Liczby Ramseya

Liczby
Ramseya
Klaudia Sandach
2
Plan prezentacji:
1.
2.
3.
Teoria Ramseya
Wartości liczb Ramseya
O czym mówi teoria
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
3
Teoria Ramseya
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
4
Frank Ramsey (1903 -1930)
Wniósł trwały wkład do logiki, matematyki i ekonomii
oraz do filozofii tych dyscyplin nauki. Nurtującymi go
kwestiami w ekonomii był problem optymalnego
systemu podatkowego (Problem Ramseya) oraz kwestia optymalnego
wydawania i oszczędzania przez konsumentów (Model Ramseya). Na
początku roku 1930 Ramsey udowodnił twierdzenie z teorii grafów,
nazywane dziś twierdzeniem Ramseya i opracował teorię Ramseya
dotyczącą podobnych zagadnień. Zdecydowanie sprzeciwiał się
formalizmowi Hilberta w matematyce, był też przekonany, że
matematyka daje się sprowadzić do logiki. Zmarł po operacji w wieku
niecałych 27 lat. Jego przedwczesna śmierć jest uważana za jedną z
największych strat dwudziestowiecznej filozofii.
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
5
Twierdzenie Ramseya (dwukolorowe)
Niech c będzie dodatnią liczbą całkowitą i niech k
będzie dodatnią liczbą całkowitą mniejszą od c.
Wówczas istnieje dodatnia liczba całkowita R taka, że
jeżeli wszystkie k-elementowe podzbiory zbioru {1,…, R}
zostaną pokolorowane na czerwono lub zielono, to
będzie istniał c-elementowy podzbiór zbioru {1,…, R},
którego wszystkie k-elementowe podzbiory będą tego
samego koloru.
Taka najmniejsza możliwa liczba R nazywa się
„liczbą Ramseya”.
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
6
Przypadek k=1

Jeżeli każdy jednoelementowy podzbiór zbioru
{1,2,…,7} zostanie pokolorowany na czerwono lub
zielono, to niezależnie od kolorowania będzie
istniał czteroelementowy podzbiór zbioru
{1,2,…,7}, którego wszystkie jednoelementowe
podzbiory będą miały ten sam kolor.

Tu: c=4, R=7
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
7
Przypadek k=1

Ten przypadek jest prostym uogólnieniem zasady
szufladkowej.

Np.: jeżeli umieścimy liczby ze zbioru {1,2,…,7} w
dwóch szufladkach (czerwonej i zielonej), to jedna
z tych szufladek musi zawierać co najmniej cztery
liczby.
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
8
Przypadek k=2

Jeżeli każdy dwuelementowy podzbiór zbioru
{1,2,…,18} zostanie pokolorowany na czerwono lub
zielono, to niezależnie od kolorowania będzie
istniał czteroelementowy podzbiór zbioru
{1,2,…,18}, którego wszystkie dwuelementowe
podzbiory będą miały ten sam kolor.

Tu: c=4, R=18
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
9
Przypadek k=2

Ten przypadek dotyczy kolorowania
dwuelementowych podzbiorów i może być
interpretowany jako kolorowanie krawędzi grafu.
Dlatego przy k=2 twierdzenie Ramseya można
traktować jako kombinatoryczny aspekt teorii
grafów.
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
10
Przykład
Wśród dowolnych sześciu osób zawsze znajdziemy:

Albo trzy osoby, które znają się wzajemnie (każda z
każdą)

Albo trzy osoby, które nie znają się wcale (żadna z
żadną)
Innymi słowy kolorując krawędzie grafu K6 na
czerwono lub zielono, zawsze otrzymamy podgraf K3
o wszystkich krawędziach tego samego koloru.
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
11
Dowód

Każda osoba to inny wierzchołek grafu

Każdą parę osób (wierzchołków) łączymy
krawędzią

Otrzymujemy graf pełny K6

Każdej krawędzi nadajemy kolor zielony (osoby
znają się) lub czerwony (osoby nie znają się)

Ustalamy dowolny wierzchołek v

Z v wychodzi pięć krawędzi, więc co najmniej trzy
są w tym samym kolorze (np. zielonym)
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
12
Dowód

Oznaczmy wierzchołki na drugich końcach tych
krawędzi jako w, x, y

vw, vx i vy są zielone:
o
Jeśli wx, xy lub yw będą zielone, to pojawi się
zielony trójkąt vwx, vxy lub vwy
o
Jeśli wx, xy i yw będą czerwone, to otrzymamy
czerwony trójkąt wxy
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
13
Rozważmy mniejszy graf
Gdybyśmy zamiast grafu K6 rozważyli K5, to bardzo
łatwo pokazać, że można pokolorować jego krawędzie
na czerwono lub zielono, nie otrzymując
jednokolorowego podgrafu K3.
Zatem n=6 jest najmniejszą liczbą taką, że jeżeli
krawędzie grafu Kn pokolorowane są na zielono lub
czerwono, to istnieje podgraf K3 czerwony lub zielony.
Uogólnijmy ten fakt na większe liczby.
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
14
Twierdzenie:
Niech 𝑟, 𝑔 ≥ 2 będą liczbami całkowitymi i niech 𝑛 =
𝑟+𝑔−2
𝑟−1
. Wówczas, jeżeli krawędzie grafu Kn są
pokolorowane na czerwono lub zielono, to istnieje
czerwony podgraf Kr albo zielony podgraf Kg.
Korzystając z twierdzenia można zdefiniować liczbę
Ramseya R(r,g) jako najmniejszą liczbę całkowitą n
mającą wyżej opisaną własność. Nazwy kolorów są
bez znaczenia, więc R(r,g) = R(g,r).
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
15
Oszacowanie dla liczb Ramseya
Twierdzenie:
Dla 𝑟, 𝑔 ≥ 2 liczba Ramseya 𝑅 𝑟, 𝑔 spełnia nierówności
𝑟 − 1 𝑔 − 1 + 1 ≤ 𝑅(𝑟, 𝑔) ≤
𝑟+𝑔−2
𝑟−1
Nierówność z prawej strony wynika z poprzedniego
twierdzenia. Na podstawie definicji 𝑅(𝑟, 𝑔) jest
najmniejszą liczbą całkowitą n o przedstawionej
własności kolorowania i na mocy twierdzenia
𝑛=
𝑟+𝑔−2
𝑟−1
ma tę własność.
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
16
Twierdzenie Ramseya (2)*
Dla każdej liczby naturalnej k istnieje taka liczba
naturalna n, że wśród dowolnych n osób zawsze
znajdziemy:

Albo k osób, które znają się wzajemnie (każda z każdą)

Albo k osób, które nie znają się wcale (żadna z żadną)
Najmniejsze takie n, którego istnienie gwarantuje
powyższe twierdzenie, oznaczamy przez R(k) i nazywamy
k-tą liczbą Ramseya.
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
17
Wartości liczb Ramseya
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
18
źródło: "Optymalizacja dyskretna, modele i metody kolorowania grafów." pod redakcją Marka Kubale, WNT 2002.
19
R(5,5)

Wiadomo tylko, że 43 ≤ 𝑅 5,5 ≤ 49.

Graf K43 ma
43
2
= 903 krawędzie. Analizując ich
wszystkie możliwe dwukolorowania, należy rozpatrzeć
2903 przepadków. Przekracza to możliwości
najszybszych komputerów.

Dla kolejnych liczb Ramseya obliczenie ich wartości jest
jeszcze trudniejsze.

Nie istnieje dla nich także żaden jawny wzór.

Prawdopodobnie nigdy nie dowiemy się ile wynosi 6 i 7
liczba Ramseya.
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
20
Co wynika z teorii Ramseya?
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
21
Wnioski

Jeżeli pokolorujemy elementy pewnego,
dostatecznie dużego zbioru, to musi zajść w
ramach tego kolorowania pewna prawidłowość.

Niemożliwy jest nieskończony nieporządek.

Nieuchronność pojawienia się pewnych
regularności w dużych strukturach.

Dla każdego małego obiektu matematycznego
możemy zawsze znaleźć odpowiednio dużą
strukturę, w której obiekt ten musi się pojawić.
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
22
Twierdzenie typu ramseyowskiego
Niech 𝑟, 𝑔 ≥ 2 będą liczbami całkowitymi i załóżmy,
że dane jest konkretne drzewo T na 𝑔 wierzchołkach.
Wówczas, jeżeli każda krawędź grafu pełnego
K(r-1)(g-1)+1 jest pokolorowana na czerwono lub
zielono, to istnieje graf pełny Kr o barwie czerwonej
lub drzewo T o barwie zielonej. Ponadto (r-1)(g-1)+1
jest najmniejszą liczbą o tej własności.
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
23
Przykład
Pokazać, że jeżeli każda z liczb {1,2,3,4,5} jest
pokolorowana na czerwono lub zielono, to będą
istniały liczby 𝑥, 𝑦, 𝑧 (niekoniecznie różne) o tej samej
barwie takie, że 𝑥 + 𝑦 = 𝑧.
Rozwiązanie:
…
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
24
Twierdzenie Ramseya, a wielokąty
wypukłe

Zbiór na płaszczyźnie jest wypukły, jeżeli odcinek
łączący dowolne dwa punkty należące do zbioru
również do niego należy.

Wypukła otoczka (dla dowolnego określonego
zbioru na płaszczyźnie) jest to najmniejszy zbiór
wypukły zawierający zadany zbiór.
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
25
Własności
1.
Pokazać, że jeżeli wyznaczymy na płaszczyźnie
pięć punktów, z których żadne trzy nie leża na
jednej prostej, to cztery spośród tych punktów
utworzą wierzchołki wypukłego czworokąta.
2.
Pokazać, że jeżeli 𝑟(≥ 4) punktów na płaszczyźnie
nie tworzy wierzchołków wypukłego wielokąta, to
pewne cztery punkty spośród nich nie utworzą
wierzchołków wypukłego czworokąta.
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
26
Twierdzenie typu ramseyowskiego (2)
Niech r będzie dodatnią liczbą całkowitą. Wówczas
istnieje liczba całkowita R taka, że dowolnych R
punktów na płaszczyźnie, z których żadne trzy nie
leżą na prostej, musi zawierać r punktów, które
tworzą wierzchołki wypukłego wielokąta.
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
27
Stanisław Radziszowski
Jest autorytetem w dziedzinie liczb Ramseya, jego artykuł „Small
Ramsey Numbers” publikowany w Electronic Journal of Combinatorics
jest podstawowym tekstem tej teorii. W 1995 r. wraz z Brendanem
McKay wyznaczył liczbę R(4,5), co jest uważane za jego najbardziej
spektakularny sukces.
Profesor Radziszowski urodził się w Gdańsku 7 czerwca 1953 r, tytuł
doktora uzyskał na Uniwersytecie Warszawskim. Od 1985 roku jest
profesorem informatyki na Politechnice w Rochester (stan Nowy Jork).
Pracował również w Universidad Nacional Autónoma de México.
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
28
Bibliografia

Aspekty kombinatoryki, Victor Bryant

Największa liczba na świecie, Tomasz Bartnicki

http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_Ramseya

http://pl.wikipedia.org/wiki/Stanis%C5%82aw_Radzisz
owski
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya
29
Dziękuję za uwagę.
Klaudia Sandach, Liczby Ramseya