Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. 2 Liczby całkowite. 3

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych.
Robert Malenkowski
1
Liczby rzeczywiste.
1
Liczby naturalne.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 . . .}
Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności.
Liczby naturalne można ustawić w ciąg nieskończony (po kolei jedna za drugą). Dysponując jedynką, łatwo jest otrzymać wszystkie inne liczby naturalne. Trzeba tylko
cierpliwie dodawać ... Zbiór liczb naturalnych oznaczamy symbolem N.
Czy zero jest liczbą naturalną? To zależy od definicji. Czasem matematycy przyjmują, że zero jest liczbą naturalną, a czasem zaczynają od jedynki. My przyjmujemy, że
zero jest liczbą naturalną.
Ile jest liczb naturalnych? Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele.
2
Liczby całkowite.
Z = {. . . − 5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 . . .}
Zbiór liczb całkowitych można więc zdefiniować, jako rozszerzenie zbioru liczb naturalnych o wszystkie wyniki operacji odejmowania liczb naturalnych od zera.
Liczbami całkowitymi nazywamy więc wszystkie liczby naturalne, zero oraz wszystkie
liczby przeciwne do naturalnych. Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy literą Z
lub C.
3
Dzielniki liczb naturalnych.
Liczbę naturalną m 6= 0 nazywamy dzielnikiem liczby naturalnej n wtedy i tylko wtedy,
gdy iloraz n : m jest liczbą naturalną.
3.1
Liczby wymierne.
Liczby, które można zapisać w postaci ułamka (ułamek - wynik dzielenia, przy czym w
liczniku są liczby całkowite, a w mianowniku - naturalne prócz zera), nazywa się liczbami
wymiernymi.
Liczbę x nazywamy liczbą wymierną, gdy
x=
p
:p∈C ∧q ∈N
q
Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych.
Robert Malenkowski
2
Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą W . Każda liczba całkowita i każda liczba
naturalna jest liczbą wymierną.
4
Liczby niewymierne.
Są liczby, których nie można przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych.
Nazywamy je liczbami niewymiernymi. Liczb niewymiernych jest całe mnóstwo - dużo
więcej niż wszystkich możliwych liczb wymiernych. Natknęli się na nie pitagorejczycy,
rozważając długości przekątnych kwadratu.
Liczby niewymierne to liczby, które nie są wymierne. Liczby niewymiernej nie można
przedstawić w postaci ułamka, a rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. Zbiór liczb niewymiernych
√ √ √ oznaczamy N W lub IW .
Przykłady liczb niewymiernych: π, 2, 3, 5 . . .
5
Kolejność wykonywania działań
1. Jako pierwsze działania w nawiasach.
2. Potęgowanie i pierwistkowanie.
3. Mnożenie i dzielenie.
4. Dodawanie i odejmowanie.
6
6.1
Działania na ułamkach zwykłych
Dodawanie i odejmowanie ułamków.
Jeżeli ułamki mają takie same mianowniki to dodajemy liczniki, a mianownik zostawiamy bez zmian. Jeżeli chcemy dodać liczby mieszane, dodajemy całości do całości, a
ułamki do ułamków. Jeżeli ułamki zwykłe mają różne mianowniki, to najpierw należy
sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, a potem dodać liczniki, pozostawiając
mianownik bez zmian. Dodawanie ułamków jest przemienne i łączne.
Aby odjąć ułamki o jednakowych mianownikach, odejmujemy ich liczniki, a mianownik zostawiamy bez zmian. Jeżeli chcemy odjąć liczby mieszane, odejmujemy całości
od całości, a ułamki od ułamków Aby odjąć ułamki o róznych mianownikach, najpierw
sprowadzamy je do wspólnego mianownika, następnie odejmujemy.
Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych.
Robert Malenkowski
6.2
3
Mnożenie ułamków.
Aby pomnożyć liczbę naturalną przez ułamek (lub odwrotnie), mnożymy licznik ułamka
przez tę liczbę, a mianownik zostawiamy bez zmian. Jeżeli chcemy pomnożyć dwa ułamki, mnożymy licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego i mianownik pierwszego
ułamka przez mianownik drugiego. Podczas mnożenia jeśli to możliwe można stosować
skracanie ułamków. Należy pamiętać, aby skracając zawsze wybierać jedną liczbę z licznika, drugą z mianownika. Jeżeli chcemy pomnożyć przez siebie dwie liczby mieszane, to
obie zamieniamy na ułamki niewłaściwe i mnożymy licznik przez licznik, a mianownik
przez mianownik. Mnożenie ułamków jest przemienne i łączne.
6.3
Dzielenie ułamków. Odwrotność liczby.
Jeżeli iloczyn dwóch liczb jest równy 1 , to mówimy, że jedna liczba jest odwrotnością
drugiej. Aby podzielić dwie liczby należy dzielną pomnożyć przez odwrotność dzielnika.
7
Porównywanie ułamków zwykłych
Trudniej jest porównać dwa ułamki zwykłe od dwóch liczb naturalnych, na które wystarczy, że zerkniemy, a już potrafimy wskazać większą z nich. W przypadku dwóch
ułamków o jednakowych licznikach lub mianownikach porównywanie nie jest trudne. W
przypadku ułamków o różnych licznikach i różnych mianownikach, należy sprowadzić te
ułamki do wspólnego mianownika lub licznika, bo w przeciwnym wypadku wskazanie
większej może być kłopotliwe.
Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki to ten jest większy, który
ma większy licznik.
Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same liczniki to ten jest większy, który
ma mniejszy mianownik.
Jeżeli ułamki nie mają ani równych liczników, ani równych mianowników, to można sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika lub licznika za
pomocą operacji rozszerzania.
8
Cechy podzielności liczb.
Cecha podzielności przez 2
Liczba jest podzielna przez 2 jeżeli jej ostatnią cyfrą jest: 2, 4, 6, 8 albo 0.
Cecha podzielności przez 3
Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3.
Cecha podzielności przez 4
Liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez
Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych.
Robert Malenkowski
4
4 lub jeśli dwukrotnie jest podzielna przez 2.
Cecha podzielności przez 5
Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 albo 5.
Cecha podzielności przez 6
Liczba jest podzielna przez 6, jeśli jest parzysta i suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną
przez 3.
Cecha podzielności przez 7
Liczba jest podzielna przez 7, jeśli różnica między liczbą wyrażoną trzema ostatnimi
cyframi danej liczby a liczbą wyrażoną wszystkimi pozostałymi cyframi tej liczby (lub
odwrotnie) jest podzielna przez 7.
Cecha podzielności przez 8
Liczba jest podzielna przez 8, jeśli jej trzy ostatnie cyfry tworzą
liczbę podzielną przez 8 lub jeśli trzykrotnie jest podzielna przez 2.
Cecha podzielności przez 9
Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 9.
Cecha podzielności przez 10
Liczba jest podzielna przez 10 jeśli jej ostatnią cyfrą jest zero.
Cecha podzielności przez 11
Liczba jest podzielna przez 11, jeśli różnica sumy jej cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych dzieli się przez 11.
9
Liczby pierwsze.
Liczba naturalna (różna od 0 i 1), która ma dokładnie dwa dzielniki (1 i samą siebie),
nazywana jest liczbą pierwszą. Liczby pierwsze mniejsze od 20: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.
9.1
Przykładowe zadania.
Zadanie 1. Wykonaj działania i określ czy wynik należy do zbioru W (liczby wymierne)
czy do zbioru N W (liczby niewymierne).
7
5
(140 30
− 138 12
) : 18 16
0, 002
Rozwiązanie.
7
5
(140 30
− 138 12
) : 18 61
=
0, 002
=
− 138 25
):
(140 14
60
60
2
1000
109
6
=
Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych.
Robert Malenkowski
=
(139 74
− 138 25
)·
60
60
2
1000
=
=
·
1 49
60
6
109
2
1000
6
109
5
=
=
109 6
2
6
2
1
2
2
·
·
=
·
=
·
=
60 109 1000
60 1000
10 1000
10000
Odpowiedź. Wynik tych działań jest ułamkiem o liczniku i mianowniku całkowitym
więc należy do zbioru liczb wymiernych.
Zadanie 2. Sznurek długości 10 m pocięto na trzy części, których stosunek jest równy
3 : 5 : 7. Jaką długość ma najkrótsza z tych części.
a) 3m
b) 2m
c) 1, 75m
d) 2, 1m
Rozwiązanie. Aby rozwiązać to zadanie należy zsumować współczynniki stusunku podziału: 3 + 5 + 7 = 15. W następnym kroku dzielimy nasz sznurek na 15 równych
części, czyli
10
2
10m : 15 = m = m
15
3
2
. Zatem 1 część ma długość 3 metra. Zgodnie z treścią zadania trzy części sznurka
będą miały długości równe:
2
3 · m = 2m
3
2
10
1
5· m= m=3 m
3
3
3
2
14
2
7· m= m=4 m
3
3
3
Stąd łatwo zauważyć, że najkrótsza część będzie miała 2m.
Odpowiedź. B.
Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych.
Robert Malenkowski
10
6
Zadania do samodzielnego rozwiązania
1
Zadanie 1. Na osi liczbowej odcinek AB, gdzie A = 3 12 i B = 4 10
, podzielono
punktami C i D na trzy równe części. Oblicz współrzędne punktów C i D.
Zadanie 2. Podaj przykład liczb wymiernych a i b spełniających warunek
4
5
<a<b<
13
13
.
1 2
Zadanie 3. Dana jest liczba a = 32 − 3· 2
. Która z podanych wypowiedzi jest
3
fałszywa.
a)Liczba a jest dzielnikiem liczby 16.
b) Liczba a jest podzielna przez 4.
c) Liczba a jest potęgą liczby 2.
d) Liczba a jest podzielna przez 8.
Zadanie 4. Sznurek długości 25 m pocięto na trzy części, których stosunek jest równy
2 : 4 : 9. Jaką długość ma najdłuższa z tych części.
a) 15m
b) 17m
c) 15, 75m
d) 16, 1m
Zadanie 5. Znajdź najmniejszą liczbę całkowitą większą od liczby x, jeżeli x = 4 23 −
1 15 · 27 .
Zadanie 6. Pan Nowak zareaerwował w biurze turystycznym wyjazd wakacyjny w cenie 2170 zł, za który ma zapłacić w trzech ratach. Pierwsza rata stanowi 37 ceny
wyjazdu, druga - 34 pozostałej kwoty. Oblicz ostatnią ratę.
Zadanie 7. Podaj liczbę n spełniającą nierówność:
√
n<3 2<n+1
.