Inne definicje, istotnie przy działaniach w zbiorze

Zakres materiału – teoria dotycząca działań na liczbach rzeczywistych
1. Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych, prawa oraz kolejność działań na nich, cechy podzielności
Liczby rzeczywiste dzielimy na




liczby naturalne;
liczby całkowite;
liczby wymierne;
liczby niewymierne
Liczbami naturalnymi nazywamy liczby postaci: 0, 1, 2, 3, 4, ....; oznaczamy je symbolem N.
Najmniejszą liczba w zbiorze liczb naturalnych jest liczba 0, natomiast nie istnieje największa liczba, bo jeśli n  N , to również (n  1)  N , z
tego wynika, że zbiór N jest zbiorem nieskończonym.
Liczbami całkowitymi nazywamy wszystkie liczby naturalne oraz liczby przeciwne do nich, czyli liczbami całkowitymi są liczby: {0; -1. 1; 2; -2;
3; -3; ...}; zbiór ten oznaczamy: C. W zbiorze liczb całkowitych nie ma liczby najmniejszej oraz liczby największej, jest więc ten zbiór zbiorem
nieskończonym, ale N  C ( zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem liczb całkowitych).
Liczbami wymiernymi nazywamy te liczby, które można przedstawić postaci:
a
, gdzie a  C  b  C \ {0} . Z definicji tej wynika, że: C  W .
b
Zbiór liczb wymiernych oznaczamy W, i jest on zbiorem nieskończonym.
Liczbami niewymiernymi nazywamy te liczby, które nie są wymierne, czyli nie dają się przedstawić za pomocą ułamka
a  C  b  C \ {0} . Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy: NW.
a
, gdzie
b
Należy w tym miejscu zauważyć, że zostały omówione tylko podstawowe podzbiory zbioru liczb rzeczywistych R, ich zależności najlepiej
ilustruje poniższy graf:
Bardziej przemawiającym do świadomości matematycznej może być poniższy graf obrazujący zależności między liczbami należącymi do zbioru
liczb rzeczywistych:
Liczby rzeczywiste można też przedstawić na osi liczbowej, w sposób następujący:
Mając do czynienia z podzbiorami zbioru R należy podkreślić wykonalność czterech podstawowych działań, co przedstawia poniższa tabela:
Zbiór
Liczb
N
naturalnych
Liczb
C
całkowitych
Liczb
W
wymiernych
Liczb
NW
niewymiernych
Liczb
R
rzeczywistych
Działania wykonalne w zbiorze
dodawanie; mnożenie
+
.
Dodawanie, odejmowanie, mnożenie
+
.
Dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie z wyjątkiem dzielenia przez 0
+
.
:
żadne
Dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie z wyjątkiem dzielenia przez 0
+
.
:
Prawa działań na liczbach w zbiorze R
DODAWANIE
SUMA
ODEJMOWANIE
RÓŻNICA
MNOŻENIE
ILOCZYN1
DZIELENIE
ILORAZ
a+b=c
liczby a i b - składniki sumy
c - wartość sumy
a+0=a
0 - element neutralny dodawania
prawo przemienności dodawania: a + b = b + a
prawo łączności dodawania:
(a + b) + c = a + (b + c)
a-b=c
a - odjemna
b - odjemnik
c - wartość różnicy
a - b = a + (- b)
a - b = c <==> a = b + c
Odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania
a∙b=c
liczby a i b - czynniki
c - wartość iloczynu
a ∙ 1 = a1 - element neutralny mnożenia
prawo przemienności mnożenia:
a∙b=b∙a
prawo łączności mnożenia:
(a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)
prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania:
a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
a:b=c
a - dzielna
b - dzielnik
c - wartość ilorazu
a : b = a ∙ (1/b), gdzie b różne od 0
jeżeli b różne od 0, to a : b = c <==> a = b ∙ c
Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia.
Mówimy, że działanie jest wykonalne w danym zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy wynik działania na wszystkich elementach tego zbioru,
należy do danego zbioru.
W działaniach w zbiorze liczb rzeczywistych istotne znaczenie mają twierdzenia dotyczące kolejności działań, tj.
a) w przypadku gdy w wyrażeniu występują wyłącznie cztery podstawowe działania arytmetyczne, kolejność ich wykonywania jest
następująca:
- działania w nawiasach;
ZAPIS ILOCZYNU ZA POMOCĄ SYMBOLU PI
Jeżeli mnożymy przez siebie wiele czynników i zauważamy pewną regułę, możemy do oznaczenia sumy stosować znak "pi" (Π). Zamiast
1
możemy
napisać:∏9𝑖=1 𝑖
pisać 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9
-
mnożenie i dzielenie (w porządku zapisania);
dodawanie, odejmowanie (w porządku zapisania).
b) jeśli w wyrażeniu występują jeszcze inne działania takie jak potęgowanie, pierwiastkowanie czy logarytmowanie, to kolejność działań
wynika z różnych umów odnoszących się do zapisu tych działań.
Wykonując działania a zbiorze liczb rzeczywistych, pomocna jest znajomość cech podzielności. Do najważniejszych należą:
a) liczba jest podzielna przez 2 jeśli jej ostatnia cyfra jest parzysta, czyli jest równa jednej z cyfr: 0, 2, 4, 6, 8;
b) liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma cyfr ją tworzących jest podzielna przez 3;
c) liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4;
d) liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5;
e) liczba jest podzielna przez 6, jeśli dzieli się przez 2 i przez 3;
f) liczba jest podzielna przez 8, jeśli jej ostatnie trzy cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8
g) liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma cyfr ją tworzących jest podzielna przez 9.
Inne definicje, istotnie przy działaniach w zbiorze liczb rzeczywistych:
- liczby pierwsze i liczby złożone:
Liczbę naturalną większą od 1 nazywamy liczbą pierwszą, jeżeli dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie, czyli posiada tylko dwa
różne dzielniki;
Liczbę naturalną, która nie jest liczbą pierwszą nazywamy liczbą złożoną.
-
dzielenie z resztą liczb całkowitych:
każdą liczbę całkowitą postaci n można podzielić przez dowolną liczbę całkowitą dodatnią m uzyskując w wyniku tego dzielenia
całkowity iloraz q i resztę r o takiej własności, że n  mq  r  r  0; m) . Działanie takie nazywamy dzieleniem z resztą.
2. Procenty, punkty procentowe, elementy statystyki opisowej.
Jeden procent, to jedna setna całości, czyli: 1% =
1
, wynika z tego, że wyrażenie procentowe zamieniamy na ułamek korzystając ze wzoru:
100
1
p

.
100 100
Punkt procentowy, (w skrócie p.p.) - jednostka różnicy między dwiema wartościami jednej wielkości podanymi w procentach. Na przykład
wzrost jakiejś wielkości z 20% do 30% jest równy 10 punktom procentowym.
p %  0,01 p  p 
Typowymi przykładami zastosowań pojęcia punktów procentowych są:
-
-
bezrobocie spadło w tym miesiącu o 3%. Informacja jest mało precyzyjna, ale możemy podejrzewać, że chodzi tu prawdopodobnie o
którąś że stóp bezrobocia. Wiemy, że stopa ta na początku miesiąca wynosiła 7%. Spadek o 3% nie znaczy wcale, że wynosi obecnie 4%,
lecz 7% - (3%  7%) = 6,79% . Spadek z 7% do 4% byłby wprawdzie równy 3 punktom procentowym, ale zarazem ok. 43% wartości
bezrobocia na początku miesiąca;
bank podniósł stopę oprocentowania kredytu z 10% do 11%, w takim razie podniósł o 1 punkt procentowy, ale zmiana ta oznacza 10%
wzrostu tej stopy, jeśli za bazę przyjąć jej wartość przed podniesieniem;
piszemy egzamin. Załóżmy, że suma możliwych do zdobycia punktów wynosi 150 pkt., a zaliczenie można uzyskać od 50% ogółu
punktów. Załóżmy też, że zdobyliśmy 71 punktów, co daje nam ok. 47,3% (czyli nie zdaliśmy). Prowadzący zajęcia przyznaje
dodatkowo, za pełną frekwencję na zajęciach, "pięcioprocentowy bonus". Rozważmy dwa przypadki:
o prowadzący przyznaje dodatkowo 5% punktów zdobytych: 47,3% + 5%·47,3% = 74,55 punktów = 49,7% (nadal nie zdaliśmy)
o prowadzący przyznaje dodatkowo 5 punktów procentowych: (47,3 + 5)% = 52,3% (zdaliśmy)
Błędem przybliżenia nazywamy różnicę między rzeczywistą (dokładną) wartością danej wielkości a jej przybliżeniem. Rozróżniamy dwa
pojęcia dotyczące przybliżeń:
- błąd bezwzględny: jest to różnica między wartością dokładną a jej przybliżeniem omijająca znak przybliżenia, czyli nie biorący pod
uwagę czy jest to przybliżenie z nadmiarem czy też z niedomiarem, x  x p ;
-
błąd względny: jest to stosunek błędu bezwzględnego do bezwzględnej wartości przybliżenia:
Błąd względny bardzo często wyraża się za pomocą procentów.
x  xp
xp
.
Działając na procentach, mamy do czynienia z następującymi typami zadań:
-
obliczanie procentu z danej liczby;
obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent;
obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba.
Przy działaniach na procentach ważnym zagadnieniem jest pojęcie procentu składanego oraz pojęcie kapitalizacji odsetek.
Jeżeli kapitalizacja odsetek (dopisanie) następuje po t latach i stopa oprocentowania jest niezmienna, to kapitał końcowy (kwota po
t
p 

dopisaniu odsetek) wyznacza się ze wzoru: k  1 
  k p , gdzie: k – kapitał końcowy; p – roczna stopa procentowa; t – liczba lat; kp–
 100 
kapitał początkowy).
nt
p 

Jeżeli kapitalizacja odsetek jest dokonywana n razy w roku, to po t latach kapitał końcowy wyniesie: k  1 
  k p , gdzie
 100n 
n – liczba dokonywanych kapitalizacji; pozostałe oznaczenia jak we wzorze powyższym).
Statystyka opisowa zajmuje się badaniem rozkładu wartości pojedynczych cech w populacji liczących wiele elementów. Przykładami tu mogą
być średnia liczebność klas, waga, ocena preferencji klientów czy też zużytego surowca do produkcji danego towaru.
Dane statystyczne można przedstawić za pomocą wykresu (metoda funkcyjna), metodą graficzną (metoda słupkowa, kołowa) oraz metodą
tabelaryczną.
W interpretowaniu danych statystycznych pomagają miary:
- klasyczne: średnie, wariancja, odchylenie standardowe;
- pozycyjne: mediana, dominanta;
Najczęściej stosowanymi miarami są:
p x  p2 x2  p3 x3  ...  pn xn
x  x2  x3  ...  xn
a) średnia arytmetyczna: x  1
( n  N 0 ); średnia arytmetyczna ważona: x w  1 1
p1  p2  p3  ... pn
n
( n  N 0 ; p  N );
b) średnia geometryczna: x g  n a1  a2  a3  ...  an ;
c) mediana(M(x)) – wartość badanej cechy dzieląca uporządkowany zestaw danych od najmniejszej do największej (lub odwrotnie)
jeśli zestaw danych składa się z nieparzystej ilości danych, to medianą jest wartość stojąca dokładnie w środku zestawu
uporządkowanych danych;
jeśli zestaw danych składa się z parzystej ilości danych, to mediana jest średnia arytmetyczna dwóch wartości stojących w środku
uporządkowanego zestawu.
d) dominanta (D(x)) – najczęściej powtarzająca się cecha w danym zestawie danych (w zamkniętym zestawie może być kilka dominant);
często mediana zastępuje się nazwą: wartość modalna lub moda.
Obok powyżej wspomnianych miar statystycznych, należy też pamiętać o miarach rozproszenia (miarach zróżnicowania), do których są
zaliczane:
a) wariancja: ( ) - jest to średni kwadrat odchyleń liczb zestawu danych od średniej tego zestawu:

x1  x 2  x2  x 2  x3  x 2  ...  xn  x 2
n
x12  x 22  x32  ...  xn2
lub  
 x 2.
n
b) odchylenie standardowe, które mierzy średnie odchylenie liczb w zestawie danych od średniej tego zestawu:    2 .
Rozkład danych statystycznych przedstawiają poniższe wykresy:
x < M (x) < D(x)
Rozkład asymetryczny
lewostronny
x  D( x)  M ( x)
Rozkład symetryczny
D(x) > M (x) > x
Rozkład asymetryczny
prawostronny
Zbiory, przedziały liczbowe, wartość bezwzględna liczby rzeczywistej
Pojęcie zbioru:
Zbiór jest jednym z podstawowych pojęć matematyki, jest pojęciem pierwotnym teorii mnogości.
Przedmioty, z których składa się zbiór nazywamy elementami tego zbioru (zbiory oznaczamy dużymi literami, ich elementy małymi). Fakt
przynależności elementu do danego zbioru zapisujemy symbolicznie: a  A , jeśli natomiast dany element nie należy do danego zbioru to
używamy zapisu: a  A .
Klasyfikacja zbiorów ze względu na ich złożoność:
-
zbiory skończone np. zbiór rozwiązań równania: x 2  4 , jego elementami są liczby: A   2;2;
zbiory jednoelementowe, np. rozwiązaniem równania : x – 4 = 0 jest A  4;
zbiory nieskończone, np. zbiorem rozwiązań nierówności: x > 4 jest zbiór: A : x  (4;) ;
zbiór pusty, czy zbiór do którego nie należy żaden element, np. zbiór rozwiązań równania: x 2  3 : A : x   (bo nie ma takiej liczby w
zbiorze liczb rzeczywistych, która podniesiona do kwadratu równa się –3);
Klasyfikacja zbiorów ze względu na ich ograniczoność:
-
zbiory domknięte obustronnie, <....>;
zbiory domknięte jednostronnie, <...) lub (...>;
zbiory otwarte obustronnie, (...).
Klasyfikacja zbiorów ze względu na ich wzajemne zależności:
-
zbiory rozłączne tzn. takie, które nie posiadają wspólnych elementów: A  B   ( np. zbiór liczb wymiernych i zbiór liczb
niewymiernych) – zbiory są rozłączne;
zbiory inkluzyjne, czyli zawierające się w sobie; mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B ( A  B ) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy
element zbioru A jest elementem zbioru B, (np. zbiór liczb N zawiera się w zbiorze liczb C).
Prawa działań na zbiorach przedstawione za pomocą schematów (diagramów) Venna
- suma zbiorów:
x  ( A  B)  x  A  x  B
Jeżeli x należy do sumy zbiorów, to
należy przynajmniej do jednego z nich.
- różnica zbiorów
- iloczyn zbiorów
x  ( A \ B)  x  A  x  B
Jeżeli x należy do różnicy zbiorów A i B, to
należy do zbioru A i nie należy do zbioru B.
x  ( A  B)  x  A  x  B
Jeżeli x należy do iloczynu (części wspólnej)
zbiorów),to należy do obu zbiorów jednocześnie.
Przy działaniach na zbiorach bardzo często wykorzystuje się prawa de Morgana dotyczące rachunku zbiorów:
-
dopełnienie sumy zbiorów A i B równe jest części wspólnej ich dopełnień:  A  B'  A'B'
-
dopełnienie części wspólnej zbiorów A i B równe jest sumie ich dopełnień:  A  B'  A'B' .
W programie szkoły ponadpodstawowej działania na zbiorach najczęściej wykorzystuje się przy rozwiązywaniu układów nierówności,
rozwiązywaniu działań na przedziałach liczbowych oraz działaniach na funkcjach umieszczonych w układzie współrzędnych.
x  x  0
Wartością bezwzględną (modułem) liczby rzeczywistej x nazywamy liczbę określoną następująco: x  
 x  x  0.
Wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba, wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna.
Własności wartości bezwzględnej
 Wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemna: x  0.
 Pierwiastek kwadratowy z kwadratu liczby rzeczywistej równy jest wartości bezwzględnej tej liczby: x 2  x .
 Wartość bezwzględna iloczynu (ilorazu) dwóch dowolnych liczb rzeczywistych jest równa iloczynowi (ilorazowi) wartości
x
x
bezwzględnych tych liczb: x  y  x  y ;
  y  0.
y
y
 Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwe są nierówności: x  y  x  y  x  y .
 Dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest równość: x  x 2 .
 Jeśli a jest ustaloną liczbą dodatnią to prawdziwe są równoważności:
x  a   a  x  a,
2
x  a  x  a  x  a ,
x  a  x  a  x  a .