Mikroekonomia. Wykład dla doktorantów

Tomasz Żylicz
Uniwersytet Warszawski
Mikroekonomia. Wykład dla doktorantów
2009/2010
1.
Teoria konsumenta
(D.1) Relacja preferencji, ’, określona na zbiorze X alternatyw konsumpcyjnych (wariantów
wyboru)
(D.2) Postulat: Relacja ’ jest racjonalna, jeśli
1. " x,yœX [x’y . y’x] (zupełność); oraz
2. " x,y,zœX [(x’y - y’z) fl x’z] (przechodniość).
(D.3) Relacja ścisłej preferencji, :
xy ñ (x’y - y–x)
(D.4) Relacja indyferencji, ~:
x~y ñ (x’y - y’x)
(T.1) Własności preferencji: Jeśli ’ jest racjonalna, to:
1. " xœX [x’x] (zwrotność ’)
2. " xœX [x”x] (przeciwzwrotność )
3. " x,y,zœX [(xy - yz) fl xz] (przechodniość )
4. " xœX [x~x] (zwrotność ~)
5. " x,y,zœX [(x~y - y~z) fl x~z] (przechodniość ~)
6. " x,yœX [x~y fl y~x] (symetria ~)
(na podstawie 4–6 ~ jest relacją równoważności na X)
7. " x,y,zœX [(xy - y’z) fl xz]
(D.5) Funkcja użyteczności, u:XØÑ, reprezentująca relację ’:
" x,yœX [x’y ñ u(x)¥u(y)]
(T.2) Jeśli istnieje funkcja użyteczności reprezentująca relację ’, to ’ jest racjonalna
(T.3) Jeśli u jest funkcją użyteczności reprezentującą relację ’, zaś f jest funkcją ściśle rosnącą,
to f(u) jest również funkcją użyteczności reprezentującą relację ’.
(D.6) Mechanizm wyboru (µ,C(.)):
1. µ jest rodziną niepustych podzbiorów X (tj. Bœµ fl «∫BÕX)
2. Funkcja C:µØµ (reguła wyboru) spełnia warunek C(B)ÕB
(D.7) Słaby aksjomat ujawnionych preferencji:
" Bœµ " x,yœB [xœC(B) fl " B'œµ [(xœB'-yœC(B')) fl xœC(B')]]
(D.8) Walrasowski (konkurencyjny) zbiór budżetowy, Bp,w:
Bp,w = {xœÑ+L: pTÿx  w} ({xœÑ+L: pTÿx = w} hiperpłaszczyzna budżetowa)
(T.4) " pτL " w>0 " a>0 [Bp,w = Bap,aw]
(D.9) Popyt walrasowski, x(p,w):
Dowolny x(p,w)ÕBp,w, gdzie pœ:Ñ+L, wœÑ+
(D.10) Popyt walrasowski jest jednorodny stopnia 0, jeśli:
" pτL " w>0 " a>0 [x(ap,aw) = x(p,w)]
(D.11) Popyt walrasowski spełnia prawo Walrasa, jeśli:
" pœÑ+L " w>0 [xœx(p,w) fl pTÿx=w]
(D.12) µW = {Bp,w: pœÑL - w>0}
(T.5) Jeśli popyt walrasowski jest jednorodny stopnia 0, to (µW,x), gdzie x(Bp,w)=x(p,w),
stanowi mechanizm wyboru
(D.13) Walrasowska funkcja popytu, x(p,w)œBp,w
(D.14) Efekt dochodowy
(∂x1(p,w)/∂w, ..., ∂xL(p,w)/∂w)T = Dwx(p,w) œ ÑL
(D.15) Efekt cenowy
┌ ∂x1(p,w)/∂p1
│
.
│
.
│
.
└ ∂xL(p,w)/∂p1
...
...
∂x1(p,w)/∂pL
.
.
.
∂xL(p,w)/∂pL
┐
│
│ = Dpx(p,w) œ ÑLÿL
│
┘
(T.6) Jeśli walrasowska funkcja popytu jest jednorodna stopnia 0, to
" pœÑ+L " w>0 [Dpx(p,w)ÿp + Dwx(p,w)w = 0]
(D.16) Elastyczności cenowe i dochodowe, elk(p,w), elw(p,w):
elk(p,w) = ∂xl(p,w)/∂pk : xl(p,w)/pk
elw(p,w) = ∂xl(p,w)/∂w : xl(p,w)/w
(T.7) Jeśli walrasowska funkcja popytu jest jednorodna stopnia 0, to
" l=1,...,L [el1(p,w)+...+elL(p,w)+elw(p,w) = 0]
(T.8) Jeśli walrasowska funkcja popytu spełnia prawo Walrasa, to
1. " pœÑ+L " w>0 [pTÿDpx(p,w)+x(p,w)T = 0T]
2. " pœÑ+L " w>0 [pTÿDwx(p,w) = 1]
(T.9) Jeśli spełniony jest słaby aksjomat ujawnionych preferencji dla (µW,x), zaś x jest
walrasowską funkcją popytu, to
" p,p'œÑ+L " w,w'>0 [(pTÿx(p',w')w - x(p',w')∫x(p,w)) fl p'Tÿx(p,w)>w']
(D.17) Zmiana cen z p na p' jest skompensowana, jeśli towarzyszy jej zmiana dochodu z w na w'
taka, że w'=p'Tÿx(p,w)
(T.10) Jeśli walrasowska funkcja popytu jest jednorodna stopnia 0, spełnia prawo Walrasa oraz
spełniony jest słaby aksjomat ujawnionych preferencji, to
" p,p'œÑ+L " w,w'>0 [w'=p'Tÿx(p,w) fl (p'–p)Tÿ(x(p',w')–x(p,w))0];
przy czym nierówność jest ostra, jeśli x(p,w)∫x(p',w')
Dow. Jeśli x(p',w')=x(p,w), to teza jest oczywista, ponieważ (p'–p)Tÿ0=0. Załóżmy więc, że
x(p',w')∫x(p,w). Wtedy lewa strona badanej nierówności wynosi
L = p'T(x(p',w')–x(p,w)) – pT(x(p',w')–x(p,w)).
Ze skompensowania wynika, że w'=p'Tÿx(p,w) (jak również –– z prawa Walrasa (D.11) ––
w'=p'Tÿx(p',w')). Tak więc pierwszy składnik L, L1=p'T(x(p',w')–x(p,w)) = p'Tÿx(p',w') –
p'Tÿx(p,w)) = w'–w' = 0. Pozostaje do obliczenia drugi składnik L, czyli L2=pT(x(p',w')–
x(p,w)).
Skoro p'Tÿx(p,w) = w', to znaczy, że x(p,w) może być zakupiony przy cenach p' i
dochodzie w'. Ze słabego aksjomatu ujawnionych preferencji (a ściślej z wynikającego
zeń T.9) wnioskujemy, że pTÿx(p',w')>w, tzn. x(p',w) nie może być zakupiony przy cenach
p i dochodzie w. A ponieważ –– ponownie z prawa Walrasa –– pTÿx(p,w)=w, to L2
stanowi różnicę liczby pTÿx(p',w')>w oraz pTÿx(p,w)=w. Jest więc liczbą dodatnią.
Ostatecznie więc, jeśli L1=0 oraz L2>0, to L<0, czego należało dowieść.
(T.11) Przy założeniach T.10 funkcja popytu ma współrzędne nierosnące względem
odpowiadających im cen, o ile zmiany cen są skompensowane ("prawo popytu")
(T.12) Przy założeniach T.10 (zakładając, że –– zamiast w'–w=(p'–p)Tÿx(p,w) ––
dw=x(p,w)Tÿdp), jeśli funkcja popytu jest różniczkowalna, to
dpTÿ(Dpx(p,w)+Dwx(p,w)ÿx(p,w)T)ÿdp  0 (ujemna półokreśloność)
(D.18) Macierz Słuckiego (macierz substytucji), S(p,w):
S(p,w) = Dpx(p,w)+Dwx(p,w)ÿx(p,w)T; Slk(p,w)=∂xl(p,w)/∂pk+(∂xl(p,w)/∂w)ÿxk(p,w)
(T.13) " pœÑ+L " w>0 " l=1,...,L [Sll(p,w)0] (przy założeniach T.10)
(T.14) Przy założeniach T.10:
" pœÑ+L " w>0 " l=1,...,L [∂xl(p,w)/∂pl>0 fl ∂xl(p,w)/∂w<0] (dobro Giffena musi być
poślednie (inferior))
(D.19) Monotoniczność preferencji
" x,yœÑ+L [xày fl xy]
(D.20) Silna monotoniczność preferencji
" x,yœÑ+L [(x¥y - x∫y) fl xy]
(D.21) Lokalne nienasycenie preferencji
" xœÑ+L " e>0 $ yœÑ+L [7y–x7<e - yx]
(D.22) Wypukłość preferencji
" x,y,zœÑ+L " aœ[0,1] [(y’x - z’x) fl ay+(1–a)z’x]
(zbiory {yœÑ+L: y’x} są wypukłe)
(D.23) Ściśle wypukłe preferencje
" x,y,zœÑ+L " aœ(0,1) [(y’x - z’x - y∫z) fl ay+(1–a)zx]
(D.24) Homotetyczne preferencje
" x,yœÑ+L " a¥0 [x~y fl ax~ay]
(D.25) Quasi–liniowe preferencje
1. " x,yœÑµÑ+L-1 " a>0 [x~y fl x+(a,0,...0)~y+(a,0,...0)]
2. " xœÑµÑ+L-1 " a>0 [x+(a,0,...0)x]
(D.26) Leksykograficzne preferencje (dla L=2)
" x,yœÑ+2 [x’y ñ (x1>y1 . (x1=y1 - x2¥y2))]
(D.27) Ciągłe preferencje
" n=1,2,... " xn,ynœÑ+L [(xn’yn - x=limnضxn - y=limnضyn) fl x’y]
(T.15) Preferencje leksykograficzne nie są ciągłe
Dow. Weźmy przykład xn = (2/n,0) oraz yn = (1/n,1) –– ciągu par uporządkowanych
leksykograficznie. Dla każdej n=1,2,... ma zatem miejsce relacja xn ’ yn. Oczywiście
xnØ(0,0) oraz ynØ(0,1). Tymczasem (0,1) ’ (0,0), a więc w granicy relacja preferencji
ulega odwróceniu.
(T.16) Nie istnieje funkcja użyteczności reprezentująca preferencje leksykograficzne
(T.17) Jeśli relacja ’ jest racjonalna i ciągła, to istnieje reprezentująca ją ciągła funkcja
użyteczności
(D.28) Zadanie maksymalizacji użyteczności (UMP)
Maxx{u(x): xœÑ+L - pTÿxw}
(T.18) Jeśli pà0, zaś u jest ciągła, to UMP ma rozwiązanie
(T.19) Jeśli u jest ciągłą funkcją użyteczności reprezentującą racjonalne preferencje ’, lokalnie
nienasycone, na zbiorze X=Ñ+L, to popyt walrasowski x(p,w) ma następujące własności:
1. " pœÑ+L " w>0 " a>0 [x(ap,aw) = x(p,w)] (jednorodność stopnia 0)
2. " p,xœÑ+L " w>0 [xœx(p,w) fl pTÿx=w] (prawo Walrasa)
3. jeśli ’ jest wypukła (a więc u jest quasi–wklęsła), to x(p,w) jest zbiorem wypukłym
4. jeśli ’ jest ściśle wypukła (a więc u jest ściśle quasi–wklęsła), to x(p,w) jest zbiorem
jednopunktowym
(T.20) Warunki Kuhna–Tuckera
Jeśli u jest różniczkowalna a jej pochodna jest ciągła, to każde rozwiązanie x*œx(p,w)
UMP spełnia następujący warunek:
$ l¥0 " l=1,...,L [∂u(x*)/∂xllpl - (x*l>0 fl ∂u(x*)/∂xl=lpl)]
(Dxu(x*)lp - (x*à0 fl Dxu(x*)=lp))
(D.29) Rozwiązanie wewnętrzne: 0x*œx(p,w)
(T.21) Przy założeniach T.20 rozwiązanie wewnętrzne musi spełniać następujące warunki:
" l,k=1,...,L [∂u(x*)/∂xl : ∂u(x*)/∂xk = pl : pk]
(D.30) Krańcowa stopa substytucji, MRSlk
MRSlk = ∂u(x*)/∂xl : ∂u(x*)/∂xk
(D.31) Elementy zbioru X mogą być interpretowane jako loterie L=(p1,...,pN), gdzie p1+...+pN=1
L – zbiór takich loterii; wyniki –– ponumerowane 1,...,N –– są ustalone
(T.22) Wypukła kombinacja loterii jest również loterią (z prawdopodobieństwami będącymi
wypukłymi kombinacjami prawdopodobieństw wyjściowych loterii)
(T.23) Preferencje ’ są ciągłe na L, jeśli dla każdych L,L',L"œL następujące zbiory są
domknięte:
{aœ[0,1]: aL+(1–a)L'’L"} oraz {aœ[0,1]: L"’aL+(1–a)L'}
(D.32) Preferencje ’ spełniają aksjomat niezależności na L, jeśli dla każdych L,L',L"œL
i każdej aœ(0,1) zachodzi: L’L' wtedy i tylko wtedy, gdy aL+(1–a)L"’aL'+(1–a)L"
(D.33) Funkcja von Neumanna–Morgensterna (vNM) oczekiwanej użyteczności, U:
U:LØÑ mająca "formę oczekiwanej użyteczności", tj.
$ u1,...,uNœÑ " L=(p1,...,pN)œL [U(L) = u1p1+...+uNpN]
(D.34) Użyteczności Bernoulliego
Liczby un z D.33 mogą być interpretowane jako użyteczności "zdegenerowanych loterii"
L1=(1,0,...,0),...,LN=(0,...,0,1)
(T.24) Funkcja użyteczności U:LØÑ ma formę oczekiwanej użyteczności wtedy i tylko wtedy,
gdy
" K=1,2,... "L1,L2,...,LKœL " a1,...,aK>0 [a1+...+aK=1 fl
U(a1L1+...+aKLK) = a1U(L1)+...+aKU(LK)]
Dow. ›
Niech L=(p1,...,pN). Zdefiniujemy zdegenerowane loterie L1,...,LN, tj. takie że
Li=(0,...,0,1,0,...,0); na i–tym miejscu prawdopodobieństwo jest jednostkowe. Wtedy
L=p1L1+...+pNLN oraz U(L) = U(p1L1+...+pNLN) = p1U(L1)+...+pNU(LN) =
= p1u1+...+pNuN, gdzie przedostatnia równość zachodzi na mocy założenia.
Dow. fl
Rozpatrzmy loterię złożoną (L1,...,Lk;a1,...,ak), gdzie Lk=(p1k,...,pNk). Niech
L'=a1L1+...+akLk. Obliczamy: U(L') = U(a1L1+...+akLk) =
= u1(a1p11+...+akp1k)+...+uN(a1pN1+...+akpNk) =
= a1(u1p11+...+uNpN1)+...+ak(u1p1k+...+uNpNk) = a1U(L1)+...+akU(Lk), przy czym druga
równość w powyższym ciągu wynika z założenia.
(T.25) Twierdzenie o oczekiwanej użyteczności
Jeśli relacja preferencji ’ na L jest racjonalna i spełnia aksjomaty niezależności i
ciągłości, to może być reprezentowana przez funkcję vNM, tzn. można przypisać
każdemu wynikowi n=1,...N liczbę un taką, że:
"L=(p1,...,pN),L'=(p'1,...,p'N)œL [L’L' ñ u1p1+...+uNpN¥u1p'1+...+uNp'N]
(D.35) Loteria z wypłatami pieniężnymi
Wynikom loterii przypisane są kwoty pieniężne x1,...,xN, zaś użyteczności Bernoulliego są
funkcją u:ÑØÑ tych kwot: u(x1),...,u(xN). Ekwiwalent gotówkowy (certainty equivalent)
loterii L=(p1,...,pN), liczba c(L,u) spełniająca u(c(L,u))=u(x1)p1+...+u(xN)pN
(D.36) Awersja i neutralność względem ryzyka implikowana przez użyteczność Bernoulliego
"L=(p1,...,pN)œL [u(x1)p1+...+u(xN)pN  u(x1p1+...+xNpN)] (awersja)
"L=(p1,...,pN)œL [u(x1)p1+...+u(xN)pN = u(x1p1+...+xNpN)] (neutralność)
(T.26) Następujące warunki są równoważne:
1. Konsument ma awersję do ryzyka
2. Funkcja u jest wklęsła
3. "L=(p1,...,pN)œL [c(L,u)  x1p1+...+xNpN]
Podsumowanie
A.
Relacja preferencji w praktyce gospodarczej nie musi mieć znamion racjonalności; np.
badania empiryczne nie zawsze potwierdzają przechodniość
B.
Działanie preferencji może być badane za pomocą abstrakcyjnego mechanizmu wyboru;
jeśli ma miejsce przy tym słaby aksjomat preferencji ujawnionych, to popyt walrasowski
musi spełniać określone zależności algebraiczne –– np. macierz Słuckiego (substytucji)
jest ujemnie półokreślona
C.
Preferencje racjonalne i ciągłe mogą być reprezentowane przez funkcję użyteczności;
problem wyboru daje się wówczas sprowadzić do zadania programowania
matematycznego (UMP), a przy założeniu różniczkowalności warunki Kuhna–Tuckera
określają krańcową stopę substytucji
D.
Również w sytuacjach probabilistycznych relacje preferencji mogą być reprezentowane
przez odpowiednik funkcji użyteczności (funkcję vNM); jednak badania empiryczne nie
zawsze potwierdzają dokonywanie wyborów zgodnych z teorią vNM
Pytania i problemy
1.
[a]
[b]
[c]
[d]
[e]
2.
[a]
[b]
[c]
Jeżeli ’ jest leksykograficzną relacją preferencji na Ñ2 jak w D.26, to dla każdej pary
(x0,y0)τ2
funkcja użyteczności reprezentująca ’ jest nieciągła
" (x,y)τ2 [(x,y)~(x0,y0) fl (x,y)~(x0,y0)]
’ nie jest przechodnia
’ nie jest wypukła
żadne z powyższych
Konsument charakteryzujący się awersją do ryzyka mając do wyboru udział w loterii
L1=(1/3,1/3,1/3) albo L2=(1/2,0,1/2) o wygranych x1=–1,x2=0,x3=1, gdyby miał się
kierować maksymalizacją oczekiwanej użyteczności vNM
wybierze L1
wybierze L2
będzie traktował obie loterie jako równie atrakcyjne
[d]
[e]
wybór nie zależy od awersji do ryzyka
żadne z powyższych
3.
Jak można interpretować w Ñ+2 zbiór budżetowy w przypadku niekonkurencyjnym, a
więc gdy np. konsument zwiększając zapotrzebowanie na pewne dobro doprowadza
jednocześnie do wzrostu jego ceny w stosunku do ceny drugiego dobra?
4.
Wykazać, że jeśli x(p,w) jest walrasowką funkcją popytu spełniającą słaby aksjomat
preferencji ujawnionych, to x musi być jednorodna stopnia 0.
5.
Wykazać, że jeśli walrasowska funkcja popytu x(p,w) jest jednorodna stopnia 1
względem w (a więc " pœÑ+L " w>0 " a>0 [x(p,aw)=ax(p,w)]) i spełnia prawo Walrasa,
to
" l=1,...,L [elw(p,w)=1]
6.
Czy dla konsumenta maksymalizującego użyteczność i zaopatrującego się na
konkurencyjnym rynku krańcowa stopa substytucji zawsze musi się równać stosunkowi
odpowiednich cen?
2.
Popyt indywidualny i zagregowany
(D.1) Zadanie minimalizacji wydatków (EMP)
Minx{pTÿx: x¥0 - u(x)¥u} (zakłada się, że pà0 oraz u>u(0))
(T.1) Załóżmy, że u jest ciągłą funkcją użyteczności reprezentującą lokalnie nienasyconą relację
preferencji ’ na X=Ñ+L oraz, że pà0. Wtedy:
1. Jeśli x* jest rozwiązaniem UMP dla pewnego w>0, to x* jest także rozwiązaniem EMP
dla u=u(x*). Ponadto minimalny wydatek równa się w.
2. Jeśli x* jest rozwiązaniem EMP dla pewnego u>u(0), to x* jest również rozwiązaniem
UMP dla w=pTÿx*. Ponadto maksymalna użyteczność równa się u.
(D.2) Funkcja wydatków, e(p,u)=pTÿx*, gdzie x* –– rozwiązanie EMP dla pewnych pà0 oraz
u>u(0)
(T.2) Przy założeniach T.1 funkcja e(p,u) jest:
1. jednorodna stopnia 1 względem p
2. ściśle rosnąca względem u i niemalejąca względem pl dla wszystkich l=1,...,L
3. wklęsła względem p
4. ciągła względem p i u
(D.3) Hicksa funkcja popytu (skompensowanego), h(p,u):
Zbiór rozwiązań EMP, h(p,u)ÕÑ+L, nazywa się popytem Hicksa (skompensowanym); jeśli
jest jednopunktowy, stanowi wartość Hicksa funkcji popytu
(T.3) Przy założeniach T.1 popyt Hicksa ma następujące własności:
1. jednorodność stopnia 0 względem p, (" pœÑL " uœÑ " a>0 [h(ap,u)=h(p,u)])
2. brak nadmiaru użyteczności ("xœh(p,u) [u(x)=u])
3. jeśli ’ jest wypukła, to h(p,u) jest wypukły
4. jeśli ’ jest ściśle wypukła (a więc u(.) jest ściśle quasi–wklęsła), to h(p,u) jest zbiorem
jednopunktowym
(T.4) Warunki Kuhna–Tuckera dla EMP
$ l¥0 [p¥lDxu(x*) - x*Tÿ(p–lDxu(x*))=0]
(D.4) Kompensacja dochodu w sensie Hicksa
h(p,u) = x(p,e(p,u)); przy zmianie z p na p': wHicks=e(p',u)–w
(T.5) Prawo popytu
Przy założeniach T.1, niech h(p,u) stanowi funkcję popytu Hicksa. Wtedy
" p',p"œÑL [(p"–p')Tÿ(h(p",u)–h(p',u))0]
(T.6) (pl"–p'l)(hl(p",u)–hl(p',u))0 (uwaga: relacja nie musi zachodzić dla walrasowskiej funkcji
popytu)
(T.7) Przy założeniach T.1, niech ’ określona na X=Ñ+L będzie ściśle wypukła. Wtedy
" pτL " uτ [h(p,u) = Dpe(p,u)]
(" pœÑL " uœÑ " l=1,...,L [hl(p,u)=∂e(p,u)/∂pl])
(T.8) Przy założeniach T.7, niech h będzie różniczkowalna w (p,u), a jej pochodne będą ciągłe.
Wtedy
1. Dph(p,u) = Dp2e(p,u)
2. Dph(p,u) jest ujemnie półokreślona
3. Dph(p,u) jest symetryczna
4. Dph(p,u)ÿp = 0
(T.9) Równanie Słuckiego
Przy założeniach T.7, niech u=u(x*), gdzie x* jest rozwiązaniem UMP. Wtedy
" pœÑL " w>0 [Dph(p,u) = Dpx(p,w)+Dwx(p,w)ÿx(p,w)T]
(" pœÑL " w>0 " l,k=1,...,L [∂hl(p,u)/∂pk = ∂xl(p,w)/∂pk+xk(p,w)ÿ∂xl(p,w)/∂w])
(D.5) Silny aksjomat ujawnionych preferencji (dla funkcji popytu)
" N=1,2,... [" (p1,w1),...,(pN,wN)œÑL+1 " nN–1
[(x(pn+1,wn+1)∫x(pn,wn) - pnTÿx(pn+1,wn+1)wn)] fl pNTÿx(p1,w1)>wN]
(T.10) Jeśli walrasowska funkcja popytu x(p,w) spełnia silny aksjomat ujawnionych preferencji,
to istnieje racjonalna relacja preferencji ’, która jest zgodna z x(p,w), tzn.:
" pœÑL " w>0 " yœBp,w [y∫x(p,w) fl x(p,w)y]
(D.6) Zagregowany popyt dla I konsumentów, z których każdy ma racjonalną relację preferencji
’i oraz wyprowadzoną na jej podstawie walrasowską funkcję popytu xi(p,wi) wynosi:
x(p,w1,...,wI) = x1(p,w1)+...+xI(p,wI)
(T.11) Jeśli funkcje z D.6 są różniczkowalne, to x(p,w1,...,wI) = x(p,w), gdzie w=w1+...+wI
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego dobra l=1,...,L, każdych konsumentów i,j=1,...,I oraz
każdego rozkładu (w1,...,wI) zachodzi: ∂xli(p,wi)/∂wi = ∂xlj(p,wj)/∂wj
(T.12) Jeśli rozkład dochodów (w1,...,wI) jest wyznaczony tylko przez w=w1+...+wI oraz p, to
popyt zagregowany nie zależy od tego rozkładu, a jedynie od w i p: x(p,w1,...,wI) = x(p,w)
(T.13) Założenie T.12 jest spełnione jeśli wi(p,w)=aiw (a1+...+aI=1, a1,...,aI –– parametry)
(T.14) Następujące własności popytów indywidualnych xi(p,wi) przenoszą się na popyt
zagregowany x(p,w1,...,wI):
1. ciągłość,
2. jednorodność stopnia 0,
3. prawo Walrasa
(T.15) Ze słabego aksjomatu ujawnionych preferencji spełnianego przez wszystkie funkcje
x1(p,w1),...,xI(p,wI) przy rozkładzie dochodów jak w T.13 nie wynika spełnienie tego
aksjomatu przez zagregowaną funkcję popytu x(p,w)
Dow.
Bp,w/2
X1(p,w/2)
X1(p',w/2)
½ X(p',w/2)
½ X(p,w/2)
X2(p',w/2)
X2(p,w/2)
Bp',w/2
Niech rynek składa się tylko z dwóch dóbr. Dwóch konsumentów (1 i 2) ma ujawnione
preferencje w następstwie wyborów koszyków dokonanych przy cenach p i p'. W obu
przypadkach każdy dysponuje połową sumy dochodu w, jaki mają łącznie. Ich
(identyczne) zbiory budżetowe przy podanych cenach oznaczamy Bp,w/2 oraz Bp',w/2. Jak
wynika z rysunku, optymalnymi koszykami konsumenta 1 – a więc popytem
indywidualnym przy danych cenach i dochodzie – są odpowiednio x1(p,w/2) i x1(p',w/2).
Dla konsumenta 2 optymalne wybory wynoszą x2(p,w/2) i x2(p',w/2). Zagregowany popyt
przy cenach p wyniesie x(p,w)= x1(p,w/2)+x2(p,w/2), zaś przy cenach p': x(p',w)=
x1(p',w/2)+x2(p',w/2). Na rysunku zaznaczono połówki tego zagregowanego popytu, czyli
uśrednione koszyki. Jak wynika z rysunku, te uśrednione koszyki nie mogą spełniać
słabego aksjomatu ujawnionych preferencji. Widać bowiem, że pTx(p',w)/2<w/2, czyli
pTx(p',w)<w oraz p'Tx(p,w)/2<w/2, czyli p'Tx(p,w)<w. Innymi słowy, koszyk x(p',w)
jest dostępny przy cenach p, ale zostaje wybrany x(p,w) i x(p,w) jest dostępny przy
cenach p', ale wybrany zostaje x(p',w). Pierwszy fakt ujawnia zagregowaną preferencję
x(p,w)x(p',w) zaś drugi x(p',w)x(p,w).
(D.7) Funkcja popytu (indywidualnego lub zagregowanego) x(p,w) spełnia warunek
nieskompensowanego prawa popytu (ULD), jeśli:
" p,p'τL " w>0
[(p'–p)Tÿ(x(p',w)–x(p,w))0 - (x(p',w)∫x(p,w) fl (p'–p)Tÿ(x(p',w)–x(p,w))<0)]
(T.16) Jeśli funkcje popytu indywidualnego x1(p,w1),...,xI(p,wI) spełniają D.7, zaś rozkład
dochodów wyznaczony jest jak w T.13, to wówczas popyt zagregowany x(p,w) również
spełnia D.7
(T.17) Przy założeniach T.16 funkcja popytu zagregowanego spełnia słaby aksjomat
ujawnionych preferencji, tzn.
" p,p'œÑ+L " w,w'>0 [(pTÿx(p',w')w - x(p',w')∫x(p,w)) fl p'Tÿx(p,w)>w']
(D.8) Pośrednia funkcja użyteczności, v(p,w)=u(x*), gdzie x* jest rozwiązaniem UMP (przy pà0
i w>0)
(T.18) Jeśli u jest ciągłą funkcją użyteczności reprezentującą relację ’, która jest lokalnie
nienasycona na X=Ñ+L, to pośrednia funkcja użyteczności v ma następujące własności:
1. v jest jednorodna stopnia 0
2. v jest ściśle rosnąca względem w i nierosnąca względem pl (dla każdego l=1,...,L)
3. v jest quasi–wypukła (tj. zbiory {(p,w)œÑ+L+1: v(p,w)v0} są wypukłe dla dowolnych
v0)
4. v jest ciągła względem p i w
(D.9) Dla zagregowanej funkcji popytu x(p,w) istnieje reprezentatywny konsument w sensie
pozytywnym, jeśli istnieje racjonalna relacja preferencji ’ na Ñ+L wyznaczająca tę funkcję
popytu, tj. jeśli:
" x,pœÑ+L " wœÑ [(pTÿxw - x∫x(p,w)) fl x(p,w)x]
(D.10) Funkcja dobrobytu społecznego (Bergsona–Samuelsona), W:ÑIØÑ, która agreguje
indywidualne użyteczności
(D.11) Zadanie Bergsona–Samuelsona, (BSP):
Max {W(v1(p,w1),...,vI(p,wI)): w1+...+wIw}, gdzie p,w –– dowolne, zaś W –– funkcja
dobrobytu społecznego
(T.19) Załóżmy, że dla dowolnych p i w, w1(p,w),...,wI(p,w) stanowią rozwiązanie BSP (z
D.11). Wtedy wartość funkcji W tego rozwiązania, v(p,w), stanowi pośrednią funkcję
użyteczności konsumenta, który w sensie pozytywnym jest reprezentatywny dla funkcji
zagregowanego popytu x(p,w)=x1(p,w1)+...+xI(p,wI)
D.12) Załóżmy, że dla zagregowanej funkcji popytu x(p,w)=x1(p,w1(p,w))+...+xI(p,wI(p,w))
istnieje reprezentatywny konsument w sensie pozytywnym i odpowiadająca mu relacja
preferencji ’. Jeśli dla dowolnych p i w rozkład dochodów w1(p,w),...,wI(p,w) rozwiązuje
BSP –– a zatem wartości tych rozwiązań stanowią pośrednią funkcję użyteczności dla ’ –
– to konsumenta tego nazywamy reprezentatywnym w sensie normatywnym dla funkcji W
(T.20) Jeśli rozkład dochodów w1(p,w),...,wI(p,w) rozwiązujący BSP zależy tylko od w, a nie od
p, to każdy reprezentatywny konsument w sensie pozytywnym jest również
reprezentatywny w sensie normatywnym dla W
(T.21) Jeśli konsumenci mają homotetyczne preferencje reprezentowane przez taką samą funkcję
użyteczności jednorodną stopnia 1, zaś a1+...+aI=1, a1,...,aI>0, to dla funkcji Bergsona–
Samuelsona zadanej wzorem W(u1,...,uI)=a1lnu1+...+aIlnuI każdy reprezentatywny
konsument w sensie pozytywnym jest również reprezentatywny w sensie normatywnym
Podsumowanie
A.
Na problem optymalnego wyboru konsumenckiego można spojrzeć z dwóch punktów
widzenia: maksymalizacji użyteczności przy zadanym ograniczeniu budżetowym (UMP)
albo minimalizacji wydatków przy zadanym poziomie użyteczności (EMP). Okazuje się,
że jeśli funkcja użyteczności jest ciągła i reprezentuje preferencje lokalnie nienasycone, to
obydwa podejścia prowadzą do tych samych wyborów
B.
Na podstawie UMP można wyprowadzić walrasowską funkcję popytu x(p,w), natomiast
na podstawie EMP –– funkcję popytu skompensowanego (hicksowską), h(p,u). Pierwsza
wyznaczona jest przez zmienne obserwowalne, a druga zawiera zmienną
nieobserwowalną (u). Jednak równanie Słuckiego pozwala drugą scharakteryzować przez
pierwszą, zaś warunki pierwszego rzędu dla rozwiązań wewnętrznych są w obu
przypadkach identyczne
C.
Hicksowska funkcja popytu spełnia "prawo popytu", które walrasowska funkcja popytu
spełnia tylko wtedy gdy (przy dodatkowych założeniach) nastąpi skompensowanie
dochodu
D.
Silny aksjomat ujawnionych preferencji implikuje istnienie racjonalnych preferencji
leżących u podstaw popytu walrasowskiego; słaby aksjomat ujawnionych preferencji nie
jest wystarczający dla takiego wnioskowania.
E.
Nie wszystkie własności funkcji indywidualnego popytu przenoszą się na funkcję popytu
zagregowanego. Przenosi się ciągłość, jednorodność stopnia 0, prawo Walrasa i prawo
nieskompensowanego popytu, ale nie przenosi się np. słaby aksjomat ujawnionych
preferencji.
F.
Dla zagregowanej funkcji popytu poszukuje się reprezentatywnego konsumenta w sensie
pozytywnym, którego preferencje byłyby zgodne z tym popytem. Natomiast jeśli przyjmie
się Bergsona–Samuelsona funkcję dobrobytu społecznego, to można badać, czy wybór
zgodny z preferencjami takigo konsumenta maksymalizuje tę funkcję. Jeśli tak, to
konsumenta nazywamy reprezentatywnym w sensie normatywnym.
Ćwiczenie
Ze słabego aksjomatu ujawnionych preferencji spełnianych przez walrasowską funkcję
popytu nie wynika silny aksjomat ujawnionych preferencji
Kontrprzykład Rozpatrzmy następujące trzy układy cen p1, p2, p3 oraz odpowiadające im trzy
koszyki x1, x2, x3 wybrane przez konsumenta zgodnie z pewną walrasowską funkcją popytu x
(skoro x jest funkcją popytu, to znaczy, że przy danych cenach istnieje tylko jeden koszyk
preferowany przez konsumenta nad pozostałymi w zbiorze budżetowym):
p1=(1,2,2)
p2=(2,2,1)
p3=(2,1,2)
1
2
x =(2,2,1)
x =(2,1,2)
x3=(1,2,2)
Zakładamy, że w każdym przypadku dochód konsumenta jest identyczny i wynosi
w1=w2=w3=w=8. Łatwo sprawdzić, że w każdym z tych trzech przypadków ograniczenie
budżetowe jest spełnione i cały dochód jest wydany, tzn. (piTÿxi)=8.
Obliczymy teraz wydatki, jakie należałoby ponieść, gdyby konsument chciał zakupić
koszyki x1, x2 lub x3 przy innych cenach niż te, przy których owe koszyki były wybierane. Trzeba
wykonać 6 takich sprawdzeń (3ÿ3–3): koszyk 1 przy cenach 2 i vice versa, koszyk 2 przy cenach 3
i vice versa oraz koszyk 3 przy cenach 1 i vice versa.
(p2Tÿx1) = 4+4+1 = 9 > 8
(p1Tÿx2) = 2+2+4 = 8  8
(p3Tÿx2) = 4+1+4 = 9 > 8
(p2Tÿx3) = 2+4+2 = 8  8
(p1Tÿx3) = 1+4+4 = 9 > 8
(p3Tÿx1) = 4+2+2 = 8  8
Pierwsza para porównań ukazuje zgodność ze słabym aksjomatem oraz ujawnia preferencję x1
przed x2. Druga para porównań ukazuje zgodność ze słabym aksjomatem oraz ujawnia
preferencję x2 przed x3. Te dwa porównania –– na mocy silnego aksjomatu –– powinny
implikować, że ujawni się również preferencja x1 przed x3. Tymczasem trzecia para porównań
ujawnia preferencję x3 przed x1 (zauważmy, że również i dla tej pary słaby aksjomat jest
spełniony).
A zatem badana trójka obserwacji cen i odpowiadających im koszyków wybieranych
przez konsumenta spełnia (parami) słaby aksjomat (dla i,j=1,2,3)
(piTÿx(pj,wj)wi - x(pj,wj)∫x(pi,wi)) fl pjTÿx(pi,wi)>wj,
natomiast łańcuch porównań przeczy silnemu aksjomatowi (tutaj dla N=3)
(x(p2,w2∫x(p1,w1) - p1Tÿx(p2,w2)w1 - x(p3,w3∫x(p2,w2) - p2Tÿx(p3,w3)w2) fl
p3Tÿx(p1,w1)>w3.
Pytania i problemy
1.
[a]
[b]
[c]
[d]
[e]
2.
[a]
[b]
[c]
[d]
[e]
Hicksowska funkcja popytu odzwierciedlająca racjonalne preferencje lokalnie
nienasycone nie wyjaśnia paradoksu Giffena, ponieważ
paradoks ten wynika z nieracjonalności preferencji
paradoks ten powstaje wtedy, gdy preferencje nie są lokalnie nienasycone
zmiana ceny dobra Giffena implikuje zmianę poziomu użyteczności
popyt hicksowski na dobro Giffena nie może zostać skwantyfikowany
żadne z powyższych
Preferencje konsumenta reprezentatywnego w sensie pozytywnym dla zagregowanej
funkcji popytu
pozwalają na wyznaczenie społecznie optymalnej alokacji dochodów
określają sumę użyteczności (obliczoną jako iloczyn użyteczności osiąganej przez tego
konsumenta i liczby konsumentów) z tytułu danej alokacji
są zawsze ściśle wypukłe
wyjaśniają dlaczego popyt na pewne koszyki dóbr jest wyższy niż na inne
żadne z powyższych
3.
Znaleźć funkcje x(p,w), e(p,u) i h(p,u) dla konsumenta mającego funkcję użyteczności
Cobb–Douglasa, u(x1,x2)=kx1ax21–a.
4.
Sprawdzić równanie Słuckiego dla przykładu z zadania 3.
5.
Sprawdzić, że funkcja x(p,w) z zadania 3 spełnia warunek nieskompensowanego prawa
popytu. Co w tej sytuacji można twierdzić o zagregowanej funkcji popytu dwóch lub
więcej konsumentów?
6.
Zakładając, że każdy z konsumentów ma funkcję użyteczności Cobb–Douglasa
u(x1,x2)=x11/2x21/2 znaleźć relację preferencji konsumenta reprezentatywnego w sensie
normatywnym dla BSP jak w T.21
3.
Teoria produkcji
(D.1) Zbiór produkcyjny, YÕÑL: zbiór wszystkich możliwych wielkości podaży netto (jeśli
yœY i yl<0, to dobro l stanowi nakład netto)
(D.2) Funkcja transformacji (produkcji), F:ÑLØÑ taka, że Y={yœÑL: F(y)0}. Zbiór {yœÑL:
F(y)=0} nazywa się barierą możliwości produkcyjnych (albo "frontierą")
(D.3) Jeśli F jest różniczkowalna oraz F(y0)=0, to MRTlk(y0) = ∂F(y0)/∂yl : ∂F(y0)/∂yk nazywa
się krańcową stopą transformacji dobra l w dobro k
(T.1) Jeśli L=2, to MRTlk(y0) odpowiada nachyleniu bariery możliwości produkcyjnych w
punkcie y0 (w przekroju yl–yk)
(D.4) Konwencja zapisu. Jeśli tylko jeden punkt jest wynikiem (yL), zaś pozostałe są nakładami
(y1,...,yL-1), to możemy stosować zapis y=(–z1,...,–zL-1,q), F(y1,...,yL)=q–f(z1,...,zL-1), przy
czym f:ÑL-1ØÑ. Wtedy
Y={(–z1,...,–zL-1,q): q–f(z1,...,zL-1)0 oraz z1,...,zL-1¥0}.
Krańcowa stopa technicznej substytucji, MRTSlk(z0) = ∂f(z0)/∂zl : ∂f(z0)/∂zk
(D.5) Aksjomaty zbiorów produkcyjnych
1.
Niepustość, Y∫«
2.
Domkniętość, "yœÑL "y1,y2,... œY [y=limnضyn fl yœY]
3.
"Nic za darmo" (no free lunch), "yœY [y¥0 fl y=0]
4.
Dopuszczalność braku działania (nie ma kosztów utopionych), 0œY
5.
Dopuszczalność nadmiaru (free disposal), "y,y'œÑL [(yœY - y'y) fl y'œY]
6.
Nieodwracalność, "yœY [y∫0 fl –y–Y]
7.
Nierosnące efekty skali, "yœY "aœ[0,1] [ayœY]
8.
Niemalejące efekty skali, "yœY "a¥1 [ayœY]
9.
Stałe efekty skali, "yœY "a¥0 [ayœY] (tj. Y jest stożkiem)
10.
Addytywność (darmowe wejście), "y,y'œY [y+y'œY]
11.
Wypukłość, "y,y'œY "aœ[0,1] [ay+(1–a)y'œY]
12.
Y jest stożkiem wypukłym, "y,y'œY "a,b¥0] [ay+by'œY]
(T.2) Relacje między aksjomatami z D.5
1.
2.
3.
4.
5.
(7) fl (4)
(11) - (4) fl (7)
(4) fl ((11) ñ f jest funkcją wklęsłą)
((9) - (11)) fl (12)
((10) - (7)) ñ (12)
(D.6) Zadanie maksymalizacji zysku (PMP):
Maxy{pTÿy: yœY} = Maxy{pTÿy: F(y)0}.
Funkcja zysku, p(p) = Maxy{pTÿy: yœY}.
Podaż (netto) firmy, y(p) = {yœY: pTÿy=p(p)}
(T.3) Aksjomat (8) z D.5 implikuje: "p [p(p)0 . p(p)=+¶]
(T.4) Warunki Kuhna–Tuckera dla PMP:
y*œy(p) fl $l¥0 [pl = lÿ∂F(y*)/∂yl; l=1,...,L]
(y*œy(p) fl $l¥0 [lÿDyF(y*)=p])
(T.5) MRTlk(y*) = pl/pk
(T.6) Przy konwencji zapisu z D.4:
PMP zapisuje się: Maxz¥0{pf(z)–wTÿz}, gdzie p = [w1,...,wL-1,p]T, zaś warunki Kuhna–
Tuckera są:
pÿ∂f(z*)/∂zlwl oraz (pÿ∂f(z*)/∂z1–w1)z*1+...+(pÿ∂f(z*)/∂zL-1–wL-1)z*L-1 = 0
(pTÿDzf(z)w - (pTÿDzf(z)–w)ÿz*=0)
z*l,z*k>0 fl MRTSlk = wl/wk
(T.7) Jeśli Y jest wypukły, to warunki Kuhna–Tuckera (T.4) są wystarczające dla znalezienia
optimum, y*
(T.8) Załóżmy, że Y jest domknięty, zaś nadmiar jest dopuszczalny (D.5.2 i D.5.5) Wtedy:
1.
p jest jednorodna stopnia 1
2.
p jest wypukła
3.
Y – wypukły fl Y = {yœÑL: "pà0 [pTÿyp(p)]}
4.
y jest jednorodna stopnia 0
5.
Y – wypukły fl "p [y(p) – wypukły]
6.
Y – ściśle wypukły fl "p [y(p)∫« fl y(p) – jednopunktowy]
7.
Lemat Hotellinga:
y(p0) – jednopunktowy fl p – różniczkowalna oraz Dpp(p0)=y(p0)
8.
"p,p' "yœy(p),y'œy(p') [(p–p')Tÿ(y–y')¥0] (prawo podaży)
9.
"p,p' "yœy(p),y'œy(p') [("k∫l pk=p'k)fl (pl–p'l)(yl–y'l)¥0] (ruch podaży jest
zgodny z ruchem cen)
10.
Jeśli y jest różniczkowalna w p0, to macierz substytucji, Dpy(p0) = D2pp(p0), jest
symetryczna i dodatnio półokreślona, przy czym Dpy(p0)ÿp0 = 0
(T.9) Przy założeniu T.8(10):
1.
"l=1,...,L [∂yl(p)/∂pl¥0] (nieujemność własnych efektów substytucyjnych)
2.
"l,k=1,...,L [∂yl(p)/∂pk=∂yk(p)/∂pl] (symetria efektów substytucyjnych)
(D.8) Zadanie minimalizacji kosztów (CMP) (tylko dla pojedynczego wyniku oraz z¥0, wà0):
Minz{wTÿz: f(z)¥q}
Jeśli z* rozwiązuje CMP, to c(w,q) = wTÿz* nazywa się funkcją kosztów, zaś z(w,q) = z*
nazywa się warunkowym popytem na czynniki produkcji.
(T.10) Warunki Kuhna–Tuckera dla CMP:
Jeśli z* rozwiązuje CMP, zaś f jest różniczkowalna, to:
$l¥0 "l=1,...,L–1 [wl ¥ lÿ∂f(z*)/∂zl -(z*l>0 fl wl=lÿ∂f(z*)/∂zl)]
Jeśli Y jest wypukły (f wklęsła), to powyższy warunek jest wystarczający, by z* było
rozwiązaniem CMP
(T.11) Analogiczne do T.2, T.3, T.7 i T.8 z wykładu 2
Przy oznaczeniach D.8 oraz założeniach T.8:
1.
c jest jednorodna stopnia 1 względem w oraz niemalejąca względem q
2.
c jest wklęsła względem w
3.
Jeśli zbiory {z¥0: f(z)¥q} są wypukłe dla każdego q, to
Y = {(–z,q): wTÿz¥c(w,q), wà0}
4.
z jest jednorodna stopnia 0 względem w
5.
Jeśli zbiór {z¥0: f(z)¥0} jest wypukły, to z(w,q) też jest zbiorem wypukłym.
Ponadto, jeśli zbiór {z¥0: f(z)¥0} jest ściśle wypukły, to z(w,q) jest zbiorem
jednopunktowym
6.
Lemat Sheparda:
jeśli z(w0,q) jest zbiorem jednopunktowym, to c jest różniczkowalna względem w
w w0, przy czym Dwc(w0,q)=z(w,q)
7.
Jeśli z jest różniczkowalna w w0, to Dwz(w0,q)=D2wc(w0,q) jest symetryczną
ujemnie półokreśloną macierzą, przy czym Dwz(w0,q)ÿw0 = 0
8.
Jeśli f jest jednorodna stopnia 1 (tzn. ma stałe efekty skali), to c i z są jednorodne
stopnia 1 względem q
9.
Jeśli f jest wklęsła, to funkcja c jest wypukła względem q (tzn. koszty krańcowe są
niemalejące względem q)
(T.12) PMP może być również wyrażony jako zadanie:
Maxq¥0{pq–c(w,q)}, dla którego warunek pierwszego rzędu wynosi:
p–∂c(w,q*)/∂q0 oraz jeśli q*>0, to p–∂c(w,q*)/∂q=0
(D.9) Zagregowana podaż y(p) pochodząca z J firm mających zbiory możliwości produkcyjnych
Y1,...,YJ i spełniających aksjomaty D.5 (1), (2) i (5) o maksymalnych zyskach pj(p) i
podaży yj(p) (dla j=1,...,J):
y(p) = y1(p)+...+yJ(p) = {yœÑL: y=y1+...+yJ dla pewnych yjœyj(p), j=1,...,J}
Zagregowany zbiór produkcyjny
Y = Y1+...+YJ = {yœÑL: y=y1+...+yJ dla pewnych yjœYj, j=1,...,J}
p*(p), y*(p) –– optymalny zysk i podaż dla zagregowanego zbioru produkcyjnego Y
(T.13) Dla wszelkich pà0
1.
p*(p) = p1(p)+...+pJ(p)
2.
y*(p) = y1(p)+...+yJ(p)
(D.10) Produkcja (podaż) yœY jest sprawna, jeśli nie istnieje y'œY taka, że y'¥y i y'∫y
(T.14) Jeśli yœY rozwiązuje PMP dla pewnych pà0, to y jest sprawna
(T.15) Jeśli Y jest wypukły, a yœY jest sprawna, to jest rozwiązaniem PMP dla pewnych p¥0
Podsumowanie
A.
Aksjomaty zbiorów możliwości produkcyjnych odpowiadają alternatywnym założeniom
odnośnie warunków produkcji i powinny być przedmiotem weryfikacji empirycznej.
B.
Istnieje analogia pomiędzy zadaniami optymalizacyjnymi teorii konsumpcji (UMP i EMP)
oraz zadaniami optymalizacyjnymi teorii produkcji (PMP i CMP). Zasadnicza różnica
formalna pomiędzy UMP i PMP polega jednak na tym, że firma nie ma ograniczenia
budżetowego (a więc PMP nie ma "efektów dochodowych"). Konsekwencją może być
brak skończonego rozwiązania y* przy niemalejących efektach skali.
C.
Pełniejsza analogia zachodzi pomiędzy zadaniami EMP i CMP. Istnieje odpowiedniość
pomiędzy funkcją użyteczności u a funkcją produkcji f, funkcją wydatków e a funkcją
kosztu c oraz popytem Hicksa h a warunkowym popytem na czynniki produkcji z. W
rezultacie analogiczne są własności e i c oraz h i z. Np. odpowiednikiem T.7 z wykładu 2
jest lemat Sheparda (T.11.6) z wykładu 3.
D.
Nie ma w teorii konsumpcji ścisłego odpowiednika T.13 o agregacji podaży, ponieważ nie
ma oczywistej procedury agregowania użyteczności (na wzór sumowania zysków).
E.
T.14 i T.15 mogą być interpretowane jako twierdzenia o optymalności alokacji rynkowej
dla układu J firm będących cenobiorcami.
Pytania i problemy
1.
[a]
[b]
[c]
[d]
[e]
Zmienna l w warunkach Kuhna–Tuckera T.4 i T.10 może być interpretowana jako
krańcowy zysk z tytułu zmiany cen
krańcowy koszt produkcji
przeciętny zysk przy produkcji optymalnej
przeciętny koszt przy produkcji optymalnej
żadne z powyższych
2.
[a]
[b]
[c]
[d]
[e]
Jeśli zbiór produkcyjny spełnia aksjomat D.5.3 (no free lunch), to
nie może spełniać aksjomatu D.5.4
nie może spełniać aksjomatu D.5.5
nie może spełniać aksjomatu D.5.6
nie może spełniać aksjomatu D.5.9
żadne z powyższych
3.
Znaleźć funkcje zysku i kosztu dla funkcji produkcji Cobba–Douglasa f(z1,z2)=z1aÿz2b
4.
Sprawdzić wzór z lematu Sheparda (T.11.6) dla funkcji produkcji z zadania 3
5.
Załóżmy, że J firm spełnia warunki D.4. Koszt przeciętny firmy j wynosi ACj(qj)=a+bjqj);
parametr a>0 jest identyczny dla wszystkich firm. Jaki będzie rozkład produkcji q1+...+qJ
= q minimalizujący sumę kosztów we wszystkich firmach (dla qœ(0,a/maxj{ lj }), jeśli
(a) jeśli wszystkie bj>0?
(b) jeśli wszystkie bj<0?
(c) jeśli pewne bj>0, zaś pewne bj<0?
6.
Wykazać, że ∂zl(w,q)/∂q>0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla produkcji q koszt krańcowy jest
rosnącą funkcją wl
4.
Teoria gier
(D.1) Gra w rozwiniętej formie, GE = [X, A, I, p, a, H, H, i, r, u], gdzie:
1.
Skończony zbiór węzłów H, skończony zbiór możliwych działań A i skończony
zbiór graczy {1,...,I}
2.
Funkcja p:X Ø X»{«} określająca bezpośredni poprzednik każdego węzła x; p(x)
jest niepusty dla wszystkich xœX z wyjątkiem jednego, który jest węzłem
początkowym, x0. Tak więc bezpośrednimi następnikami węzła x są s(x)=p–1(x).
Zbiory wszystkich poprzedników i następników węzła x mogą być znalezione
przez iterowanie p i s. Zakłada się, że dla dowolnego x i dla dowolnego k=1,2,...
p(x)…sk(x)=« (jeśli sk(x) jest określone). Zbiór końcowych węzłów T={xœX:
s(x)=«}. Pozostałe węzły X\T zwane są decyzyjnymi.
3.
Funkcja a:X\{x0} Ø A odzwierciedlająca działanie prowadzące do dowolnego
niepoczątkowego węzła x od jego poprzednika p(x) i spełniająca warunek:
jeśli x',x"œs(x) oraz x'∫x", to a(x')∫a(x").
Zbiór wyborów osiągalnych w węźle decyzyjnym x jest c(x)={aœA: a=a(x') dla
pewnego x'œs(x)}
4.
Rodzina zbiorów informacji H oraz funkcja H:X Ø H przypisująca każdemu
węzłowi zbiór informacji H(x)œH. Zatem zbiory informacji w H stanowią
partycję X. Wymagamy, aby wszystkie węzły przypisane określonemu zbiorowi
informacji miały osiągalne te same wybory, tj.:
H(x)=H(x') fl c(x)=c(x').
Wybory osiągalne przy zbiorze informacji H można zatem określić jako
C(H) = {aœA: aœc(x) dla xœH}
5.
Funkcja i:H Ø {0,1,...,I} przypisująca każdy zbiór informacji w H graczowi (albo
przyrodzie wyróżnionej formalnie jako gracz 0), który wykonuje ruch w węzłach
decyzyjnych w tym zbiorze. Rodzinę zbiorów informacji gracza i oznaczamy
przez Hi={HœH: i=i(H)}
6.
Funkcja r:H0µA Ø [0,1] przypisującą prawdopodobieństwa działaniom przy
zbiorach informacyjnych gdzie przyroda wykonuje ruch oraz spełniające r(H,a)=0
jeśli a–C(H) oraz ÊaœC(H)r(H,a)=1 dla wszystkich HœH0
7.
Rodzina funkcji wypłat u=(u1,...,uI) przypisująca graczom użyteczności dla
każdego węzła końcowego, który może być osiągnięty, ui:T Ø Ñ. Jeśli ta
konstrukcja miałaby pozostawać słuszna również dla losowych realizacji
wyników, to wartości funkcji ui powinny być interpretowane jako użyteczności
Bernoulliego.
(D.2) Niech Hi oznacza rodzinę zbiorów informacji gracza i, A zbiór możliwych działań w grze
oraz C(H)ÕA zbiór działań możliwych przy zbiorze informacji H. Strategią dla gracza i
jest funkcja si:Hi Ø A taka, że si(H)œC(H) dla wszystkich HœHi
(D.3) Gra w formie normalnej (skondensowanej), GN = [I, S1µ...µSI, (u1,...,uI)], gdzie
1.
Si –– zbiór strategii gracza i, przy czym siœSi
2.
ui(s1,...,sI) –– funkcja wypłat, której wartości można interpretować jako
oczekiwane użyteczności von Neumanna–Morgensterna wyników gry (być może
probabilistycznych)
(T.1) Dla każdej gry w formie rozwiniętej istnieje jedyna odpowiadająca jej gra w formie
normalnej (skondensowanej), ale nie na odwrót (ta sama gra w formie normalnej może
odpowiadać wielu różnym grom w formie rozwiniętej)
(D.4) Strategie si(H) z D.2 nazywają się czystymi. Każda funkcja si : Si Ø [0,1] taka, że si¥0
oraz ÊsiœSisi(si) = 1 nazywa się strategią mieszaną. Liczby si(si) interpretujemy jako
prawdopodobieństwa zastosowania strategii (czystej) si. Grę ze strategiami mieszanymi
oznaczamy GN = [I, D(S1)µ...µ D(SI), (u1,...,uI)]
(D.5) Konwencja zapisu: s-i = (s1,...,si-1,si+1,...,sI), s-i = (s1,...,si-1,si+1,...,sI), S = S1µ...µSI,
S-i = S1µ...µSi-1µSi+1µ...µSI
(D.6) Strategia ściśle dominująca, siœSi: "s'i∫si "s-iœS-i [ui(si,s-i)>ui(s'i,s-i)]
(D.7) Strategia ściśle zdominowana, siœSi: $s'i∫si "s-iœS-i [ui(s'i,s-i)>ui(si,s-i)]. Strategia s'i ściśle
dominuje nad strategią si
(D.8) Równowaga Nasha, układ strategii s=(s1,...,sI) taki, że:
"i=1,...I "s'iœSi [ui(si,s-i)¥ui(s'i,s-i)].
Dla strategii mieszanych, układ strategii s=(s1,...,sI) taki, że:
"i=1,...I "s'iœD(Si) [ui(si,s-i)¥ui(s'i,s-i)]
(T.2) Każda gra GN = [I, S1µ...µSI, (u1,...,uI)], w której zbiory S1,...,SI mają skończoną liczbę
elementów ma równowagę Nasha.
(T.3) Gra GN = [I, S1µ...µSI, (u1,...,uI)] ma równowagę Nasha, jeśli dla każdego i=1,...,I:
1. Si jest niepustym, wypukłym, zwartym podzbiorem ÑM (dla pewnej M); oraz
2. ui(s1,...,sI) jest ciągła względem (s1,...,sI) i quasi-wklęsła względem si
(D.9) Zasada racjonalności sekwencyjnej: strategia gracza powinna zawierać działania
optymalne dla każdego węzła gry (przy uwzględnieniu strategii pozostałych graczy)
(D.10) Gra skończona z pełną informacją: każdy zbiór informacji zawiera tylko jeden węzeł i
liczba takich węzłów jest skończona
(T.4) Indukcja wsteczna (backward induction). Zasada racjonalności sekwencyjnej jest
spełniona, jeśli optymalne działanie dla węzła p(x) jest określone po wyborze działania
optymalnego dla węzła x (tj. przy antycypacji optymalnego wyboru w węźle x).
(T.5) Dla gier skończonych z pełną informacją indukcja wsteczna polega na ustaleniu wyników
we wszystkich węzłach końcowych x, określeniu działania optymalnego w węzłach
bezpośrednio je poprzedzających p(x), przypisaniu im wypłat będących wynikiem tego
optymalnego działania oraz odrzuceniu pozostałych strategii. Procedura ta następnie
podlega iteracji w odniesieniu do węzłów wcześniejszych p(p(x)) itd. aż do wyczerpania
wszystkich węzłów.
(T.6) Twierdzenie Zermelo. Każda gra skończona z pełną informacją GE ma równowagę Nasha
w zakresie strategii czystych, która może być określona metodą indukcji wstecznej. Co
więcej, jeśli żaden z graczy nie ma identycznych wypłat w dwóch różnych węzłach
końcowych, to jest to jedyna równowaga Nasha, która może być określona w ten sposób.
(D.11) Podgra gry w rozwiniętej formie GE –– jest to podzbiór spełniający dwa warunki:
1.
Zaczyna się od zbioru informacji zawierającego pojedynczy węzeł decyzyjny x,
zawiera wszystkie węzły po nim następujące, s(x), s(s(x)) itd. oraz nie zawiera
innych węzłów;
2.
Jeśli węzeł x znajduje się w podgrze, to każdy x'œH(x) znajduje się w niej również
(tzn. podgra nie ma "niekompletnych" zbiorów informacji).
(T.7) Cała gra GE jest również podgrą
(T.8) Każdy węzeł decyzyjny w grze skończonej z pełną informacją może być początkiem
pewnej podgry
(D.12) Układ strategii s=(s1,...,sI) w I–osobowej grze GE indukuje równowagę Nasha w pewnej
podgrze tej gry, jeśli działania przewidziane przez s dla zbiorów informacji z tej podgry
(traktowanej jako osobna gra) stanowią dla niej równowagę Nasha
(D.13) Układ strategii s=(s1,...,sI) w I–osobowej grze GE stanowi równowagę Nasha trwałą
względem podgier (Subgame Perfect Nash Equilibrium, SPNE), jeśli indukuje
równowagę Nasha w każdej podgrze tej gry
(T.9) Każda gra skończona z pełną informacją GE ma SPNE w zakresie strategii czystych. Co
więcej, jeśli żaden z graczy nie ma identycznych wypłat w dwóch różnych węzłach
końcowych, to jest to jedyna SPNE.
Podsumowanie
A.
Teoria gier stanowi metodę analityczną służącą budowaniu prognoz odnośnie zachowań
związanych z konfliktem lub współpracą. Podejmując swoje decyzje gracze mogą nie
znać decyzji partnerów, ale znają obszar wyboru i rozumieją konsekwencje
alternatywnych decyzji.
B.
Centralnym pojęciem teorii gier jest równowaga Nasha. Równowaga Nasha opisuje
sytuację (układ strategii), w której żaden z graczy nie ma motywacji, by jednostronnie
odejść od swojej strategii.
C.
Równowaga Nasha może ukształtować się w położeniu, które nie jest dla graczy
optymalne.
D.
Gry o skończonej liczbie węzłów, w których gracze nie podejmują decyzji jednocześnie
(tj. nie znając a priori decyzji swoich partnerów) nazywany grami skończonymi z pełną
informacją. W takich przypadkach prognoza działań jest uproszczona i może być
dokonana metodą indukcji wstecznej. Spośród różnych równowag Nasha znajduje się w
ten sposób takie, które spełniają zasadę racjonalności sekwencyjnej.
E.
Pojęcie równowagi Nasha trwałej względem podgier (SPNE) odzwierciedla zasadę
racjonalności sekwencyjnej.
Pytania i problemy
1.
[a]
[b]
[c]
[d]
[e]
2.
[a]
[b]
[c]
[d]
[e]
W równowadze Nasha każdy z graczy stosuje strategie,
których łączny efekt pozwala na osiągnięcie maksymalnej sumy wypłat
które zapewniają graczowi dokonującemu pierwszego ruchu na osiągnięcie maksymalnej
wypłaty
które zapewniają graczowi dokonującemu ostatniego ruchu na osiągnięcie maksymalnej
wypłaty
zapewniające każdemu z graczy maksymalną możliwą wypłatę do osiągnięcia przez niego
w tej grze
żadne z powyższych
Gra skończona z pełną informacją nie może zawierać
dwóch lub więcej węzłów w tym samym zbiorze informacji
dwóch lub więcej działań będących do wyboru w węźle początkowym
węzła, w którym działanie jest podejmowane nie przez świadomego gracza, tylko przez
przyrodę (z określonymi prawdopodobieństwami)
żadnych podgier poza całą grą
żadne z powyższych
3.
Czy gra określona przez symetryczną macierz wypłat zawsze ma równowagę Nasha w
zakresie strategii czystych? Odpowiedź proszę uzasadnić.
4.
Udowodnić, że jeśli jedyną podgrą gry GE jest ona sama, to każda równowaga Nasha
stanowi SPNE.
5.
Udowodnić, że SPNE w grze GE indukuje SPNE w każdej podgrze tej gry.
6.
Załóżmy, że rynek jest opanowany przez firmę I, która osiąga z tego tytułu wypłatę 2.
Firma E rozważa wejście na ten rynek. Jeśli do tego dojdzie, to firmy będą musiały
podzielić się rynkiem, który składa się dwóch segmentów (np. dwa rodzaje nabywców lub
dwie odmiany produktu): dużego i małego. Wybierając dla siebie określony segment
rynku firmy będą rozgrywać wówczas grę o następujących wypłatach:
uE(M,M)=uI(M,M)=–6, uE=uI(D,D)=–3, uE(M,D)=uI(D,M)=–1, uE(D,M)=uI(M,D)=1,
gdzie M –– wybór małego segmentu rynku, D –– wybór dużego segmentu rynku, przy
czym pierwszy argument funkcji u odnosi się firmy E, a drugi do I. Niech W i N
oznaczają, odpowiednio, decyzję firmy E "wejść", "nie wejść" na rynek. Stosując zasadę
racjonalności sekwencyjnej wykazać, że gra opisująca tę sytuację ma dwie SPNE: (sE,sI)
= ((W,D jeśli poprzednio wybrano W),(M jeśli E wybrała W)) oraz (sE,sI) = ((N,M jeśli
poprzednio wybrano W),(D jeśli E wybrała W).
5.
Równowaga konkurencyjna
(D.1) Alokacja osiągalna, każda kombinacja (x1,...,xI,y1,...,yJ) œ X1µ...µXIµY1µ...µYJ
spełniająca xl1+...+xlI  wl + yl1+...+ylJ dla l=1,...,L; oznaczenia jak na wykładach 1 i 3
przy czym symbol wl¥0 oznacza zasób początkowy (endowment) dobra l w gospodarce
(D.2) Optymalność w sensie Pareto, każda kombinacja spełniająca D.1, dla której nie istnieje
inna alokacja osiągalna (x'1,...,x'I,y'1,...,y'J) taka że:
"i=1,...,I [ui(x'i)¥ui(xi)] - $i=1,...,I [ui(x'i)>ui(xi)]
(D.3) Własność w gospodarce. Zakładamy, że zasób początkowy każdego dobra l jest w całości
rozdysponowany pomiędzy konsumentów: wl = wl1+...+wlI, (wektor zasobów
początkowych będących własnością konsumenta i oznaczamy wi = (w1i,...,wLi)T), jak
również, że każdy konsument i ma udział qij w firmie j, przy czym q1j+...+qIj = 1 dla
każdej j=1,...,J
(T.1) Przy oznaczeniach z D.3 każdy konsument i ma de facto dochód pieniężny w wysokości
wi=pTÿwi + qi1pTÿy1+...+qiJpTÿyJ pochodzący z (ewentualnej) sprzedaży zasobów
początkowych oraz z udziału w zyskach firm
(D.4) Równowaga konkurencyjna (walrasowska), każda alokacja (x*1,...,x*I,y*1,...,y*J)
spełniająca D.1 wraz z wektorem cen p*œÑL, spełniające następujące warunki:
1.
Maksymalizacji zysków firm: dla każdej j=1,...,J y*j jest rozwiązaniem PMP
Maxyj{p*Tÿyj: yjœYj}
2.
Maksymalizacji użyteczności konsumentów: dla każdego i=1,...,I x*i jest
rozwiązaniem UMP
Maxxi{ui(xi): p*Tÿxi  p*Tÿwi + qi1p*Tÿy*1+...+qiJp*Tÿy*J - xiœXi}
3.
Równowaga bilansowa (Market clearing): dla każdego l=1,...,L
x*l1+...+x*lI  wl + y*l1+...+y*lJ
(T.2) Jeśli ui są ciągłymi funkcjami użyteczności reprezentującymi relacje ’i, które są lokalnie
nienasycone, to warunek 3 w D.4 jest spełniony w formie równości
(T.3) Jeśli alokacja (x*1,...,x*I,y*1,...,y*J) wraz z wektorem cen p*à0 jest równowagą
konkurencyjną, to dla każdej a>0 ta sama alokacja z wektorem cen ap* jest również
równowagą konkurencyjną, a więc bez utraty ogólności można zakładać, że jedna z cen
jest równa 1
(T.4) Przy założeniach T.2, jeśli alokacja (x1,...,xI,y1,...,yJ) wraz z wektorem cen pà0 spełnia
warunek 3 w D.4 w formie równości dla wszystkich dóbr l∫k i jeśli każdy konsument
spełnia ograniczenie budżetowe w formie równości, to również dla dobra k warunek 3 z
D.4 jest spełniony w formie równości
(D.5) Marshallowska analiza równowagi cząstkowej.
1. Zakładamy, że badany jest rynek na jedno dobro l, stanowiące niewielką część
gospodarki. W związku z tym można uznać za nieistotny (a) efekt dochodowy zmian cen
na to dobro oraz (b) wpływ tego rynku na ceny innych dóbr. Usprawiedliwia to
traktowanie wydatków na pozostałe dobra jako jednego dobra złożonego, które nazywamy
dobrem obrachunkowym (numeraire). Cena dobra obrachunkowego przyjęta jest 1, zaś p
oznacza cenę dobra l.
2. Każdy konsument i ma quasi–liniową funkcję użyteczności ui(mi,xi) = mi+φi(xi), gdzie
xi jest jego konsumpcją badanego dobra l, a mi konsumpcją dobra obrachunkowego. Zbiór
alternatyw konsumpcyjnych jest Xi=ѵÑ+ (ujemną konsumpcję dobra obrachunkowego
dopuszcza się, aby uniknąć problemów brzegowych). Zakładamy, że funkcja φi jest
ograniczona od góry i dwukrotnie różniczkowalna, przy czym φi'(xi)>0 i φi"(xi)<0 dla
wszystkich xi¥0. Dokonując ewentualnie równoległego przesunięcia (por. T.3 z wykładu
1), można założyć, że φi(0)=0.
3. Ilość dobra obrachunkowego potrzebnego firmie j do wyprodukowania qj¥0 jednostek
dobra l wynosi cj(qj) (gdzie cj jest funkcją kosztu z D.8 z wykładu 3). Oznaczając przez zj
zużycie dobra obrachunkowego w firmie j, jej zbiór produkcyjny definiuje się jako
Yj={(–zj,qj): qj¥0 - zj¥cj(qj)}.
Zakładamy, że funkcja cj jest dwukrotnie różniczkowalna, przy czym cj'(qj)>0 i cj"(qj)¥0
dla qj¥0.
4. Nie ma zasobu początkowego dobra l (jego podaż pochodzi wyłącznie z produkcji).
Zasoby początkowe dobra obrachunkowego wynoszą wmi>0, przy czym definiujemy
wm1+...+wmI=wm.
(T.5) W analizie marshallowskiej (D.5) warunki konieczne i dostateczne są:
1.
dla maksymalizacji zysków (D.4.1) Max{p*qj–cj(qj): qj¥0}:
p*cj'(q*j), przy czym równość zachodzi, jeśli q*j>0
2.
dla maksymalizacji użyteczności (D.4.2)
Max{mi+φi(xi): p*xi  wmi + qi1(p*q*1–c1(q*1))+...+qiJ(p*q*J–cJ(q*J))}:
φi'(x*i)p*, przy czym równość zachodzi, jeśli x*i>0
3.
równowagi bilansowej (D.4.3):
x*1+...+x*I = q*1+...+q*J
Uwaga: warunki 1–3 są niezależne od alokacji zasobów początkowych i udziałów w
firmach
(T.6) Jeśli Maxiφi'(0) > Minjcj'(0), to x*1+...+x*I, q*1+...+q*J > 0
(T.7) Funkcja zagregowanego popytu na dobro l, x(p) = x1(p)+...+xI(p), gdzie xi(p),
walrasowska funkcja popytu, określona jest jako funkcja odwrotna do φi'.
Uwaga: na skutek quasi–liniowości funkcji ui, funkcje xi nie zależą od wi.
(T.8) Funkcja popytu z T.7 jest ciągła i nierosnąca dla p>0; jest przy tym ściśle malejąca dla
p<Maxiφi'(0). Dla p¥Maxiφi'(0) zachodzi: x(p)=0.
(T.9) Funkcja zagregowanej podaży dobra l, q(p)=q1(p)+...+qJ(p), gdzie dla p¥cj'(0) liczba qj(p)
spełnia równość z warunku T.5.1. Jeśli funkcja cj jest ściśle wypukła (wtedy cj' jest
funkcją ściśle rosnącą), to istnieje tylko jedna taka liczba, czyli qj (a więc także q) jest
funkcją.
(T.10) Funkcja podaży z T.9 jest ciągła i niemalejąca dla p>0; jest przy tym ściśle rosnąca dla
p>Minjcj'(0).
(T.11) Jeśli choć jedna cj jest liniowa (stałe efekty skali), cj(qj)=cjqj (a więc nie jest ściśle
wypukła, ale spełnia warunek cj"¥0 (D.5.3)), to wówczas dla p>cj wartość qj(p)=+¶ nie
jest dobrze określona.
(T.12) Przy założeniach T.7 i T.9, jeśli Maxiφi'(0) > Minjcj'(0), to istnieje jedyna cena równowagi
p*œ(Minjcj'(0),Maxiφi'(0)). Indywidualne wielkości konsumpcji i produkcji są wówczas
wyznaczone przez x*i=xi(p*) oraz y*j=yj(p*), dla i=1,...,I, j=1,...,J.
(T.13) Jeśli dla wszystkich j=1,...,J istnieje c>0 taka, że cj(qj)=cqj, spełnione są założenia T.7
oraz Maxiφi'(0) > c, to cena równowagi p*=c
(D.6) Odwrotna funkcja podaży, q–1, może być interpretowana jako funkcja kosztu krańcowego
branży, C'(.)=q–1(.)
(D.7) Odwrotna funkcja popytu, x–1(.) oznaczana jest przez P(.)
(T.14) W analizie marshallowskiej ruch ceny równowagi p* w następstwie wprowadzenia
podatku t na jednostkę dobra l wyznaczony jest równaniem
p*'(t) = x'(p*(t)+t)/(q'(p*(t))–x'(p*(t)+t))
(D.8) Zagregowana nadwyżka ekonomiczna (marshallowska), MAS
MAS(x1,...,xI,q1,...,qJ) = φ1(x1)+...+φI(xI) – (c1(q1)+...+cJ(qJ))
(T.15) W analizie marshallowskiej alokacja (x*1,...,x*I,q*1,...,q*J) jest optymalna w sensie Pareto
wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozwiązaniem zadania
Max {MAS(x1,...,xI,q1,...,qJ): x1+...+xI–(q1+...+qJ)=0, x1,...,xI,q1,...,qJ¥0}
Dow.
⇐
Należy dowieść, że maksymalizacja nadwyżki (MAS) implikuje optymalność Pareto. W
tym celu załóżmy, że (x10,...,xI0,q10,...,qJ0) maksymalizuje tę nadwyżkę i rozpatrzmy
uzyskane przez konsumentów użyteczności ui(xi0,mi0)= φi(xi0)+mi0, gdzie ilości mi0 dobra
obrachunkowego pozostające po opłaceniu kosztów dobra wybranego spełniają równanie:
m10+...+mI0 = wm−(c1(q10)+...+cJ(qJ0))
(oznaczenia jak w D.5). Tak więc suma tych użyteczności
u1(x10,m10)+...+uI(xI0,mI0) =
= φ1(x10)+m10+...+φI(xI0)+mI0 =
= φ1(x10)+...+φI(xI0)+ wm−(c1(q10)+...+cJ(qJ0)) =
= φ1(x10)+...+φI(xI0) – (c1(q10)+...+cJ(qJ0))+ wm =
= MAS(x10,...,xI0,q10,...,qJ0)+ wm.
Ta nadwyżka jest -- z założenia -- największa z możliwych, zaś wm jest liczbą stałą. A
zatem (x10,...,xI0,q10,...,qJ0) musi być optimum Pareto, gdyż nie da się wybierając inną
alokację osiągalną powiększyć użyteczności jednemu z konsumentów przy zachowaniu
użyteczności pozostałych konsumentów na nieobniżonym poziomie.
⇒
Pokażemy, że jeśli jakaś alokacja nie maksymalizuje nadwyżki, to nie może być
optymalna w sensie Pareto. Załóżmy zatem, że
φ1(x10)+...+φI(xI0) – (c1(q10)+...+cJ(qJ0)) < φ1(x1')+...+φI(xI') – (c1(q1')+...+cJ(qJ')).
Wyniknie z tego, że (x10,...,xI0,q10,...,qJ0) nie może być optimum Pareto. Po dodaniu do
obu stron założonej nierówności liczby wm, a następnie zdefiniowaniu łącznej ilości dobra
obrachunkowego jako m10+...+mI0 = wm−(c1(q10)+...+cJ(qJ0)) po lewej stronie i m1'+...+mI'
= wm−(c1(q1')+...+cJ(qJ')) po prawej, otrzymamy następujący ciąg relacji:
φ1(x10)+...+φI(xI0)+ wm – (c1(q10)+...+cJ(qJ0)) < φ1(x1')+...+φI(xI')+ wm – (c1(q1')+...+cJ(qJ')),
φ1(x10)+...+φI(xI0)+m10+...+mI0 < φ1(x1')+...+φI(xI')+m1'+...+mI',
φ1(x10)+m10+...+φI(xI0)+mI0 < φ1(x1')+m1'+...+φI(xI')+mI', czyli
u1(m10,x10)+...+uI(mI0,xI0) < u1(m1',x1')+...+uI(mI',xI'), albo w skrócie:
u10+...+uI0 < u1'+...+uI'.
Skoro między tymi sumami zachodzi nierówność ostra, to niech α>0 będzie liczbą taką że
α = u1'+...+uI'–(u10+...+uI0).
Aby zakończyć dowód określimy rozkład użyteczności (u1",...,uI") taki, że ui"=ui0 dla
i=2,3,...,I oraz u1"=u10+ α, co pokaże, iż (u10,...,uI0) nie mogło stanowić optimum Pareto.
Określimy go jak następuje. Punktem wyjścia będzie rozkład (u10,...,uI0):
ui0 = ui0+ui'–ui' = ui'+ui0–ui' = ui'+Ti = ui",
0
gdzie Ti = ui –ui' dla i=2,3,...,I. Natomiast
u1" = u10+α = u10+u1'–u1'+α = u1'+ u10–u1'+α = u1'+T1,
gdzie T1 = u10–u1'+α. Możliwość uzyskania takiego rozkładu potwierdzimy sprawdzając,
że T1+T2+...+TI = 0 (a więc można go zrealizować przy alokacji (x1',...,xI',q1',...,qJ') przez
dokonanie transferów dobra obrachunkowego). Rzeczywiście,
T1+T2+...+TI = u10–u1'+α+u20–u2'+...+ uI0–uI' = u10+...+uI0–(u1'+...+uI')+α = –α+α = 0.
(T.16) Pierwsze twierdzenie ekonomii dobrobytu
W analizie marshallowskiej, jeśli alokacja (x*1,...,x*I,q*1,...,q*J) wraz z ceną p* stanowią
równowagę konkurencyjną, to ta alokacja jest optymalna w sensie Pareto
Dow.
Z T.5 o równowadze konkurencyjnej w analizie marshallowskiej wynika, że dla każdego
i=1,...,I oraz j=1,...,J:
1.
p*cj'(q*j), przy czym równość zachodzi, jeśli q*j>0,
2.
φi'(x*i)p*, przy czym równość zachodzi, jeśli x*i>0,
3.
x*1+...+x*I = q*1+...+q*J.
Zauważamy, że jeśli podstawić λ=p*, to -- na podstawie twierdzenia Kuhna-Tuckera dla
zadania maksymalizacji nadwyżki -- powyższe warunki są konieczne i dostateczne dla
rozwiązania tego zadania. Z T.15 wynika wtedy, że (x*1,...,x*I,q*1,...,q*J) jest optimum
Pareto.
(T.17) Drugie twierdzenie ekonomii dobrobytu
W analizie marshallowskiej, dla dowolnego optimum Pareto (u01,...,u0I) możliwe są
transfery (T1,...,TI) dobra obrachunkowego spełniające warunek T1+...+TI=0 takie, że
równowaga konkurencyjna zrealizowana przy zasobach początkowych
(wm1+T1,...,wmI+TI) oraz przy pewnej cenie p* zapewnia osiągnięcie tegoż optimum
Pareto.
Dow.
Twierdzenie zapewnia osiągnięcie optimum Pareto w wyniku transferów, a więc
osiągnięcie wyjściowego poziomu użyteczności dla wszystkich konsumentów, co nie
oznacza, że w poszukiwanej równowadze rynkowej każdy będzie konsumował taką samą
jak na wstępie (wyjściową) ilość wybranego dobra i będzie dysponował taką samą jak na
wstępie (wyjściową) ilością dobra obrachunkowego. Jednak z T.15 wynika, że każde
optimum Pareto zapewnia tę samą – bo maksymalną – sumę użyteczności. Niech
(u01,...,u0I) stanowi optimum Pareto, gdzie u0i = ui(xi0,mi0) = φi(xi0)+mi0 (ilości mi0 dobra
obrachunkowego pozostające po opłaceniu kosztów dobra wybranego spełniają równanie
m10+...+mI0 = wm−(c1(q10)+...+cJ(qJ0))). Z T.15 wynika, że (x01,...,x0I,q01,...,q0J)
maksymalizuje nadwyżkę.
Niech z kolei (x*1,...,x*I,q*1,...,q*J) będzie dowolną równowagą rynkową. Jej
istnienie jest zapewnione dzięki założeniom analizy marshallowskiej. Jeśli
Maxiφi'(0)>Minjcj'(0), to równowaga istnieje na mocy T.6. W przeciwnym razie wolno
podstawić p*=(Minjcj'(0)+Maxiφi'(0))/2. Łatwo sprawdzić, że przy tej cenie równowaga
jest osiągnięta dla x*1=...=x*I=q*1=...=q*J=0. W obu przypadkach istnienie równowagi jest
gwarantowane, zaś z T.5 wynika, że charakteryzujące ją warunki (w szczególności zaś
cena równowagi) nie zależą od ilości dobra obrachunkowego ωm, ani od jego rozkładu
(ωm1,...,ωmI). Wolno więc zmienić łączną ilość dobra obrachunkowego, albo jego rozkład
bez wpływu na cenę p*. Z tego względu można od razu założyć, że suma użyteczności
(zależna m.in. od ilości dobra obrachunkowego) w tej równowadze jest taka sama jak w
wyjściowym optimum Pareto:
u01+...+u0I = u*1+...+u*I, przy czym u*i=φi(xi*)+mi* dla i=1,...,I.
Zdefiniujemy obecnie transfery T1,...,TI wzorem Ti = φi(xi0)+mi0–(φi(xi*)+mi*). Ich suma,
T1+...+TI = u01+...+u0I – (u*1+...+u*I) = 0. Zaś użyteczność osiągnięta przez i-tego
konsumenta w wyniku znalezienia się w równowadze rynkowej oraz zastosowania
transferu wynosi φi(xi*)+mi*+Ti = φi(xi*)+mi*+φi(xi0)+mi0–(φi(xi*)+mi*) = φi(xi0)+mi0, a
więc tyle, ile w wyjściowym optimum Pareto.
(D.9) Marshallowski model dobrobytu
W analizie marshallowskiej zakładamy, że dla dowolnej konsumpcji x dobra l jej alokacja
jest optymalna (tj. jeśli x=x1+...+xI, to φi'(xi)=P(x) dla każdego i). Ponadto zakładamy, że
dla dowolnej produkcji q dobra l jej alokacja jest optymalna (tj. jeśli q=q1+...+qJ, to
cj'(qj)=C'(q) dla każdego j).
(T.18) Warunki D.9 są spełnione, jeśli wszyscy konsumenci są cenobiorcami i stoją wobec tej
samej ceny, a także jeśli wszystkie firmy są cenobiorcami i stoją wobec takiej samej ceny.
(Uwaga: cena wobec której stoją konsumenci nie musi być taka sama jak ta, wobec której
stoją firmy.)
(T.19) W marshallowskim modelu dobrobytu S(x) = S0 + 0∫x(P(s)–C'(s))ds, gdzie:
S(x) = MAS(x1,...,xI,q1,...,qJ), zaś S0 = MAS(0,...,0,0,...0)
(T.20) Dekompozycja nadwyżki w marshallowskim modelu dobrobytu z podatkiem (oznaczenia
jak w D.8, D.9 i T.14):
DWL =
S*(x*(0))–S*(x*(t)) =
–x*(0)∫x*(t)(P(s)–C'(s))ds =
CS(p*(0))–CS(p*(t)+t) + P(p*(0))–P(p*(t)) – tx*(t) =
p*(t)+t *
x (s)ds + p*(t)∫p*(0)q*(s)ds – tx*(t),
p*(0)∫
gdzie:
DWL –– bezowocna utrata dobrobytu (deadweight welfare loss) na skutek podatku,
x*(t) –– równowagowy popyt po wprowadzeniu podatku t,
q*(t) –– równowagowa podaż po wprowadzeniu podatku t,
p*(t) –– równowagowa cena po wprowadzeniu podatku t,
CS(p) –– zagregowana nadwyżka konsumenta (consumer surplus) przy cenie p,
P(p) –– zagregowana nadwyżka producenta (producer surplus) przy cenie p
(D.10) Długookresowa równowaga konkurencyjna
Trójka (p*,q*,J*), gdzie
J* –– liczba firm aktywnych na rynku (tj. mających dodatnią produkcję).
Założenia:
1. Wszystkie firmy są identyczne i są cenobiorcami
2. Dla każdej firmy c(0)=0
3. Każda firma maksymalizuje zysk: q* jest rozwiązaniem zadania PMP,
Maxq¥0{p*q–c(q)}
4. Popyt jest zrównoważony podażą: x(p*)=J*q*
5. Rynek jest wolny (free entry): p*q*–c(q*)=0
(T.21) W modelu opisanym w D.10:
1. Jeśli produkcja wykazuje ściśle malejące efekty skali (funkcja c jest ściśle rosnąca i
wypukła) oraz x(c'(0))>0, to nie istnieje równowaga z D.10
2. Jeśli produkcja wykazuje stałe efekty skali (c(q)=c0q, c0=const>0), to p*=c0 oraz
J*q*=x(c0)
3. Jeśli istnieje q0>0 taka, że c(q0)/q0=Minq¥0{c(q)/q}, przy czym "q∫q0 [c(q0)/q0<c(q)/q],
c0=c(q0)/q0 oraz x(c0)>0, to tylko trójka (c0,q0,x(c0)/q0) spełnia D.10
Podsumowanie
A.
Model równowagi konkurencyjnej przewiduje pełną "komercjalizację" konsumpcji:
wydatki konsumpcyjne muszą znaleźć pokrycie w przychodach ze sprzedaży zasobów
początkowych lub przychodach z tytułu własności firm.
B.
Marshallowska analiza równowagi cząstkowej opiera się na założeniu, że –– dzięki quasi–
liniowości funkcji użyteczności –– możliwe jest wyizolowanie zmian na rynku jednego
dobra i traktowanie pozostałych cen i ilości jako ustalonych.
C.
Definicja optimum Pareto abstrahuje od formy alokacji i produkcji dóbr w gospodarce (w
szczególności nie musi ona być rynkowa).
Twierdzenia ekonomii dobrobytu ustalają równoważność optimum Pareto oraz
równowagi konkurencyjnej.
D.
E.
W marshallowskiej analizie równowagi cząstkowej zmiany dobrobytu –– np. na skutek
wprowadzenia podatku –– można szacować za pomocą badania nadwyżki ekonomicznej.
F.
Równowagę długookresową określa warunek zerowych zysków (free entry).
Pytania i problemy
1.
[a]
[b]
[c]
[d]
[e]
2.
Warunek równowagi bilansowej (market clearing) w definicji równowagi rynkowej może
być spełniony w formie nierówności ostrej, jeśli
różni konsumenci płacą różne ceny za jednostkę analizowanego dobra
różne firmy osiągają różne ceny za jednostkę analizowanego dobra
wzrost konsumpcji analizowanego dobra ponad poziom równowagowy nie zwiększa
użyteczności
wzrost produkcji analizowanego dobra ponad poziom równowagowy nie zwiększa
kosztów
żadne z powyższych
Jeśli w marshallowskim modelu dobrobytu funkcje użyteczności nie są quasi–liniowe, to
transfery dobra obrachunkowego (ceteris paribus)
[a]
[b]
[c]
[d]
[e]
mogą zmienić wielkość popytu na badane dobro przy ustalonej cenie
mogą zmienić wielkość podaży badanego dobra przy ustalonej cenie
zmniejszają sumę dobra obrachunkowego będącą w dyspozycji konsumentów
zwiększają sumę dobra obrachunkowego będącą w dyspozycji konsumentów
żadne z powyższych
3.
Alokację spełniającą definicję D.2 nazywa się silnym optimum Pareto. Prze słabe
optimum Pareto rozumie się alokację spełniającą D.1 dla której nie istnieje inna alokacja
osiągalna (x'1,...,x'I,y'1,...,y'J) taka że: "i=1,...,I [ui(x'i)>ui(xi)]. Udowodnić, że każde silne
optimum Pareto jest również słabym. Udowodnić ponadto, że jeśli preferencje
konsumentów są ciągłe i silnie monotoniczne, zaś zbiory konsumpcyjne Xi=Ñ+L, to każde
słabe optimum Pareto (x*1,...,x*I), dla którego wszystkie xià0 jest również mocnym.
4.
W marshallowskim modelu konkurencyjnej równowagi cząstkowej załóżmy, że zakup
pewnego dobra jest obciążony podatkiem ad valorem według stopy t, tzn. cena płacona
przez konsumentów wynosi p(1+t), gdzie p –– cena otrzymywana przez sprzedawców.
Zagregowana funkcja popytu dana jest wzorem x(p)=Ape (A>0, e<0), zaś zagregowana
funkcja podaży dana jest wzorem q(p)=apg (a>0, g>0). Znaleźć stopę zmiany ceny
spowodowanej przez wprowadzenie niewielkiego podatku (tj. p*'(t)/p*(0)).
5.
Dla sytuacji opisanej w zadaniu 4 wyjaśnić, dlaczego producenci poniosą całość ciężaru
opodatkowania (zaś wydatki konsumentów zostaną bez zmian) jeśli g=0, natomiast
konsumenci poniosą całość tego ciężaru (zaś przychody sprzedawców pozostaną bez
zmian) jeśli a=0.
6.
Wykazać, że w modelu długookresowej równowagi konkurencyjnej (D.10), jeśli funkcja c
jest ściśle wypukła oraz c(0)=0, to p(p)>0 wtedy i tylko wtedy, gdy p>c'(0)
6.
Efekty zewnętrzne i dobra publiczne
(D.1) Efekt zewnętrzny (externality): działalność podmiotu gospodarczego wpływa
bezpośrednio na dobrobyt konsumenta lub możliwości produkcyjne firmy
(D.2) Model bilateralnego efektu zewnętrznego
Niech I=2. Zakładamy, że użyteczności zależą nie tylko od nabywanego na rynku
koszyka, ale również od działania h¥0 podejmowanego przez konsumenta i=1:
ui(x1i,...,xLi,h) dla i=1,2, przy czym ∂u2/∂h∫0. W równowadze konsumenci osiągają
użyteczności vi(p,wi,h) = Maxxi¥0{ui(xi,h): p*Tÿxiwi}. Zakładamy też, że użyteczności są
quasi–liniowe względem dobra obrachunkowego, skąd vi(p,wi,h) = φi(p,h)+wi. Funkcje
φi(p,.) są ściśle wklęsłe względem h (tj. ∂2φi/∂h2<0).
(T.1) Warunek pierwszego rzędu dla efektu zewnętrznego optymalnego w sensie Pareto jest:
∂φ1(p,h0)/∂h  –∂φ2(p,h0)/∂h, przy czym jeśli h0>0, to zachodzi równość
(T.2) Istnienie bilateralnego efektu zewnętrznego (D.2) sprawia, że równowaga rynkowa h*
może ustalić się w położeniu nieoptymalnym w sensie Pareto. Niech h*,h0>0 (rozwiązania
wewnętrzne). Jeśli h0 jest optymalny w sensie Pareto, to:
∂φ2/∂h<0 fl h*>h0 oraz ∂φ2/∂h>0 fl h*<h0
(D.3) Podatek Pigou
Stawka jednostkowa: th = –∂φ2(p,h0)/∂h; należność podatkowa: th(h–ho), gdzie ho –– próg
opodatkowania
(T.3) Dla dowolnego progu opodatkowania podatek Pigou sprawia, że przy bilateralnym efekcie
zewnętrznym (D.2) równowaga rynkowa ukształtuje się w optimum Pareto
(T.4) Twierdzenie Coase'a
Ma miejsce bilateralny efekt zewnętrzny (D.2), ale konsumenci mogą za pomocą płatności
bez ponoszenia kosztów transakcyjnych uzgadniać jego wysokość. Jeśli konsument 2 ma
prawo zabronić konsumentowi 1 tworzenia efektu zewnętrznego, to konsument 1 może
konsumenta 2 skłonić do rezygnacji z tego prawa w zamian za pewną płatność. Jeśli
konsument 1 ma prawo do tworzenia efektu zewnętrznego, to konsument 2 może skłonić
konsumenta 1 do rezygnacji z tego prawa w zamian za pewną płatność. W obu
przypadkach osiągnięty będzie tez sam poziom efektu zewnętrznego optymalny w sensie
Pareto.
(T.5) Jeśli bilateralny efekt zewnętrzny (D.2) może być przedmiotem handlu, to równowaga
rynkowa ustali się w optimum Pareto.
(D.4) Dobro publiczne: dobro spełniające dwa warunki –– (1) wykorzystanie go przez jednego
użytkownika nie wyklucza wykorzystania przez innego użytkownika oraz (2) jeśli
jednostka dobra została dostarczona w gospodarce, to żadnemu podmiotowi nie da
wykluczyć możliwości jej wykorzystania. Dobro, które nie spełnia żadnego z tych
warunków nazywa się prywatnym (takie były dobra rozpatrywane na poprzednich
wykładach)
(D.5) Model dobra publicznego
Niech I konsumentów korzysta z pewnego dobra publicznego x (oprócz dóbr prywatnych
xl). Zakładamy, że ich użyteczności są quasi–liniowe względem dobra złożonego
reprezentującego wszystkie dobra prywatne, zaś ceny tych dóbr nie zależą od konsumpcji
dobra publicznego. W równowadze konsumenci osiągają użyteczności vi(p,x,wi,ci) =
Maxxi¥0{ui(xi,x,wi): pTÿxiwi–ci(x)}, gdzie ci(x) –– część kosztu dostarczenia dobra
publicznego c(x) pokryta przez konsumenta i. Tak więc vi(p,x,wi,ci) = φi(p,x)+wi–ci(x).
Zakładamy, że dla każdego p funkcje φi(p,.) są dwukrotnie różniczkowalne, przy czym
∂2φi/∂x2<0 dla x¥0. Funkcja c jest dwukrotnie różniczkowalna, przy czym c">0 dla x¥0.
Jeśli ∂φi/∂x>0 oraz c'>0, to dobro publiczne jest pożądane, zaś jego produkcja jest
kosztowna. Możliwa jest również sytuacja, gdy ∂φi/∂x<0 oraz c'<0; dobro jest wówczas
niepożądane, zaś jego redukcja jest kosztowna.
(T.6) Optymalna w sensie Pareto ilość dobra publicznego x0 w gospodarce spełniającej D.5,
jeśli ∂φi/∂x>0 oraz c'>0, jest rozwiązaniem zadania Maxx¥0{φ1(p,x)+...+φI(p,x)–c(x)}.
Charakteryzuje ją następujący warunek pierwszego rzędu (konieczny i dostateczny):
∂φ1(p,x0)/∂x+...+∂φI(p,x0)/∂x  c'(x0), przy czym jeśli x0>0, to zachodzi równość.
(T.7) Niech ceny p będą ustalone. Wówczas użyteczności z tytułu konsumpcji dobra
publicznego w D.5 (dla ∂φi/∂x>0 oraz c'>0) można zapisać w skrócie jako φi(x).
Przypuśćmy, że jednostki dobra publicznego mogą być indywidualnie nabywane po cenie
p, tak że x1+...+xI=x będzie stanowiło całkowity popyt na to dobro nabywane
indywidualnie –– w częściach –– przez poszczególnych konsumentów. W równowadze
konsumenci rozwiązują zadanie optymalizacyjne Maxxi¥0{φi(xi+Êk∫ixk*)–p*xi}, przy
założeniu, że cena p* równowagowa jest ustalona oraz ustalone są ilości xk* nabywane
przez pozostałych konsumentów (równowaga Nasha). Warunki pierwszego rzędu
(konieczne i dostateczne) są φi'(xi*+Êk∫ixk*)  p*, przy czym jeśli xi*>0, to zachodzi
równość.
(T.8) Przy założeniach T.7, jeśli podaż dobra publicznego dostarczana jest przez producenta
cenobiorcę maksymalizującego zysk –– a więc rozwiązującego zadanie optymalizacyjne
Maxq¥0{p*q–c(q)} –– to warunek pierwszego rzędu (konieczny i dostateczny) jest
p*c'(q*), przy czym równość zachodzi, jeśli q*>0.
(T.9) Przy założeniach T.7 i T.8, jeśli I>1 oraz x0>0, to φ1'(q*)+...+φI'(q*) > c'(q*), co wyklucza
optymalność q* w sensie Pareto. Co więcej, zachodzi wtedy: q*<x0.
(T.10) Jeśli w T.7 tylko dla jednego konsumenta i spełniona jest równość φi'(x*) = p*, to
x1*=...=xi–1*=xi+1=...=xI=0. Mówimy wtedy, że zachodzi zjawisko "jazdy na gapę" (free
riding).
(T.11) Nieoptymalność równowagi z T.9 można interpretować jako skutek dodatniego efektu
zewnętrznego (nie branego pod uwagę przez rynek) powstającego, jeśli ktoś
indywidualnie nabędzie jednostkę dobra publicznego.
(D.6) Równowaga Lindahla
Dobro publiczne sprzedawane jest indywidualnie (jak dobro prywatne) będąc
"adresowanym" do poszczególnych konsumentów. Każdy konsument może więc płacić
inną cenę pi**. Przy oznaczeniach jak w T.7 konsumenci w równowadze rozwiązują
zadanie optymalizacyjne: Maxxi¥0{φi(xi)–pi**xi} z warunkiem pierwszego rzędu
(koniecznym i dostatecznym) φi'(xi**)pi** z równością dla xi**>0. Zakładamy dalej, że
wiązka tak "adresowanych" dóbr publicznych jest produkowana przez firmę cenobiorcę za
pomocą technologii wykazującej pełną komplementarność: x1=...=xI=q. W równowadze
firma rozwiązuje więc zadanie optymalizacyjne Maxq¥0{(p1**+...+pI**)q–c(q)} z
warunkiem pierwszego rzędu (koniecznym i dostatecznym) p1**+...+pI**c'(q**) z
równością dla q**>0.
(T.12) W równowadze Lindahla (D.6 wraz warunkiem bilansowym xi**=q** dla i=1,...,I) q**=x0
(równowaga jest optymalna w sensie Pareto).
(D.7) Wielostronny efekt zewnętrzny jest ubywalny (depletable) lub prywatny, jeśli jego
oddziaływanie na jeden podmiot zmniejsza oddziaływanie na inne podmioty. Jeżeli
natomiast jego oddziaływanie nie zależy od ilości dotkniętych podmiotów, to jest to efekt
nieubywalny (nondepletable lub publiczny.
(T.13) T.5 pozostaje słuszne dla ubywalnych wielostronnych efektów zewnętrznych, ale (w
ogólności) nie dla nieubywalnych.
(T.14) Reguła Weitzmana
W modelu bilateralnego efektu zewnętrznego (D.2) zakładamy, że φ1 zależy od pewnego
parametru hœÑ tak, że ∂φ1(p,h,h)/∂h=∂φ1(p,h,0)/∂h+h, zaś φ2 nie zależy od niego.
Prawdziwa wartość h∫0 znana jest konsumentowi 1, natomiast rząd uważa, że wynosi ona
0. Tak przypuszczając rząd chce doprowadzić do optymalnej ilości efektu zewnętrznego
h, tj. do zrównania ∂φ1(p,h0,h)/∂h=–∂φ2(p,h0)/∂h (zakładając, że h0>0). Jeśli
|∂2φ1(p,h0,h)/∂h2| > |–∂2φ2(p,h0)/∂h2|, to utrata MAS z tytułu (błędnej) regulacji za pomocą
podatku Pigou (D.3) jest mniejsza niż z tytułu narzucenia h0. I na odwrót przy przeciwnej
nierówności.
(T.15) Podatek Grovesa–Clarke'a
W modelu bilateralnego efektu zewnętrznego (D.2) zakładamy, że istnieją tylko dwa
możliwe poziomy h=0 lub h=1. Niech φ1(p,0)=φ2(p,0)=0, φ1(p,1)=b, φ2(p,1)=c, przy
czym b jest znana tylko konsumentowi 1, zaś c –– tylko konsumentowi 2. Konsumenci
mają ujawnić b i c podając liczby b' i c'. Rząd deklaruje, że ustali h=0, jeśli c'¥b' oraz h=1,
jeśli c'<b'. Ponadto, w drugim przypadku nałoży podatek c' na konsumenta 1 i udzieli
subwencji w wysokości b' konsumentowi 2. Przy takim mechanizmie obydwu
konsumentom najbardziej opłaca się ujawnić b'=b oraz c'=c (tj. zgodnie z prawdą).
Podsumowanie
A.
Efekty zewnętrzne –– zarówno dodatnie jak i ujemne –– powstają w sytuacji, gdy czyjeś
działania konsumpcyjne bezpośrednio zmieniają innemu podmiotowi jego użyteczność.
Równowaga może się wówczas ustalić w położeniu nieoptymalnym w sensie Pareto.
B.
Wnioski dotyczące efektów zewnętrznych wywoływanych lub ponoszonych przez
konsumentów przenoszą się na firmy, z tym że miejsce użyteczności zajmuje zysk.
C.
Optimum Pareto może być osiągnięte mimo efektu zewnętrznego w następstwie
ingerencji rządu polegającej na bezpośrednim (ilościowo–rzeczowym) ograniczeniu tego
efektu albo na nałożeniu podatku Pigou (regulacji cenowo–podatkowej).
D.
W szczególnych przypadkach (bilateralne lub ubywalne efekty zewnętrzne) optimum
Pareto może być osiągnięte dzięki "komercjalizacji" efektu zewnętrznego, tj. możliwości
jego kupowania i sprzedawania.
E.
Dobro publiczne i związany z nim nieubywalny efekt zewnętrzny nie podlega
analogicznej "komercjalizacji" jak efekt ubywalny. Teoretycznie istniejąca równowaga
Lindahla jest trudna do zoperacjonalizowania.
F.
Maksymalizacja nadwyżki ekonomicznej przy efektach zewnętrznych i niepełnej
informacji neguje równoważność ilościowej i cenowej ingerencji rządu (reguła
Weitzmana). Informację rząd może nabywać za pomocą pewnych mechanizmów
motywacyjnych, np. podatku Grovesa–Clarke'a.
Pytania i problemy
1.
[a]
Podatek Pigou może sprawić, że równowaga rynkowa ustali się w optimum Pareto mimo
występowania kosztu zewnętrznego, ale tylko pod warunkiem, że
kwota podatku będzie co najmniej tak wysoka, jak wielkość tego kosztu zewnętrznego
[b]
[c]
[d]
[e]
2.
[a]
[b]
[c]
[d]
[e]
kwota podatku będzie dokładnie równa temu kosztowi zewnętrznemu
stawka podatku będzie równa krańcowemu kosztowi zewnętrznemu w optimum Pareto
stawka podatku będzie równa krańcowemu kosztowi zewnętrznemu w równowadze przed
wprowadzeniem podatku
żadne z powyższych.
W modelu równowagi Lindahla nieoptymalność zwykłej równowagi rynkowej z dobrem
publicznym zostaje naprawiona dzięki
uniemożliwieniu konsumentom fałszywego ujawniania preferencji względem tego dobra
zastąpieniu dobra publicznego wiązką dóbr prywatnych –– charakteryzujących się pełną
komplementarnością produkcji –– po jednym dla każdego z konsumentów
zorganizowaniu podaży dobra publicznego na zasadach konkurencyjnych –– przez wielu
niezależnych dostawców
pobraniu od każdego potencjalnego użytkownika identycznej ceny zapewniającej pokrycie
kosztu zakupu dobra publicznego
żadne z powyższych
3.
Grupa studencka liczy I osób. Poszczególni studenci przeznaczają na naukę hi godzin
tygodniowo, co pomniejsza czerpaną przez nich użyteczność z tytułu konsumpcji o hi2/2
(i=1,...,I). Korzyści z tytułu nauki zależne są jednak nie tylko od własnego nakładu pracy
ale i od średniego poziomu w grupie i wyrażają się funkcją φ(hi/(h1+...+hI)), która jest
wklęsła, rosnąca, różniczkowalna, przy czym limxØ0+φ'(x)=¶ (np. funkcja ◊ spełnia te
założenia). Proszę scharakteryzować równowagę Nasha w zakresie symetrycznych
rozwiązań, tj. takich, że h1*=...=hI* i porównać z optimum Pareto (też w zakresie
rozwiązań symetrycznych).
4.
Konsument 1 tworzy ujemny ubywalny efekt zewnętrzny, który jest ponoszony przez
konsumentów 2 i 3. Sformułować i udowodnić twierdzenie Coase'a dla tego przypadku.
5.
Mieszkańcy miasteczka charakteryzują się identycznymi funkcjami użyteczności
U(xi,y)=xi+y1/2, gdzie xi – konsumpcja (jedynego) dobra prywatnego przez konsumenta i,
zaś y – konsumpcja (jedynego) dobra publicznego. Koszty krańcowe dostarczenia tych
dóbr są stałe i wynoszą 1 dla dobra prywatnego i 5 dla dobra publicznego. Zakładając, że
miasteczko liczy 1000 mieszkańców, proszę podać optymalną podaż dobra publicznego.
6.
Całkowite koszty zewnętrzne spowodowane produkcją q wynoszą EC=2q2+1, zaś
dodatnie efekty zewnętrzne EB=50q–2q2+1. Korzyści prywatne z tytułu tej produkcji
wynoszą PB=1000q–2q2–1. Natomiast znajomość kosztów prywatnych jest obarczona
marginesem błędu. Wynoszą one PC=q2+hq, gdzie h jest pewną liczbą dodatnią. Nie
znając w pełni tych kosztów rząd chce jednak doprowadzić do podjęcia społecznie
optymalnego poziomu produkcji regulując jej wysokość albo bezpośrednio albo za
pomocą podatku. W sytuacji niepewności, który z instrumentów interwencji grozi
większym błędem (w postaci utraty dobrobytu w stosunku do poziomu optymalnego):
podatek, czy regulacja ilościowa? Odpowiedź należy dokładnie uzasadnić.
7.
Niedoskonała konkurencja
(D.1) Problem optymalizacyjny monopolu
Maxp{px(p)–c(x(p))} lub Maxq¥0{p(q)q–c(q)}, gdzie x(.) jest funkcją ciągłą i ściśle
malejącą dla p takich, że x(p)>0; p(.) jest odwrotną funkcją popytu (przy czym
definiujemy p(0)=p0, gdzie p0 jest najmniejszą ceną, dla której x(p)=0). Zakłada się też, że
p(.) i c(.) są dwukrotnie różniczkowalne dla q¥0, p(0)>c'(0) oraz że istnieje jedyny taki
q0œ(0,¶), że p(q0)=c'(q0) (jest to wielkość podaży maksymalizująca nadwyżkę
ekonomiczną).
(T.1) Rozwiązanie problemu optymalizacyjnego monopolu (D.1), qm, spełnia następujący
warunek pierwszego rzędu (konieczny): p'(qm)qm+p(qm)=c'(qm). Wynika stąd również, że
p(qm)>c'(qm) oraz qm<q0. Bezowocna utrata dobrobytu wynosi wówczas qm∫q0(p(s)–c'(s))ds.
(T.2) Jeśli w modelu monopolu D.1 p(q)=a–bq oraz c(q)=cq, gdzie a>c¥0, b>0 to q0=(a–c)/b i
p0=p(q0)=c, ale qm=(a–c)/2b i pm=(a+c)/2.
(D.2) Model Bertranda
Duopol działa na rynku o funkcji popytu x(.) ciągłej i ściśle malejącej dla p takich, że
x(p)>0, przy czym istnieje p0<¶ taka, że x(p)=0 dla p¥p0. Obie firmy mają stałe efekty
skali o identycznym jednostkowym koszcie produkcji c>0. Zakładamy, że x(c)œ(0,¶).
Firmy konkurują ze sobą jednocześnie ogłaszając ceny, odpowiednio, p1 i p2 na swoje
produkty. Sprzedaż jest wówczas wyznaczona w następujący sposób: xj(pj,pk)=x(pj) jeśli
pj<pk, xj(pj,pk)=x(pj)/2 jeśli pj=pk oraz xj(pj,pk)=0 jeśli pj>pk. Zyski firm dane są wzorem
pj(pj,pk)=(pj–c)xj(pj,pk).
(T.3) W modelu Bertranda istnieje jedyna równowaga Nasha (p1*,p2*)=(c,c).
(D.3) Model Cournota
Duopol działa na rynku o odwrotnej funkcji popytu p(.), która jest różniczkowalna oraz
p'(q)<0 dla q¥0. Obie firmy mają stałe efekty skali o identycznym jednostkowym koszcie
produkcji c>0. Zakładamy, że p(0)>c oraz istnieje jedyny poziom produkcji q0œ(0,¶)
taki, że p(q0)=c (tj. q0=x(c)). Firmy konkurują ze sobą jednocześnie decydując o wielkości
podaży, odpowiednio, q1 i q2. Cena jest wówczas wyznaczona jako p(q1+q2), zaś zyski
firm wynoszą pj(qj,qk)=(p(q1+q2)–c)qj.
(T.4) W modelu Cournota każda równowaga Nasha (q1*,q2*) musi spełniać warunki:
p'(q1*+q2*)q1*+p(q1*+q2*)c oraz równość jeśli q1*>0
p'(q1*+q2*)q2*+p(q1*+q2*)c oraz równość jeśli q2*>0 oraz
p'(q1*+q2*)(q1*+q2*)/2+p(q1*+q2*)=c.
Dow.
Prawdziwość obu nierówności wynika z twierdzenia Kuhna-Tuckera dla zadań
optymalizacyjnych obydwu firm w duopolu (tj. Maxqi{(p(q1+q2)–c)qj.}). Wykażemy
obecnie, że obydwa rozwiązania muszą być dodatnie. Przypuśćmy, że -- przeciwnie -- np.
q1*=0. Wtedy pierwsza nierówność redukuje się do p(q2*)≤c. Wykorzystamy ją w analizie
nierówności drugiej, aby dowieść, że wtedy również q2*=0. Albowiem gdyby w tej
sytuacji q2*>0, to z założenia (przyjmowanego w modelu Cournota, D.3) iż p'<0 wynika,
że p'(q2*)q2*+p(q2*)<c, co z kolei implikuje q2*=0, a zatem sprzeczność. Tak więc q2*=0.
Ale wtedy zarówno pierwsza jak i druga nierówność sprowadza się do p(0)≤c, co przeczy
innemu założeniu modelu Cournota, iż p(0)>c. Wynika stąd, że q1*>0. Analogicznie
wykazuje się, że q2*>0. W rezultacie obie nierówności w tezie twierdzenia muszą byc
spełnione w formie równości. Dodając te równości stronami i dzieląc przez 2
otrzymujemy równość z tezy twierdzenia.
(T.5) W modelu Cournota cena równowagi Nasha jest większa niż c (cena konkurencyjna) ale
niższa od ceny monopolowej
(T.6) W modelu Cournota z liniową odwrotną funkcją popytu p(q)=a–bq (przy czym a>c¥0
oraz b>0) równowaga Nasha ustali się przy podażach q1*=q2*=(a–c)/3b oraz cenie
p(q1*+q2*)=(a+2c)/3 œ (c,pm)
(D.4) Oligopolistyczny model Cournota
Definicję D.3 w oczywisty sposób uogólnia się dla J firm (J¥1) tak, że jest ona spełniona
dla J=2
(T.7) Niech QJ* oznacza zagregowaną podaż w równowadze w oligopolistycznym modelu
Cournota. Warunkiem koniecznym dla równowagi Nasha jest wówczas:
p'(QJ*)QJ*/J+p(QJ*)=c.
(T.8) W oligopolistycznym modelu Cournota dla J¥1 firm z liniową odwrotną funkcją popytu
jak w T.6 równowaga Nasha wyznaczona jest wzorem q*(J)=q1*=...=qJ* = (a–c)/(b(J+1)).
Cena równowagi wynosi wówczas p*(J)=a–(a–c)J/(J+1), zaś zyski poszczególnych firm
p*(J)=p1*=...=pJ* = (a–c)2/(b(J+1)2).
(T.9) W modelu z T.8 p* oraz p* są malejącymi funkcjami J, limJضp*(J)=c, limJضp*(J)=0 oraz
limJضJq*(J)=(a–c)/b
(D.5) Dwuetapowa gra wejścia
I etap. Wszystkie potencjalne firmy jednocześnie podejmują decyzje wejścia na rynek lub
nie. Firma, która zdecydowała się wejść ponosi koszt wejścia K>0. II etap. Wszystkie
firmy, które weszły na rynek rozgrywają grę oligopolistyczną (np. D.4)
(T.10) W dwuetapowej grze wejścia jak w D.5 w każdej SPNE liczba J* firm, które zdecydowały
się wejść musi spełniać: p*(J*)¥K oraz p*(J*+1)<K
(T.11) Jeśli w dwuetapowej grze wejścia gra rozgrywana w drugim etapie jest jak w T.8, to J* =
[(a–c)/(bK)1/2–1]
(D.6) Oligopolistyczny model Bertranda
Definicję D.2 w oczywisty sposób uogólnia się dla J firm (J¥1) tak, że jest ona spełniona
dla J=2
(T.12) Jeśli w dwuetapowej grze wejścia gra rozgrywana w drugim etapie jest jak w D.6, to
zakładając, że pm>K: J*=1
(T.13) Jeśli w dwuetapowej grze wejścia gra rozgrywana w drugim etapie jest jak w T.8, to J0,
liczba firm maksymalizująca MAS, czyli W(J) = 0∫Qp(s)ds–J(cq*(J)+K), może być
wyznaczona z warunku W'(Jr)=0, czyli (Jr+1)3=(a–c)2/(bK). Jeśli Jr jest całkowita, to J0=Jr.
W przeciwnym razie J0=[Jr] lub J0=[Jr]+1.
(D.7) Powtarzalny model Bertranda
Duopol spełnia warunki modelu Bertranda (D.2), ale decyzje podejmowane są
wielokrotnie. Po każdej realizacji sprzedaży następującej w następstwie rozegrania
pojedynczego etapu gry, firmy mogą (jednocześnie) ogłosić nowe ceny. Zakłada się, że
firmy (j=1,2) maksymalizują sumę zysków obecnych oraz przyszłych zdyskontowanych
na chwilę obecną za pomocą stopy r>0: pj1+pj2/(1+r)+pj3/(1+r)2+pj4/(1+r)3+... Powyższa
gra może być skończona, jeśli firmy ją rozgrywają tylko T razy, lub nieskończona, jeśli
rozgrywają ją nieskończenie wiele razy.
(T.14) Jeśli gra w powtarzalnym modelu Bertranda (D.7) jest skończona, to istnieje jedyna
SPNE. Zawiera ona strategie Nasha z pojedynczego etapu, a więc (c,c).
(D.8) Strategia przejścia do Nasha (Nash reversion strategy)
W powtarzalnym modelu Bertranda definiujemy
Ht-1={(p11,p21),(p12,p22),(p13,p23),...,(p1t-1,p2t-1)} (historia zastosowanych strategii).
W etapie t firmy wybierają strategie pjt(Ht-1)=pm jeśli t=1 lub jeśli Ht-1 składa się
wyłącznie z elementów (pm,pm); w przeciwnym razie pjt=c.
(T.15) Jeśli gra w powtarzalnym modelu Bertranda jest nieskończona, to strategia przejścia do
Nasha (D.8) jest SPNE wtedy i tylko wtedy, gdy r1
(T.16) Jeśli gra w powtarzalnym modelu Bertranda jest nieskończona a r1, to każdy trwały i
zgodny wybór dowolnej jednolitej ceny pœ[c,pm] zagrożony strategią przejścia do Nasha
stanowi SPNE.
(T.17) Jeśli gra w powtarzalnym modelu Bertranda jest nieskończona a r>1, to jedyna SPNE
składa się z wyboru ceny p=c na każdym etapie przez każdego partnera.
Podsumowanie
A.
Jeśli firmy nie są cenobiorcami, to wynik równowagi rynkowej zależy od sposobu
rywalizacji. Np. w krótkim okresie rywalizacja za pomocą cen prowadzi do wyniku
zbliżonego do konkurencyjnego, zaś rywalizacja za pomocą podaży prowadzi do wyniku
dalszego od równowagi konkurencyjnej.
B.
W długim okresie czasu rywalizacja może być interpretowana jako gra dwuetapowa: w
pierwszym etapie firmy podejmują decyzje o wejściu na rynek, w drugim zaś o
specyficznym sposobie rywalizacji.
C.
Za pomocą modelu gry dwuetapowej można określić równowagową (w sensie SPNE)
liczbę firm, jakie mogą trwać na rynku. Ta liczba w modelach liniowych z identycznymi
firmami jest wyznaczona jednoznacznie, ale zbiór firm, które wejdą na rynek nie musi być
w pełni zdeterminowany.
D.
W modelu gry dwuetapowej liczba firm, które w równowadze (w sensie SPNE) znajdą się
na rynku nie musi pokrywać się ze społecznie optymalną (w sensie maksymalizacji
zagregowanej nadwyżki ekonomicznej) liczbą takich firm. Np. jeśli drugi etap rozgrywa
się jak w oligopolistycznym modelu Cournota, to równowaga ustala się przy zbyt dużej
liczbie firm.
E.
W grze powtarzalnej, jeśli jest skończona, SPNE składa się ze strategii Nasha dla każdego
etapu; natomiast jeśli jest nieskończona, to SPNE może nie pokrywać się ze strategią
Nasha w poszczególnych etapach, pod warunkiem, że "fałszywy" ruch zagrożony jest
"przejściem do Nasha".
Pytania i problemy
1.
[a]
[b]
[c]
[d]
[e]
2.
[a]
[b]
[c]
[d]
[e]
W Bertranda modelu duopolu równowaga ustali się przy cenie konkurencyjnej, ponieważ
na rynku może działać dowolnie dużo identycznych firm
każda z firm jest cenobiorcą
jeśli jeden z partnerów wyznaczy cenę wyższą niż konkurencyjna, to jego rywal może
przejąć cały rynek i zrealizować dodatni zysk
równowaga Nasha zawsze ustala się na poziomie niekorzystnym dla graczy –– jak to
ilustruje paradoks więźnia
żadne z powyższych
Załóżmy, że rywalizacja na rynku oligopolistycznym odbywa się jak w dwuetapowej grze
Cournota przy liniowej funkcji popytu (T.11). Jeśli w pewnej sytuacji równowagowa
liczba firm, które działają na tym rynku wyniosła 8, to podwojenie kosztu wejścia
spowoduje
wzrost liczby firm do 9
wzrost liczby firm do 16
spadek liczby firm do 4
spadek liczby firm do 5
żadne z powyższych
3.
Marża monopolistyczna (tzw. Lernera indeks siły monopolistycznej) zdefiniowana jest
wzorem (pm–c'(qm))/pm. Wykazać, że jest ona równa odwrotności cenowej elastyczności
popytu przy cenie pm.
4.
Na rynku działają trzy identyczne firmy mające stałe efekty skali i przeciętny koszt
produkcji c=2. Popyt wyznaczony jest wzorem q=80–10p. Zakładając, że firmy rywalizują
ze sobą jak w modelu Cournota, obliczyć równowagową podaż, cenę oraz zysk każdej z
firm.
5.
W dwuetapowej grze wejścia konkurencja między firmami w drugim etapie rozgrywa się
jak w zmodyfikowanym oligopolistycznym modelu Bertranda; firmy potencjalnie biorące
udział w tej grze mają stałe efekty skali ale niekoniecznie z tym samym kosztem
jednostkowym. Czy w tej sytuacji w SPNE na rynku znajdzie się firma o najniższym
koszcie jednostkowym? Odpowiedź należy dokładnie uzasadnić.
6.
Udowodnić następujące twierdzenie. Jeśli gra w powtarzalnym oligopolistycznym modelu
Bertranda (J>1) jest nieskończona, to każdy trwały i zgodny wybór dowolnej jednolitej
ceny pœ(c,pm] zagrożony strategią przejścia do Nasha stanowi SPNE wtedy i tylko wtedy,
gdy r1/(J–1).
8.
Asymetryczna informacja
(D.1) Równowaga konkurencyjna na rynku pracy w sytuacji, gdy produktywność q
pracowników jest znana tylko im samym, ale pracodawcy znają jej statystyczny rozkład,
jest to para:
Q* = {q: r(q)w*}
w* = E(q| qœQ*),
gdzie r –– koszt alternatywny (opportunity cost) podjęcia pracy, w –– płaca, Q –– zbiór
kategorii pracowników (charakteryzujących się określoną produktywnością); zakładamy,
że Q*∫«.
(T.1) Jeśli r(q)=r=const, to w optimum Pareto pracownicy o produktywności q¥r podejmują
pracę, zaś pracownicy o produktywności q<r nie podejmują pracy
(T.2) Jeśli r(q)=r=const, qœ[qmin,qmax], przy czym qmin<r<qmax, to równowaga konkurencyjna
(D.1) nie ustali się w optimum Pareto.
(D.2) Selekcja negatywna (adverse selection): zachowanie podmiotu dysponującego informacją
w sposób, który niekorzystnie wpływa na podmiot nie dysponujący tą informacją
(T.3) Jeśli r(q)q dla qœ[qmin,qmax], to w optimum Pareto wszyscy pracownicy powinni być
zatrudnieni
(T.4) Niech r(q)=2q/3 dla qœ[0,1], przy czym rozkład q na [0,1] jest jednostajny. Wtedy w*=0 i
Θ*={0}, a ponieważ jest to jedyna równowaga, więc dokona się selekcja negatywna
Dow.
Para (0,{0}) stanowi oczywistą równowagę. Pokażemy, że jest ona jedyna. Płaca
równowagowa nie może być ujemna, więc załóżmy, że w>0. Wtedy Θ = {θ: r(θ)≤w} =
{θ: 2θ/3≤w} = {θ: θ≤3w/2} = [0,3w/2]. Tymczasem E(θ|θ∈Θ) = E(θ|θ≤3w/2) = 1/(3w/2–
0) 0∫3w/2θdθ = 2/(3w) [θ2/2]03w/2 = 3w/4 < w. A zatem żadna w>0 nie mogłaby być płacą
równowagi.
(D.3) Rozkład płac granicznych (reservation wage) r(q) jest znany, jak również znany jest
rozkład prawdopodobieństw Pr{[q1,q2]}. Równowaga konkurencyjna z selekcją
negatywną na rynku pracy zatrudnianej przez 2 firmy stanowi wynik dwuetapowej gry, w
której w I etapie firmy oferują płace, odpowiednio, w1 i w2, zaś w II etapie pracownicy
podejmują decyzje o zatrudnieniu się; zatrudniają się w firmie oferującej wyższą płacę ci,
dla których Max{w1,w2}¥r(q), przy tym, jeśli w1=w2, to wybór firmy jest losowy z
prawdopodobieństwem (1/2,1/2).
(T.5) Niech r(θ)≤θ oraz r ściśle rosnąca na [θmin,θmax], przy czym funkcja gęstości rozkładu f(θ)
spełnia f>0 na [θmin,θmax]. Niech W* oznacza zbiór płac spełniających warunek równowagi
konkurencyjnej (D.1) oraz w*=Max{w: wœW*}. Zakładamy, że równowaga osiągana jest
w wyniku gry dwuetapowej jak w D.3. Wówczas:
1. Jeśli w*>r(qmin) oraz $ε>0 "w'œ(w*–ε,w*) [E(q| r(q)w')>w'], to istnieje jedyna (w
zakresie strategii czystych) SPNE dla powyższej gry dwuetapowej. W tej SPNE
zatrudnieni pracownicy otrzymują płacę w*, a zatrudniają się wszyscy ze zbioru
Q(w*)={q: r(q)w*}
2. Jeśli w*=r(qmin), to istnieje wiele SPNE (w zakresie strategii czystych). Ale w każdej
takiej SPNE obie firmy mają zerowe zyski, zaś każdy pracownik o produktywności q
osiąga wypłatę r(q) (w formie płacy lub konsumując czas wolny).
Dow.
1.
2.
Trzymamy się konwencji, że jeśli r(θ)=w, to pracownik przyjmuje pracę
(mimo że jest mu wówczas obojętne przyjęcie bądź nieprzyjęcie pracy).
Niech w*>r(θmin). Najpierw zauważmy, że w SPNE obie firmy muszą mieć
zerowe zyski. Gdyby bowiem w jakiejś SPNE było inaczej, to znaczy, że obie
firmy oferując płacę w" i zatrudniając łącznie M pracowników osiągnęłyby
łączny zysk
Π = M(E(θ|r(θ)≤w")–w") > 0.
Dodatniość tej liczby implikuje dodatniość M (ktoś się dał zatrudnić), a co za
tym idzie, relację w"≥r(θmin). Załóżmy dalej, że jedna z firm -- powiedzmy 1 -osiąga zysk nie większy niż Π/2. Jednak ta firma mogłaby osiągnąć zysk co
najmniej M(E(θ|r(θ)≤w"+α)–w"–α) oferując płacę w"+α dla pewnej liczby α>0
(odbierając wszystkich pracowników drugiej firmie i mając łączną liczbę
pracowników co najmniej M). Ale E(θ|r(θ)≤w) jest ciągła względem w (jako
całka), więc dobierając odpowiednio małą liczbę α można sprawić, żeby zysk
w tej firmie był bliski Π, a więc większy od Π/2. A zatem firma 1 ma
motywację, by odejść od oferty w", co przeczy przypuszczeniu, że w" była
elementem SPNE. Wynika z tego, że Π≤0. Jednak żadna z firm nie może mieć
w SPNE zysków ujemnych (bo przecież oferując zerową płacę osiągnęłaby
zysk zerowy, a więc lepszy). Ostatecznie zatem Π=0 i obie firmy w SPNE
muszą osiągać zerowe zyski.
W konsekwencji, jeśli w" stanowi wyższą płacę oferowaną przez którąś z firm
w SPNE, musi to być albo w"∈W* (w" musi być płacą równowagową
spełniającą D.1) albo w"<r(θmin) (w" jest za niska, aby mogła być przez
kogokolwiek zaakceptowana). Przypuśćmy, że w"<w*. Ale wtedy – z
założenia – każda z firm mogłaby osiągnąć dodatni zysk zmieniając ofertę z
w" na w'∈(w*–ε,w*), co przeczy temu, że w" była elementem SPNE.
Ostatecznie więc wyższa płaca oferowana w SPNE musi się równać w*.
Aby zakończyć tę część dowodu wykażemy, że oferowanie płacy w* przez
każdą z firm oraz przyjmowanie zatrudnienia przez pracowników zgodnie z
podanymi zasadami stanowią łącznie SPNE. Z poprzednich kroków dowodu
wynika, że w SPNE obie firmy osiągają zerowe zyski. Żadna z firm nie ma
motywacji, by jednostronnie obniżyć płacę, bo wtedy straci wszystkich
pracowników i nie osiągnie dodatniego zysku. Sprawdzimy, że podniesienie
oferty płacy również nie jest opłacalne, gdyż E(θ|r(θ)≤w)<w dla w>w*. Z
założenia w* jest najwyższą płacą konkurencyjną. A zatem nie ma w>w*, dla
której E(θ|r(θ)≤w)=w. Stąd – ponownie z ciągłości E(θ|r(θ)≤w) względem w –
E(θ|r(θ)≤w)–w musi mieć ten sam znak (dodatni lub ujemny) dla wszystkich
w>w*. Nie może to być jednak znak dodatni, ponieważ przy w→∞
E(θ|r(θ)≤w)→E(θ), zaś ta ostatnia wartość jest skończona; czyli dla
dostatecznie dużych w badana różnica musi być ujemna, co wykazuje, że
E(θ|r(θ)≤w)<w i kończy tę część dowodu.
Załóżmy, że w*=r(θmin), to znaczy, że dla dowolnych w>w* E(θ|r(θ)≤w)<w, a
więc zatrudnienie pracowników w zamian za płacę wyższą niż w* prowadzi do
strat. Z kolei zaoferowanie płacy w≤w* musi prowadzić do zerowych zysków
dla każdej z firm. Tak więc zbiór ofert płacowych, które mogą się znaleźć w
SPNE jest {(w1,w2): w1≤w* i w2≤w*)}. Może ich być zatem wiele, ale w
każdym przypadku obie firmy mają zerowe zyski, a każdy pracownik uzyskuje
tyle samo, co uzyskałby przy zaoferowanej płacy w*=r(θmin), czyli r(θ) (tj.
r(θmin) jeśli należał do najniższej kategorii produktywności i dał się zatrudnić,
albo r(θ) w przeciwnym razie poprzestając na konsumowaniu czasu wolnego).
(D.4) Gra sygnalizacyjna (signalling game)
Produktywność pracowników (nieobserwowalna dla pracodawców) przyjmuje dwie
wartości: qL oraz qH, przy czym qL<qH. Zakładamy, że r=0 dla wszystkich pracowników.
Pracownik może uzyskać formalne wykształcenie na poziomie e>0 (obserwowalne dla
pracodawców), którego koszt wynosi cHe dla pracownika o wyższej produktywności oraz
cLe dla pracownika o niższej produktywności, przy czym cH<cL. Uzyskanie poziomu
wykształcenia e nie zmienia produktywności pracownika.
(T.6) Jeżeli poziom wykształcenia e=e* w D.4 jest tak dobrany, żeby
(qH–qL)/cL < e* < (qH–qL)/cH,
to pracownicy o produktywności q=qH i tylko oni uzyskają poziom wykształcenia e*
"sygnalizując" tym samym pracodawcom swoją produktywność i uzyskując płacę wH=qH.
Pozostali pracownicy zostaną zatrudnieni z płacą wL=qL. Osiągnięta w ten sposób
równowaga rynkowa nosi nazwę równowagi separacyjnej (separating equilibrium).
(T.7) Jeśli produktywność q pracowników oraz alternatywny koszt zatrudnienia r są jak w D.4,
to pracodawcy mogą rozróżnić kategorie pracowników oferując im kontrakty, w których
wynagrodzenia są uzależnione od wyników łatwiejszych do osiągnięcia pracownikom o
wysokiej produktywności (screening game).
(D.5) Problem przełożonego–podwładnego (principal–agent problem)
Sformułowanie warunków kontraktu mających na celu przełamanie asymetrii informacji
polegającej na niemożności obserwowania przez jeden podmiot ("przełożonego") ilości
pracy włożonej w wykonanie kontraktu przez drugi podmiot ("podwładnego").
(D.6) Model ryzyka niewłaściwych zachowań (hidden actions; moral hazard)
Przesłanki kontraktu, o jakim mowa w D.5 są następujące. Niech pœÑ oznacza zysk
(obserwowalny) z tytułu projektu, zaś e –– poziom wysiłku (być może nieobserwowalny
dla przełożonego) wkładanego w projekt przez podwładnego. Zakładamy, że
eœE={eL,eH}. Zysk p stanowi realizację zmiennej losowej o wartościach z przedziału
P=[pmin,pmax] o warunkowej funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa f(p|e)>0 dla
wszystkich pœP oraz eœE (tj. nie można jednoznacznie wydedukować poziomu e na
podstawie realizacji p). Przy tym ∫Ppf(p|eH)dp > ∫Ppf(p|eL)dp. Podwładny maksymalizuje
funkcję użyteczności Bernoulliego o następującej postaci: u(w,e)=v(w)–g(e), gdzie w(p)
jest wynagrodzeniem z tytułu kontraktu, v'>0, v"0 oraz g(eH)>g(eL). Podwładny przyjmie
kontrakt tylko wtedy, gdy jego warunki zapewnią osiągnięcie u0 (użyteczności
granicznej). Przełożony maksymalizuje zysk z projektu pomniejszony o wynagrodzenie
dla podwładnego: ∫P(p–w(p))f(p|e)dp (zysk netto).
(T.8) Jeśli wysiłek e jest obserwowalny przez przełożonego, to kontrakt, o jakim mowa w D.6
musi określać, że podwładny wkłada w projekt wysiłek e* będący rozwiązaniem zadania
Maxe{∫Ppf(p|e)dp–v-1(u0+g(e))} oraz otrzymuje ustalone wynagrodzenie w*=v-1(u0+g(e*)).
Jeśli v"<0, to jest to jedyny optymalny kontrakt.
(T.9) Przy założeniach T.8, jeśli v(w)=w, to optymalna wysokość wysiłku e* stanowi
rozwiązanie zadania Maxe{∫Ppf(p|e)dp–(u0+g(e))}
(T.10) W modelu D.6, jeśli wysiłek podwładnego nie jest obserwowalny, a podwładny jest
neutralny względem ryzyka, to optymalny kontrakt wywołuje ten sam wysiłek e*,
wynagrodzenie w* oraz zysk netto dla przełożonego, co w T.9. Wynagrodzenie
podwładnego określone jest wzorem w(p)=p–a*, gdzie a*=∫Ppf(p|e*)dp–(u0+g(e*)).
(T.11) W modelu D.6, jeśli wysiłek podwładnego nie jest obserwowalny, a podwładny ma
awersję do ryzyka, to optymalny kontrakt rozwiązuje zadanie Minw(p){∫Pw(p)f(p|e*)dp: (i)
- (ii)}, gdzie warunki (i) i (ii) określone są następująco:
(i) ∫Pv(w(p))f(p|e*)dp–g(e*)¥u0
(ii) e* jest rozwiązaniem zadania Maxe{∫Pv(w(p))f(p|e)dp–g(e)}
Warunek (ii) nosi nazwę warunku poprawności motywacyjnej (incentive compatibility)
(T.12) Przy założeniach T.11 wartość oczekiwana wynagrodzenia za włożenie wysiłku eH jest
wyższa niż w T.8. Natomiast wynagrodzenie za włożenie wysiłku eL jest ustalone i równe
kwocie przewidzianej w T.8. Jeśli więc przy obserwowalnym wysiłku jego optymalna
wysokość byłaby e*=eH, to nieobserwowalność powoduje utratę dobrobytu.
(T.13) W modelu D.6 nieobserwowalność wysiłku powoduje jego obniżenie przez podwładnego.
Uogólnienie modelu przez wyspecyfikowanie zbioru E jako więcej niż dwuelementowego
implikuje ponownie nieoptymalność wysiłku, ale nie pozwala na stwierdzenie, że będzie
on zaniżony w stosunku do optymalnego.
Podsumowanie
A.
Na wykładzie problemy asymetrycznej informacji zostały zilustrowane na przykładach
kontraktów dotyczących zatrudnienia, ale mają one również zastosowanie przy sprzedaży
innych towarów (np. używanych samochodów) i usług (np. ubezpieczeń).
B.
Asymetryczna informacja może dotyczyć zarówno fazy zawierania kontraktu (grozi
wówczas negatywną selekcją), jak i fazy po zawarciu kontraktu (grozi wówczas ryzykiem
niewłaściwych zachowań). W obu przypadkach równowaga może się ustalić w położeniu
nieoptymalnym w sensie Pareto.
C.
Proces negatywnej selekcji może być modelowany jako gra dwuetapowa najpierw
oferowania płac przez pracodawców, a następnie podjęcia decyzji o zatrudnieniu bądź nie.
Uwiarygodnienie informacji przez "sygnalizowanie" pozwala przełamać negatywną
selekcję, ale wymaga to poniesienia kosztu, który obniża dobrobyt.
D.
Eliminacja ryzyka niewłaściwych zachowań może się dokonywać przez zawarcie
kontraktu spełniającego warunek poprawności motywacyjnej. Jeśli jednak podwładny ma
awersję do ryzyka, to taki kontrakt powoduje utratę dobrobytu w stosunku do sytuacji, gdy
zachowanie jest obserwowalne.
Pytania i problemy
1.
W grze sygnalizacyjnej równowaga na rynku pracy pozwoli znaleźć zatrudnienie
wszystkim, których produktywność jest wyższa od alternatywnego kosztu zatrudnienia,
ponieważ
[a]
dzięki sygnalizacji identyfikuje się kategorie pracowników wymagających określonej
płacy, która odpowiada ich produktywności
[b]
sygnalizacja –– np. przez osiągnięcie pewnego poziomu wykształcenia –– podnosi
produktywność pracowników
[c]
sygnalizacja –– np. przez osiągnięcie pewnego poziomu wykształcenia –– daje
pracownikom zadowolenie z pracy mimo niższej płacy
[d]
pracodawcy muszą pracownikom, którzy sygnalizują zaoferować płacę odzwierciedlającą
nie tylko produktywność, ale i zwrot kosztów sygnalizacji
[e]
żadne z powyższych
2.
[a]
[b]
[c]
[d]
[e]
W modelu ryzyka niewłaściwych zachowań optymalny kontrakt spełniający warunek
poprawności motywacyjnej zawsze
powinien motywować podwładnego do włożenia maksymalnego wysiłku (e*=eH)
powinien motywować podwładnego do włożenia minimalnego wysiłku (e*=eL)
daje podwładnemu wynagrodzenie, które pokrywa mu przynajmniej koszt maksymalnego
wysiłku (g(eH))
obciąża przełożonego płatnością na rzecz podwładnego w wysokości nie wyższej niż
koszt maksymalnego wysiłku (g(eH))
żadne z powyższych
3.
Załóżmy, że Q={q1,q2}, przy czym q1<q2 oraz r(q1)=q1 i r(q2)<q2. Przy jakich dodatkowych
warunkach jest możliwe, żeby równowaga rynkowa z asymetryczną informacją jak w D.1
ukształtowała się w optimum Pareto?
4.
Załóżmy, że wykształcenie –– mierzone latami spędzonymi w szkołach –– nie zmienia
produktywności pracownika, która jest określona przez czynniki losowe i
nieobserwowalna dla pracodawców. Szkoły nie są obowiązkowe. Istnieją dwie kategorie
pracowników: o produktywności 100 oraz o produktywności 80. Koszt zaliczenia jednego
roku nauki w szkole wynosi dla pierwszych 1, zaś dla drugich 3. Zarówno
produktywności, jak i koszty nauki są zdyskontowane na ten sam moment, tak że mogą
być porównywalne. Czy dyplom ukończenia 8–klasowej szkoły podstawowej może
sygnalizować, że pracownik należy do kategorii o wyższej produktywności? Odpowiedź
proszę uzasadnić.
5.
Rolnik może uprawiać wydzierżawioną ziemię wkładając w to wysiłek eL=1, albo eH=2.
Jednak wartość zbiorów pœ[0,1] jest zmienną losową, której rozkład zależy od poziomu
wysiłku i ma funkcję gęstości f(p|e), przy czym f(p|1)=0,5+p, f(p|2)=1,5–p. Użyteczność
czerpana przez rolnika z tytułu dzierżawy dana jest wzorem u(w,e)=w–g(e), gdzie w jest
wynagrodzeniem, zaś g(1)=1/12 i g(2)=1/3. Proszę zaproponować kontrakt dzierżawy
zapewniający właścicielowi ziemi i rolnikowi optimum Pareto. Zakładamy, że obaj są
neutralni względem ryzyka, właściciel maksymalizuje oczekiwany przychód netto z
dzierżawy (wartość zbiorów pomniejszoną o wynagrodzenie rolnika), a rolnik
maksymalizuje oczekiwane wynagrodzenie, które musi mu zapewnić poziom
użyteczności co najmniej u0=0,25. Do jakiego poziom wysiłku będzie rolnika motywował
ten kontrakt?
6.
Jak zmienią się warunki kontraktu, jeśli założyć, że rolnik ma awersję do ryzyka
odzwierciedloną w funkcji użyteczności u(w,e)=ln(w+1)–g(e)? Pozostałe założenia, jak w
pytaniu 5.
9.
Równowaga ogólna
(D.1) Model czystej wymiany (pure exchange) w prostokącie Edgewortha
W gospodarce wyróżniamy dwóch konsumentów, i=1,2 i dwa dobra, l=1,2
(jednym z towarów może być praca –– zasób znajdujący się w posiadaniu każdego z
konsumentów)
Zasób początkowy (alokacja początkowa) konsumenta i: wi=(wi1,wi2)
Popyt brutto (alokacja końcowa) konsumenta i: xi=(xi1,xi2)
Popyt nadwyżkowy konsumenta i: xi–wi = (xi1–wi1,xi2–wi2)
Alokacja osiągalna –– spełniająca układ równań:
x1 = x11+x21 = w11+w21 = w1,
x2 = x12+x22 = w12+w22 = w2
Prostokąt Edgewortha (Edgeworth box) –– analiza alokacji osiągalnych: złożenie dwóch
układów współrzędnych służących badaniu wyboru konsumenta: szerokość prostokąta w1
= w11+w21, wysokość prostokąta w2 = w12+w22; drugi układ jest obrócony o 180o.
Obaj konsumenci są cenobiorcami (zgłaszają popyt i ofertę sprzedaży w odpowiedzi na
ceny podane przez bezstronnego arbitra).
Na rysunku zakłada się, że krzywe obojętności IA(α) podmiotu A dane są wzorami
x2A=α/x1A, zaś krzywe obojętności IB(β) podmiotu B dane są przez x2B=β/x1B (α,β>0 -parametry); dodatkowo zakładamy, że ilość jednostek dobra 1 w posiadaniu obydwu
podmiotów wynosi 10, zaś dobra 2 -- 5.
Załóżmy dalej przykładowo, że 10 jednostek dobra 1 było rozdzielonych
pomiędzy podmioty A i B w proporcji 8:2, zaś 5 jednostek dobra 2 -- w proporcji 2:3. Na
rysunku położenie to ilustruje punkt X0. Zauważmy, że dzięki konstrukcji Edgewortha ten
jeden punkt na płaszczyźnie odpowiada czwórce liczb charakteryzujących sytuację:
8,2,2,3. Przez punkt ten przechodzi krzywa obojętności podmiotu A dana wzorem
x2A=16/x1A (α=16) oraz krzywa obojętności podmiotu B dana wzorem x2B=6/x1B (β=6).
Podmiot A wolałby znaleźć się na wyższej krzywej obojętności, powiedzmy w punkcie
(9,3), czyli na krzywej x2A=27/x1A (α=27). Natomiast podmiot B również wolałby mieć
wszystkiego więcej, a więc być, powiedzmy, w punkcie (3,4), czyli na krzywej x2B=12/x1B
(β=12). Nie można tych aspiracji zaspokoić jednocześnie, ponieważ podmiot A musiałby
od podmiotu B otrzymać po jednej jednostce każdego z dóbr, ale i na odwrót, podmiot B
musiałby uzyskać od A tyleż samo. Tymczasem przejście jednostki dobra od pierwszego
do drugiego oznacza, że pierwszy ma mniej. Analiza rysunku podpowiada, że jest
możliwa jednoczesna poprawa położenia A i B, ponieważ istnieje obszar pomiędzy
krzywymi obojętności IA(16) oraz IB(6), w którym każdy z podmiotów znajduje się na
wyższej niż początkowo krzywej obojętności. Analiza ta sugeruje również, że poprawa
jest zawsze możliwa, jeśli tylko w badanym punkcie krzywe obojętności nie są styczne,
ale się przecinają. A zatem poprawa nie jest możliwa dopiero wtedy, gdy w badanym
punkcie krzywe obojętności są do siebie styczne; dopiero wtedy, gdy nie jest możliwa
poprawa położenia podmiotowi A inaczej jak tylko przez pogorszenie położenia
podmiotowi B i na odwrót. Znajdując się w punkcie X0 podmioty mają szansę
jednocześnie poprawić swoje położenia. Będzie to możliwe, jeśli A wymieni część z
posiadanego zapasu dobra 1 na dobro 2 od podmiotu B. W ten sposób obydwa podmioty
przeniosą się w kierunku wnętrza obszaru, który na rysunku został zaciemniony.
Nietrudno zauważyć, że jeśli nowe położenie X* miałoby zostać osiągnięte w
wyniku dobrowolnej transakcji kupna-sprzedaży, to będzie spełniać warunek, iż
sprzedając pewną liczbę jednostek dobra 1 podmiot A uzyskał dokładnie tyle pieniędzy,
ile potrzeba na nabycie dodatkowych jednostek dobra 2 i, vice versa, podmiot B
sprzedając część dobra 2 uzyskał tyle, ile mu trzeba, by nabyć więcej dobra 1. Jeśli zaś
dodatkowo transakcja ma być ostateczna, a więc zawierając ją podmioty wyczerpią
wszystkie możliwości poprawy położenia (biorąc pod uwagę położenie, w jakim były na
początku), to krzywe obojętności w punkcie X* muszą być do siebie styczne. Co więcej
kierunek styczności musi pokrywać się z kierunkiem prostej przechodzącej przez punkty,
w których podmioty mogą się znaleźć wychodząc z położenia X0 i stosując nieujemne
ceny p1 i p2 przyjęte dla dokonania transakcji.
OB
5
IB(6)
IA(16)
IA(27
)
IB(12)
3
X0
2
OA
8
9
10
(T.1) W modelu czystej wymiany bogactwo konsumenta i jest wyznaczone endogenicznie przez
ceny p=(p1,p2)T: wi = pTÿwi = p1wi1+p2wi2; a zbiór budżetowy,
Bi(p) = {xiœÑ+2: pTÿxipTÿwi}
(D.2) Równowaga walrasowska (konkurencyjna) w prostokącie Edgewortha
Para (p*,x*), gdzie x*=(x1*,x2*), spełniająca:
"i=1,2 "x'iœBi(p*) [xi* ’i x'i]
(D.3) Optimum Pareto w prostokącie Edgewortha
Alokacja x=(x1,x2) jest optymalna w sensie Pareto, jeśli nie istnieje inna alokacja x' w tym
prostokącie spełniająca x'i ’i xi dla i=1,2 oraz x'i i xi dla pewnego i. Zbiór wszystkich
optimów Pareto w prostokącie Edgewortha nazywa się zbiorem Pareto. Część zbioru
Pareto zawierająca alokacje preferowane względem ustalonej alokacji początkowej
(w1,w2) nazywa się krzywą kontraktową.
(T.2) Pierwsze twierdzenie ekonomii dobrobytu w prostokącie Edgewortha
Każda równowaga walrasowska jest optimum Pareto
(D.4) W prostokącie Edgewortha alokacja x* jest osiągalna jako równowaga z transferami, jeśli
istnieje układ cen p* oraz transfery bogactwa T1 i T2 spełniające T1+T2=0 takie, że dla
każdego konsumenta i zachodzi: xi* ’i x'i dla x'iœÑ+2 spełniających p*Tÿx'ip*Tÿwi+Ti
(T.3) Drugie twierdzenie ekonomii dobrobytu w prostokącie Edgewortha
Jeśli preferencje są wypukłe, to każde optimum Pareto jest osiągalne jako równowaga z
transferami
(D.5) Model gospodarki z jednym konsumentem i jednym producentem
Gospodarka składa się z jednego konsumenta, jednego producenta i dwóch dóbr: czasu
wolnego x1 oraz dobra konsumpcyjnego x2. Konsument ma ciągłe, wypukłe i ściśle
monotoniczne preferencje ’. Ma zasób początkowy L0 czasu wolnego oraz zerowy zasób
dobra konsumpcyjnego. Firma wykorzystuje pracę do produkcji dobra konsumpcyjnego
zgodnie z rosnącą i ściśle wklęsłą funkcją produkcji f(z). Cena dobra konsumpcyjnego
jest p, zaś cena pracy w. Zarówno konsument, jak i firma są cenobiorcami. Firma
maksymalizuje zysk, Maxz¥0{pf(z)–wz}. W wyniku optymalizacji określony jest popyt na
pracę z(p,w), podaż dobra konsumpcyjnego q(p,w) oraz zysk p(p,w). Konsument
maksymalizuje użyteczność przy zachowaniu ograniczenia budżetowego, na które składa
się sprzedaż pracy oraz zysk firmy, której jest właścicielem: Maxx1,x2¥0{u(x1,x2):
px2w(L0–x1)+p(p,w)}. Rozwiązanie określa popyt konsumenta, x1(p,w),x2(p,w).
Równowaga konkurencyjna (walrasowska) jest wyznaczona z równań: x2(p*,w*)=q(p*,w*)
oraz z(p*,w*)=L0–x1(p*,w*)
(T.4) W modelu gospodarki z jednym konsumentem i jednym producentem (D.5) równowaga
konkurencyjna pokrywa się z optimum Pareto
Dow.
(1)
Udowodnimy, że jeśli x2(p*,w*)=q(p*,w*) oraz z(p*,w*)=L0–x1(p*,w*) (przy oznaczeniach
z definicji D.5), to para x1*=x1(p*,w*), x2*=x2(p*,w*) stanowi optimum Pareto. W modelu
jednego konsumenta optimum Pareto polega na zmaksymalizowaniu dobrobytu tegoż
właśnie konsumenta (innych konsumentów nie ma). Zgodnie z definicją D.5 para (x1*,x2*)
maksymalizuje funkcję użyteczności konsumenta w zbiorze budżetowym wyznaczonym
przez jego dochód z dwóch tytułów: sprzedaży pracy oraz udziału (w 100%) w zysku z
przedsiębiorstwa. Skoro zysk przedsiębiorstwa jest maksymalny, to i ów dochód jest
maksymalny, co kończy dowód.
(2)
Pozostaje do dowodu drugi kierunek implikacji: jeśli (x1*,x2*) stanowi optimum Pareto, to
istnieją ceny p*,w*, przy których (x1*,x2*) stanowią rozwiązania problemów
optymalizacyjnych konsumenta i producenta. Załóżmy zatem, że (x1*,x2*) rozwiązuje
problem Maxx1,x2¥0{u(x1,x2): x2f(L0–x1)}, czyli jest optimum Pareto. Skoro preferencje są
ściśle monotoniczne, to w rozwiązaniu warunek ograniczający musi być spełniony w
formie równości: x2*=f(L0–x1*).
Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w L0–x1*, to –df(L0–x1*)/dx1 stanowi poszukiwaną
proporcję –w*/p*. Sprawdzimy bowiem, że przy tych cenach kupując L0–x1* pracy
producent maksymalizuje zysk, zaś sprzedając L0–x1* pracy konsument maksymalizuje
użyteczność. Najpierw sprawdzamy producenta. Prosta przechodząca przez punkt
(x2*,f(L0–x1*)) i o nachyleniu –w*/p* stanowi najwyżej położoną linię jednakowego zysku,
a więc w badanym punkcie rzeczywiście zysk jest największy. Teraz konsument. W
alokacji początkowej (zanim sprzeda producentowi pracę) ma L czasu wolnego i p(p*,w*)
pieniędzy (pochodzących z zysku przedsiębiorstwa, którego jest jedynym właścicielem),
za które może kupić p(p*,w*)/p* jednostek dobra konsumpcyjnego. Ale prosta
przechodząca przez ten punkt i o nachyleniu –w*/p* przechodzi również przez punkt
(x1*,x2*), co kończy ten wariant dowodu, ponieważ właśnie w tym punkcie konsument
maksymalizował swoją użyteczność.
Jeśli funkcja f nie jest różniczkowalna w L0–x1*, to jako monotoniczna i ściśle wklęsła
musi mieć w tym punkcie obie pochodne jednostronne, przy czym lewa musi być większa
od prawej. Poszukiwana proporcja cen równowagi –w*/p* może być dowolną liczbą
położoną pomiędzy prawą i lewą pochodną jednostronną. Reszta dowodu – jak w
wariancie z funkcją różniczkowalną.
(D.6) Model produkcji 2µ2
Gospodarka składa się z firm 1 i 2 produkujących dobra konsumpcyjne, odpowiednio, q1 i
q2 za pomocą 2 pierwotnych czynników z1=(z11,z21)T¥0, z2=(z21,z22)T¥0. W każdej firmie
produkcja jest wyznaczona przez wklęsłą, ściśle rosnącą i różniczkowalną funkcję fj(zj).
Zasoby początkowe czynników z01,z02>0 są własnością konsumentów, którzy nie czerpią
z nich (bezpośrednio) użyteczności. Ceny dóbr konsumpcyjnych p=(p1,p2)T są z góry
wyznaczone, zaś ceny czynników w=(w1,w2)T mają być wyznaczone w modelu (założenie
małej gospodarki otwartej). Firmy ustalają produkcję maksymalizując zyski:
Maxzj¥0{pjfj(zj)–wTÿzj}. Rozwiązanie tego zadania określa popyt firmy zj(p,w)ÕÑ+2.
Zakładamy, że równowaga na rynku czynników ustali się przy cenach w*=(w1*,w2*)Tà0.
Spełnia ona warunki: (z1j*,z2j*)œzj(p,w) dla j=1,2 oraz zl1*+zl2*=z0l dla l=1,2.
(T.5) Warunki pierwszego rzędu (konieczne i dostateczne) dla modelu produkcji 2µ2:
pj∂fj(zj*)/∂zlj=wl* dla j=1,2, l=1,2
zl1*+zl2*=z0l dla l=1,2
(T.6) Warunki pierwszego rzędu (konieczne i dostateczne) dla modelu produkcji 2µ2:
pj=∂cj(w*,qj*)/∂qj dla j=1,2
∂c1(w*,q1*)/∂wl+∂c2(w*,q2*)/∂wl=zl0 dla l=1,2, gdzie
c1,c2 –– funkcje kosztów określone jak w definicji D.8 na wykładzie 3.
(T.7) Pierwsze twierdzenie ekonomii dobrobytu w modelu produkcji 2µ2
Równowaga na rynku czynników (D.6) jest rozwiązaniem zadania optymalizacyjnego
Maxz1,z2¥0{p1f1(z1)+p2f2(z2): z11*+z12*=z01, z21*+z22*=z02}
(D.7) Model produkcji 2µ2 ze stałymi efektami skali
W gospodarce z D.6 zakładamy, że funkcje f1 i f2 są jednorodne stopnia 1. Niech
cj(w)=cj(w,1) oraz niech aj(w)=(a1j(w),a2j(w)) dla j=1,2 stanowią nakłady czynników
produkcji, przy których ten koszt jest minimalizowany (zakłada się, że są wyznaczone
jednoznacznie).
(T.8) W modelu produkcji 2µ2 ze stałymi efektami skali Dwcj(w)=aj(w) dla j=1,2
(D.8) Produkcja dobra 1 posługuje się czynnikiem 1 relatywnie intensywniej niż produkcja
dobra 2, jeśli dla wszelkich w, a11(w)/a21(w)>a12(w)/a22(w)
(T.9) Twierdzenie Stolpera–Samuelsona
W modelu produkcji 2µ2 ze stałymi efektami skali, niech będzie spełniona D.8. Wtedy,
jeśli cena p1 wzrasta, to cena czynnika 1 wzrasta również, zaś cena czynnika 2 spada; przy
założeniu, że zarówno przy starych jak i nowych cenach równowaga ukształtowała się w
punktach wewnętrznych.
(T.10) Twierdzenie Rybczynskiego
W modelu produkcji 2µ2 ze stałymi efektami skali, niech będzie spełniona D.8. Wtedy,
jeśli zasób czynnika 1 wzrasta, to produkcja dobra 1 wzrasta również, zaś produkcja dobra
2 spada; przy założeniu, że zarówno przy starych jak i nowych zasobach równowaga
ukształtowała się w punktach wewnętrznych.
(D.9) Model równowagi ogólnej
Konsumenci i=1,...,I mają zbiory konsumpcyjne XiÕÑL i racjonalne (zupełne i
przechodnie) relacje preferencji ’i zdefiniowane na Xi.
Firmy j=1,...,J mają zbiory produkcyjne YjÕÑL, przy czym Yj są niepuste i domknięte.
Zasoby dóbr l=1,...,L wynoszą w=(w1,...,wL)TœÑL.
Konsumenci i firmy są cenobiorcami.
(D.10) Gospodarka spełniająca D.9 nazywa się gospodarką czystej wymiany, jeśli wszystkie
zbiory produkcyjne Yj=–Ñ+L dla j=1,...,J.
(T.11) Model czystej wymiany w prostokącie Edgewortha (D.1) stanowi gospodarkę czystej
wymiany (D.10) dla L=2, I=2, X1=X2=Ñ+2, J=1, Y1=–Ñ+2
(D.11) W modelu z D.9 alokacja (x,y) jest osiągalna, jeśli xl1+...+xlI = wl+yl1+...+ylJ dla każdego
l=1,...,L. Zbiór alokacji osiągalnych, A={(x,y)œX1µ...µXIµY1µ...µYJ: xl1+...+xlI =
wl+yl1+...+ylJ dla każdego l=1,...,L}ÕÑL(I+J)
(D.12) Alokacja osiągalna (x,y) jest optymalna w sensie Pareto, jeśli nie istnieje alokacja
(x',y')œA, dla której "i=1,...,I [x'i ’i xi] - $i=1,...,I [x'i i xi]
(D.13) Gospodarka z prywatną własnością jest to model spełniający D.9, w którym każdy
konsument i ma zasoby początkowe wi=(w1i,...,wLi)TœÑL oraz tytuły udziału qijœ[0,1] w
zyskach firm j=1,...J, przy czym w1+...+wI = w oraz q1j+...+qIj = 1 dla każdej j=1,...,J.
(D.14) Równowaga konkurencyjna (walrasowska) w gospodarce z własnością prywatną
Alokacja (x*,y*) oraz ceny p=(p1,...,pL)T stanowią równowagę konkurencyjną, jeśli:
(i) dla każdego j=1,...,J yj* maksymalizuje zysk w Yj, tj. pTÿyjpTÿyj* dla wszystkich yjœYj
(ii) dla każdego i=1,...,I xi* jest maksymalny względem ’i w zbiorze budżetowym, tj. w
{xiœXi: pTÿxi  pTÿwi+qi1pTÿy1*+...+qiJpTÿyJ*}
(iii) x1*+...+xI* = w+y1*+...+yJ*
(D.15) Równowaga cenowa w gospodarce z transferami
Alokacja (x*,y*) oraz ceny p=(p1,...,pL)T stanowią równowagę cenową w gospodarce z
transferami, jeśli istnieje rozkład dochodów w1,...,wI spełniający w1+...+wI =
pTÿw+pÿ(y1*+...+yJ*) taki, że:
(i) dla każdego j=1,...,J yj* maksymalizuje zysk w Yj, tj. pTÿyjpTÿyj* dla wszystkich yjœYj
(ii) dla każdego i=1,...,I xi* jest maksymalny względem ’i w zbiorze budżetowym, tj. w
{xiœXi: pTÿxi  wi}
(iii) x1*+...+xI* = w+y1*+...+yJ*
(T.12) Każda równowaga konkurencyjna (D.14) jest równowagą cenową w gospodarce z
transferami (D.15)
(T.13) Pierwsze fundamentalne twierdzenie ekonomii dobrobytu
Jeśli preferencje są lokalnie nienasycone, a (x*,y*,p) stanowi równowagę cenową w
gospodarce z transferami, to alokacja (x*,y*) jest optymalna w sensie Pareto. W
szczególności każda równowaga walrasowska jest optymalna w sensie Pareto.
(D.16) Quasirównowaga w gospodarce z transferami
Alokacja (x*,y*) oraz ceny p=(p1,...,pL)T stanowią quasirównowagę cenową w gospodarce
z transferami, jeśli istnieje rozkład dochodów w1,...,wI spełniający w1+...+wI =
pTÿw+pÿ(y1+...+yJ*) taki, że:
(i) dla każdego j=1,...,J yj* maksymalizuje zysk w Yj, tj. pTÿyjpTÿyj* dla wszystkich yjœYj
(ii) dla każdego i=1,...,I jeśli xiixi*, to pTÿxi ¥ wi
(iii) x1*+...+xI* = w+y1*+...+yJ*
(T.14) Warunek (ii) w D.16 jest słabszy od warunku (ii) w D.15
(T.15) Drugie fundamentalne twierdzenie ekonomii dobrobytu
Załóżmy, że każdy zbiór Yj jest wypukły i każda relacja preferencji ’i jest wypukła i
lokalnie nienasycona. Wtedy dla każdej alokacji (x*,y*) optymalnej w sensie Pareto
istnieje układ cen p=(p1,...,pL)T∫0, taki że (x*,y*,p) stanowi quasirównowagę cenową z
transferami.
(T.16) Załóżmy, że dla każdego i=1,...,I zbiór Xi jest wypukły oraz 0œXi, zaś ’i jest ciągła.
Wtedy każda quasirównowaga cenowa z transferami, takimi że w1,...,wI>0 jest również
równowagą cenową z transferami.
(T.17) W modelu czystej wymiany (D.10), jeśli preferencje są ciągłe, ściśle wypukłe i lokalnie
nienasycone, to p¥0 jest układem cen w równowadze walrasowskiej wtedy i tylko wtedy,
gdy
(x1(p,pTÿw1)–w1)+...+(xI(p,pTÿwI)–wI)0
(D.17) Popyt nadwyżkowy w modelu czystej wymiany
Popyt nadwyżkowy konsumenta i jest to funkcja zi(p)=xi(p,pTÿwi)–wi. Zagregowana
funkcja popytu nadwyżkowego jest to z(p) = z1(p)+...+zI(p)
(T.18) Jeśli dla każdego konsumenta i=1,...,I Xi=Ñ+L, zaś preferencje ’i są ciągłe, ściśle wypukłe
i ściśle monotoniczne, to układ cen p=(p1,...,pL)T jest układem cen w równowadze
walrasowskiej wtedy i tylko wtedy, gdy z(p)=0
(T.19) Przy założeniach T.18, jeśli w1+...+wI à 0, to funkcja z określona dla wszystkich pà0
spełnia:
(i) z jest ciągła
(ii) z jest jednorodna stopnia 0
(iii) pTÿz(p)=0 dla wszystkich p (prawo Walrasa)
(iv) $s>0 "l=1,...,L "p [zl(p)>–s]
(v) (limnضpn=p∫0 - $l=1,...,L [pl=0]) fl Max{z1(pn),...,zL(pn)}ض
(D.17) Popyt nadwyżkowy w gospodarce z produkcją
Niech zbiory produkcyjne będą domknięte, ściśle wypukłe i ograniczone z góry. Wtedy
funkcja popytu nadwyżkowego jest to funkcja z określona dla pà0 wzorem:
z(p) = Êixi(p,pTÿwi+Êjqijpj(p))–Êiwi–Êjyj(p)
(T.20) Przy założeniach T.18, układ cen p=(p1,...,pL)T jest układem cen w równowadze
walrasowskiej w gospodarce z produkcją wtedy i tylko wtedy, gdy z(p)=0
(T.21) Przy założeniach T.19, jeśli zasoby początkowe pozwalają na wyprodukowanie dodatniej
wiązki dóbr konsumpcyjnych, to funkcja popytu nadwyżkowego w gospodarce z
produkcją spełnia własności (i)–(v) z T.19
(T.22) Niech z(p) będzie funkcją spełniającą T.21. Wówczas układ równań z(p)=0 ma
rozwiązanie
(T.23) Niech z(p) będzie funkcją spełniającą własności (i)–(iii) z T.21. Wówczas układ
nierówności z(p)0 ma rozwiązanie
Podsumowanie
A.
Analiza ekonomiczna ogólnej równowagi rynkowej polega na uchyleniu założenia o
niezależności poszczególnych rynków.
B.
Badanie związków pomiędzy rynkami znacznie komplikuje analizę i sprawia, że dla
uproszczenia rozpatruje się pewne szczególne przypadki –– np. czystej wymiany
pomiędzy dwoma konsumentami, produkcję w układzie 1 firma i 1 konsument, podaż 2
firm produkujących przy wykorzystaniu 2 zasobów (tzw. model "2µ2") itp.
C.
Zwieńczeniem analizy równowagi ogólnej są twierdzenia ekonomii dobrobytu, ustalające
związek między równowagą konkurencyjną (walrasowską) i optimum Pareto.
D.
Pierwsze twierdzenie ekonomii dobrobytu głosi, iż równowaga rynkowa może się ustalić
tylko w optimum Pareto. Drugie twierdzenie ekonomii dobrobytu głosi, iż optimum
Pareto może być osiągnięte jako równowaga rynkowa (ewentualnie z transferami
dochodów). Drugie twierdzenie wymaga założeń o wypukłości preferencji i zbiorów
produkcyjnych.
E.
Przy założeniu, że preferencje są ciąglę, ściśle wypukłe i lokalnie nienasycone,
równowagę rynkową można scharakteryzować za pomocą warunku niedodatniości popytu
nadwyżkowego. Zastępując zaś lokalne nienasycenie ścisłą monotonicznością,
niedodatniość popytu nadwyżkowego zredukować można do zerowania się tego popytu.
F.
Charakteryzacja równowagi jako rozwiązania pewnego układu równań bądź nierówności
pozwala dowodzić twierdzeń o istnieniu takiej równowagi.
Pytania i problemy
1.
[a]
[b]
[c]
[d]
[e]
2.
[a]
[b]
[c]
[d]
[e]
Optymalność (Pareto) równowagi w modelu czystej wymiany dokonywanej przez dwóch
konsumentów wynika stąd, iż
ustalenie takiej równowagi pozwala na jednoznaczne określenie cen
dla każdego konsumenta jego popyt równowagowy realizuje się na kombinacji dóbr
preferowanej w stosunku do innych kombinacji pochodzących ze zbioru budżetowego
w równowadze realizuje się maksimum sumy użyteczności przypadającej obydwu
konsumentom
żaden z konsumentów nie zaakceptowałby cen, które nie pozwoliłyby mu znaleźć się na
najwyższej możliwej krzywej obojętności
żadne z powyższych
Transfery dochodów umożliwiające osiągnięcie optimum Pareto w równowadze rynkowej
(zgodnie z drugim twierdzeniem ekonomii dobrobytu)
pozwalają na redystrybucję zasobów początkowych nie naruszając niczyich zysków
pochodzących z własności przedsiębiorstw
pozwalają na redystrybucję zysków pochodzących z własności przedsiębiorstw nie
naruszając niczyich zasobów początkowych
dokonują pewnej korekty rozkładu bogactwa wynikającego z posiadanych tytułów
własności
nie obniżają stopnia zaspokojenia potrzeb któremukolwiek z konsumentów
żadne z powyższych
3.
Gospodarka składa się z dwóch dóbr i dwóch konsumentów. Ich krzywe użyteczności
wyznaczone są za pomocą następujących funkcji: u1(x11,x12)=x11ax121–a oraz
u2(x21,x22)=min{x21,x22}. Początkowe zasoby wynoszą w11=0, w12=1 oraz w21=1, w22=0.
Przy założeniu, że nie występuje produkcja, należy obliczyć ceny oraz alokację w punkcie
równowagi.
4.
Rozwiązać zadanie 3 przyjmując a = 0.4. Czy odpowiedź jest jednoznaczna?
5.
Co należy sprawdzić, aby wnioskować, że równowaga obliczona w zadaniu 5
zrealizowała się w optimum Pareto?
6.
Niech gospodarka spełnia warunki definicji D.5. Znaleźć ceny równowagi, zysk oraz
wielkość konsumpcji przy założeniu, że funkcja produkcji dana jest wzorem f(z)=z1/2,
funkcja użyteczności u(x1,x2)=lnx1+lnx2, zaś zasób pracy wynosi L0=1.
7.
Załóżmy, że preferencje ’ są lokalnie nienasycone oraz że x* jest maksymalny ze względu
na ’ w zbiorze {xœX: pTÿxw}. Udowodnić, że ma miejsce następująca równoważność:
"xœX [x’x*flpTÿw].
8.
W modelu czystej wymiany zostaje wprowadzony podatek o następującej konstrukcji.
Każdy, kto ma dochód powyżej średniej oddaje połowę tej nadwyżki na fundusz, z
którego subwencjonuje się każdego, kto ma dochód poniżej średniej dając mu
proporcjonalnie to tego, czego mu brakuje do tej średniej. Wyrazić dochody netto (po
opodatkowaniu/subwencjonowaniu) jako funkcje cen dla gospodarki z dwoma
konsumentami zakładając, że zasoby początkowe wynosiły w1=(1,2), w2=(2,1). Czy
funkcje popytu nadwyżkowego będą spełniały warunki (i)–(v) z T.19 jeśli preferencje są
ciągłe, ściśle wypukłe i ściśle rosnące?
10.
Teoria wyboru społecznego
(D.1) Model wyboru dwudzielnego. Konsumenci i=1,...,I wybierają między dwiema
alternatywami: x oraz y. Jeśli ai=–1, to konsument i preferuje y przed x, jeśli ai=0, to jest
między nimi indyferentny, a jeśli ai=1, to preferuje x przed y.
(D.2) Dwudzielna funkcja dobrobytu społecznego (dwudzielny agregator dobrobytu
społecznego) jest to reguła F ustalająca preferencję społeczną dla każdego układu
preferencji indywidualnych z D.1; tj. F: {–1,0,1}I Ø {–1,0,1}
(D.3) Dwudzielna funkcja dobrobytu społecznego jest paretowska (ma własność Pareto), jeśli
F(1,...,1)=1 oraz F(–1,...,–1)=–1
(T.1) Dwudzielna funkcja głosowania większościowego, F(a1,...,aI)=sign(a1+...+aI), jest
paretowska
(D.4) Dwudzielna funkcja dobrobytu społecznego jest dyktatorska, jeśli istnieje konsument h,
zwany dyktatorem, sprawiający, że z ah=–1 wynika F(a1,...,aI)=–1 oraz z ah=1 wynika
F(a1,...,aI)=1
(T.2) Dwudzielna dyktatorska funkcja dobrobytu społecznego jest paretowska
(D.5) Dwudzielna funkcja dobrobytu społecznego jest symetryczna (anonimowa), jeśli dla
każdej permutacji p zbioru {1,...,I}, F(a1,...,aI)=F(ap(1),...,ap(I))
(D.6) Dwudzielna funkcja dobrobytu społecznego jest neutralna względem alternatyw, jeśli
F(a1,...,aI) = –F(–a1,...,–aI)
(D.7) Dwudzielna funkcja dobrobytu społecznego jest wrażliwa na zmiany (positively
responsive), jeśli (a1,...,aI) ¥ (a'1,...,a'I), (a1,...,aI) ∫ (a'1,...,a'I) oraz F(a1,...,aI)¥0
pociągają za sobą F(a1,...,aI)=1
(T.3) Twierdzenia Maya
Dwudzielna funkcja dobrobytu społecznego jest funkcją głosowania większościowego
wtedy i tylko wtedy, gdy jest (i) symetryczna, (ii) neutralna względem alternatyw oraz (iii)
wrażliwa na zmiany
(D.8) Ogólny model wyboru. Konsumenci i=1,...,I mają racjonalne relacje preferencji ’i na tym
samym zbiorze X. Niech R oznacza zbiór wszystkich racjonalnych relacji preferencji na
X. Funkcja dobrobytu społecznego (agregator dobrobytu społecznego) dla AÕRI jest to
funkcja F: A Ø R ustalająca racjonalną preferencję F(’1,...,’I) dla dowolnego układu
indywidualnych preferencji w A. Przez Fp oznaczamy relację ścisłej preferencji
wynikającą z F.
(D.9) Funkcja dobrobytu społecznego jest paretowska, jeśli dla każdej pary alternatyw {x,y}ÕX
i każdego układu preferencji (’1,...,’I)œA: ("i=1,...,I [xiy]) fl xFp(’1,...,’I)y
(D.10) Funkcja dobrobytu społecznego F: A Ø R spełnia warunek niezależności od nieistotnych
alternatyw (independence of irrelevant alternatives condition), jeśli preferencja społeczna
między dowolnymi dwiema alternatywami {x,y}ÕX zależy tylko od preferencji
indywidualnych względem tych właśnie alternatyw, tj.:
"{x,y}ÕX "(’1,...,’I)œA "(’'1,...,’'I)œA [("i=1,...,I [(x’iy ñ x’'iy)-(y’ix ñ y’'ix)])
fl (xF(’1,...,’I)y ñ xF(’'1,...,’'I)y)-(yF(’1,...,’I)x ñ yF(’'1,...,’'I)x)]
(D.11) Funkcja dobrobytu społecznego jest dyktatorska, jeśli istnieje konsument h, zwany
dyktatorem, sprawiający, że z xhy wynika, że dla każdego układu preferencji
(’1,...,’I)œA, xFp(’1,...,’I)y
(T.4) Twierdzenie Arrowa
Niech zbiór X zawiera przynajmniej 3 alternatywy. Niech A=RI lub A=PI, gdzie P
oznacza zbiór wszystkich racjonalnych relacji preferencji na X mających własność, że
indyferencja zachodzi wyłącznie pomiędzy alternatywami identycznymi. Wtedy każda
paretowska funkcja dobrobytu społecznego spełniająca warunek niezależności od
nieistotnych alternatyw jest dyktatorska.
(D.12) Relacja binarna ¥ na zbiorze alternatyw X stanowi porządek liniowy, jeśli jest
przechodnia i zupełna (a więc także zwrotna –– por. T.1.1 z wykładu 1), przy czym jeśli
x∫y, to nie może zachodzić x¥y oraz y¥x.
(D.13) Racjonalna relacja preferencji ’ jest jednomodalna względem porządku liniowego ¥ na X,
jeśli istnieje alternatywa xœX o własności, iż ’ jest względem ¥ rosnąca na {yœX: x¥y}
oraz malejąca na {yœX: y¥x} (tj. x¥z>y fl zy oraz y>z¥x fl zy)
(D.14) Dla ustalonego porządku liniowego ¥ na X, R¥ÕR oznacza zbiór wszystkich racjonalnych
relacji preferencji na X, które są jednomodalne względem ¥
(D.15) Funkcja głosowania większościowego dla (R¥)I jest to funkcja Fm: (R¥)I Ø R¥, dla której
dla dowolnych x,yœX zachodzi: xFm(’1,...,’I)y ñ card{iœ{1,...,I}:
xiy}¥card{iœ{1,...,I}: yix}
(D.16) Konsument hœ{1,...,I} nazywa się środkowym (median agent) dla układu preferencji
(’1,...,’I)œ(R¥)I jeśli card{iœ{1,...,I}: xi¥xh}¥I/2 oraz card {iœ{1,...,I}: xh¥xi}¥I/2, gdzie
xi oznacza (jedyną) alternatywę najbardziej preferowaną przez i.
(T.5) Dla każdego układu preferencji (’1,...,’I)œ(R¥)I istnieje konsument środkowy, przy czym
jeśli I jest liczbą nieparzystą, zaś dominanta każdego z konsumentów jest inna, to istnieje
tylko jeden konsument środkowy.
(D.17) Dla układu preferencji (’1,...,’I)œ(R¥)I alternatywa xœX nazywa się zwycięzcą
Condorceta, jeśli dla każdej alternatywy yœY: xFm(’1,...,’I)y
(T.6) Dla każdego układu preferencji (’1,...,’I)œ(R¥)I alternatywa najbardziej preferowana
przez konsumenta środkowego, xh, spełnia dla każdej yœX: xhFm(’1,...,’I)y (a więc jest
zwycięzcą Condorceta)
(T.7) Niech I będzie liczbą nieparzystą i niech ¥ będzie liniowym porządkiem na X. Niech
ponadto P¥ÕR¥ oznacza zbiór wszystkich relacji preferencji, które są jednomodalne i dla
których tylko identyczne alternatywy są indyferentne. Wówczas procedura głosowania
większościowego Fm(’1,...,’I) tworzy relację, która jest przechodnia i zupełna.
(D.18) Funkcja wyboru społecznego, dowolna f: A Ø X określona na dowolnym AÕRI zgodna
z funkcją dobrobytu społecznego
(T.8) Przy założeniach T.7, niech AÕ(P¥)I. Wówczas wartość funkcji wyboru społecznego,
f(’1,...,’I) pokrywa się ze zwycięzcą Condorceta
(D.19) Funkcja wyboru społecznego f: A Ø X zdefiniowana na AÕRI jest słabo paretowska, jeśli
dla każdego układu (’1,...,’I)ÕA wybór f(’1,...,’I)œX stanowi słabe optimum Pareto, tzn.
że jeśli dla pewnych x,yœX i dla każdego i=1,...,I: xiy, to y∫f(’1,...,’I)
(D.20) Alternatywa xœX zachowuje swoją pozycję przy przejściu z układu (’1,...,’I)œRI do
(’'1,...,’'I)œRI, jeśli dla każdego i=1,...,I oraz każdej yœX: x’iy fl x’'iy
(D.21) Funkcja wyboru społecznego f: A Ø X zdefiniowana na AÕRI jest monotoniczna, jeśli
dla dowolnych dwóch układów (’1,...,’I)œA oraz (’'1,...,’'I)œA o własności, że wybrana
alternatywa x=f(’1,...,’I) zachowuje swoją pozycję przy przejściu z układu (’1,...,’I) do
(’'1,...,’'I), zachodzi: x=f(’'1,...,’'I)
(D.22) Konsument hœ{1,...I} nazywa się dyktatorem dla funkcji wyboru społecznego f: A Ø X,
jeśli dla każdego układu (’1,...,’I)œA, f(’1,...,’I) œ {xœX: "yœX [x’hy]}. Jeśli istnieje
dyktator dla danej funkcji wyboru społecznego, to nazywamy ją dyktatorską.
(T.9) Twierdzenie Arrowa
Przy założeniach T.4 każda monotoniczna i słabo paretowska funkcja wyboru
społecznego f: A Ø X jest dyktatorska
Podsumowanie
A.
Teoria wyboru społecznego analizuje warunki, przy których preferencje indywidualne
dają się zagregować w preferencje społeczne z zachowaniem pewnych intuicyjnych zasad,
takich jak np. zachowanie woli większości.
B.
Twierdzenie Arrowa negatywnie rozstrzyga możliwość takiej agregacji w ogólnym
przypadku.
C.
Agregacja zachowująca intuicyjne zasady jest możliwa w pewnych szczególnych
przypadkach, jak np. wówczas, gdy są jedynie dwie alternatywy, pomiędzy którymi
dokonuje się wyboru, albo gdy preferencje wszystkich konsumentów są jednomodalne.
D.
Twierdzenie Arrowa daje się również sformułować w odniesieniu do funkcji wyboru
społecznego.
Pytania i problemy
1.
[a]
[b]
[c]
[d]
[e]
2.
[a]
[b]
[c]
[d]
[e]
Twierdzenie Maya głosi, iż funkcja głosowania większościowego w modelu wyboru
dwudzielnego
nie może zależeć od kolejności uszeregowania konsumentów
nie może być dyktatorska
nie może być dobrze określona dla więcej niż dwóch konsumentów
nie jest funkcją paretowską
żadne z powyższych
Twierdzenie Arrowa głosi, iż –– o ile zbiór alternatyw jest co najmniej 3–elementowy ––
jedyna funkcja dobrobytu społecznego która jest paretowska i spełnia warunek
niezależności od nieistotnych alternatyw
jest funkcją głosowania większościowego
określa preferencje konsumenta środkowego
nie może być dyktatorska
nie jest określona dla układu preferencji, przy których konsumenci traktują jako
indyferentne pewne nieidentyczne alternatywy
żadne z powyższych
3.
Rozpatrzyć tzw. paradoks Condorceta. Istnieją trzy alternatywy, K,P,S. Zbiór
konsumentów dzieli się na trzy równe części. Dla 1/3 preferencje wynoszą K’P’S, dla
1/3: P’S’K i dla 1/3: S’K’P. Udowodnić, że nie da się uzgodnić racjonalnej
zagregowanej relacji preferencji w drodze głosowania większościowego.
4.
Wyjaśnić, dlaczego w pytaniu 3 nie da się zastosować T.5.
5.
Udowodnić, że każde optimum Pareto jest także słabym optimum Pareto, ale nie na
odwrót.
6.
Załóżmy, że całkowity koszt pewnego projektu wynosi c>0 i ma być sfinansowany z
podatków nałożonych na 3 konsumentów. Zatem zbiór alternatyw jest X={(t1,t2,t3)¥0:
t1+t2+t3=c}. Podział ciężaru opodatkowania ma być ustalony w drodze głosowania
większościowego. Udowodnić, że zwycięzcą Condorceta nie może być podział, przy
którym t1,t2,t3>0.