Uploaded by User2118

Notatki obligacje

advertisement
1.
1
OBLIGACJE
1
Obligacje
Obligacja
n-letnia
zwi¡zana jest z nast¦puj¡cym przepªywem pieni¦»nym
< 0, 0 >, < 1, c1 · F >, < 2, c2 · F >, . . . < n, cn · F + F >,
gdzie
n
(1.1)
jest terminem zapadalno±ci (terminem wykupu obligacji przez
emitenta od obligatariusza),
ponowa w
k -tym
F
to warto±¢ nominalna,
to stopa ku-
ck
okresie.
B¦dziemy zakªada¢, »e znamy struktur¦ stóp procentowych na rynku. Dla
uproszczenia b¦dziemy tu równie» przyjmowa¢, »e jest ona pªaska czyli stopy
w ka»dym okresie s¡ takie same oraz równe
dyskonta to
i
a odpowiadaj¡cy im czynnik
v.
Z powy»szych danych ªatwo obliczy¢ cen¦ teoretyczn¡
P
obligacji czyli
warto±¢ obecn¡ przepªywu (1.1). W tym celu nale»y zdyskontowa¢ na chwil¦
0
warto±ci wszystkich kuponów
ck F, k = 1, . . . n
oraz warto±¢ nominaln¡
F.
Otrzymujemy
P =
n
X
ck F v k + F v n .
k=1
Je±li zaªo»ymy dodatkowo, »e wszystkie stopy kuponowe s¡ równe to powy»szy wzór mo»na zapisa¢ w postaci
P = cF
n
X
v k + F v n = cF an i + F v n = F (can i + v n ).
(1.2)
k=1
Warto podkre±li¢, »e rynkowe stopy procentowe
i
mog¡ si¦ ró»ni¢ od stóp
kuponowych.
Fakt 1.1
Niech
F, i, c, P
b¦d¡ jak w opisie powy»ej. Wówczas
c>i
c<i
c=i
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
P >F
P <F
P =F
(1.3)
(1.4)
2
Dowód
Z równania (1.2) otrzymujemy
P − F = F (can i + v n ) − F
= F (can i + v n − 1)
1 − vn 1 − vn
= F c
−
·i
i
i
1 − vn
(c − i).
= F
i
St¡d przy naturalnym zaªo»eniu, »e
taki sam jak znak
v<1
otrzymujemy, »e znak
P −F
jest
c − i.
Uwaga Obligacja, dla której zachodzi (1.3) to obligacja sprzedawana z premi¡ natomiast obligacja, dla której zachodzi (1.4) to obligacja sprzedawana
z dyskontem.
Przykªad 1.2 Obligacja, której wszystkie kupony s¡ równe
pªyw pieni¦»ny to
0 czyli jej prze(< 0, 0 >, < 1, 0 >, < 2, 0 >, . . . < n, F >) nazywana jest
obligacj¡ zerokuponow¡.
Uwaga Dla obligacji zerokuponowych mamy
c=0
czyli
c < i.
Tak wi¦c z
Faktu 1.1 otrzymujemy, »e obligacje zerokuponowe s¡ zawsze sprzedawane z
dyskontem czyli ich cena
P
jest mniejsza od warto±ci nominalnej
F.
Znaj¡c warto±¢ obligacji w chwili zero mo»emy równie» obliczy¢ jej warto±¢ w dowolnej chwili
t.
Najpierw znajdujemy jej warto±¢ w chwili
k = btc
czyli tu» po ostatniej (przed chwil¡ t) wypªacie kuponu. W tym celu dyskontujemy na chwil¦
k
pozostaªy po chwili
t
przepªyw pieni¦»ny i otrzymujemy
Pk = cF an−k i + F v n−k .
Nast¦pnie akumulujemy
Pk
na chwil¦
t.
Klasycznie - czyli domna»aj¡c przez
Mo»na to zrobi¢ na wiele sposobów.
(1 + i)t−k
(jak dla oprocentowania
zªo»onego). Jest to tzw. interpolacja wykªadnicza. Otrzymujemy wówczas
Pt = Pk (1 + i)t−k = cF an−k i + F v n−k (1 + i)t−k .
1.
3
OBLIGACJE
Tak otrzymane
chwili
t. Pt
Pt
nazywamy cen¡ brudn¡ lub rozliczeniow¡ obligacji w
nazywamy cen¡ teoretyczn¡ obligacji w chwili
t.
Inny mo»liwy sposób to u»ycie interpolacji liniowej. Czyli (podobnie jak
przy oprocentowaniu prostym) dodanie
i(t − k)Pk .
St¡d otrzymujemy
Pt = Pk + i(t − k)Pk = cF an−k i + F v n−k (1 + i(t − k)).
Uwaga Cena brudna jest funkcj¡ nieci¡gª¡ wzgl¦dem t. Punkty nieci¡gªo±ci
pojawiaj¡ si¦ w chwilach wypªat (odci¦cia) kuponów.
Uwaga Po (liniowym) uci¡gleniu funkcji na cen¦ brudn¡ obligacji otrzymujemy wzór na tzw. cen¦ czyst¡
Ptczysta = Pt − cF (t − k),
gdzie
cF (t−k) s¡ narosªymi od chwili k odsetkami dla kuponu, który zostanie
k + 1. Cena czysta jest cen¡ kursow¡ (cen¡ rynkow¡)
wypªacony w chwili
obligacji.
Download
Random flashcards
ALICJA

4 Cards oauth2_google_3d22cb2e-d639-45de-a1f9-1584cfd7eea2

bvbzbx

2 Cards oauth2_google_e1804830-50f6-410f-8885-745c7a100970

Motywacja w zzl

3 Cards ypy

Prace Magisterskie

2 Cards Pisanie PRAC

Create flashcards