1 - E-SGH

MIKROEKONOMIA II - ćwiczenia
TEORIA KONSUMENTA
1. Wampir pospolity dusi codziennie 4 kozy (X) i 18 indyków (Y). Jego funkcja
użyteczności ma postać U(X,Y) = 2X2 + Y. Ile kóz powinien dostać, jeśli
mieszkańcy wsi chcieliby ocalić wszystkie indyki, nie wywołując jednak gniewu
dotychczas zadowolonego wampira?
Źródło: E. Czarny, E. Nojszewska, „Mikroekonomia. Zbiór zadań”, PWE 2000, zad. 1.4.23.
2. Krzywe obojętności Adama są wypukłe i ciągłe, a jego funkcja użyteczności jest
różniczkowalna. Adam zarabia 100 zł tygodniowo i wydaje wszystkie pieniądze,
kupując 20 butelek wina (X) i kasety wideo (Y). Ile kaset wideo kupuje tygodniowo
i jaką cenę płaci za nie, jeśli butelka wina kosztuje 2 zł, a w punkcie równowagi
Adama MRS = -1.
Źródło: E. Czarny, E. Nojszewska, „Mikroekonomia. Zbiór zadań”, PWE 2000, zad. 1.4.21.
3. Ernestyna konsumuje wyłącznie dwa dobra: X (brokuły) oraz Y (szpinak), i jest jej
obojętne, które z nich zjada. Kasjopeja, jej matka, przekazała jej 20 kg brokułów i 8
kg szpinaku, wiedząc, że córka nie ma żadnego dochodu. Cena 1 kg szpinaku jest
dwukrotnie wyższa od ceny 1 kg brokułów. Ernestyna może zjeść te warzywa lub
wymienić je po cenach rynkowych. Ile zje szpinaku, a ile brokułów?
Źródło: E. Czarny, E. Nojszewska, „Mikroekonomia. Zbiór zadań”, PWE 2000, zad. 1.4.17.
4. Melania nie jest wybredna. Konsumując dwa dobra, mawia zwykle: „Zarówno mogę
mieć X, jak i Y i jest mi obojętne, które z nich dostanę”. Matka Melanii przekazała
jej majątek złożony z 15 jednostek dobra X i 7 jednostek dobra Y. Cena X jest trzy
razy wyższa niż cena Y. Melania może wymieniać X i Y po cenach rynkowych i nie
ma żadnego innego źródła dochodu. Ile dobra Y skonsumuje dziewczyna, jeśli chce
maksymalizować użyteczność? Jaką użyteczność wówczas osiągnie?
Źródło: E. Czarny, E. Nojszewska, „Mikroekonomia. Zbiór zadań”, PWE 2000, zad. 1.4.16.
5. Marcin nabywa wyłącznie płatki kukurydziane (X) i sok pomarańczowy (Y).
Wówczas, gdy maksymalizuje użyteczność z konsumpcji, jego krańcowa
użyteczność opakowania płatków jest półtora raza wyższa niż krańcowa użyteczność
butelki soku. Ile wynosi cena opakowania płatków, jeśli butelka soku kosztuje 2 zł?
Źródło: E. Czarny, E. Nojszewska, „Mikroekonomia. Zbiór zadań”, PWE 2000, zad. 1.4.26.
6. Jaś je tylko frytki (f) i jajka sadzone (j). Jego funkcja użyteczności ma postać
U(f,j)=32f0,5+2j. Ile porcji frytek zakupi Jaś dysponując kwotą 100 zł przy czym
cena jednej porcji wynosi 4 zł a jajka sadzonego 2 zł?
7. Tomasz ma dwa rodzaje hobby: wolny czas dzieli pomiędzy grę w piłkę w lokalnym
klubie (p) i lekcje gry na flecie (f). Funkcja użyteczności Tomasza ma postać
U(p,f)=4p2+8f2. Tomasz na hobby przeznacza 180 zł miesięcznie. Ile razy w
miesiącu Tomasz uczestniczy w lekcjach gry na flecie, jeśli za uczestnictwo w
jednym treningu piłkarskim musi zapłacić 5 zł, a lekcja muzyki kosztuje 20 zł.
1
MIKROEKONOMIA II - ćwiczenia
8. Maksymilian nabywa dwa rodzaje dóbr: narzędzia ogrodnicze (n) i dzieła sztuki (d).
Jego funkcja użyteczności ma postać U(n,d)=n*d, a dochód wynosi 4000 zł.
Narzędzia ogrodnicze średnio kosztują 200 zł, natomiast dzieła sztuki 1000 zł.
a) Ile wynosi popyt Maksymiliana na narzędzia ogrodnicze?
b) O ile zmieni się popyt Maksymiliana na dzieła sztuki jeśli zostaną one
obłożone podatkiem od wartości na dobra luksusowe w wysokości 100%?
9. O smoku wawelskim wiadomo między innymi tyle, że lubił zjeść: byle co, byle
dużo. Czasy były ciężkie i nie było zbyt dużego wyboru. Mógł wybierać tylko
spośród kóz i owiec. Zakładając, że szybsze są kozy, pokaż graficznie wybór
optymalnego koszyka jakiego powinien dokonać smok.
10. Matylda dzieli swój miesięczny dochód na wizyty w salonie kosmetycznym (A),
bilety do kina (B) i delicje wiśniowe (C). Jej funkcja użyteczności to U(A, B, C) =
B3CA. Jeżeli Matylda jest raz w miesiącu w salonie kosmetycznym, to jaką część
swojego pozostałego dochodu przeznacza na bilety do kina? (Matylda oczywiście
dąży do maksymalizacji użyteczności).
11. Mąż czerpie teraz przyjemność z trzech rzeczy: piwa (X), chodzenia do kina (Y) i
sera pleśniowego (Z). Znajdź jego optymalny koszyk jeżeli wiadomo, że funkcja
użyteczności ma postać U=X2YZ, ceny zaś wynoszą px=2, py=20, pz=30.
Dyspozycyjny dochód wynosi M=1100 i konsumpcja dobra Y wynosi 1. Oblicz
funkcję indywidualnego popytu na dobro Z(pz).
12. Funkcja użyteczności Mateusza ma postać U(x, y) = 2x + 10y. Jego linia
ograniczenia budżetowego opisana jest równaniem 4x + 10y = 200. Sprawdź czy
prawdą jest, że Mateusz osiąga największe zadowolenie kupując jedynie dobro y.
13. Narysuj mapę preferencji Mateusza, o którym wiadomo, że lubi ryż (dobro X) i lubi
mięso (dobro Y) ale nie spożywa ich jednocześnie (z powodu diety, której
przestrzega) oraz nie nabywa żadnych innych dóbr.
14. Pokaż graficznie efekt substytucyjny i dochodowy spadku ceny dobra X, w
przypadku gdy X to dobro:
a) normalne,
b) Giffena;
i Y to dobro normalne. Omów różnice między tymi efektami w przypadku obu
typów dóbr. (Zastosuj podejście Hicksa)
15. Sprawdź ile wynosi relacja cen dwóch dóbr X i Y kupowanych przez konsumenta, o
którym wiadomo, że:
a) nie oszczędza,
b) nabywa wyłącznie dobra X i Y,
c) stać go na zakup 2 sztuk dobra X i jednocześnie 8 sztuk dobra Y oraz
4 sztuk dobra X i jednocześnie 6 sztuk dobra Y.
2
MIKROEKONOMIA II - ćwiczenia
16. Pokaż graficznie efekt substytucyjny i dochodowy spadku ceny dobra X, w
przypadku gdy X to dobro:
a) normalne,
b) niższego rzędu (nie Giffena);
i Y to dobro normalne. Omów różnice między tymi efektami w przypadku obu
typów dóbr. (Zastosuj podejście Słuckiego)
17. Wyprowadź graficznie krzywą indywidualnego popytu na dobro Giffena.
18. Wyprowadź graficznie krzywą Engla dla dobra luksusowego.
19. Dominik dzieli swój miesięczny dochód na bilety na mecze koszykówki (A) i bilety
do kina (B). Jego funkcja użyteczności to U(A, B) = (A2 + B2)0,5. Ustal jaki koszyk
dóbr zmaksymalizuje jego użyteczność, jeżeli bilet na mecz kosztuje 50 zł, bilet do
kina 20 zł, a miesięczny dochód, którym dysponuje Dominik wynosi 400 zł.
Przedstaw optymalny wybór Dominika również graficznie.
20. Funkcja użyteczności Alicji ma postać U(x, y) = 12x + 4y. Alicja zarabia 300 zł
tygodniowo i wszystko wydaje na dobra X i Y. Za jednostkę X płaci 3 zł, a za
jednostkę Y – 10 zł. Ile jednostek dobra X i Y kupi Alicja, jeżeli chce
maksymalizować użyteczność? Przedstaw optymalny wybór Alicji również
graficznie.
21. Przedstaw graficznie optymalny wybór daltonisty, który wybiera między dwoma
samochodami tej samej marki: jeden w kolorze zielonym (dobro X) a drugi w
kolorze czerwonym (dobro Y). Wiadomo, że w tym sezonie modny jest kolor
czerwony i w związku z tym samochody w tym kolorze są nieco droższe od
pozostałych.
22. Przedstaw graficznie optymalny wybór Alicji, która wybiera między dwoma
zapachami perfum: 5th Avenue (dobro X) i Escape (dobro Y). Wiadomo, że nie
będzie ich stosować jednocześnie (chociaż i jedne i drugie bardzo jej się podobają)
oraz że perfumy Escape są droższe niż 5th Avenue.
23. Giacomo jest artystą i dzieli swój miesięczny dochód na farby (F) i marmur (M).
Jego funkcja użyteczności ma postać U(F, M) = (F2 + 16M2)0,5. Ustal jaka
mieszanka farb i marmurów zmaksymalizuje jego użyteczność, jeżeli opakowanie
farb kosztuje 50 euro, a blok marmuru 500 euro, a miesięczny dochód Giacomo
wynosi 10000 euro. Przedstaw optymalny wybór Giacomo również graficznie.
24. Laura siostra Giacomo cały swój dochód przeznacza na biżuterię i skutery. Pokaż
graficznie efekt substytucyjny i dochodowy zmiany ceny skuterów wiedząc, że
skutery są dobrem niższego rzędu – takim, że krzywa popytu na nie jest rosnąca.
Przy spadku ceny zastosuj podejście Słuckiego, przy wzroście ceny podejście
Hicksa.
3
MIKROEKONOMIA II - ćwiczenia
25. Filip ma dwa ulubione sposoby spędzania wolnego czasu: granie w tenisa (t) i
chodzenie do kina (k). Miesięcznie przeznacza na swoje hobby 240 zł. Oblicz, jaką
część dochodu przeznacza na kino, a jaką na tenisa, jeżeli jego funkcja użyteczności
ma postać U(k, t) = 2k2 + 3t2. Wiadomo przy tym, że jeden bilet do kina kosztuje 20
zł, a godzina gry w tenisa 48 zł. Zilustruj sytuację graficznie i na wykresie zaznacz
ścieżkę zmiany dochodu.
26. Zuzanna ma dwa ulubione sposoby spędzania wolnego czasu: granie w siatkówkę
(s) i chodzenie do filharmonii (f). Miesięcznie przeznacza na swoje hobby 480 zł.
Oblicz, jaką część dochodu przeznacza na filharmonię, a jaką na siatkówkę, jeżeli jej
funkcja użyteczności ma postać U(f,s) = 2f2 + 3s2. Przy czym wiadomo, że jeden
bilet do filharmonii kosztuje 40 zł, a godzina gry w siatkówkę 24 zł. Zilustruj
sytuację graficznie i na wykresie zaznacz ścieżkę zmiany dochodu.
27. Laura siostra Giacomo cały swój dochód przeznacza na biżuterię i skutery. Pokaż
graficznie efekt substytucyjny i dochodowy zmiany ceny skuterów wiedząc, że
skutery są dobrem niższego rzędu – takim, że krzywa popytu na nie jest malejąca.
Przy spadku ceny zastosuj podejście Słuckiego, przy wzroście ceny podejście
Hicksa.
28. Wyprowadź algebraicznie i graficznie funkcję indywidualnego popytu Filona na
banany, wiedząc, że jego funkcja użyteczności ma postać U(A, B) = A2B (gdzie: A
to arbuzy, B to banany i zarówno A jak i B to dobra normalne). Wiadomo również,
że Filon zarabia 900 zł miesięcznie i nie kupuje żadnych innych dóbr. Jak
wyglądałaby funkcja popytu na banany, gdyby funkcja użyteczności Filona
wskazywała, że nie lubi on spożywać arbuzów i bananów jednocześnie (pokaż tę
sytuację graficznie, zakładając, że banany są tańsze od arbuzów)?
29. Wanda cały swój roczny dochód w wysokości 1000 zł przeznacza na zakup kawy i
szarlotki. Jej funkcję użyteczności opisuje równanie U(K, S) = 4K3S2. Wiadomo, że
gdyby wszystkie pieniądze przeznaczyła na zakup kawy, to mogłaby zakupić 125
kg. Cena porcji szarlotki stanowi 25% ceny kawy. Przeprowadź stosowne obliczenia
w celu wskazania takiej kombinacji ilości tych dwóch dóbr, która zmaksymalizuje
satysfakcję Wandy z konsumpcji. Uzasadnij wybór przyjętej metody rozwiązania
zadania.
30. Konsument cały swój miesięczny dochód przeznacza na zakup trzech dóbr X, Y i Z.
Jego funkcję użyteczności opisuje równanie U(X, Y, Z) = 2X2Y3Z. Jeżeli konsument
w miesiącu kupuje tylko jeden produkt Z, to jaką część swojego pozostałego
dochodu przeznacza na dobro X i jaką na dobro Y, zakładając, że dąży do
maksymalizacji użyteczności. Przeprowadź następnie stosowne obliczenia w celu
wskazania takiej kombinacji ilości dobra X i Z (zakładamy, że konsumpcja Y
wynosi 1 w miesiącu), która zmaksymalizuje funkcję użyteczności konsumenta,
zakładając, że dobro X kosztuje 5 zł, cena dobra Z stanowi 200% ceny dobra X i
konsument dysponuje miesięcznym dochodem w wysokości 3000 zł.
4
MIKROEKONOMIA II - ćwiczenia
31. Adam osiąga zadowolenie z 3 dóbr: muzyki (M), wina (W), i sera (S). Jego funkcja
użyteczności ma postać: U(M,W,S) = M+2W+3S. (a) Zakładając, że "konsumpcja"
muzyki wynosi 10, skonstruuj krzywe obojętności dla U=40 i U=70. (b) Pokaż, że
MRS wina na ser jest stała dla wszystkich wartości W i S na krzywych obojętności.
32. Narysuj krzywą obojętności dla poniższych funkcji użyteczności: (a) U = 3X+Y,
(b) U = (X*Y)1/2, (c) U = (X2+Y2)1/2 , (d) U = X2/3 * Y1/3 , (e) U = lnX + lnY.
33. Masz następujące krzywe użyteczności: (a) U = XY, (b) U = X2 * Y2 , (c) U = lnX
+ lnY. Pokaż, że każda z nich charakteryzuje się malejącą MRS, ale wykazują się
one stałą, rosnącą i malejącą użytecznością krańcową względem każdego dobra.
34. Zadowolenie Kowalskiego z posiadania dóbr X i Y dane jest funkcją użyteczności
jak w zad. 1.2c. Jakie będzie maksimum użyteczności Kowalskiego jeśli ceny p x =
3, py = 4, i ma on do wydania 50 zł.
35. Niech funkcja użyteczności U(X,Y) = (X*Y)1/2 . (a) jeżeli px=20, py=10, dochód
m = 200 to ile należy kupić X i Y by zmaksymalizować użyteczność? (b) obliczyć
funkcje indywidualnego popytu na X i Y jako funkcje px i py.
36. Jeśli konsument ma funkcję użyteczności U(X,Y)=X*Y4 , to jaką część dochodu
wyda on na dobro Y?
37. Znajdź optymalny koszyk dóbr jeśli wiadomo, że funkcja użyteczności ma postać
U = (XY)1/3, px = 0.5, py = 4, zaś ograniczenie dochodowe wynosi 40. Jak zmieni
się optymalny koszyk jeśli dochód konsumenta podwoi się?
38. Konsument o którym wiadomo, że ma wypukłe preferencje i dochód w wysokości
100 wybrał pewien optymalny koszyk. W koszyku tym było 20 jednostek X. Ustalić
ile było w koszyku dóbr Y i cenę Y (py), jeśli wiemy, iż px = 2 oraz że w punkcie
optimum krańcowa stopa substytucji MRS = 1.
5