7. ELEMENTY IDEALNE W OBWODACH PRĄDU ZMIENNEGO 7.1

7. ELEMENTY IDEALNE W OBWODACH PRĄDU ZMIENNEGO
Podstawową rolę w analizach obwodów elektrycznych odgrywają schematy zastępcze.
Tworzone są one z elementów idealnych - obiektów abstrakcyjnych utworzonych na drodze
idealizacji elementów rzeczywistych. Znanymi nam już z teorii obwodów prądu stałego
elementami idealnymi są rezystor idealny, idealne źródło napięciowe i idealne źródło prądowe.
Obecnie poznamy inne jeszcze elementy idealne, takie, które nie występowały w obwodach prądu
stałego. Przeanalizujemy jak takie elementy zachowują się w obwodach prądu sinusoidalnie
zmiennego i w jaki sposób można to zachowanie opisywać i analizować.
7.1. Rezystor idealny
Rezystor idealny jest elementem, w którym zachodzi tylko jedno zjawisko fizyczne zjawisko cieplnego rozpraszania energii elektrycznej, tj. zamiana energii elektrycznej na energię
cieplną.
W rezystorze rzeczywistym występują także inne zjawiska
wywołane polami elektrycznymi i magnetycznymi oraz
towarzyszącymi im przemianami energetycznymi związanymi z
przepływem prądu. Rezystor idealny jest jedynie „pierwszym
przybliżeniem” matematycznego opisu rezystora rzeczywistego.
Jednak w przypadku wielu rzeczywistych obiektów, takich jak
opornik radiotechniczny, żarówka, piec elektryczny itp., jest to
Rys. 7.1. Rezystor idealny
opis wystarczająco dokładny dla przeprowadzania praktycznych
obliczeń.
Rezystor idealny opisują prawa Ohma i Joule’a.
Prawo Ohma: u R ( t ) = R ⋅ i( t ) (inna postać: i( t ) = G ⋅ u R ( t ) );
Prawo Joule'a: p( t ) = u R ( t ) ⋅ i( t ) = R ⋅ i 2 ( t ) .
Gdy prąd płynący przez rezystor jest sinusoidalnie zmienny (7.1a)
i( t ) = 2 ⋅ I sin( ωt + ψ I )
to również napięcie jest sinusoidalnie zmienne
(7.1b)
u R ( t ) = 2 ⋅ U R ⋅ sin( ωt + ψ U )
Wykorzystując prawo Ohma możemy wyznaczyć przebieg czasowy tego napięcia na
podstawie znajomości przebiegu prądu:
(7.1c)
u R ( t ) = R ⋅ i( t ) = 2 ⋅ R ⋅ I ⋅ sin( ωt + ψ I )
Stąd, porównując wzory na przebieg napięcia rezystora - „ogólny” (7.1b) i wyznaczony na
podstawie przebiegu prądu i prawa Ohma (7.1c), otrzymuje się zależności:
U R = R ⋅ I
(7.2a)

ψU = ψ I
z których wynikają zależności:
1

I = ⋅U R = G ⋅U R
(7.2b)

R
ψ I = ψ U
Są to dwie dualne postacie zależności zwanej prawem Ohma dla rezystora poddanego
wymuszeniu sinusoidalnie zmiennemu.
Powyższe zależności można zapisać prościej stosując metodę symboliczną.
W metodzie symbolicznej zamiast przebiegów wartości chwilowych występują
odwzorowujące je wartości skuteczne zespolone (por. wzór 6.17 z rozdz. 6., a także rys. 7.2).
- 19 -
I
I = m e jψ I = I ⋅ e jψ I
2
U
u R ( t ) = U Rm sin( ωt + ψ U ) ⇒ U R = Rm e jψ U = U R ⋅ e jψ U
2
U = R ⋅ I
Z zależności  R
wynika: U R = U R ⋅ e jψ U = R ⋅ I ⋅ e jψ I = R ⋅ I
ψ U − ψ I = 0
i( t ) = I m sin( ωt + ψ I )
⇒
Jest zatem:
(7.3a)
U R = R⋅I
a po przekształceniu:
1
(7.3b)
I = ⋅U R = G ⋅U R
R
Są to dwie dualne postacie zależności zwanej prawem Ohma w postaci symbolicznej dla
rezystora poddanego wymuszeniu sinusoidalnie zmiennemu.
Odpowiadający powyższym zależnościom wykres wskazowy napięcia i prądu rezystora
pokazano na rys. 7.3.
Rys. 7.2. Rezystor - schemat zastępczy
do metody symbolicznej
Rys. 7.3. Wykres wskazowy napięcia i prądu
rezystora idealnego
Impedancja, admitancja i kąt przesunięcia fazowego odbiornika złożonego z idealnego
rezystora wynoszą:
U
U ⋅G
R⋅I
= R , YR = R
= G , ϕ = ΨU − ΨI = ΨI − ΨI = 0
ZR = R =
I
I
UR
Stąd impedancja i admitancja zespolone:
U
1
1
R⋅I
= =G
=R, YR =
ZR = R =
ZR R
I
I
Z prawa Ohma wynika, że wartości chwilowe
prądu i napięcia na rezystorze są do siebie wprost
proporcjonalne w każdej chwili czasowej, a więc
mają
przebiegi
czasowe
równokształtne.
Wykorzystuje się to przy pomiarze prądu, a
zwłaszcza przy jego wizualizacji za pomocą
oscyloskopu elektronicznego.
Przebiegiem okresowym jest także przebieg
czasowy wartości chwilowych mocy z jaką rezystor
zamienia energię elektryczną na energię cieplną.
Rys. 7.4. Przebiegi czasowe napięcia i prądu rezystora
Wartości chwilowe mocy rezystora są równe
iloczynowi wartości chwilowych napięcia i prądu p R ( t ) = u R ( t ) ⋅ i( t ) . Po podstawieniu do tego wzoru wyrażeń na przebiegi chwilowe prądu i
napięcia otrzymuje się:
p R ( t ) = 2 ⋅ U R sin( ωt + ψ I ) ⋅ 2 ⋅ I ⋅ sin( ωt + ψ I ) =
= 2 ⋅ U R I ⋅ sin 2 ( ωt + ψ I ) = U R I ⋅ [ 1 − cos 2( ωt + ψ I )]
- 20 -
Ostatecznie wzór na przebieg wartości chwilowych mocy rezystora idealnego ma więc
postać:
p R ( t ) = U R I ⋅ [ 1 − cos( 2ωt + 2ψ I )]
(7.4)
Z zależności (7.4) wynika, że wartości
chwilowe mocy rezystora oscylują sinusoidalnie
wokół wartości U R I (widać to na wykresie z
rys. 7.5.) Pulsacja przebiegu, a więc i jego
częstotliwość, są dwukrotnie większe od pulsacji
i częstotliwości przebiegów czasowych prądu i
napięcia. Wartości chwilowe mocy przybierają
wartości z przedziału 0, 2U R I - są zatem w
każdej chwili czasowej dodatnie lub równe zeru.
Rezystor w sposób ciągły (poza punktami
czasowymi gdy moc jest równa zero) pobiera
Rys. 7.5. Przebieg czasowy mocy rezystora na tle przebiegów
energię elektryczną (i zamienia ją na ciepło).
czasowych prądu i napięcia
Wyznaczmy teraz wartość średnią mocy za okres, a więc moc czynną (por. pkt 6.3 w
rozdz. 6.).
1
⋅
PR = p R =
2π
=
2π
∫ [ U R I − U R I ⋅ cos( 2ωt + 2ψ I )] dωt =
0
1
⋅U R I ⋅
2π
2π
∫ dωt +
0
2π
1
⋅ U R I ⋅ ∫ cos( 2ωt + 2ψ I )dωt = U R I + 0
2π
0
Moc czynna rezystora jest więc równa:
PR = U R I = R ⋅ I 2
(7.5)
(Przy wyznaczaniu wartości średniej przebiegu czasowego mocy, za zmienną niezależną
przyjęto tu oznaczony dwuliterowo kąt „ωt”, odpowiadający czasowi „t” pomnożonemu przez
pulsację „ω”. Stąd całkowanie przeprowadzone jest w granicach okresu funkcji sinus - kąta „2π”.
Za zmienną niezależną można też przyjmować bezpośrednio czas „t”. Wtedy całkowanie byłoby
przeprowadzone dla okresu „T” - czasu, po którym przebieg zaczyna się powtarzać.)
P
U I
Współczynnik mocy idealnego rezystora jest równy jedności: λ R = R = R = 1 . Należy
SR U RI
to rozumieć w ten sposób, że w rezystorze nie zachodzą żadne zjawiska energetyczne, które
utrudniałyby przepływ energii (por. pkt. 6.3. rozdz. 6.).
Jeżeli
przez
rezystor
płynie
prąd
sinusoidalnie zmienny jego moc czynna jest
większa od zera. Mówimy, że rezystor pobiera
moc czynną. Jest to określenie nieścisłe, przecież
moc to szybkość przepływu energii zatem nie
może być ona „pobierana”, jest jednak
powszechnie stosowane. Poprawne (i logiczne)
byłoby sformułowanie: rezystor pobiera energię ze
średnią mocą różną od zera.
Rys. 7.6. Przebieg czasowy energii pobranej przez
Energia ta, zwana niekiedy energią czynną,
rezystor na tle przebiegu czasowego jego mocy
albo energią aktywną, jest rozpraszana tj. w
całości i bezpowrotnie zamieniana na ciepło. Z tego powodu rezystor idealny klasyfikowany jest
jako element dyssypatywny (rozpraszający).
Przebieg czasowy wartości chwilowych tej rozpraszanej energii można wyznaczyć z
zależności
- 21 -
t
t
0
0
wR ( t ) = ∫ p R( τ )dτ = U R I ∫ [ 1 − cos 2( ωτ + ψ I )] dτ =
1

(sin[2( ωt +Ψ I )] − sin 2Ψ I )
= U R I ⋅ t −
 2ω

Przebieg ten (dla Ψ I = 0 ), na tle przebiegu wartości chwilowych mocy rezystora, pokazano
na rys. 7.6.
7.2. Induktor idealny (idealna cewka indukcyjna)
Przepływ prądu elektrycznego powoduje powstawanie pola magnetycznego. Wartości
chwilowe wielkości fizycznych opisujących właściwości tego pola (natężenie pola, indukcja
magnetyczna, strumień magnetyczny) są zależne od wartości chwilowych natężenia prądu (w
środowiskach nieferromagnetycznych są do nich proporcjonalne). Jeżeli natężenie prądu jest
zmienne w czasie również one są funkcjami czasu. Jedną z tych wielkości - całkowity strumień
magnetyczny „ Φ ( t ) ”, można uznać za parametr, który „globalnie” charakteryzuje całe pole
magnetyczne wytwarzane przez prąd płynący w danym odcinku przewodnika. Na ogół wartość
tego strumienia nie jest łatwa do wyznaczenia. Stosunkowo prosto oblicza się ją dla tzw. cewki
indukcyjnej (zwanej też zwojnicą lub solenoidem). Obliczanie strumienia wytwarzanego przez
cewkę ułatwia to, że przechodzi on w całości przez jej wnętrze. Właśnie dlatego przy
analizowaniu zjawisk związanych ze wzajemnym oddziaływaniem prądu i wytwarzanego przezeń
pola magnetycznego rozważa się właśnie cewkę indukcyjną.
Trzeba jednak zdawać sobie sprawę z tego, że jest to pewien skrót
myślowy - zjawiska te występują w dowolnych układach
przewodników wiodących prąd elektryczny, także dla przypadku
odosobnionego przewodnika prostoliniowego.
Strumień magnetyczny pola wytwarzanego przez prąd
płynący w cewce przechodzi przez każdy zwój cewki (jest z
każdym zwojem „sprzężony”). Jeżeli jakieś zjawisko spowodowane
przez istnienie pola magnetycznego występuje w każdym zwoju, to
dla cewki występuje ono „z razy” (gdzie „z” to liczba zwojów). Jest
Rys. 7.7. Pole magnetyczne cewki
„z-zwielokrotnione”. Tak jak gdyby z cewką jednozwojową
sprzężony był strumień z-krotnie większy. Taki umyślony z-krotnie większy strumień nosi nazwę
strumienia sprzężonego:
Ψ ( t ) = z ⋅Φ ( t )
(7.6)
W środowisku nieferromagnetycznym strumień magnetyczny
„Φ” pola wytworzonego przez dany prąd ma, w każdej chwili
czasowej, wartość proporcjonalną do natężenia tego prądu.
Proporcjonalny do prądu jest więc także strumień sprzężony „Ψ ”
(por. rys. 7.8.).
Wielkość fizyczna definiowana jako współczynnik
proporcjonalności
pomiędzy
strumieniem
sprzężonym
wytwarzanym przez prąd płynący w przewodniku (przykładowo w
cewce) i natężeniem tego prądu nosi nazwę indukcyjności tego Rys. 7.8. Zależność strumienia
sprzężonego od prądu
przewodnika:
Ψ z ⋅Φ
L=
=
= tg α
(7.7)
i
i
Indukcyjność jest zatem wielkością fizyczną charakteryzującą zdolność danego
przewodnika (przykładowo cewki) do wytwarzania pola magnetycznego. Właśnie dlatego
opisywana przez swoją indukcyjność cewka nazywana jest cewką indukcyjną albo induktorem.
- 22 -
Znając indukcyjność przewodnika można wyznaczyć wartość strumienia pola magnetycznego
wytwarzanego przez płynący w nim prąd o danym natężeniu.
[Ψ ] = 1Wb = 1V ⋅ s = 1 Ω ⋅ s
Jednostką indukcyjności jest henr (1H): 1 [L ] = 1 H =
[i ] 1 A 1 A
Zmiana wartości strumienia magnetycznego sprzężonego z cewką powoduje indukowanie
się w niej siły elektromotorycznej o wartości proporcjonalnej do szybkości tej zmiany. Zjawisko
to nazywane jest zjawiskiem indukcji elektromagnetycznej. Jest ono pokrewne występującemu
w mechanice zjawisku bezwładności. W obydwu przypadkach
energia związana z ruchem podtrzymuje ten ruch. W pierwszym
przypadku jest to ruch ciał obdarzonych masą, w drugim - ruch ciał
obdarzonych ładunkiem elektrycznym. Podtrzymywanie ruchu
przejawia się jako występowanie siły, w przypadku
„mechanicznym” - siły mechanicznej, w przypadku „elektrycznym”
- siły elektromotorycznej. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej
odkrył XIX-wieczny angielski fizyk Michał Faraday. Stąd
sformułowane przez niego prawo, opisujące to zjawisko, nosi nazwę
prawa Faraday’a. Zgodnie z tym prawem wielkość siły
Rys. 7.9. Indukcja elektromagneelektromotorycznej indukującej się w przewodniku skutkiem zmian
tyczna w cewce
sprzężonego z nim pola magnetycznego określa zależność:
dΦ
dΨ
=−
(7.8)
e = −z ⋅
dt
dt
Szczególną odmianą zjawiska indukcji elektromagnetycznej jest zjawisko samoindukcji.
Siłę elektromotoryczną w danym przewodniku indukuje tu pole magnetyczne wytwarzane przez
zmieniający się w czasie prąd elektryczny płynący w tym samym przewodniku. W odosobnionym
(albo ekranowanym) przewodniku występuje tylko ta odmiana zjawiska indukcji.
Dla zjawiska samoindukcji, zależność na prawo Faraday’a można, uwzględniając wzór
(7.6), zapisać jako:
dΨ ( t )
d( L ⋅ i )
di( t )
=−
= −L ⋅
(7.8a)
e=−
dt
dt
dt
Cewka
indukcyjna
jest
odpowiednio
ukształtowanym odcinkiem przewodnika. Zgodnie z
prawem Joule’a w każdym przewodniku (za
wyjątkiem przewodników wykonanych z materiałów
nadprzewodzących) zachodzi zjawisko zamiany
energii elektrycznej na energię cieplną. Poprawny
opis cewki rzeczywistej powinien je uwzględniać.
Rys. 7.10. Idealna cewka indukcyjna (induktor idealny)
Abstrahując od tego definiuje się wyidealizowany
obiekt - induktor idealny (zwany także idealną
cewką indukcyjną), w którym występuje jedno tylko zjawisko fizyczne - zjawisko samoindukcji.
Takich cewek w rzeczywistości fizycznej nie ma. Taka idealna cewka może istnieć tylko jako
obiekt abstrakcyjny - matematyczna idealizacja cewki rzeczywistej. Jako taka służy do
konstruowania schematów zastępczych rzeczywistych obiektów i obwodów elektrycznych.
Cewka indukcyjna jest odbiornikiem energii elektrycznej. Obowiązuje dla niej zatem
strzałkowanie odbiornikowe, nie źródłowe (por. rys. 7.10.). Stąd wynika opis matematyczny
idealnej cewki indukcyjnej, tj. zależność pomiędzy występującym na niej napięciem, a płynącym
w niej prądem:
di
(7.8b)
u L = −e = L ⋅
dt
Zbadajmy teraz zależności jakie występują gdy idealna cewka indukcyjna (induktor
idealny) jest odbiornikiem w obwodzie prądu sinusoidalnie zmiennego.
- 23 -
Jeżeli prąd płynący w induktorze jest sinusoidalnie zmienny - i = 2 ⋅ I sin( ωt + ψ I ) to
sinusoidalnie zmienne jest również napięcie induktora - u L = 2 ⋅ U L ⋅ sin( ωt + ψ U ) .
Napięcie to daje się wyliczyć z równania (7.8b) jako:
di( t )
π
uL = L ⋅
= L ⋅ 2 ⋅ ω ⋅ I ⋅ cos( ωt + ψ I ) = 2 ⋅ ωL ⋅ I ⋅ sin( ωt + ψ I + )
2
dt
Stąd, porównując wzory na przebieg napięcia induktora - „ogólny” i wyznaczony na
podstawie przebiegu prądu i równania cewki, otrzymuje się zależności:
U L = ωL ⋅ I = X L ⋅ I

(7.9a)
 ψ =ψ + π
U
I

2
z których wynikają zależności:
1

 I = ωL ⋅ U L = B L ⋅ U
(7.9b)

π
ψ I = ψ U −
2

Są to dwie dualne postacie tzw. prawa Ohma dla
idealnej cewki indukcyjnej poddanej wymuszeniu
sinusoidalnie zmiennemu.
Odpowiadający powyższym zależnościom wykres
wskazowy napięcia i prądu rezystora pokazano na rys.
7.11.
Występującym we wzorach (7.9a) i (7.9b)
współczynnikom
proporcjonalności
pomiędzy
wartościami skutecznymi prądu i napięcia nadano status
wielkości fizycznych. Charakteryzują one właściwości
cewki w obwodach prądu sinusoidalnego.
Rys. 7.11. Wykres wskazowy napięcia i prądu
induktora idealnego
Są nimi:
- reaktancja indukcyjna:
X L = ωL = 2πfL
(7.10a)
- susceptancja indukcyjna:
1
1
(7.10b)
=
BL =
ωL 2πfL
Terminy „reaktancja” i „susceptancja” pochodzą od łacińskich słów re + ago - przeciw +
działać oraz suscipio - podtrzymywać.
Reaktancja indukcyjna nazywana jest też induktancją.
Jednostkami reaktancji indukcyjnej i susceptancji indukcyjnej są om i simens:
1[ u ] 1V
1[ i ] 1 A
1[ X L ] =
=
= 1Ω
1[ B L ] =
=
= 1S
1[ u ] 1V
1[ i ] 1 A
Impedancja i admitancja odbiornika oraz kąt przesunięcia fazowego wprowadzany przez
odbiornik będący idealną cewką indukcyjną są zależne od indukcyjności cewki i pulsacji
przebiegów (por. pkt. 6.7. rozdz. 6. oraz wzory 7.9a i 7.9b):
U
1
I
,
= BL =
Z L = L = X L = ωL , YL =
ωL
I
UL
π
ϕ =ΨU −Ψ I =
2
Stąd impedancja i admitancja zespolone:
- 24 -
UL
= jX L = jωL
I
1
I
= − jB L = − j
YL =
ωL
UL
ZL =
(7.11a)
(7.11b)
Niekiedy można zetknąć się z nazywaniem impedancji
zespolonej cewki reaktancją indukcyjną zespoloną. Jest ona
wtedy oznaczana X L . Jest zatem X L ≡ Z L = jωL . Jednak
lepiej takiego nazewnictwa unikać gdyż może być
potraktowane jako błąd terminologiczny.
Prawo Ohma dla idealnego induktora analizowanego z
zastosowaniem metody symbolicznej występuje w dwu
dualnych postaciach:
U L = U Le
jΨ U
= ωL ⋅ I ⋅ e
j(Ψ I +
Rys. 7.12. Induktor idealny - schemat
zastępczy do metody symbolicznej
π
π
)
j
2 = ωL ⋅ e 2 ⋅ I ⋅ e jΨ I = jωL ⋅ I = jX ⋅ I
L
Stąd wynika wzór na wartość skuteczną zespoloną prądu:
π
1
1 −j2
⋅U = − j
⋅ U = − jB L ⋅ U L =
⋅e
⋅U L
I=
ωL L
ωL
jωL L
Słuszne są zatem zależności:
U L = jX L ⋅ I
1
(7.12a)
oraz:
(7.12b)
I = − jBL ⋅ U
Przebieg czasowy mocy induktora idealnego można wyznaczyć jako iloczyn wartości
chwilowych jego prądu i napięcia - p L ( t ) = u L( t ) ⋅ i( t )
Po podstawieniu wyrażeń na przebiegi prądu i napięcia otrzymuje się:
p L ( t ) = 2 ⋅ U L cos( ωt + ψ I ) ⋅ 2 ⋅ I sin( ωt + ψ I ) =
= 2U L I ⋅ cos( ωt + ψ I ) ⋅ sin( ωt + ψ I ) = U L I ⋅ sin 2( ωt + ψ I )
Zatem wzory na przebieg czasowy mocy induktora idealnego:
p L ( t ) = U L I sin( 2ωt + 2ψ I )
p L ( t ) = −U L I sin( 2ωt + 2ψ U )
(7.13a)
(7.13b)
π
.
2
Przebieg czasowy mocy induktora idealnego
na tle przebiegów napięcia i prądu pokazano na
rys. 7.13.
Wartości chwilowe mocy induktora oscylują
sinusoidalnie z amplitudą U L I . W pierwszej
ćwiartce czasowego przebiegu prądu wartości
chwilowe mocy są dodatnie. Natężenie prądu
rośnie wtedy od zera do wartości maksymalnej.
Narasta więc też i pole magnetyczne. Dopływa do
niego energia elektryczna. Ta energia jest
Rys. 7.13. Przebieg czasowy mocy induktora idealnego
zamieniana na energię pola magnetycznego. Jej
na tle przebiegów napięcia i prądu
ilość jest proporcjonalna do pola powierzchni
figury utworzonej przez wykres mocy i oś
odciętych (oś „iksów”). W ćwiartce drugiej czasowego przebiegu prądu jego natężenie maleje od
wartości maksymalnej do zera. Wraz z nim maleje pole magnetyczne. Zawarta w nim energia
odpływa. Wartości chwilowe mocy są ujemne, a pole powierzchni figury utworzonej przez
Wzór (7.13b) otrzymuje się podstawiając do wzoru (7.13a) ΨU = Ψ I +
- 25 -
wykres mocy i oś odciętych (oś „iksów”) jest równe podobnemu polu z ćwiartki pierwszej. Tym
razem jest ono proporcjonalne do ilości energii jaka z cewki odpłynęła. Całą energię, którą cewka
pobrała w pierwszej ćwiartce okresu w drugiej ćwiartcei oddaje. W ćwiartkach trzeciej i czwartej
okresu te procesy energetyczne powtarzają się (z odwrotnym zwrotem prądu i pola
magnetycznego).
Zatem idealna cewka indukcyjna „średnio” nie pobiera żadnej energii. Obliczana za okres
wartość średnia jej mocy, a więc moc czynna jest równa zeru:
PL = p L =
2π
1
⋅ ∫ U L I ⋅ sin( 2ωt + 2ψ I )dωt = 0
2π
0
Cewka nie pobiera takiej energii, która przepływ byłby jednokierunkowy, która zamieniana
byłaby bezpowrotnie na energię nieelektryczną. Zjawiska energetyczne jakie w niej zachodzą
polegają wyłącznie na oscylacyjnym przepływie energii pomiędzy odbiornikiem i źródłem.
Występowanie takich oscylacji interpretowane są w elektrotechnice jako występowanie mocy
biernej (por. pkt. 6.3. rozdz.6.). W przypadku cewki moc ta nosi nazwę mocy biernej
indukcyjnej - QL .
Definiuje się ją jako iloczyn wartości skutecznych prądu i napięcia cewki:
(7.14)
QL = U L I
Jak widać z wzoru (7.13) jest to jednocześnie amplituda oscylacji mocy cewki, co bywa
traktowane jako fizyczna interpretacja mocy biernej indukcyjnej.
Podstawiając do wzoru (7.14) wzór (7.9a) otrzymujemy jeszcze inny wzór na obliczanie
mocy biernej indukcyjnej.
QL = X L I 2
(7.14a)
Jednostką mocy biernej indukcyjnej nie jest wat jak dla „zwykłej”, „prawdziwej” mocy.
Aby podkreślić, że to nie jest ta „prawdziwa” moc, wprowadzono tu nową jednostkę - var (czyt.:
war). Jest to skrót od „Volt-Amper-reaktancyjny”.
1[ Q L ] = [ u ] ⋅ [ i ] = 1V ⋅ A = 1 var
Niekiedy stosuje się zapis: varind .
P
0
Współczynnik mocy cewki indukcyjnej jest równy zeru ( λ L = L ==
= 0 ).
SL
ULI
Cewka indukcyjna klasyfikowana jest jako element zachowawczy - energia
magazynowana (zachowywana) jest w jej polu
magnetycznym i może być z powrotem zamieniona
na energię elektryczną. Inna nazwa elementu
zachowawczego to element reaktancyjny (taki,
który charakteryzowany jest przez reaktancję).
Przebieg
czasowy
wartości
energii
zgromadzonej w danej chwili czasowej w polu
magnetycznym induktora określa zależność:
1
1
2 ⋅ sin 2 ( ωt +Ψ )
WL ( t ) = Li 2 ( t ) = L ⋅ I m
I
2
2
Przebieg ten, na tle przebiegu czasowego
Rys. 7.14. Przebieg czasowy energii induktora idealnego
prądu pokazano na rys. 7.14.
7.3. Kondensator idealny
Kondensator to układ dwu przewodników przedzielonych materiałem nieprzewodzącym
(dielektrykiem, także próżnią). Taki układ może być zbudowany celowo, może też powstać w
- 26 -
sposób niezamierzony - mogą go, przykładowo, stanowić przewód elektryczny, jego izolacja i
stalowa ściana (szot) statku, do której ten przewód jest mocowany.
Przewodniki tworzące kondensator nazywane
są okładzinami. Jeżeli do jednej okładziny
kondensatora doprowadzi się ładunek „ Q ” to,
skutkiem działania sił kulombowskich, na drugiej
okładzinie zaindukuje się ładunek o takiej samej
wartości, lecz o przeciwnym znaku: Q+ = Q− = Q .
W przestrzeni pomiędzy okładzinami zaistnieje pole
elektryczne.
Każdy
punkt
tego
pola
charakteryzowany
jest wartością potencjału
Rys. 7.15. Zależność napięcia od ładunku kondensatora
elektrycznego. Różnica potencjałów okładzin to
napięcie występujące na kondensatorze. Napięcie to ma wartość proporcjonalną do wartości
ładunku „ Q ” zgromadzonego na okładzinach kondensatora (por. rys. 7.15.).
Współczynnik proporcjonalności „ C ” pomiędzy wartością ładunku kondensatora i
wartością napięcia występującego pomiędzy okładzinami kondensatora nosi nazwę pojemności
elektrycznej:
Q
(7.15)
C = = tg α
U
1[Q ] 1 ⋅ C 1 ⋅ A ⋅ s
s
Jednostką pojemności jest farad: 1 [C ] = 1 F =
= 1⋅ S ⋅ s =
=
=
Ω
1[U ] 1 ⋅ V
1⋅V
Pojemność elektryczna charakteryzuje nie tylko celowo wykonane kondensatory, ale każdy
układ przewodników, w którym mogą gromadzić się ładunki tworząc pole elektryczne.
Aby ładunki znalazły się na okładzinie kondensatora muszą tam dopłynąć. Taki
dq
. W czasie
uporządkowany przepływ ładunków to prąd elektryczny. Opisuje go zależność i =
dt
„ dt ” do kondensatora dopływa ładunek dq = i ⋅ dt . Dla kondensatora o pojemności „ C ” słuszny
jest też wzór dq = C ⋅ du . Łącząc te wzory otrzymuje się zależność C ⋅ du = i ⋅ dt .
Stąd wynika równanie opisujące zależność napięcia kondensatora od natężenia prądu
płynącego w gałęzi z kondensatorem:
du( t )
(7.16)
i( t ) = C ⋅
dt
Zależność odwrotna (a więc zależność napięcia od prądu) jest całką:
t
1
uC ( t ) = ∫ i( τ )dτ + uC( 0 )
C
(7.16a)
0
Kondensator idealny to taki element obwodu elektrycznego, w którym zachodzi wyłącznie
jedno zjawisko - zjawisko gromadzenia ładunków i powstawania pola elektrycznego. Opisywane
jest ono zależnością pomiędzy napięciem charakteryzującym to pole elektryczne i natężeniem
prądu, związanego z przepływem tych ładunków. W
realnym, fizycznym świecie takich kondensatorów nie
ma - podobnie jak inne elementy idealne, mogą one
istnieć wyłącznie jako przedmioty abstrakcyjne. Jednak
w przypadku wielu rzeczywistych kondensatorów, taka
idealizacja jest opisem wystarczająco dokładnym dla
przeprowadzania praktycznych obliczeń.
Rys. 7.16. Kondensator idealny
W stanie ustalonym w obwodach prądu stałego
przez kondensatoy prąd nie płynie. Inaczej jest z obwodami prądu przemiennego. Także tutaj
- 27 -
bezpośrednio przez kondensator prąd nie może płynąć - stanowi on przerwę w obwodzie, jednak
w gałęzi płyną prądy ładowania się i rozładowywania kondensatora.
Gdy napięcie gałęzi z kondensatorem idealnym jest sinusoidalnie zmienne
również
prąd
jest
sinusoidalnie
zmienny
uC ( t ) = 2 ⋅ U C ⋅ sin( ωt + ψ U )
i( t ) = 2 ⋅ I ⋅ sin( ωt + ψ I ) .
Prąd ten daje się wyliczyć z równania kondensatora jako:
du ( t )
π
i( t ) = C ⋅ C
= ωC ⋅ 2 ⋅ U C cos( ωt + ψ U ) = 2 ⋅ ωC ⋅ U C sin( ωt + ψ U + )
2
dt
Stąd, porównując wzory na przebieg prądu kondensatora - „ogólny” i wyznaczony na
podstawie przebiegu napięcia kondensatora i równania (7.16), otrzymuje się zależności:
 I = ωC ⋅ U C

(7.17a)
ψ = ψ + π
U
 I
2
z czego wynika:
1

U C = ωC ⋅ I
(7.17b)

π
ψ U = ψ I −
2

Jest to tzw. prawo Ohma dla kondensatora idealnego poddanego wymuszeniu
sinusoidalnie zmiennemu.
Podobnie jak dla induktora wprowadza się wielkości fizyczne charakteryzujące właściwości
kondensatora w obwodach prądu sinusoidalnego:
- reaktancja pojemnościowa:
1
1
(7.18a)
=
XC =
ωC 2πfC
- susceptancja pojemnościowa:
BC = ωC = 2πfC
(7.18b)
Reaktancja pojemnościowa bywa nazywana kapacytancją (od łacińskiego - „capacitas” pojemność).
Jednostki są takie same jak w przypadku reaktancji i susceptancji indukcyjnych:
1[ u ]
1[ i ]
1[ X C ] =
= 1Ω
1[ BC ] =
= 1S
1[ i ]
1[ u ]
Impedancja, admitancja i kąt przesunięcia fazowego odbiornika złożonego z idealnego
kondensatora wynoszą:
U
1
I
π
YC =
ZC = C = X C =
ϕ =ΨU −Ψ I = −
= BC = ωC ,
,
2
UC
I
ωC
Sformułujmy teraz prawo Ohma dla kondensatora w obwodzie prądu sinusoidalnie
zmiennego z zastosowaniem metody symbolicznej:
π
j(ΨU + )
jΨ I
2
= ωC ⋅ U ⋅ e
I = I ⋅e
C
π
= ωC ⋅ e 2 ⋅ U C ⋅ e jΨU = jωC ⋅ U C = jBC ⋅ U C
π
−j
1
1
1
⋅I =−j
⋅ I = − jX C ⋅ I =
⋅e 2 ⋅ I
UC =
ωC
ωC
j ωC
j
Jest zatem:
U C = − jX C ⋅ I
oraz:
(7.19a)
- 28 -
I = jBC ⋅ U C
Stąd impedancja i admitancja zespolone:
π
−j
UC
1
1
=
⋅e 2 = − j
ZC =
ωC
ωC
I
I
= jBC = jωC
YC =
UC
(7.19b)
(7.20a)
(7.20b)
Rys. 7.18. Kondensator idealny - schemat
zastępczy do metody symbolicznej
Rys. 7.17. Wykres wskazowy napięcia i prądu
kondensatora idealnego
W każdej chwili czasowej kondensator idealny pobiera energię z mocą o przebiegu
czasowym wartości chwilowych pC ( t ) = uC ( t ) ⋅ i( t ) . Jeżeli do tego wyrażenia podstawić wzory
na sinusoidalne przebiegi prądu i napięcia, z uwzględnieniem tego, że prąd wyprzeda napięcie o
π
ćwierć okresu (kąt ) otrzymuje się zależność:
2
pC ( t ) = 2 ⋅ U C sin( ωt + ψ U ) ⋅ 2 ⋅ I ⋅ cos( ωt + ψ U ) =
= 2U C I ⋅ cos( ωt + ψ U ) ⋅ sin( ωt + ψ I ) = U C I ⋅ sin( 2ωt + 2ψ U )
Stąd wynikają zależności na przebieg czasowy mocy kondensatora:
pC ( t ) = U C I sin( 2ωt + 2ψ U )
(7.21a)
pC ( t ) = −U C I sin( 2ωt + 2ψ I )
(7.21b)
Tę
drugą
postać
otrzymuje
się
π
podstawiając ΨU = Ψ I − :
2
Wartości chwilowe mocy kondensatora
oscylują sinusoidalnie z amplitudą U C I (por.
rys. 7.19). W jednych przedziałach okresu
zmienności są one dodatnie, w innych ujemne.
Gdy moc jest dodatnia, kondensator pobiera
energię - energia gromadzona jest w jego polu
elektrycznym. Ujemna wartość mocy oznacza, że
Rys. 7.19. Przebieg czasowy mocy kondensatora idealnego
kondensator staje się źródłem energii - energia
na tle przebiegów napięcia i prądu
pola elektrycznego zwracana jest do źródła.
Wartość średnia mocy za okres, a więc
moc czynna kondensatora jest równa zeru:
2π
1
⋅ U C I ⋅ sin( 2ωt + 2ψ U )dωt = 0
PC = pC =
2π ∫
0
Współczynnik
mocy
PC
0
( λC =
==
= 0 ).
SC
UC I
kondensatora
- 29 -
idealnego
jest
także
równy
zeru
Kondensator nie pobiera takiej energii, która zamieniana jest bezpowrotnie na energię
nieelektryczną. Występuje w nim natomiast zjawisko oscylacyjnego przepływu energii pomiędzy
kondensatorem a źródłem. Wielkością charakteryzującą to zjawisko jest moc bierna
pojemnościowa QC .
Definiuje się ją jako iloczyn wartości skutecznych prądu i napięcia kondensatora:
QC = U C I
(7.22)
Jest to jednocześnie amplituda oscylacji mocy kondensatora, co bywa traktowane jako
fizyczna interpretacja mocy biernej pojemnościowej.
Podstawiając do wzoru (7.22) wzór (7.17b) otrzymujemy jeszcze inny wzór na obliczanie
mocy biernej pojemnościowej.
QC = X C I 2
Jednostką mocy biernej pojemnościowej jest
var - tak jak dla mocy biernej indukcyjnej.
Niekiedy stosuje się zapis: var poj albo varcap
(7.22a)
(od łacińskiego - „capacitas”).
Kondensator idealny, podobnie jak induktor
idealny,
klasyfikowany
jest
jako
element
zachowawczy albo reaktancyjny.
Przebieg
wartości
chwilowych
energii
kondensatora opisuje wyrażenie:
1
1
2 ⋅ sin 2 ( ωt +Ψ )
WC( t ) = CU C2 ( t ) = C ⋅ U Cm
Rys. 7.20. Przebieg czasowy energii kondensatora
U
2
2
Wykres tego przebiegu, na tle przebiegu napięcia, pokazano na rys. 7.20.
7.4. Źródła idealne
Podobnie jak w teorii obwodów prądu stałego, również w teorii obwodów prądu
sinusoidalnie zmiennego występują dwa rodzaje źródeł idealnych - idealne źródło napięciowe i
idealne źródło prądowe.
Rys. 7.22. Idealne źródło prądowe
Rys. 7.21. Idealne źródło napięeciowe
Idealne źródło napięciowe charakteryzuje się tym, że napięcie na jego zaciskach jest stałe,
niezależne od natężenia pobieranego ze źródła prądu. Może się ono jednak zmieniać w czasie:
(7.23)
u( t ,i( t )) = e( t ) = const i( t )
e( t ) to przebieg wartości chwilowych siły elektromotorycznej (sem) źródła.
W szczególności może być ona sinusoidalnie zmienna. Wtedy słuszna jest zależność:
u( t ,i( t )) = e( t ) = 2 ⋅ E ⋅ sin( ωt +Ψ E )
W metodzie symbolicznej sem reprezentowana jest przez wartość skuteczną zespoloną
E = E ⋅ e jΨ E . Zatem równanie źródła idealnego napięciowego przyjmuje postać:
U E = E = const
(7.23a)
Podobnie jest z idealnym źródłem prądowym. Jego siła prądomotoryczna (spm) zmienia
się w czasie lecz nie jest funkcją występującego na źródle napięcia:
- 30 -
i( t ,u( t )) = j( t ) = const u( t )
(7.24)
Gdy spm jest sinusoidalnie zmienna prowadzi to do zależności:
i( t ,u( t )) = j( t ) = 2 ⋅ J ⋅ sin( ωt +Ψ J )
W metodzie symbolicznej spm reprezentowana jest przez wartość skuteczną zespoloną
J = J ⋅ e jΨ J .
Zatem równanie źródła idealnego prądowego przyjmuje postać:
I = J = const
(7.24a)
7.5. Prawa Kirchhoffa
W każdym z poznanych przez nas w tym rozdziale elementów idealnych występuje tylko
jedno, pojedyncze zjawisko fizyczne. Za pomocą takich elementów idealnych mogą być
modelowane rzeczywiste obiekty i obwody. Służą do tego schematy zastępcze. Są one
schematami umyślonych obwodów elektrycznych, zbudowanych z tak dobranych elementów
idealnych i połączonych w taką strukturę, że występują w nich takie same zależności pomiędzy
napięciami i prądami, jak w rzeczywistych obiektach i obwodach. Zależności te opisują dwa
prawa Kirchhoffa.
Pierwsze prawo Kirchhoffa to prawo równowagi prądów. Mówi ono, że suma prądów
dopływających do danego węzła jest w każdej chwili czasowej równa sumie prądów z węzła
wypływających. Dla dowolnych obwodów z prądami o dowolnych przebiegach prawo to można
zapisać następująco:
(7.25)
∑ λ k ik ( t ) = 0
k
gdzie:
 1
λk = 
− 1
- gdy prąd
- gdy prąd
ik ( t ) w chwili t wpływa do węzła;
ik ( t ) z węzła w chwili t wypływa;
Dla obwodów z przebiegami sinusoidalnymi analizowanymi z zastosowanie metody
symbolicznej można to zapisać jako:
(7.25)
∑ λk I = 0
k
( λ k - ma taki sam sens jak wyżej)
Drugie prawo Kirchhoffa to prawo równowagi napięć. Mówi ono, że suma napięć w
dowolnym wyodrębnionym w rozważanym obwodzie konturze zamkniętym jest w każdej chwili
czasowej równa zeru. Dla dowolnych przebiegów i dowolnych obwodów prawo to można zapisać
jako :
(7.26)
∑ λk u k ( t ) = 0
k
gdzie:
- wartość chwilowa k-tej siły elektromotorycznej;
ek ( t )
u ( t )
- wartość napięcia na k-tej sile prądomotorycznej
 jk
- wartość napięcia na k-tym rezystorze (z prawa
 Rk ⋅ i k ( t )

Ohma)
u k ( t ) =  L ⋅ dik ( t )
k
- wartość napięcia na k-tym induktorze (z prawa

dt

t
Faradaya)
 1 ⋅ i ( τ )dτ + U ( 0 )
- wartość chwilowa napięcia k-tego kondensatora
Ck
 Ck ∫ k
0

- 31 -
gdzie:
- gdy napięcie U k ma zwrot zgodny ze zwrotem obchodzenia
obwodu;
- gdy napięcie U k ma zwrot przeciwny do zwrotu obchodzenia.
Dla przebiegów sinusoidalnych (z zastosowaniem metody symbolicznej) otrzymujemy:
(7.27)
∑ λk U k = 0
 1
λk = 
− 1
k
gdzie:
- wartość skuteczna zespolona k-tej siły elektromotorycznej
- wartość skuteczna zespolona napięcia na
k-tej sile
prądomotorycznej
- wartość skuteczna zespolona napięcia na k-tym elemencie
pasywnym (opisywanym przez impedancję zespoloną)
( λk - ma taki sam sens jak wyżej)
Podobnie jak dla obwodów prądu stałego, podstawową metodą analizy obwodów
sinusoidalnych jest układanie stosownej liczby odpowiednich równań z praw Kirchhoffa.
Równania te dla obwodów analizowanych z zastosowaniem metody symbolicznej mają
postać identyczną z równaniami ułożonymi z praw Kirchhoffa dla obwodów prądu stałego.
Stosowane są tu jedynie inne oznaczenia, a występujące wielkości przyjmują wartości zespolone.
 Ek

U k =  U Jk
Z ⋅ I
 k k
- 32 -