Pomiar ryzyka rynkowego jest bardzo wa*nym elementem - E-SGH

Wykład II - Pomiar ryzyka
Pomiar ryzyka jest bardzo ważnym elementem dotyczącym zarządzania ryzykiem,
m.in. ponieważ:
 Informacje pozyskiwane dla kierownictwa pokazują jak duże podejmowane jest
ryzyko w stosunku do wielkości kapitału będącego do dyspozycji przedsiębiorstwa;
 Ustala limity inwestycyjne, których nie należy przekraczać;
 Pozwala na zbudowanie najodpowiedniejszego portfela inwestycyjnego i wskazanie
jaka jego część może zostać przeznaczona np. na inwestycje na rynku walutowym;
 Umożliwia wyliczanie wielkości ryzyka i zysków;
Pomiar ryzyka jest też dla wielu instytucji obowiązkiem wynikającym z wymagań
instytucji nadzorczych – wewnętrznych (Rada Nadzorcza) bądź zewnętrznych (nadzór
bankowy, ubezpieczeniowy itp.).
Stosowanie odpowiednich metod pomiaru ryzyka ułatwia przedsiębiorstwu określenie
poziomu strat możliwych do poniesienia w danym przedziale czasowym.
Ryzyko można poddać ocenie na dwa sposoby:
 Ocena kategorii ryzyka – podaje przedział klasowy ryzyka (np.: brak ryzyka,
niewielkie ryzyko, średnie ryzyko, duże ryzyko). Ten rodzaj oceny ryzyka może być
stosowany w odniesieniu np. do ryzyka politycznego czy ryzyka niedotrzymania
warunków. Informacje dotyczące kategorii ryzyka dla konkretnych instrumentów
finansowych są zamieszczane w czasopismach finansowych.
 Ilościowa ocena ryzyka – przedstawia konkretne wartości miar ryzyka. Przykładowo
ryzyko wynoszące 6 jest większe od ryzyka równego 2. By móc ocenić ryzyko w
sposób ilościowy należy dokonać odpowiedniego pomiaru ryzyka.
Każdy inwestor przed podjęciem decyzji dotyczącej zainwestowania kapitału stara się
określić poziom dochodu, jakiego może się spodziewać z danej inwestycji oraz jakim jest ona
obarczona ryzykiem. W tym celu zostały opracowane metody służące do oszacowania
dochodu. By móc dokonać pomiaru ryzyka rynkowego należy na początku wyznaczyć
oczekiwaną stopę zwrotu charakteryzującą każdą inwestycję. Jest ona podstawową miarą
określającą wielkość dochodu przypadającego na każdą jednostkę zainwestowanego kapitału.
1
rt 
P1  P0
P0
(1)
gdzie:
rt – stopa zwrotu instrumentu finansowego w okresie t,
P0 – wartość początkowa instrumentu finansowego (znana),
P1 – wartość końcowa instrumentu finansowego (zmienna losowa).
Oczekiwana stopa zwrotu, która w tym przypadku pełni rolę średniej ważonej
możliwych do osiągnięcia stóp zwrotu (wagami są prawdopodobieństwa zrealizowania tych
stóp), może być liczona jako syntetyczna miara dochodu wyznaczona na podstawie rozkładu
stopy zwrotu:
m
E (r )   pi  ri
(2)
i 1
gdzie:
E(r) – oczekiwana stopa zwrotu,
pi – prawdopodobieństwo uzyskania i-tej możliwej wartości stopy zwrotu,
ri – i-ta prawdopodobna do uzyskania wartość stopy zwrotu,
m – ilość możliwych do uzyskania wartości stopy zwrotu.
W sytuacji gdy niemożliwe jest uzyskanie informacji o rozkładzie stopy zwrotu w celu jej
oszacowania, można posłużyć się danymi historycznymi (stopami zwrotu, które zostały
zrealizowane w przeszłości). W ten sposób dokonuje się pomiaru oczekiwanej stopy zwrotu
będącej średnią arytmetyczną stóp zwrotu:
r
1 n
  rt
n t 1
(3)
gdzie:
rt – stopa zwrotu instrumentu finansowego (aktywu) zrealizowanego w okresie t,
n – liczba okresów z których pochodzą dane.
Dane historyczne służą do określenia liczby okresów. Wraz ze wzrostem liczby danych
poprawia się stabilność średniej arytmetycznej. Na kształtowanie się stóp zwrotu największy
wpływ mają ich wartości jakie przyjmują w bieżącym, a także w bezpośrednio
poprzedzających go okresach (jednak nie może ich być zbyt wiele).
2
Miary ryzyka można podzielić na trzy podstawowe kategorie:

Miary zmienności,

Miary wrażliwości,

Miary zagrożenia.
1. Miary zmienności (volatility measures) – opierające się na koncepcji ryzyka,
mówiącej, że wraz ze wzrostem zmian stóp bądź cen dochodu instrumentów
finansowych rośnie ryzyko inwestycyjne związane z tym instrumentem. Miary
zmienności są rozumiane jako zmienność rozkładu stopy zwrotu i dzielą się na:
 Miary bezwzględne (absolutne), do których zaliczamy:
a) Średni rozstęp – jest to najprostsza i najmniej dokładna miara zmienności, gdyż
nie jest zależna od rozkładu stóp zwrotu a jedynie od ich dwóch skrajnych
wartości. Połowa rozstępu jest określana poprzez połowę różnicy między
największą i najmniejszą wartością dotyczącymi stopy zwrotu.
 r  0,5rmax  rmin 
(4)
gdzie:
rmax – maksymalna wartość stopy zwrotu w danym okresie,
rmin – minimalna wartość stopy zwrotu w danym okresie.
b) Wariancja – definiuje rozproszenie wokół średniej. Jest to średnia kwadratów
odchyleń pojedynczych wartości stóp zwrotu od jej średniej arytmetycznej.
Jednostka miary wariancji jest kwadratem jednostki miary badanej cechy np. %.
n
2
var   pi ri  E (r ) 
(5)
i 1
gdzie:
ri – wartość zmiennej o i-tym wariancie badanej cechy,
E (r ) – oczekiwana stopa zwrotu,
pi – prawdopodobieństwo uzyskania i-tej możliwej wartości stopy zwrotu.
Jeżeli mamy do dyspozycji jedynie serię obserwacji historycznych wartości
zmiennej, a nie posiadamy rozkładu stóp zwrotu, wariancję możemy obliczyć ze
wzoru na wariancję z próby:
3
cj
n
var 
 r  r 
i 1
2
i
n
2
1 n
  ri  r 
n i 1
(6)
Powyższy wzór to tzw. estymator obciążony. Przy małej liczbie obserwacji (n)
bliższe przybliżenie daje zazwyczaj estymator nieobciążony, dany wzorem:
n
var 
r  r 
i 1
2
i
n 1

1 n
  ri  r 
n  1 i 1
2
(6a)
c) Odchylenie standardowe stopy zwrotu – podobnie jak wariancja określa stopień
dyspersji (rozproszenia) poszczególnych wartości badanej cechy od jej średniej
arytmetycznej. Jeżeli wartość odchylenia standardowego zmniejsza się to
odpowiednio maleje także dyspersja badanej cechy i maleje ryzyko związane z
danym instrumentem. Odchylenie standardowe jest obliczane jako pierwiastek
kwadratowy z wariancji i podawane jest w takich samych jednostkach jak badana
cecha. Przyjmuje wartości dodatnie (nieujemne).
 st  var 
n
 p r  E(r )
t 1
2
i
t
(7)
Odchylenie standardowe będzie równe 0, gdy wszystkie dane podlegające
obserwacji będą jednakowe. W takiej sytuacji ryzyko nie będzie występowało. Do
pomiaru ryzyka rynkowego odchylenie standardowe ma swoje zastosowanie tylko
wtedy, gdy ryzyko jest rozumiane jako prawdopodobieństwo nie osiągnięcia
określonego zysku.
Przy odchyleniu standardowym można także wyznaczyć typowy obszar
zmienności cechy rtyp , który odnosi się do mniej więcej 2/3 wartości wszystkich
jednostek badanej cechy mieszczącej się w tym przedziale:
r   st  rtyp  r   st
4
Znając typowy obszar zmienności można podzielić jednostki danej populacji na
typowe (występujące stosunkowo często) i nietypowe (występujące stosunkowo
rzadko).
Jeżeli mamy do dyspozycji jedynie serię obserwacji, a nie posiadamy rozkładu
stóp zwrotu, odchylenie standardowe może zostać obliczone ze wzoru na
odchylenie standardowe z próby:
 st 
1 n
2
 rt  r 
n t 1
(8)
Analogicznie, dla małych prób można wyznaczyć estymator nieobciążony:
1 n
2
 rt  r 

n  1 t 1
 st 
(8a)
Przy mierzeniu odchylenia standardowego stopy zwrotu, odchylenia możliwych
stóp zwrotu od oczekiwanej stopy zwrotu podnosi się do kwadratu. Powoduje to,
iż jednorazowe duże odchylenie podniesione do kwadratu może zawyżyć wielkość
ryzyka. Wady tej pozbawione jest odchylenie przeciętne stopy zwrotu.
d) Odchylenie
przeciętne
–
jest
definiowane
jako
średnia
arytmetyczna
bezwzględnych odchyleń wartości stopy zwrotu od średniej arytmetycznej stopy
zwrotu. Odchylenie przeciętne przedstawia o ile od średniej arytmetycznej różnią
się
jednostki
danej
zbiorowości.
Między
odchyleniem
przeciętnym
a
standardowym dotyczących tego samego szeregu istnieje zależność: s   st .
n
s
 r  E (r )
i 1
i
n

1 n
 ri  E (r )
n i 1
(9)
e) Odchylenie ćwiartkowe (międzykwantylowe) – określa, w jakim stopniu wartości
cechy odchylają się od wartości środkowej zwanej medianą.
Q
Q3  Me   Me  Q1   Q3  Q1
2
2
(10)
Gdzie:
5
Q1 – kwantyl pierwszy dokonuje podziału zbiorowości na dwie części w taki
sposób, że pierwsza część stanowi 25% (1/4) badanych jednostek, której
wartości cechy są nie wyższe (czyli niższe lub równe) niż wartość Q1, zaś
druga część składa się z 75% (3/4) badanych jednostek, które są nie
niższe (a zatem wyższe lub równe) niż Q1;
Me (Q2) – mediana (kwantyl drugi) – jest to wartość środkowa, dzieląca
zbiorowość na dwie części, każda po 50%, z których jedna część jest
mniejsza a druga większa od wartości mediany;
Q3 – kwantyl trzeci – dzieli zbiorowość tak samo jak Q1 z tą różnicą, że 25%
badanych jednostek ma wartości cechy wyższe lub równe kwantylowi
trzeciemu, a 75% badanych jednostek jest niższa bądź równa Q3.
Jak w przypadku odchylenia standardowego tak również przy odchyleniu
ćwiartkowym można wyznaczyć typowy obszar zmienności cechy rtyp  , w którym
koncentruje się zdecydowana większość wartości badanej cechy:
Me  Q  rtyp  Me  Q
Wyznaczanie miejsca odpowiednich kwantyli, w sytuacji gdy mamy do czynienia
ze zbiorowością składającą się z:
 Nieparzystej liczby elementów:

Pozycja dla kwantyla pierwszego Q1:
N Q1 
n 1
4
(11)

Pozycja dla kwantyla drugiego Q2:
N Q2 
n 1
2
(12)

Pozycja dla kwantyla trzeciego Q3:
N Q3 
3n  1
4
(13)
 Parzystej liczby elementów:

Pozycja dla kwantyla pierwszego Q1:
N Q1 
n
4
(15)

Pozycja dla kwantyla drugiego Q2:
NQ 2 
n
2
(16)

Pozycja dla kwantyla trzeciego Q3:
NQ3 
3n
4
(17)
Jednak zanim przystąpi się do wyznaczania miejsc poszczególnych kwantyli
należy uporządkować cechy danej zbiorowości w kolejności rosnącej, od wartości
najmniejszej do największej.
6
Odchylenie ćwiartkowe jako miara ryzyka inwestycji w instrument finansowy jest
stosowane w szczególności w przypadkach instrumentów charakteryzujących się
nieskończoną wartością wariancji stopy zwrotu lub dla których wyliczenie
wariancji jest niemożliwe.
 Miary względne (relatywne), do których zaliczamy:
a) Współczynnik zmienności – standardowy współczynnik zmienności przedstawia
stosunek odchylenia standardowego do średniej arytmetycznej pomnożony przez
100% i jest wyrażony w jednostkach niemianowanych.
V
 st
E (r )
100%
(18)
Przeciętny współczynnik zmienności określa stosunek odchylenia przeciętnego do
średniej arytmetycznej pomnożony przez 100% i jest wyrażony w jednostkach
niemianowanych.
V
s
100%
E (r )
(19)
W obu przypadkach musi zostać spełnione założenie, że średnia arytmetyczna jest
większa od zera
r  0 .
Należy dążyć do zmniejszania współczynnika
zmienności, gdyż jest to podstawowa cecha racjonalnego inwestowania. Problem
może się pojawić wówczas, gdy należy zinterpretować współczynnik zmienności
w przypadku gdy stopa zwrotu jest ujemna.
2. Miary wrażliwości (sensitivity measures) – opierające się na koncepcji ryzyka,
zgodnie z którą wraz ze wzrostem wrażliwości stóp bądź cen dochodu instrumentów
finansowych na czynniki ryzyka, rośnie ryzyko inwestycyjne związane z tym
instrumentem. Celem miar wrażliwości nie jest pomiar skutków ryzyka, które już
zaistniało (a więc zmienności stopy zwrotu), tylko uwzględnienie zależności
zachodzących pomiędzy wartością instrumentu finansowego a czynnikami ryzyka
wpływającymi w sposób bezpośredni na wartość instrumentu. Do miar wrażliwości
zalicza się:
a) Współczynnik beta  (beta coefficient) – opiera się na modelu wskaźnikowym
Sharpe’a i jest wyliczany dla akcji, określając zależności zachodzące pomiędzy stopą
7
zwrotu akcji a przeciętną stopą zwrotu obserwowaną na rynku (np. stopą zwrotu
indeksu giełdowego). Współczynnik ten mówi nam o ile procent zmieni się stopa
zwrotu akcji, w przypadku zmiany stopy zwrotu portfela rynkowego (indeksu rynku) o
1 punkt procentowy. Odpowiada na pytanie, w jakim stopniu stopa zwrotu akcji
reaguje na zmiany zachodzące na rynku (zmiany stopy zwrotu indeksu rynku).
 p  R
m
covRi , RM 
i 

VM
j 1
j
ij
 Ri   RMj  RM 
 p  R
j
 RM 
2
Mj
gdzie:
•
n – liczba okresów z których pochodzą informacje;
•
Rit – stopa zwrotu i-tej akcji w t-tym okresie
•
RMt – stopa zwrotu indeksu rynku w t-tym okresie
•
Ri – średnia arytmetyczna stóp zwrotu i-tej akcji
•
RM – średnia arytmetyczna stóp zwrotu indeksu rynku
Jeżeli nie znamy pełnego rozkładu prawdopodobieństwa wartość współczynnika beta można
również oszacować metodą najmniejszych kwadratów, na podstawie danych historycznych
n
i 
 R
i 1
it
 Ri   RMt  RM 
n
 R
i 1
Mt
 RM 
(1)
2
gdzie:
n – liczba okresów z których pochodzą informacje;
Rit – stopa zwrotu i-tej akcji w t-tym okresie
RMt – stopa zwrotu indeksu rynku w t-tym okresie
Ri – średnia arytmetyczna stóp zwrotu i-tej akcji
RM – średnia arytmetyczna stóp zwrotu indeksu rynku
Charakterystyka współczynnika beta:
8

  0 → indeks akcji zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do kursu
akcji; oznacza to, że gdy indeks rośnie kurs maleje i odwrotnie gdy indeks
maleje to kurs rośnie; wystąpienie takiej sytuacji jest bardzo mało
prawdopodobne, jednak w teoretycznych założeniach możliwe; prosta
przedstawiająca funkcję trendu ma ujemne nachylenie;

  0 → oznacza brak reakcji stopy zwrotu na zmiany rynkowe; jest to
akcja wolna od ryzyka (np. bon skarbowy);

0    1 → oznacza, że stopa zwrotu akcji w niewielkim stopniu reaguje
na zmiany zachodzące na rynku; akcje tego typu charakteryzują się małym
ryzykiem; przykładowo jeśli   0,5 , to przy wzroście wartości portfela
rynkowego o 10% cena tej akcji powinna wzrosnąć tylko o 5% i odwrotnie
przy 10% spadku cen wszystkich walorów notowanych na giełdzie cena
podanej akcji powinna spaść jedynie o 5%. Akcje charakteryzujące się
współczynnikiem β z tego przedziału określane są mianem akcji
defensywnych, gdyż szczególnie pożądane jest inwestowanie w nie w
okresach bessy giełdowej;

  1 → oznacza, że stopa zwrotu z akcji reaguje nadproporcjonalnie na
zmiany stóp zwrotu z portfela rynkowego; akcje tego typu charakteryzują
się podwyższonym ryzykiem; przykładowo jeśli   1,5 to wzrost wartości
portfela rynkowego o 10% powinien spowodować wzrost ceny akcji o
15%, ale spadek wartości portfela rynkowego o 10% powinien
spowodować spadek ceny akcji o 15%.
Wartość współczynnika beta można obliczyć również dla portfela złożonego z wielu
instrumentów finansowych. Beta portfela to średnia ważona współczynników beta
poszczególnych
składowych
portfela,
gdzie
wagami
są
wartości
udziałów
poszczególnych aktywów w łącznej wartości portfela:
n
 p   wi   i
i 1
 p  współspółc zynnik beta portfela,
 i  współspółc zynnik beta i  tej akcji,
n  liczba akcji w portfelu,
wi  udział procentowy i  tej akcji w wartośar portfela.
9
Współczynnik beta może być efektywnie wykorzystywany do syntetycznej restrukturyzacji
portfeli inwestycyjnych z wykorzystaniem kontraktów terminowych.
Korzystamy ze wzoru:
V p   p  VS   S  V f   f
gdzie:
Vp – wartość portfela docelowego
βp – β portfela docelowego
Vs – wartość akcji w portfelu
βs – β akcji w portfelu
Vf – wartość kontraktów futures
βf – β kontraktów futures (standardowo zakładamy βf = 1)
b) Tzw. współczynniki greckie – wywodzące się z analizy ryzyka na rynku opcji.
Należy jednak pamiętać, że wartości tych współczynników mogą być wyznaczane
również dla innych instrumentów finansowych.

Współczynnik delta  – pokazuje o ile zmieni się cena opcji jeśli cena
instrumentu bazowego zmieni się o jednostkę. Współczynnik delta szacuje
wielkość ryzyka, na które narażona jest osoba otwierająca pozycję w
kontrakcie opcyjnym. W przypadku opcji kupna delta jest dodatnia i
zawiera się w przedziale liczbowym (0, 1), jednak wartości skrajne nie są
osiągalne (są asymptotyczne). Im większą wewnętrzną wartość ma opcja
(im bardziej jest w cenie), tym większa będzie delta. Gdy mamy do
czynienia z opcją sprzedaży, delta jest ujemna i przyjmuje wartości między
-1 a 0. Jeżeli cena instrumentu bazowego, na jaki została wystawiona opcja
rośnie, to delta opcji sprzedaży maleje.

c
S
(2)
10
gdzie:
c – cena opcji,
S – wartość instrumentu bazowego.
Z matematyczne go punktu widzenia delta opcji to pierwsza pochodna
ceny opcji względem zmiany ceny instrumentu bazowego. Oznacza to, że
współczynnik delta daje rzetelną informację o wrażliwości ceny opcji dla
małych zmian cen instrumentu bazowego. W przypadku dużych zmian może
dojść do zmiany wartości współczynnika delta.
Wartość współczynnika delta można obliczyć również dla portfela
złożonego z wielu instrumentów:
n
 p   wi   i
i 1
gdzie:
Wi – liczba opcji w portfelu,
Δi – delta i-tej opcji.

Współczynnik gamma  – dokonuje pomiaru zmian współczynnika delta
w stosunku do zmian ceny instrumentu bazowego. Jest więc drugą
pochodną ceny opcji względem zmian cen instrumentu bazowego



S
Współczynnik theta  – służy do pomiaru wielkości spadku ceny opcji
(premii) na skutek upływu czasu, który pozostał do terminu wygaśnięcia o
jeden dzień. Współczynnik hetta zawsze przyjmuje wartości dodatnie
między wartością 0 a całkowitą wartością opcji. Jego wartość rośnie w
miarę zbliżania się terminu wygaśnięcia opcji, co oznacza największą
utratę wartości opcji w okresie bezpośrednio poprzedzającym jej
wygaśnięcie
11
 
c
T
gdzie:
(4)
T – czas pozostający do terminu wygaśnięcia opcji.

Współczynnik kappa  (vega, lambda) – wskazuje o ile ulegnie zmianie
premia opcji w odniesieniu do zmiany zmienności (mierzonej odchylenie
standardowym) instrumentu bazowego o jeden punkt procentowy.
Przykładowo, gdy współczynnik kappa będzie równy 0,6 to w efekcie
wzrostu/spadku zmienności instrumentu bazowego o 1 punkt procentowy
adekwatnie wzrośnie/spadnie wartość opcji o 0,6. Współczynnik kappa
zawsze przyjmuje wartości dodatnie, lecz jego wartość zbiega w kierunku )
wraz z upływem terminu ważności opcji. Im wyższa wartość kappy, tym
cena opcji jest bardziej wrażliwa na niewielkie zmiany zmienności cen
instrumentu bazowego.

c

(5)
gdzie:
σ – odchylenie standardowe stopy zwrotu z portfela rynkowego

Współczynnik rho  – służy do pomiaru zmian wartości opcji w stosunku
do procentowej zmiany stopy procentowej wolnej od ryzyka; dla opcji
kupna współczynnik rho jest dodatni i przykładowo jeśli kształtuje się na
poziomie 0,3 to będzie oznaczał, że w przypadku 1%-owego wzrostu stopy
wolnej od ryzyka nastąpi zwiększenie się 0,3 kursu opcji. Natomiast dla
opcji sprzedaży współczynnik rho jest ujemny i gdyby wynosił – 0,2 to
sygnalizowałby o spadku kursu opcji o 0,2 przy 1%-owym wzroście stopy
wolnej od ryzyka.
Rho 
c
r
(6)
gdzie:
r – stopa procentowa wolna od ryzyka
12
Treść zadań do wykładu:
1. Wyznacz oczekiwaną stopę zwrotu dla inwestycji, dla której rozkład prawdopodobieństwa
kształtowania się stopy zwrotu jest dany w tabeli poniżej:
Możliwy stan
Prawdopodobieństwo
Stopa zwrotu (%)
1
0,1
40
2
0,2
20
3
0,3
10
4
0,3
4
5
0,1
-20
2. Wyznacz oczekiwane stopy zwrotu, wariancję stopy zwrotu i odchylenie standardowe
stopy zwrotu dla inwestycji A i B, dla których rozkład prawdopodobieństwa stopy zwrotu
dany jest w tabeli poniżej:
Możliwy stan
Prawdopodobieństwo
P
Stopa zwrotu
R
i
R
iA
iB
1
0,1
60
20
2
0,2
30
14
3
0,4
10
10
4
0,2
-10
6
5
0,1
-40
0
3. Wyznacz odchylenie przeciętne stopy zwrotu dla inwestycji A i B opisanych w zadaniu 2.
4. Wyznacz standardowe współczynniki zmienności dla projektów A, B i C opisanych w
tabeli poniżej a następnie uszereguj projekty według rosnącego ryzyka inwestycyjnego
(mierzonego współczynnikiem zmienności).
Akcja
A
B
C
Stopa zwrotu
12%
12%
15%
Odchylenie standardowe
15%
20%
20%
13
5. Inwestor posiada portfel akcji o wartości 2 mln zł i postanowił go zabezpieczyć, otwierając
pozycję krótką w 50 kontraktach terminowych na indeks WIG20, których bieżący kurs
wynosi 3600 pkt (mnożnik, zgodnie ze standardem kontraktu terminowego wynosi 10). Ile
wynosi współczynnik beta dla posiadanego przez inwestora portfela akcji, skoro wiadomo że
przy wystawionej liczbie kontraktów terminowych inwestor zapewnił pełne zabezpieczenie
tego portfela?
6. Portfel składa się z akcji o wartości 60 tysięcy zł i bonów skarbowych o wartości 40 tysięcy
zł. Część portfela złożona z akcji ma parametr beta równy 0,8, a wartość jednego kontraktu
futures na indeks rynku wynosi 1 tysiąc zł. Przewidując wzrost cen akcji zarządzający chce
zwiększyć współczynnik beta portfela. Zakładając, że beta kontraktów futures wynosi 1, a
beta bonów skarbowych 0, oblicz ile kontraktów futures powinien kupić zarządzający aby
powiększyć współczynnik beta portfela do 1,5.
7. Przy wykorzystaniu drzewa dwumianowego do wyceny opcji call na akcje spółki ABC,
cena wyjściowa akcji wynosi 25 PLN, zaś w przypadku wzrostu zakłada się, że będzie
wynosiła 27 PLN – wówczas cena opcji call będzie wynosiła 1 PLN. Natomiast w przypadku
zakładanego spadku ceny instrumentu bazowego do poziomu 23 PLN, opcja call będzie
kosztowała 0,5 PLN. Proszę obliczyć ile wynosi delta opcji na akcję spółki ABC.
8. Wskaźnik delta dla opcji sprzedaży (put) na obligacje rządu USA wynosi (- 0,85).
Wskaźnik gamma tej samej opcji sprzedaży (put) wynosi 0,98. Jeżeli cena tej obligacji rządu
USA wzrośnie o 25 centów to wartość wskaźnika delta tej opcji put wyniesie:
9. Portfel A składa się z 300 akcji X oraz 400 rocznych europejskich opcji zakupu na jedną
akcję X o współczynniku Delta równym 0,5. Portfel B składa się z 500 akcji X. Wartość
którego z portfeli jest bardziej wrażliwa na zmiany ceny akcji X (wrażliwość oceniana w
wartościach bezwzględnych, np. w zł)?
10. Doradca inwestycyjny działający na rynku walutowym posiada portfel składający się z
następujących pozycji w opcjach na funty brytyjskie:
•
długa pozycja na 10 tyś. opcji kupna z ceną wykonania 1,6; wygasające za 3 miesiące,
każda o współczynniku delta równym 0,533,
•
krótka pozycja na 20 tyś. opcji kupna z ceną wykonania l,62; wygasających za 4
miesiące, każda o współczynniku delta równym 0,468;
•
krótka pozycja na 5 tyś. opcji sprzedaży z ceną wykonania 1,62; wygasających za 6
miesięcy, każda o współczynniku delta równym -0,508;
14
Jakie transakcje powinien zawrzeć doradca na rynku kasowym aby uczynić swój portfel
neutralnym wobec współczynnika delta?
11. Inwestor dysponuje portfelem, który charakteryzuje się współczynnikiem delta = 0,
gamma = -5000 oraz vega = -8000. Na rynku dostępne są opcje:
w1 o współczynnikach: delta = 0,6, gamma = 0,5, vega = 2,0
w2 o współczynnikach: 0,5, gamma = 0,8, vega = 1,2
Jakie pozycje w opcjach w1 i w2 powinien zająć inwestor aby zneutralizować swój portfel
jednocześnie względem współczynników delta, gamma i vega?
15