Ewolucja stanu kwantowego metodą całek po trajektoriach

Ewolucja stanu kwantowego metodą całek po trajektoriach
Rafał Sikora
W ujęciu Lagrange’a mechaniki klasycznej rozwiązanie problemu fizycznego polega na znalezieniu
funkcji Lagrange’a i zminimalizowaniu funkcjonału S, zwanego działaniem:
Zt1
L(x(t), ẋ(t), t)dt,
S[x] =
(1)
t0
gdzie x to współrzędna uogólniona. Sprowadza się to do rozwiązania równania Eulera-Lagrange’a
d ∂L
∂L
−
= 0,
dt ∂ ẋ
∂x
(2)
z którego otrzymujemy klasyczną trajektorię x(t).
W mechanice kwantowej położenie cząstki określane jest z pewnym prawdopodobieństwem, którego
gęstość rezeprentowana jest przez kwadrat modułu funkcji falowej ψ(x, t). Przy znanej postaci funkcji
falowej w chwili początkowej t0 jesteśmy w stanie określić jej postać w dowolnej chwili t > t0 - w tym
celu musimy jednak znać tzw. propagator, oznaczany przez K. Ewolucja czasowa stanu ψ jest określona
przez
Z∞
ψ(x, t) =
dx0 K(x, t, x0 , t0 )ψ(x0 , t0 ).
(3)
−∞
W latach 40-tych XX wieku Richard Feynman sformuował postać propagatora jako
Z
i
K(x, t, x0 , t0 ) = A
e ~ S[x(t)] ,
(4)
po wszystkich
trajektoriach
gdzie A jest stałą normalizacyjną a S[x(t)] jest działaniem na trajektorii przestrzennej x(t). Z takiego
zapisu wynika, że położenie cząstki to wypadkowa przemieszczenia po wszystkich punktach przestrzeni.
Dla swobodnej cząstki przemieszczającej się z punktu x0 do xN propagator przyjmuje postać
ZxN
K(xN , tN , x0 , t0 ) =
i
e ~ S[x(t)] d[x(t)],
(5)
x0
gdzie całkowanie przebiega po nieskończenie wielu trajektoriach łączących punkty x0 i xN . Lagranżjan
w tym przypadku wynosi
1
L = mẋ2 ,
(6)
2
zatem
ZtN
1
S=
mẋ2 dt.
(7)
2
t0
Aby uniknąć całkowania w nieskończenie wielu wymiarach zdyskretyzujemy trajektorię x(t), tj. podzielimy odcinek czasu [t0 , tN ] na N równych przedziałów o szerokości , zaś samą funkcję x(t) określimy
przez N punktów x(tk ) łącząc odcinkami sąsiadujące ze sobą. Spodziewamy się, że po dokonaniu obliczeń
w skończonej liczbie wymiarów i przejściu N → ∞ i → 0 odtworzymy wynik równania (5).
Po zdyskretyzowaniu trajektorii działanie zapisujemy jako
2
N −1
xk+1 − xk
1 X
m
.
S=
2
k=0
1
(8)
Równanie określające propagator przyjmuje postać
Z∞
K(xN , tN , x0 , t0 ) = A lim
N →∞
→0 −∞
|
Z∞
(
...
exp
)
dx1 . . . dxN −1 .
(9)
k=0
−∞
{z
N −1
i m X (xk+1 − xk )2
~ 2
}
N −1
W równaniu
(9) całkowanie przebiega od −∞ do ∞, gdyż w każdej chwili czasu tk , do której odnosi się
R
całka dxk , cząstka może znajdować się w każdym punkcie przestrzeni. Dokonując zamiany zmiennych
r
m
yk =
xk
(10)
2~
zapisujemy
K(yN , tN , y0 , t0 ) = A0 lim
Z∞
N →∞
−∞
Z∞
...
(
exp i
N
−1
X
)
2
(yk+1 − yk )
dy1 . . . dyN −1 ,
(11)
k=0
−∞
przy czym
r
0
A =A
2~
m
N −1
.
(12)
Ostatnim krokiem do wyznaczenia postaci propagatora K jest obliczenie całki w równaniu (11).
Rozpoczynając od całki po zmiennej y1 (zapisujemy tylko człony zawierające tą zmienną):
Z∞
Iy1 =
e
i[(y1 −y0 )2 +(y2 −y1 )2 ]
−∞
r
Z∞
i
1
iπ i (y2 −y0 )2
(y2 −y0 )2
− 2i u2
2
dy1 = u = y1 − (y0 + y2 ) = e
e
du =
e2
.
2
2
−∞
(13)
Kolejna całka (po zmiennej y2 ) ma postać
Z∞
Iy2 =
e
i(y3 −y2 )2
r
Iy1 dy2 =
Z∞
iπ
2
e
i[(y3 −y2 )2 + 12 (y2 −y0 )2 ]
r
dy2 = · · · =
(iπ)2 i (y3 −y0 )2
e3
.
3
(14)
−∞
−∞
Można zauważyć na podstawie wyniku (13) i (14), że po wykonaniu wszystkich N − 1 całek otrzymamy
r
(iπ)N −1 i (yN −y0 )2
eN
(15)
IyN −1 =
N
Wystarczy już tylko powrócić do współrzędnych x i zapisać propagator K zgodnie z (11):
r
K(xN , tN , x0 , t0 ) = A lim
N →∞
→0
r
= A lim
N →∞
→0
Ustalając stałą normalizacyjną A =
p
2iπ~
m
m N
2iπ~ ,
2~
m
Nr
N −1 r
(iπ)N −1 im (xN −x0 )2
e 2~N =
N
2
im
m
e 2~N (xN −x0 ) .
2iπ~N (16)
a także pamiętając, że
N = tn − t0 ,
(17)
otrzymujemy wynik
K(xN , tN , x0 , t0 ) =
r
2
(xN −x0 )
m
− m
e 2i~ (tN −t0 )2 ,
2iπ~(tN − t0 )
który jest zgodny z rozwiązaniem tego problem w ujęciu Schrödingera.
Bibliografia
“Mechanika kwantowa”, R. Shankar, PWN, 2006.
2
(18)