Promieniotwórczość naturalna

PRZEWODNICTWO MATERII
Kwantowa teoria zjawiska fotoelektrycznego
Zjawisko fotoelektryczne jest to proces polegający na pochłonięciu kwantu promieniowania o
energii E =  = c, w wyniku czego elektron z a-tej orbity Ea<0 przechodzi do stanu tzw.
widma ciągłego Ea>0, czyli zachodzi jonizacja atomu. Energia kinetyczna elektronu jest równa:
( 1)
E  c  Ia
gdzie Ia oznacza energię jonizacji a-tej orbity atomu. Dla kwantów o energiach
porównywalnych z Ia emisja elektronu zachodzi z orbit zewnętrznych. Dla kwantów o energiach
znacznie większych od Ia, emisja zachodzi z orbit położonych blisko jądra, czyli z orbity K, L,
... .
Rozpatrzmy emisję elektronu z orbity K. Elektron o masie spoczynkowej m0 posiada
wówczas energię kinetyczną równą:
p2
k2
mc
( 2)
Ek 
 c ; k0  o .
2m0
k0

Początkowy stan układu ma energię równą energii jonizacji:
Ze2 Z k0
Ea  Ia  

c
( 3)
2a
2
gdzie a oznacza promień orbity K-tej, natomiast pozostałe stałe mają znane wielkości z teorii
atomu:
e2
1
2
1
  , k 0  k 0 Z  , a 

.
( 4)
2
c
a
Z k 0
m0 e
Funkcja falowa tego stanu jest dana wyrażeniem:
3/ 2
5/ 2
exp( ik r )
1 1
 r  8 π (k 0 )
.
( 5)
a 
  exp    

3
2
2
L
π a
 a
k  (k )  (k 0 )
Dla stanu końcowego Eb, ograniczając się do przybliżenia Borna (fala płaska), słusznym dla
rmax<<a, energia i funkcja falowa dana jest wyrażeniem:
1
k2
Ea  Ea  c
;  b  3 / 2 exp( ikr) .
( 6)
2k0
L
Prawdopodobieństwo zjawiska fotoelektrycznego można oszacować z przybliżenia
promieniowania dipolowego. Biorąc pod uwagę przybliżenie Borna dla przypadku
nierelatywistycznego, otrzymujemy, że prawdopodobieństwo wyrwania elektronu z orbity K na
skutek oddziaływania kwantu promieniowania można wyrazić zależnością:
 6 Z 5ck02
 2 k 2  (κk ) 2
P  256π 3
8
(
κ

κ
)
.
( 7)
 ba
 L6 k
 2k 8
Biorąc pod uwagę wszystkie możliwe wartości liczb falowych k, czyli przechodząc do widma
ciągłego, mamy ostatecznie:
256π  6 Z 5ck03 1
k2
( 8)
P
,  ba 
 .
3  k 4 L3  ba
2k 0
k
Różniczkowy przekrój czynny na zjawisko fotoelektryczne ” jest równy stosunkowi
prawdopodobieństwa wyrwania elektronu, do liczby fotonów, które padają na jednostkę
powierzchni w jednostce czasu. W jednostce czasu na jednostkę powierzchni S padają fotony,
które znajdują się w objętości V0 = c S. Prawdopodobieństwo znalezienia fotonu w objętości L3
jest równe jedności, czyli prawdopodobieństwo znalezienia fotonu w objętości V0 jest więc
równe:
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
PRZ .1
PRZEWODNICTWO MATERII
Sc
,
( 9)
L3
stąd różniczkowy przekrój czynny na zjawisko fotoelektryczne będzie dany wzorem:
P 256π  6 Z 5 k03 1
,
( 10)
  

N
3  k 4  ba
k
a dla k 0  k  Z k 0 mamy
P
7/2
32 2π 2 6 5  k 0 
  
r0  Z   .
3
 
Podstawiając wyrażenie na energię jonizacji otrzymujemy ostatecznie:
512π 2 1  I
  
r0 3 2
3
 Z  E
7/2

 , m0c 2  E  I .


Dla energii ultrarelatywistycznych (  k  k 0 ) mamy:
   4 π r02 4 Z 5
( 11)
( 12)
m0c 2
.
Ej
( 13)
Przekrój czynny na zjawisko fotoelektryczne maleje wraz z energią kwantów  i dla energii
kwantów E >> 10 m0c2 pochłanianie kwantów na skutek tego zjawiska można całkiem
zaniedbać.
PRZEWODNICTWO PÓŁPRZEWODNIKÓW
Przewodzenie prądu w półprzewodniku może być związane z ruchem elektronów lub z
ruchem jonów. W przewodnikach jonowych w trakcie przewodzenia jest przemieszczana pewna
masa, co powoduje zmianę składu i pierwotnej struktury, natomiast w półprzewodnikach
elektronowych taka zmiana nie zachodzi.
W półprzewodnikach w niezbyt wysokich temperaturach energia kinetyczna ruchu cieplnego
elektronów w paśmie walencyjnym jest za mała do pokonania pasma wzbronionego, mogą się
jednak zdarzyć elektrony bardziej wzbudzone o energii wystarczającej do jego pokonania.
Wówczas pojawia się elektron w paśmie przewodnictwa i pozostaje dziura w paśmie
walencyjnym. Dziura reprezentuje ładunek dodatni i może poruszać się bezładnie na skutek
kolejnego przypadkowego zapełniania przez sąsiednie elektrony. Para elektron-dziura jest
analogiem pary jonów w gazach.
Liczba Ned par elektron-dziura w półprzewodniku zależy zarówno od temperatury jak i od
szerokości pasma wzbronionego EG:
E 
N ed  bT 3 / 2 exp  G  ,
( 14)
 kT 
gdzie b oznacza stałą zależną od materiału półprzewodnika. Przewodnictwo związane z
temperaturą nazywamy przewodnictwem samoistnym.
Przewodnictwo półprzewodników, oprócz temperatury, zależy również od innych czynników
zewnętrznych, takich jak pola elektryczne i magnetyczne, oświetlenie, promieniowanie
elektromagnetyczne o wysokiej energii i promieniowanie korpuskularne.
Praktyczne zastosowanie mają półprzewodniki, w których przewodnictwo wywołane jest
przemieszczaniem się elektronów. Do takich półprzewodników należy 12 pierwiastków (rys.28)
oraz wielka liczba związków. Są to głównie substancje nieorganiczne ale istnieją również
półprzewodniki organiczne, np. antracen.
III
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
IV
V
VI
VII
PRZ .2
PRZEWODNICTWO MATERII
B
C
II
Si
P
S
III
Ge
As
Se
IV
Sn
Sb
Te
J
V
Rys. 1. Półprzewodniki w układzie okresowym pierwiastków
PRZEWODNICTWO PÓŁPRZEWODNIKÓW
Klasyczna teoria przewodnictwa, oparta na teorii przewodnictwa metali, zakłada, że elektrony
w metalu można traktować jako gaz doskonały, znajdujący się w równowadze
termodynamicznej z siecią krystaliczną a elektrony oddziałują ze sobą jedynie w momencie
zderzenia. Każdy elektron opisany jest przez wektor położenia r i wektor prędkości v (albo pędu
p). Grube założenie od braku oddziaływań pomiędzy elektronami w gazie elektronowym można
częściowo uzasadnić istnieniem oddziaływań elektronów z jądrami atomowymi, co w rezultacie
powoduje istnienie pozornej niezależności elektronów.
Podobnie jak w gazie do wywołania przepływu prądu konieczny jest zewnętrzny czynnik
porządkujący chaotyczny ruch elektronów, Zwykle bierze się pod uwagę zewnętrzne pole
elektryczne E, ale może to być również gradient temperatury, strumień fotonów, itp.
Po przyłożeniu pola elektrycznego E elektrony poruszające się ruchem bezładnym doznają
działania siły eE i zaczynają poruszać się w kierunku przeciwnym do przyłożonego pola z
średnią prędkością unoszenia w:
 e
w
E   n E , []=A s2 kg-1 = m2 s-1 V-1
( 15)
2m
gdzie  oznacza średni czas pomiędzy kolejnymi zderzeniami, n – ruchliwość elektronów.
Gęstość prądu elektronowego będzie:
jn  e n u  e n  n E   n E ,
( 16)
gdzie n, n oznaczają odpowiednio gęstość i przewodnictwo elektronów. Przewodnictwo
elektronów opisuje wzór Drudego:
e2 e
n 
,
( 17)
2mvT
gdzie  oznacza drogę swobodną elektronu w czasie  z prędkością bezładnego ruchu cieplnego
vT. Dla niewielkiego natężenia pola E jest spełnione prawo Ohma i w tym zakresie gęstość
elektronów i ich ruchliwość jest stała.
Falowy opis przewodnictwa w metalu zakłada, że elektrony poruszające się w metalu maja
jednakową energie potencjalną –V0 a ich energia kinetyczna jest równa:
1
E  mv 2 .
( 18)
2
Równanie falowe dla swobodnego elektronu ma postać:
 2

   (E  V0 ) .
( 19)
2m
Wprowadzając liczbę falową k:
2m(E  V0 )
mv
,
( 20)
k



otrzymane równanie falowe:
 2  k 2 ,
( 21)
ma ogólne rozwiązanie w postaci:
 ( x, y, z )  C exp[ i(k1 x  k2 y  k3 z )]  C exp[ i(kr)] ; kr  k1 x  k2 y  k3 z ,
( 22)
gdzie k oznacza wektor falowy. Zakładając, że funkcja falowa jest periodyczna o okresie L,
składowe ki muszą spełniać warunki brzegowe Borna-Karmana:
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
PRZ .3
PRZEWODNICTWO MATERII
2π
n1 ; i = 1,2,3; n = 0, 1, 2, ... .
L
Skwantowana energia elektronu, równa:
ki 
( 23)
2
 2  2π  2
2
2
( 24)
E  V0 
  (n1  n2  n3 ) ,
2m  L 
opisana jest trzema liczbami n1, n2 i n3. Przy opisie procesów makroskopowych energię
elektronu można jednak traktować jako wielkość ciągłą, gdyż kwant energii ma bardzo małą
wartość, np. dla pudła o boku L rzędu 1 cm ma on wartość około 1,5.10-14 eV.
W idealnym krysztale wszystkie elektrony są związane, nie istnieją swobodne nośniki
ładunku, czyli takie ciało jest idealnym izolatorem. Umieszczone w polu elektrycznym nie
wykazuje przepływu prądu elektrycznego. Do generacji nośnika ładunku potrzebna jest
określona energia oderwania elektronu, energia jonizacji, która musi być dostarczona z
zewnątrz, np. w postaci impulsu energii cieplnej, energii fotonów czy cząstek korpuskularnych.
W nieobecności zewnętrznego pola elektrycznego wybite elektrony poruszają się chaotycznie w
sieci krystalicznej do momentu rekombinacji. Przy dostatecznie dużej objętości kryształu,
generacja pewnej liczby ładunków nie zakłóca elektrycznie makroskopowo neutralnego
charakteru kryształu, gdyż praktycznie istnieje tyle samo elektronów i zdefektowanych atomów.
W półprzewodnikach przewodnictwo elektryczne jest wywołane nie tylko ruchem elektronów
ale również ruchem zdefektowanych atomów, czyli dziurami, które zachowują się jak nośniki
ładunku dodatniego. Przewodnictwo związane z obu rodzajami nośników zależy w istotny
sposób od temperatury. Dziury mogą przemieszczać się dzięki kolejnym ruchom elektronów i
tym samym biorą udział w chaotycznym ruchu cieplnym. Pod wpływem zewnętrznego pola
elektrycznego E elektrony poruszają się w kierunku przeciwnym do kierunku przyłożonego
pola, zajmując kolejno istniejące luki. Od liczby luk zależy więc ruchliwość elektronów w
danym materiale. Prędkość unoszenia dla elektronów i dziur jest w półprzewodniku tego samego
rzędu, a zależność od pola elektrycznego wykazuje efekt nasycenia (rys.29). Prędkości
unoszenia dla obszaru nasycenia są rzędu 105 m/s, czyli czas migracji pary elektron-dziura przez
warstwę półprzewodnika o grubości 1 mm jest rzędu 10 ns.
-1
v [m s ]
10
5
elektrony
104
10
dziury
3
10
3
10
4
10
5
-1
E [V m ]
10
6
S-0954
Rys. 2. Zależność prędkości unoszenia elektronów i dziur w germanie od natężenia pola elektrycznego
(T = 190 K)
W półprzewodniku, w którym na skutek przewodnictwa samoistnego istnieją elektrony w
paśmie przewodnictwa, w miarę upływu czasu następuje rekombinacja. Po pewnym czasie w
danej temperaturze ustala się równowaga pomiędzy powstającymi parami elektron-dziura a ich
rekombinacją. Ustala się więc równowaga pomiędzy gęstością elektronów w paśmie
przewodnictwa nC i gęstością dziur w paśmie walencyjnym pV:
nC = pV .
( 25)
Gęstość prądu dla obu typów nośników określona jest zależnością:
ji  ei i i E   i E ,
( 26)
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
PRZ .4
PRZEWODNICTWO MATERII
gdzie indeks i oznacza elektrony (i = n) albo dziury (i = p); całkowite przewodnictwo jest sumą:
j  (en  n  n  e p  p  p )E  ( n   p )E .
( 27)
W półprzewodniku samoistnym w danej objętości gęstość elektronów i dziur jest taka sama s i
wówczas gęstość prądu jest równa:
j   s (en  n  e p  p )E .
( 28)
C
ED
G
EA
V
(a)
(b)
(c)
S-0123
Rys. 3. Przewodzenie prądu w półprzewodniku: (a)-samoistne, (b)- typu n, (c)-typu p (C-pasmo
przewodnictwa, V -pasmo walencyjne, G -pasmo zabronione)
Defekty sieci, występujące w realnych półprzewodnikach, lub wprowadzone domieszki,
tworzą dodatkowe poziomy przewodnictwa w paśmie wzbronionym w którym występuje
przewodnictwo niesamoistne. Do celów praktycznych wykorzystuje się półprzewodniki
niesamoistne o celowo wprowadzonych domieszkach, tzw. półprzewodniki domieszkowane.
Określone domieszki mogą spowodować powstanie nadmiaru nośników ładunku dodatniego lub
ujemnego. Rozróżniamy domieszki donorowe które oddają elektron i domieszki akceptorowe
które pochłaniają elektron. W półprzewodniku niesamoistnym przewodnictwo jest związane z
nośnikami określonego znaku ładunku, których jest więcej. Są to nośniki większościowe,
pozostałe stanowią nośniki mniejszościowe. Jeżeli dodatkowy poziom przewodnictwa tworzy się
w pobliżu pasma przewodnictwa, mówimy o półprzewodniku nadmiarowym (półprzewodnik
typu n) o poziomach donorowych ED (rys.30.b). Jeżeli tworzy się w pobliżu pasma walencyjnego
mamy półprzewodnik niedomiarowy (półprzewodnik typu p) o poziomach akceptorowych EA
(rys.30.c).
Zjonizowane atomy akceptorów i donorów są unieruchomione w sieci krystalicznej. W
półprzewodniku typu n zjonizowanie jednego z donorów prowadzi do pojawienia się
swobodnego elektronu w paśmie przewodnictwa (rys.30.b). Zjonizowanie półprzewodnika typu
p polega na pobraniu elektronu z pasma walencyjnego. Powoduje to pojawienie się w paśmie
walencyjnym swobodnej dziury. Gęstość elektronów n w półprzewodniku typu n jest
praktycznie równa gęstości elektronów na poziomach donorowych nD:
 n   nD
( 29)
natomiast maleje gęstość dziur p. Po ustaleniu się warunków równowagi w półprzewodniku
typu n mamy:
 n  p   nD  p .
( 30)
W takim półprzewodniku elektrony są nośnikami większościowymi, dziury - mniejszościowymi,
czyli wypadkowe przewodnictwo jest równe:
   n ;  p   n ;  p   n .
( 31)
Dla półprzewodników typu p sytuacja jest odwrotna. Gęstość dziur p jest praktycznie równa
gęstości dziur na poziomach akceptorowych pA:
 p   pA .
( 32)
i po ustaleniu się równowagi mamy:
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
PRZ .5
PRZEWODNICTWO MATERII
 n  p   n  pA .
( 33)
i w półprzewodniku typu p dziury są nośnikami większościowymi, elektrony mniejszościowymi; czyli:
   p ;  n   p ;  n   p .
( 34)
Gdy w półprzewodniku występują równocześnie takich samych gęstościach donory i
akceptory, mamy półprzewodnik typu skompensowanego, który posiada własności
półprzewodnika niedomieszkowanego.
Czas życia nośnika na dodatkowym poziomie energetycznym zależy od tego, czy po przejściu
do poziomu podstawowego nośnik straci energię przez wypromieniowanie jej w postaci kwantu
(przejście promieniste) czy przez cieplne rozproszenie energii (przejście bezpromieniste).
W półprzewodniku, do którego nie zostało przyłożone pole elektryczne E, prąd elektryczny
może popłynąć jedynie w przypadku, gdy istnieje gradient stężenia nośników. Weźmy pod
uwagę półprzewodnik typu p w którym istnieje gradient stężenia gęstości dziur p. Gęstość
płynącego prądu będzie wówczas równa:
i p  eD p  p ,
( 35)
gdzie Dp oznacza stałą dyfuzji dziur. Podobnie dla elektronów otrzymamy:
i n  eDn n .
( 36)
Po przyłożeniu pola E gęstość płynącego prądu będzie dla obu nośników odpowiednio równa:
i p  e(  p  p E  D p  p ) ,
( 37)
i n  e(  n  n E  Dn n ) .
( 38)
Prąd dyfuzyjny odgrywa rolę przy dużych gradientach stężenia nośników, które jednak w
przypadku półprzewodników odgrywają istotną rolę.
STĘŻENIE NOŚNIKÓW W PÓŁPRZEWODNIKU
W półprzewodnikach zarówno samoistnych jak i nie samoistnych na skutek oddziaływań
termicznych istnieje pewna liczba par elektron-dziura, które są nośnikami prądu. Niech s
oznacza równe sobie stężenie elektronów i dziur w półprzewodniku samoistnym oraz n i p –
stężenie elektronów i dziur w półprzewodniku niesamoistnym. Szybkość generacji elektronów i
dziur nie zależy od gęstości elektronów n i dziur p, gdyż może ona być na skutek drgań
cieplnych dowolnie wielka. Prawdopodobieństwo generacji pary elektron-dziura jest zależne od
materiału i szerokości jego przerwy energetycznej EG oraz od temperatury T:
 E 
p (T )  CT 3 / 2 exp   G  ,
( 39)
 kT 
gdzie C oznacza stałą, zależną od materiału.
Zachodzi również proces rekombinacji, w którym znika para elektron-dziura z równoczesną z
emisją fotonu (przejście promieniste) lub bez (przejście bezpromieniste). Szybkość
rekombinacji, proporcjonalną do gęstości nośników n i p, wyraża zależność:
d p d n

 a  b n  p ,
( 40)
dt
dt
gdzie a i b oznaczają pewne stałe. W warunkach równowagi termodynamicznej mamy:
a
 p  n   const   s2 ,
( 41)
b
gdzie s oznacza gęstość nośników samoistnych, która jest zależne od rodzaju materiału i
temperatury:
 E 
 s2  CT 3 / 2 exp    .
( 42)
 kT 
Weźmy pod uwagę półprzewodnik typu n, w którym gęstość donorów jest równa D,
wówczas:
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
PRZ .6
PRZEWODNICTWO MATERII
n  D   p ,
i w stanie równowagi termodynamicznej mamy:
 p  D   pp   s2 .
Po rozwiązaniu otrzymujemy liczbę nośników p0:
( 43)
( 44)
1/ 2
1
1

2
4

Dla półprzewodnika prawie samoistnego (D << s) mamy:
1
1
 p0    D   s ,  n0   D   s ,
2
2
natomiast dla półprzewodnika prawie niesamoistnego (D >> s) mamy:
 p 0    D    D2   s2  .
 p0 
 s2
,  n0   D .
 D2
( 45)
( 46)
( 47)
ZŁĄCZE N-P
Na styku dwu różnych warstw występują zawsze zjawiska kontaktowe, które polegają na
ustalaniu się nowego stanu równowagi rozkładu ładunku. Wyrównują się poziomy Fermiego,
które przed stykiem mogły mieć różne wartości. Zjawiska te zależą od rodzaju stykających się
ciał. Jeżeli stykają się dwa metale, po obu stronach styku tworzą się ładunki przestrzenne i taki
styk nazywa się omowym. Jeżeli styka się metal i półprzewodnik, lub dwa półprzewodniki,
oprócz styku omowego występować może styk prostujący.
Rozpatrzmy styk metal-półprzewodnik typu n (rys.31), dla przypadku, gdy praca wyjścia m z
metalu jest większa od pracy wyjścia p z półprzewodnika, którego powinowadztwo
elektronowe wynosi p. Po styku ustala się równowaga, elektrony z warstwy powierzchniowej
półprzewodnika przechodzą do metalu, w której pozostają zjonizowane donory. Tworzy się
bariera potencjału, która od strony metalu wynosi m-p, a po stronie półprzewodnika m-p. Ta
różnica potencjału podtrzymywana jest przez ładunek powierzchniowy, który po stronie
półprzewodnika związany jest ze zjonizowanymi donorami. Warstwa tego ładunku, czyli
grubość bariery zależy od jej wysokości i stężenia donorów.
PP
p
m
p
PF
m-p
m-p
PF
PF
metal
półprzewodnik n
metal półprzewodnik n
S-1094
Rys. 4. Rozkład potencjału przed i po styku metal-półprzewodnik
Na skutek drgań cieplnych, pewna liczba elektronów, zarówno z metalu jak i z
półprzewodnika, może przejść przez barierę, wywołując przepływ prądu I0 w oby kierunkach,
który w warunkach równowagi się równoważy. Jeżeli do półprzewodnika zostanie przyłożone
napięcie –V, wysokość bariery potencjału dla przepływu elektronów z półprzewodnika do
metalu nie ulegnie zmianie. W półprzewodniku poziom pasma przewodnictwa podniesie się o
eV, czyli bariera dla elektronów płynących w kierunku odwrotnym obniży się o eV. Popłynie
więc pewien prąd, którego natężenie będzie wówczas:
  eV  
I  I 0 exp 
( 48)
  1 ,
  kT  
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
PRZ .7
PRZEWODNICTWO MATERII
czyli wytworzy się styk prostujący (rys.32). Jeżeli eV >> kT półprzewodnik jest spolaryzowany
w kierunku przewodzenia i płynący prąd ma ładunek dodatni i duże natężenie. Dla przypadku,
gdy eV << kT półprzewodnik jest spolaryzowany zaporowo, prąd płynący jest mały, prawie
równy I0.
PP
m-p
m-p
PF
eV
PF
metal
półprzewodnik n
S-1095
Rys. 5. Rozkład potencjału na styku metal-półprzewodnik po przyłożeniu napięcia
Jeżeli styka się warstwa półprzewodnika typu p z warstwą półprzewodnika typu n, elektrony
z warstwy typu p przechodzić będą do warstwy typu n do momentu wyrównania się poziomów
Fermiego. Na styku obu warstw istniejące domieszki, tworzące oba typy półprzewodnika,
dyfundują wzajemnie, tworząc pewną warstwę, zwaną złączem p  n . W warstwie tej, w
warunkach równowagi, ustala się pewien określony rozkład potencjału (rys.33). W przedziale (x1,0) znajduje się ładunek dodatni, w przedziale (0,x2) ładunek ujemny. W stanie równowagi, na
skutek drgań cieplnych po obu stronach tworzą się równe co do wartości prądy In0. Jednak w
nieobecności przyłożonego napięcia na skutek istnienia ładunku przestrzennego tworzy się
pewna bariera V. Powoduje ona, że elektrony płynące w kierunku n  p muszą przechodzić
przez tą barierę a płynące w kierunku p  n nie przechodzą. Styk taki ma więc działanie
prostujące.
V
PF
obszar n -x1
0
x2 obszar p
S-1096
Rys. 6. Rozkład potencjału na styku półprzewodnik typu n – półprzewodnik typu p
Przyłożenie zewnętrznego napięcia V obniża istniejącą barierę, natężenie prądu w kierunku
n  p wyraźnie od zależy od jego wartości. Natężenie prądu zależy więc zarówno od
przyłożonego napięcia jak i temperatury:
  eV  
I n  I n 0 exp 
( 49)
  1 .
  kT  
Na opisany mechanizm przewodzenia nakłada się przewodnictwo samoistne, które może
istotnie zwiększyć płynące w obu kierunkach prądy. W temperaturze T > 0 pewna część
nośników może się poruszać i gdy istnieje gradient koncentracji nośników jednego znaku, na
skutek dyfuzji obu rodzajów nośników popłynie pewien prąd. Ze względu jednak na
wytworzony ładunek przestrzenny, bariera potencjału spowoduje, że prąd ten po pewnym czasie
zaniknie. Na rys.34 pokazany jest rozkład gęstości nośników dla złącza n-p. Gęstość akceptorów
A jest stała, natomiast gęstość nośników n i p zmienia się wzdłuż złącza na skutek dyfuzji
ładunków.
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
PRZ .8
PRZEWODNICTWO MATERII
log 
n
A
D
p
obszar n
0
obszar p
S-0124
Rys. 7. Rozkład gęstości nośników ładunku dla złącza n-p
ROZKŁAD POTENCJAŁU NA ZŁĄCZU N-P
W celu opisu rozkładu potencjału rozpatrzmy złącze dwu warstw półprzewodników typu p o
grubości a i typu n o grubości b. Obszar (a,b) o łącznej grubości d jest obszarem przejściowym a
samo złącze jest typu skokowego. Warstwy stykają się w płaszczyźnie x = 0. Przyjmujemy dla
uproszczenia (rys.35.a) idealny rozkład gęstości nośników w obu warstwach:
 eN a (a  x  0)
.
( 50)
 ( x)  
(0  x  b)
 eN d
W warunkach równowagi liczba nośników w obu obszarach jest taka sama, czyli:
Naa  Nd b .
( 51)
Potencjał (x) spełnia równanie Poissona:
  eN a
(  a  x  0)
2
d ( )
 ( x)   0


,
( 52)
 0  eN d
dx 2
(0  x  b )
  0
Do obszaru typu n przykładamy napięcie –V; zaniedbując potencjał kontaktowy i dyfuzyjny,
rozkład pola elektrycznego w obszarze przejściowym jest równy:
  eN a
( x  a ) (  a  x  0)
d ( )   0
E

,
( 53)
eN d
dx

( x  b)
(0  x  b )
  0
natomiast rozkład potencjału jest dany wyrażeniami:
  eN a
2
(  a  x  0)
  ( x  a )
0
 ( x)  
.
( 54)
eN
 d ( x  b ) 2  V (0  x  b )
  0
W płaszczyźnie styku warstw (x = 0) nie ma skoku potencjału, czyli:
eN a a 2  eN d b 2  2 0V ,
( 55)
a ze względu na równowagę nośników mamy:
2 0V
.
( 56)
(a  b)b 
eN d
Jeżeli jedna z warstw, np. warstwa typu p ma znacznie większą gęstość nośników niż warstwa
typu n (Na >> Nd), z warunku równowagi wynika, że b >> a, czyli d  b. Jeżeli znacznie większa
jest gęstość warstwy typu n sytuacja jest podobna i wówczas d  a, czyli ogólnie:
1/ 2
 2 0V 
( 57)
d 
 ,
 eN 
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
PRZ .9
PRZEWODNICTWO MATERII
gdzie N oznacza stężenie nośników większościowych. Biorąc pod uwagę przewodnictwo
półprzewodnika równe:
1
p 
,
( 58)
eN
gdzie  oznacza ruchliwość nośnika, wówczas warstwa przejściowa jest w przybliżeniu równa:
1/ 2
( 59)
d  2 0V d  .
Stąd widać, że przewodnictwo elektryczne półprzewodnika ogranicza w istotny sposób
możliwość uzyskiwania warstw o pożądanych parametrach.
Również istotnym parametrem złącza jest jego pojemność, która jest proporcjonalna do
grubości warstwy:
1/ 2
  0 eN 
( 60)
C 
 ,
 2V 
jak również maksymalne pole elektryczne:
1/ 2
 2VeN 
 ,
E max  

0 

które dla przeciętnego złącza jest rzędu (106-107)V/m.
(x)
-a
( 61)
E
0
b
x
-a
0
x)
V
-a
b x
0
b
x
-a
0
b
x
S-1097
Rys. 8. Parametry złącza n-p
PRZECHODZENIE CZĄSTKI JONIZUJĄCEJ PRZEZ PÓŁPRZEWODNIK
Cząstka jonizująca przechodząc przez półprzewodnik traci swoją energię głównie w
procesach wzbudzenia i jonizacji. W procesie zderzenia cząstka może przekazywać elektronom
ciała stałego energię dostateczną na ich przejście z różnych poziomów pasma walencyjnego na
różne poziomy pasma przewodnictwa (rys.35.a). Stan wzbudzenia może trwać około 10-12 s, po
którym elektrony wracają na najniższe poziomy pasma przewodnictwa a dziury na najwyższe
poziomy pasma walencyjnego (rys.35.b). Końcowym efektem tego procesu jest rekombinacja
elektronów i dziur, zgodnie z prawem:
 t 
( 62)
N (t )  N 0 exp   ,
 r
gdzie N0 oznacza liczbę nośników w chwili t = 0, r - średni czas życia nośników względem
rekombinacji.
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
PRZ .10
PRZEWODNICTWO MATERII
EC
EG
EV
(a)
(b)
S-0125
Rys. 9. Przewodzenie prądu w półprzewodniku: (a)- stan początkowy, (b)- stan końcowy
STRATA ENERGII NA POWSTANIE PARY ELEKTRON-DZIURA
Cząstka jonizująca przechodząc przez półprzewodnik traci pewną energię na wzbudzenie
drgań sieci oraz wytworzenie par elektron-dziura. Zgodnie z teorią Schokley'a średnia energia EP
powstania pary elektron-dziura zależy od szerokości przerwy energetycznej EG
EP  2,2EG  NE f ,
( 63)
gdzie Ef oznacza energię fononu, N - liczbę fononów powstających w jednym akcie jonizacji (od
10 do 100). Oszacowana średnia energia EP powstania pary elektron-dziura dla krzemu wynosi
3.6 eV, dla germanu 2.9 eV. Energia EP odpowiada energii jonizacji i jest o rząd wielkości
mniejsza niż energia jonizacji gazów.
Przyjmując, że minimalna energia potrzebna na wytworzenie jednej pary elektron-dzura jest
równa ED, liczba par jonów Nj powstałych w procesie jonizacji będzie:
E
1
Nj 

.
( 64)
ED 2,2  N EG
EP
Podobnie jak dla gazu, wariancja V(Nj) liczby Nj par elektron-dziura wytworzonych przez
cząstki o energii E (traconej całkowicie w półprzewodniku) dana jest wyrażeniem:
V( N j )  F N j ,
( 65)
gdzie F oznacza współczynnik Fano, który dla krzemu wynosi F = 0,30 a dla germanu F
= 0,36. Ze względu na to, że F < 1 rozkład Nj nie jest rozkładem Poissona. Dla detektora
krzemowego, dla E = 1 MeV otrzymamy Nj = 2.8.105 oraz S(Nj) = 1 keV (dla F = 0,3).
FOTOPRZEWODNICTWO
Fotoprzewodnictwem nazywa się zmianę oporu elektrycznego półprzewodnika wywołane
bezpośrednim działaniem światła; jest to fotoelektryczne zjawisko wewnętrzne. Zmiana oporu
lub przewodnictwa elektrycznego jest wywołana zmianą stężenia nośników ładunku. Przyrost
przewodnictwa elektrycznego f przy oświetleniu półprzewodnika jest równy:
 f  q n  nn  q p  p p ,
( 66)
gdzie n i p oznaczają nadmiarowe stężenia elektronów i dziur wywołane światłem.
Nieoświetlony półprzewodnik ma pewne przewodnictwa własne, zwane przewodnictwem
ciemnym c. Przewodnictwo całkowite jest sumą przewodnictwa ciemnego i przewodnictwa
fotoelektrycznego:
 f  qn  n (nc  n)  q p  p ( pc  p)   c   f .
( 67)
Absorpcja podstawowa światła powoduje powstanie równych ilości elektronów i dziur.
Absorpcja ekscytonowa prowadzi ona do powstania elektrycznie neutralnej związanej pary
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
PRZ .11
PRZEWODNICTWO MATERII
elektron-dziura, czyli nie zwiększa stężenia nośników ładunku. Jeśli ekscyton poruszający się w
sieci po pochłonięciu dodatkowej energii ulegnie dysocjacji, to wytworzą się dwa swobodne
nośniki ładunku, elektron i dziurę. Natomiast gdy ekscyton ulegnie rekombinacji, jego absorpcja
nie wywoła zwiększenia przewodnictwa.
Na skutek fotojonizacji stanów zlokalizowanych w postaci atomów domieszkowych lub
centrów F wzrasta stężenie nośników ładunku tylko jednego rodzaju. Powstałe nierównowagowe
nośniki ładunku mogą być większościowe lub mniejszościowe. Gdy są one nośnikami
mniejszościowymi a ich stężenie przekracza stężenie większościowych nośników ładunku w
półprzewodniku nieoświetlonym, wówczas zmienia się typ przewodnictwa.
Sieciowa absorpcja światła może spowodować wzrost stężenia nośników ładunku tylko w
wyniku zjawiska wtórnego, gdyż absorpcja światła zwiększa stężenie fononów, które oddają
swoją energię na wzbudzenie nośników ładunku.
Absorpcja światła przez swobodne nośniki ładunku nie powoduje zmiany ich stężenia, jednak
zostaje przy tym zakłócony równowagowy rozkład nośników ładunku według stanów, ich
ruchliwość może się zmieniać, co prowadzi do zmiany przewodnictwa.
Przy oświetleniu półprzewodnika możliwe jest również zwiększenie oporu elektrycznego.
Światło może zakłócić równowagę cieplną pomiędzy powstawaniem a rekombinacją nośników
pobliżu powierzchni półprzewodnika. Prowadzi to do wzrostu prędkości rekombinacji w
objętości, gdzie dyfundują mniejszościowe nośniki ładunku, czyli do zmniejszenia stężenia
nośników większościowych i w rezultacie do wzrostu oporu.
Stężenie nośników ładunku w półprzewodniku oświetlonym można wyznaczyć z równań
ciągłości, które w ogólnym przypadku są w postaci:
jp
j
p
n
  div
 Gp  Rp ,
( 68)
 div n  Gn  Rn ;
t
qp
t
qn
gdzie ji (i = n, p) oznacza gęstość prądu elektronów i dziur, Gi - prędkość generacji nośników, Ri
- prędkość rekombinacji, które są dane zależnościami:
Gi  ( g E ) i  (rE ) i , Ri  (rI ) i  ( g I ) i ,
( 69)
gdzie gi i ri oznaczają odpowiednio prędkości zmiany stężenia na skutek generacji i
rekombinacji nośników, indeks I oznacza przyczynę wewnętrzną, E – przyczynę zewnętrzną. W
przypadku fotoprzewodnictwa równania ciągłości mają postać:
jp
p  pc
j
n  nc p
n
  div
 Gp 
;
,
( 70)
 div n  Gn 
qp
( f ) p
t
qn
( f ) n t
a jeżeli prąd nie występuje, wówczas:
n  nc p
p  pc
n
;
.
( 71)
 Gn 
 Gp 
t
( f ) n t
( f ) p
Dla stanu stacjonarnego:
n  nc  Gn ( f ) n ; p  p c  G p ( f ) p ,
( 72)
a stąd otrzymuje się ostatecznie:
 f  q p  p G p ( f ) p  bGn ( f ) n .
( 73)


Wielkość f zależy od długości fali światła padającego i od jego natężenia. Prędkość generacji G
zależy bezpośrednio od długości fali i natężenia, a f poprzez czas życia stężenia nośników
nadmiarowych, która zależy od G.
Prędkość generacji G zależy od natężenia światła I i od współczynnika absorpcji . Energia
absorbowana w jednostce objętości jest równa:
dI

 I  N ,
( 74)
dx
gdzie N oznacza strumień fotonów; prędkość generacji nośników ładunku będzie wówczas
równa:
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
PRZ .12
PRZEWODNICTWO MATERII
Gn  nN ; G p   pN ,
( 75)
gdzie n i p oznaczają wydajność kwantową fotojonizacji, które mogą teoretycznie przyjmować
wartości 0 lub 1. Wyznaczane doświadczalnie wydajności kwantowe mogą mieć różne wartości,
zarówno mniejsze, jak również większe od jedności. Jest to spowodowane zjawiskami
wtórnymi, zachodzącymi w półprzewodniku, które powodują, że na każdy absorbowany kwant
przypada efektywna liczba nośników swobodnych przekraczająca jedność. Jeśli przewodnictwo
fotoelektryczne półprzewodnika jest wynikiem absorpcji w stanach zlokalizowanych, to jedna z
wydajności kwantowych  jest równa zeru.
Gęstość prądu fotoelektrycznego jf jest dana wyrażeniem:
j f   f E  q p  p  p ( f ) p  b n ( f ) n  N E
( 76)
albo:
 ( )
( ) 
j f  q p  p f p   n f n   N l
( 77)
tp
tn 

gdzie tp, tn oznaczają czas unoszenia nośnika prądu, l – długość półprzewodnika w kierunku pola
E.



2,0
1,5
1,0
0
1
2
3
4
5
 [eV] S-0324
Rys. 10. Zależność wydajności kwantowej germanu (300 K)
Na rys.37 jest przedstawiona charakterystyka widmowa wydajności kwantowej dla germanu,
z której widać, że aż do 2,7 eV wydajność kwantowa jest równa jedności. Przy dalszym
wzroście energii fotonu wydajność kwantowa się zwiększa. Przy absorpcji fotonu w wyniku
przejścia prostego quasi-pędy elektronu i dziury są równe, a ich energie kinetyczne są odwrotnie
proporcjonalne do mas efektywnych. Kiedy energia kinetyczna jednej z cząstek osiąga wartość
równą szerokości pasma wzbronionego, to taki nośnik ładunku może spowodować wytworzenie
dodatkowej pary swobodnych elektronu i dziury.
Zależność przewodnictwa fotoelektrycznego f od natężenia światła jest skomplikowana i
nawet w przypadku rekombinacji liniowej zależność ta jest typu krzywej S. W obszarze małego i
dużego natężenia światła przebieg jest liniowy, w obszarze pośrednim jest nieliniowy. Takie
przebieg jest związany z istnieniem pułapek przetrzymujących.
Gi  ( g E ) i  (rE ) i .
( 78)
Założymy, że występują pułapki przetrzymujące o stężeniu M, które mogą wychwytywać i
przetrzymywać cząstki jednego rodzaju w czasie . Jeżeli  << f pułapka może chwytać
cząstkę wielokrotnie (pułapki typu ), gdy  >> f pułapka chwyta nie więcej niż jeden raz
(pułapki typu ). Jeśli pułapki są puste, to w pierwszej chwili mogą one chwytać na przykład
elektrony, zmniejszając prędkość narastania stacjonarnego stężenia i przedłużając czas
narastania. Podobnie będzie zachodziło przedłużanie i spadek stacjonarnej stężenia przy
opróżnianiu pułapek. Początkowy etap narastania i spadku jest określony charakterystycznym
czasem pułapkowania  dla pułapek  oraz czasem życia f dla pułapek . W miarę nasycania
pułapek nośnikami ładunku, ich rola w ustalaniu stężenia stacjonarnej maleje, co wyjaśnia
charakter krzywych narastania stężenia stacjonarnego.
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
PRZ .13
PRZEWODNICTWO MATERII
100
f [j.um.]
10
1
1
2
4
6
8 10
20
40
 [m]
S-0322
Rys. 11. Widmo fotoprzewodnictwa Ge(Cu)
Zależność fotoprzewodnictwa od energii fotonów jest określona w pierwszym rzędzie
widmową zależnością prędkości generacji. Na rys.38 pokazane jest widmo fotoprzewodnictwa
dla germanu domieszkowanego miedzią. Wielkością charakteryzującą materiał półprzewodnika
jest stosunek przewodnictwa fotoelektrycznego f do natężenia światła I, zwana czułością
fotoelektryczną Sf:
Sf 
f
I
[m -1 W-1].
Wielkość prądu
fotoelektrycznym.
fotoelektrycznego
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
( 79)
If
nazywana
jest
odpowiedzią
lub
sygnałem
PRZ .14
PRZEWODNICTWO MATERII
Przewodnictwo materii
Error! Bookmark not defined.
Wstęp
Error! Bookmark not defined.
Gaz
Error! Bookmark not defined.
Ciało stałe
Error! Bookmark not defined.
Przewodnictwo gazu
Jonizacja i wzbudzenie
Error! Bookmark not defined.
Error! Bookmark not defined.
Wzbudzenie i jonizacja atomu
Error! Bookmark not defined.
Wzbudzenie gazów
Error! Bookmark not defined.
Wzbudzenie elektronami
Error! Bookmark not defined.
Wzbudzenie drobiny dwuatomowej
Error! Bookmark not defined.
Wzbudzenie jonami i atomami
Error! Bookmark not defined.
Wzbudzenie kwantami promieniowania
Error! Bookmark not defined.
Jonizacja gazów
Error! Bookmark not defined.
Jonizacja elektronami
Error! Bookmark not defined.
Jonizacja dodatnimi jonami i szybkimi atomami
Error! Bookmark not defined.
Jonizacja wywołana kwantami promieniowania
Error! Bookmark not defined.
Kwantowa teoria zjawiska fotoelektrycznego
1
Wychwyt elektronów przez zjonizowany atom
Jonizacja cząstek w stanie wzbudzonym
Procesy wtórne
Error! Bookmark not defined.
Error! Bookmark not defined.
Error! Bookmark not defined.
Promieniowanie fluorescencyjne
Error! Bookmark not defined.
Elektrony Augera
Error! Bookmark not defined.
Średnia energia jonizacji
Error! Bookmark not defined.
Jonizacja w polu elektrycznym
Error! Bookmark not defined.
Ruchliwość jonów
Error! Bookmark not defined.
Prąd jonowy
Error! Bookmark not defined.
Jonizacja w słabym polu E
Error! Bookmark not defined.
Jonizacja w silnym polu E
Error! Bookmark not defined.
Jonizacja wtórna
Error! Bookmark not defined.
Wtórna emisja fotoelektronów
Error! Bookmark not defined.
Całkowite wzmocnienie gazowe
Error! Bookmark not defined.
Jonizacja lawinowa
Error! Bookmark not defined.
Dyfuzja w polu elektrycznym
Error! Bookmark not defined.
Dyfuzja ambipolarna
Error! Bookmark not defined.
Dyfuzja elektronów
Error! Bookmark not defined.
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
PRZ .15
PRZEWODNICTWO MATERII
Rozpychanie
Przewodnictwo półprzewodników
Error! Bookmark not defined.
2
Przewodnictwo półprzewodników
3
Stężenie nośników w półprzewodniku
6
Złącze n-p
7
Rozkład potencjału na złączu n-p
Przechodzenie cząstki jonizującej przez półprzewodnik
Strata energii na powstanie pary elektron-dziura
Fotoprzewodnictwo
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
9
10
11
11
PRZ .16