn – średni czas swobodnego przelotu elektronu między rozproszeniami (kolizjami) w sieci krystalicznej τ mn = λmn vmnth = λmn 3k BT mn* • Dla niewielkich natężeń E średnia prędkość unoszenia dziur vdriftp: v driftp = μ pE • ponieważ ruchliwość określana jest przez rozpraszanie, jej wartość związana jest ze średnim czasem przelotu τmn i średnią drogą swobodną λmn: μn = qτ mn qλmn = * mn 3k BTmn* 21 ruchliwość domieszkowanie Ruchliwość nośników ładunku elektrycznego w półprzewodniku 43 W krzemie ruchliwości elektronów i dziur, µn oraz µp, wynikają głównie z rozpraszania na: • drganiach cieplnych sieci krystalicznej. • atomach domieszkek – na donorach i akceptorach. ruchliwość [cm2/(Vs)] Si, Ge, GaAs T = 300 K koncentracja domieszek (cm-3) J.-P. Colinge, C.A. Colinge, "Physics of Semiconductor Devices", Springer 2002 ruchliwość - T Zależność ruchliwości od temperatury 44 W krzemie ruchliwości elektronów i dziur, µn oraz µp, wynikają głównie z rozpraszania na: • atomach domieszek – na donorach i akceptorach. • drganiach cieplnych sieci krystalicznej ruchliwość [cm2/(Vs)] Si S.M.Sze, Kwok K.Ng, Physics of Semiconductor Devices, 3 ed, Wiley, 2006 temperatura (K) 22 Prąd unoszenia elektronów w polu elektrycznym 45 Wytwórzmy w próbce Si pole elektryczne o natężeniu Ex i zwrocie jak na rys. Elektrony są unoszone na prawo ze średnią prędkością vnx. W czasie Δt = Δx / vnx przez prawą ścianę elementu ΔxΔyΔz przepłyną wszystkie elektrony z tego elementu. Elektronowy prąd unoszenia możemy zapisać jako: ΔI n = − Gęstość prądu elektronowego Jnx obliczamy jako: J driftnx = ΔI n = − qnvnx ΔyΔz J driftnx = qnμ nEx czyli elektronowy i dziurowy prąd unoszenia ΔQ qnΔxΔyΔz =− = − qnvx ΔyΔz Δt Δt Prąd unoszenia w polu elektrycznym 46 Gdy koncentracje elektronów w próbce półprzewodnika są stałe: J driftnx = qnμ nEx J driftpx = qpμ pEx gdzie Jdriftnx i Jdriftpx są elektronową i dziurową składową gęstości prądu unoszenia Jdriftx w kierunku x. J driftx = qnμ nEx + qpμ pEx Konduktywność σ (przewodność właściwa, odwrotność rezystancji właściwej – rezystywności ρ) σ= 1 ρ = J drifx Ex = qnμ n + qpμ p Dla półprzewodnika typu n często nn ≈ N D >> pn ≈ ni2 nn 23 elektronowy prąd unoszenia Prąd unoszenia w polu elektrycznym 47 Dla półprzewodnika typu n często nn ≈ N D >> pn ≈ czyli ni2 nn J driftnx >> J driftpx J driftx ≈ J driftnx = qnμ nEx Konduktywność σ (przewodność właściwa, odwrotność rezystancji właściwej – rezystywności ρ) σ= dziurowy prąd unoszenia 1 ρ ≈ qnμ n Prąd unoszenia w polu elektrycznym 48 Dla półprzewodnika typu p często p p ≈ N A >> n p ≈ czyli ni2 pp J driftpx >> J driftnx J driftx ≈ J driftpx = qpμ pEx Konduktywność σ (przewodność właściwa, odwrotność rezystancji właściwej – rezystywności ρ) σ= 1 ρ ≈ qpμ p 24 rezystywność półprzewodnika Rezystywność półprzewodnika 49 Dla ND, NA >> ni: Si 300 K ρp ≈ rezystywność [Ωcm-3] 1 ρn ≈ qnn μ n 1 qp p μ p koncentracja domieszek (cm-3) S.M.Sze, Kwok K.Ng, Physics of Semiconductor Devices, 3 ed, Wiley, 2006 vdrift vs. E Prędkość unoszenia nośników w zależności od natężenia pola elektrycznego 50 Dla niewielkich natężeń pola elektrycznego E prędkość unoszenia nośników [cm/s] S.M.Sze, Kwok K.Ng, Physics of Semiconductor Devices, 3 ed, Wiley, 2006 v driftn = − μ nE natężenie pola elektrycznego E [V/cm] v driftp = μ pE Dla dużych natężeń pola elektrycznego E, w krzemie E > 104 V/cm vdriftn = vsatn vdriftp = vsatp 25 Jonizacja zderzeniowa – mechanizm przebicia lawinowego impact ionization-1 51 Przy bardzo dużych natężeniach pola elektrycznego E, w krzemie rzędu 106 V/cm, mimo rozpraszania niektóre nośniki zyskują na tyle duże energie, że dochodzi do jonizacji zderzeniowej współczynnik jonizacji zderzeniowej [cm--1] - elektron z pasma przewodnictwa przekazuje elektronowi walencyjnemu energię wystarczającą by go wprowadzić do pasma przewodnictwa; generowana jest dodatkowa para elektron-dziura; - proces ten może zachodzić lawinowo – przebicie lawinowe. S.M.Sze, Kwok K.Ng, Physics of Semiconductor Devices, 3 ed, Wiley, 2006 impact ionization-2 Jonizacja zderzeniowa – mechanizm przebicia lawinowego S.M.Sze, Kwok K.Ng, Physics of Semiconductor Devices, 3 ed, Wiley, 2006 52 - Współczynnik jonizacji zderzeniowej mniejszy dla większych szerokości przerwy energetycznej Eg ; współczynnik jonizacji zderzeniowej [cm--1] współczynnik jonizacji zderzeniowej [cm--1] współczynnik jonizacji zderzeniowej [cm--1] - Współczynnik jonizacji zderzeniowej maleje ze wzrostem T. Si 26 Dyfuzja dziur i elektronów - 1 Prądy dyfuzji dziur i elektronów 53 Kiedy przyrząd jest tak długi, że nie można pominąć rozpraszania elektronów L >> λmn • Załóżmy, że w próbce wpółprzewodnika, np. Si, występuje nierównomierny rozkład koncentracji elektronów lub dziur. • W takiej sytuacji konsekwencją skończonej gęstości stanów funkcji energii nośników są strumienie dyfuzji elektronów lub dziur, czyli prądy dyfuzyjne – „próbujące wyrównać koncentracje”. • Koncentracje elektronów lub dziur, ustalają się w wielu cyklach przepływu i rozpraszania. • Prądy dyfuzyjne płyną nawet jeżeli natężenie pola elektrycznego E jest zerowe. Dyfuzja dziur i elektronów - 2 Prądy dyfuzji dziur i elektronów 54 • Załóżmy, że w próbce wpółprzewodnika, np. Si, występuje nierównomierny rozkład koncentracji elektronów lub dziur. • W takiej sytuacji konsekwencją skończonej gęstości stanów funkcji energii nośników są strumienie dyfuzji elektronów lub dziur, czyli prądy dyfuzyjne – „próbujące wyrównać koncentracje”. • Koncentracje elektronów lub dziur, ustalają się w wielu cyklach przepływu i rozpraszania. • Prądy dyfuzyjne płyną nawet jeżeli natężenie pola elektrycznego E jest zerowe. J difnx = qDn dn dx J difpx = − qD p dp dx gdzie stałe dyfuzji Dn oraz Dp określają zależności Einsteina: Dn = μ n k BT q Dp = μ p k BT q 27 prad przewodzenia Gęstość prądu przewodzenia J w półprzewodniku 55 Gęstość składowej elektronowej prądu przewodzenia Jn jest sumą składowej unoszenia w polu elektrycznym E oraz składowej dyfuzyjnej: J nx = J driftnx + J difnx dn dx J nx = qnμ nEx + qDn Gęstość składowej dziurowej prądu przewodzenia Jp J px = J driftpx + J difpx J px = qpμ pEx − qD p dp dx Gęstość prądu przewodzenia J w półprzewodniku: J x = J nx + J px Natężenie pola elektrycznego w niejednorodnie domieszkowanym półprzewodniku 56 • Załóżmy, że próbka półprzewodnika, np. Si, jest nierównomiernie domieszkowana donorami lub akceptorami. • Niech próbka znajduje się w stanie równowagi termodynamicznej, czyli: 2 i pn = n J nx = 0 0 = qnμ nEx + qDn czyli Ew niejednorodnym polprzewodniku -1 dn dx Równanie to oznacza, że w stanie równowagi termodynamicznej składowe unoszenia i dyfuzyjna są równe co do wartości, ale mają przeciwne znaki – wypadkowo znoszą się. Przy uwzględnieniu zależności Einsteina na stałą dyfuzji Dn : Dn = μ n k BT q Natężenie pola elektrycznego Ex w niejednorodnym półprzewodniku w stanie równowagi wynosi: k T 1 dn( x) k T 1 dp ( x) Ex = − B q ⋅ n( x) dx W półprzewodniku typu n, gdy n ≈ ND >> ni : Ex = − 1 dN D ( x) k BT ⋅ q N D ( x) dx Ex = B q ⋅ p ( x) dx W półprzewodniku typu p, gdy p ≈ NA >> ni : Ex = 1 dN A ( x) k BT ⋅ q N A ( x) dx 28 generacja rekombinacja - 1 Generacja i rekombinacja elektronów i dziur 57 • W półprzewodnikach zachodzą procesy generacji i rekombinacji par elektron-dziura; • samorzutnie – pod wpływem drań termicznych sieci krystalicznej, • lub wymuszone, np. przez oświetlenie. Modele generacji i rekombinacji pośredniej w Si, Ge, SiC ... bezpośredniej w GaAs, GaN ... Niech generacja i rekombinacja par elektron-dziura zachodzi równomiernie i niech przez półprzewodnik nie płynie prąd. generacja rekombinacja - 2 Generacja i rekombinacja elektronów i dziur 58 Niech generacja i rekombinacja par elektron-dziura zachodzi równomiernie i niech przez półprzewodnik nie płynie prąd. n − n0 ∂n = Gn − U n = G − ∂t τ generacja spowodowana czynnikiem zewnętrznym p − p0 ∂p = Gp −U p = G − ∂t τ zanik koncentracji nadmiarowej w warunkach równowagi n0 , p0 - koncentracje równowagowe elektronów i dziur. Gn , Gp - szybkości generacji elektronów i dziur. Un , Up - szybkości rekombinacji elektronów i dziur. G - szybkość generacji (lub rekombinacji jeśli ujemna) spowodowana czynnikiem zewnętrznym. τn = τp = τ - czas życia nośników nadmiarowych. 29 generacja rekombinacja - 3 Generacja i rekombinacja elektronów i dziur - przykład 59 Próbkę krzemu typu n oświetlono równomiernie światłem o energii kwantu promieniowania większej od Eg. W chwili t = 0 oświetlenie wyłączono. Jak zmienia się w czasie koncentracja dziur pn? p − pn 0 ∂p =G− n τ ∂t G(t<0) > 0 G(t≥ 0) = 0 pn0 ≈ ni2/ND - koncentracja równowagowa dziur. τn = τp = τ - czas życia nośników nadmiarowych. G - szybkość generacji spowodowana oświetleniem. p n − pn 0 pn 0 Rozwiązanie dla dwóch różnych wartości czasów życia nośników nadmiarowych τ = τp1 oraz τ = τp2 = 10τp1 ciaglosc ladunku Prawo ciągłości ładunku 60 Zaniedbajmy generację i rekombinację. Do elementu ΔxΔyΔz wpływa prąd elektronowy Inx = Jnx ΔxΔyΔz a wypływa z niego Inx + ΔInx = (Jnx + ΔJnx)ΔxΔyΔz Różnica ΔInx ładuje element ΔxΔyΔz: ΔQ = −ΔI n ⋅ Δt ΔQ = − q∂nΔxΔyΔz − ΔI n ⋅ ∂t = −ΔJ n ⋅ ΔyΔz ⋅ ∂t ∂n 1 ∂J n = ∂t q ∂x Po uwzględnieniu dodatkowo szybkości generacji Gn i rekombinacji Un otrzymujemy prawo ciągłości ładunku elektronów: 1 ∂J n ∂n = Gn − U n + ∂t q ∂x Podobnie - prawo ciągłości ładunku dziur: ∂p 1 ∂J p = Gp −U p − ∂t q ∂x 30 podstawowe rownania Podstawowe równania dla analizy działania przyrządów ∂ Ψ q (n − p + N − N = ∂x 2 εε 0 − A 2 Równanie Poissona – na rozkład potencjału Ψ : Równanie ciągłości ładunku elektronów: Równanie ciągłości ładunku dziur: 1 ∂J n ∂n = Gn − U n + ∂t q ∂x ∂p 1 ∂J p = Gp −U p − ∂t q ∂x Równanie na gęstość prądu przewodzenia elektronów: J nx = qnμ nEx + qDn dn dx Równanie na gęstość prądu przewodzenia dziur: J px = qpμ pEx − qD p dp dx Równanie na całkowitą gęstość prądu przewodzenia: J x = J nx + J px + D ) 61 UWAGA: Można stosować tylko gdy długość ścieżki przepływu nośników ładunku elektrycznego jest dużo większa niż średnia droga swobodna nośników pomiędzy rozproszeniami. L >> λmn Ten układ równań z odpowiednimi warunkami brzegowymi i początkowymi jest rozwiązywany przez cyfrowe symulatory przyrządów elektronicznych. Rozwiązania analityczne wymagają uproszczeń. 62 Dziękuję za uwagę! 31
