wycena opcji - Hossa ProCapital
advertisement
UNIWESRYTET EKONOMICZNY WE WROCŁAWIU HOSSA ProCAPITAL WYCENA OPCJI Sebastian Gajęcki WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH WPROWADZENIE Opcje są instrumentem pochodnym, zatem takim, którego cena zależy od ceny instrumentu bazowego. Opcje posiadają własną cenę rynkową, która nie podlega własnym cyklom i wahaniom, jest ona natomiast ściśle uzależniona od cen instrumentów bazowych. Pod pojęciem wyceny opcji rozumie się nie tylko określenie jej wartości ale również określenie wartości pozycji (wartość długiej pozycji posiadacza opcji). Wartość pozycji krótkiej (wystawcy opcji) jest ze znakiem ujemnym. Wartość opcji to przeważnie suma dwóch składników: wartość opcji = wartość wewnętrzna opcji + wartość czasowa opcji Wartość wewnętrzna to suma pieniędzy, którą można by otrzymać, gdyby opcja została w danej chwili wykonana. Dla opcji call będzie to cena instrumentu bazowego minus cena wykonania. Dla opcji put, cena wykonania minus cena instrumentu bazowego. Wartość czasowa to różnica między wartością opcji a wartością wewnętrzną. Jeżeli wartość wewnętrzna wynosi 0, to jedyną składową wartości opcji jest jej wartość czasowa. Czynniki wpływające na wartość opcji: Cena wykonania, Cena instrumentu podstawowego, Długość do terminu wygaśnięcia, Zmienność cen instrumentu podstawowego, Stopa procentowa (wolna od ryzyka), Stopa dywidendy (tylko w przypadku opcji na akcje i opcji na indeksy akcji) lub stopa procentowa w kraju obcej waluty (w przypadku opcji walutowych) PARYTET PUT – CALL Jest to zależność pomiędzy opcjami kupna i sprzedaży. Zależność ta jest ścisła, ponieważ obie opcje uzależnione są od zmiany ceny instrumentu bazowego. Została opracowana dla opcji europejskich przez H. Stolla i ma postać: c p S Xe rt , gdzie: c – premia opcji zakupowej (call), p – premia opcji sprzedażowej (put), S – cena instrumentu bazowego, X – cena wykonania opcji, r – stopa bez ryzyka, t – czas do wykonania opcji. Powyższa zależność może być stosowana w identyfikacji strategii arbitrażowej, jednak nie można udowodnić dla opcji amerykańskiej, ponieważ opcja amerykańska może być wykonana przed rzeczywistym terminem jej wykonania, co za tym idzie możliwości arbitrażu nie są pewne. Zasada put – call parity jest bardzo praktyczna ze względu na jej prostotę. Pozwala w krótkim czasie określić ceny przeciwstawnych opcji. Obserwując zawarte transakcje np.: na opcję kupna, możemy bez problemu wyznaczyć cenę opcji sprzedaży. Działania muszą być dokonywane szybko, gdyż dotyczą tej samej wartości instrumentu bazowego. Przykład Cena akcji wynosi 40 zł. Na tą akcję zostały wystawione dwie opcje: call i put. Cena wykonania obu opcji wynosi 38 zł, a termin wykonania 3 miesiące. Cena opcji call wynosi 3,2 zł . Stopa wolna od ryzyka wynosi 10%, zatem: p 3,2 38 e 0 ,1 0 , 25 40 0,26 MODEL DWUMIANOWY Jest to jeden z dwóch najpopularniejszych modeli. Założenie tego modelu opiera się na tym iż, kształtowanie ceny na opcje nie wynika z czynników spekulacyjnych. Zatem stosowanie dźwigni finansowej w celu maksymalizacji zysków nie wpływa na cenę. Można zatem stwierdzić, że ceny opcji są pochodną zachowań inwestorów, którzy stosują awersję do ryzyka, chcąc się w ten sposób zabezpieczyć przed niekorzystnymi zmianami cen posiadanych już instrumentów rynku kasowego. Rozwiązanie problemu ceny opcji łączy się ze zmianami ceny instrumentu bazowego. W tym celu parę instrumentów: kasowy i opcję można tak dobrać, że zmiana ceny jednego z instrumentów spowoduje przeciwstawny ruch drugiego. Tak tworzony portfel inwestycyjny jest mniej wrażliwy na zmieniające się ceny rynku. Co za tym idzie łączna rentowność danego portfela powinna odpowiadać istniejącej na rynku stopie bez ryzyka. Polityka inwestorów stosujących takie podejście wygląda w sposób następujący: właściciel danych instrumentów zabezpiecza się opcjami tak, by koszty (lub przychody) niwelowały zyski (straty) na wahaniach cen instrumentu bazowego, portfel zapewnia stałą stopę zwrotu. Zadanie inwestora sprowadza się do dobrania odpowiedniej ilości opcji i co najważniejsze stworzenia odpowiednich par instrumentów rynku zapewniających rentowność. WKP WPP WKWs WWO WPWs WPO R WKP – wartość końcowa portfela WPP – wartość początkowa portfela WKWs – wartość końcowa walorów spot WPWs – wartość początkowa walorów spot WWO – wartość wykonania opcji WPO – wartość początkowa opcji R - rentowność Mechanizm działa w ten sposób, ze inwestor na początku ponosi wydatek na kupno instrumentu bazowego pomniejszony o wpływ ze sprzedaży opcji kupna. Na końcu okresu wartość portfela może zostać pomniejszona o wydatki wynikające z wykonania opcji. Znając wartość początkową walorów spot i rentowność, która powinna być utrzymana przez cały czas można wyznaczyć liczbę opcji oraz ich cenę. Procedura postępowania jest następująca: Określamy cenę na koniec długiego okresu, na który składa się ciąg okresów jednostkowych, Wyznaczamy różnicę rozpiętości między cenami akcji i opcji, Określamy ceny opcji we wszystkich „gałęziach drzewka” akcji, odpowiadających początkowi ostatniego okresu jednostkowego, Powyższe kroki wykonujemy od początku posuwając się wstecz po „gałęziach drzewka” akcji. Przykład: Akcja o aktualnej cenie: 90 zł Cena wykonania europejskiej opcji kupna: 111 zł Rynkowa stopa zwrotu: 10% Przewidywania, że cena akcji na koniec okresu może przyjąć dwie wartości: wzrost o 40% (126 zł) lub spadek o 10% (81 zł). Wykonanie opcji może odbyć się tylko po tych dwóch cenach. Zatem, gdy akcja osiągnie 81 zł, opcja ma zerową wartość, przy wyższej cenie opcja jest tyle warta ile jej wartość wewnętrzna, czyli przychód przy jej wykonaniu: 126 zł – 111 zł = 15 zł Obie wartości dotyczą końca okresu. Ile zatem wynosi cena opcji na jej początku? Posłużmy się schematem: Początek okresu: Koniec okresu: Cena opcji wykonania = 15zł Cena kasowa = 126 zł Cena opcji = ? Cena kasowa = 90 zł Cena opcji wykonania = 0 zł Cena kasowa = 81 zł Aby odpowiedzieć na wyżej postawione pytanie musimy wiedzieć, ile opcji kupna powinniśmy sprzedać, aby uzyskać efekt neutralizacji zmiany ceny. Uzyskamy to porównując rozpiętość cen instrumentów kasowych i spot na koniec okresu. Jest to zatem różnica pomiędzy skrajnymi wariantami cen instrumentów bazowych i wariantów cen opcji. Instrumenty bazowe: Opcje: 126 zł – 81 zł = 45 zł 15 zł – 0 zł = 15 zł Liczba opcji to iloraz obu rozpiętości: 45 zł / 15 zł = 3 Kolejnym krokiem jest przeanalizowanie tego co będzie się działo w momencie wykonania opcji. Ponownie rozważamy dwa warianty: dla ceny akcji 126 zł i 81zł. Dla pierwszego przypadku posiadacze opcji zainkasują 3 x 15 zł, zatem wartość portfela będzie wynosić: 126 zł – 45 zł = 81 zł Dla drugiego przypadku wartość opcji będzie równa 0. Wartość portfela zatem również będzie warta 81 zł. Możemy teraz wyliczyć cenę opcji w momencie jej kupna. 1 0,1 81 90 3 COK Cena opcji kupna (COK) równa się: 5,45 zł Tę samą metodę można zastosować dla modelu dwu i więcej okresowego. Zakładając, że w kolejnym okresie ceny mogą spaść także o 10% i wzrosnąć o 40%. Na początku drugiego okresu musimy rozważać już dwa przypadki cen spot: 126 zł i 81 zł. Istotę tej i następnych operacji jest metoda poruszania się wstecz. W tym przypadku będą to dwa kroki w tył. W rozważanym przypadku zaczynamy od cen jakie mogą zaistnieć na koniec drugiego okresu: W przypadku wzrostu o 40% będzie to cena 176,4 zł, natomiast gdy cena spadnie o 10% będzie to kwota rzędu 72,9 zł. Początek okresu: Drugi okres: Końcowy okres: Cena opcji wykonania = 65,4 zł Cena spot = 176,4 zł Cena opcji = ? Cena kasowa = 126 zł Cena opcji = ? Cena spot = 90 zł Cena opcji wykonania = 2,4 Cena kasowa = 113,4 zł Cena opcji = 0 zł Cena kasowa = 81 zł Cena opcji wykonania = 0 Cena kasowa = 72,9 zł Jak przedstawia wykres na koniec drugiego okresu możliwe są trzy wartości kasowe: 176,4 zł, 113,4 zł, 72,9 zł. Ze względu na to, że drugi okres ma potencjalnie dwa punkty startu: 126 zł i 81 zł, dla każdego z tych punktów cena będzie inna. Ze względu na to, że cena wykonania opcji wynosi 111 zł to w momencie osiągnięcia ceny 72,9 zł przez instrument bazowy, wartość wewnętrzna wynosi 0. Pozostają nam do rozważenia przypadki gdy cena osiągnie pułap 176,4 zł i 113,4 zł. Startujemy z punktu gdy cena wynosi: 126 zł. Powtarzamy tu czynności analogicznie jak w modelu jednookresowym: 176,4 zł – 113,4 zł = 63 zł 65,4 zł – 2,4 zł = 63 zł Jak widać liczba opcji równa się 1. Zatem sprawdzamy co się stanie w momencie wykonania opcji. 176,4 zł – 63 zł = 113,4 zł 113,4 zł – 63 zł = 50,4 zł Wartość opcji w momencie zakupu dla 126 zł wartości kasowej powinna wynosić: 1 0,1 113,4 126 1 COK Wracając do schematu w węźle 126 zł na miejsce znaku zapytania można wstawić cenę: 22,90 zł. Mając tą cenę możemy wrócić do początku okresu, jakbyśmy mieli model jednookresowy. Brakuje nam ponownie ceny opcji. Ponownie powtarzamy operacje. Obliczamy rozpiętości cen spot i cen opcji. Dzieląc rozpiętości otrzymujemy liczbę opcji, która równa się 1,96. Podstawiając do naszego wzoru: 1 0,1 81 90 1.96 COK Otrzymujemy cenę: 8,34 zł. MODEL BLACKA - SCHOLESA Model ten opiera się na próbie wyceny opcji, stosując funkcje o charakterze ciągłym. Jest to jedna z najpopularniejszych formuł wyceny opcji. Fisher Black i Myron Scholes przyjęli w swoim modelu dwa podstawowe z matematycznego punktu widzenia, założenia: 1. zmiany rentowności cen akcji są losowe i dają się opisać funkcją gęstości rozkładu normalnego prawdopodobieństwa, 2. jednostkowe zmiany wartości akcji są nieskończenie małe i następują w nieskończenie krótkich okresach. Przy konstrukcji tego modelu początkowo niezbędne stały się także pewne założenia ekonomicznie upraszczające: papiery wartościowe są doskonale podzielne, podatki i koszty transakcyjne są pomijane, w okresie ważności opcji instrumenty bazowe danego kontraktu nie dostarczają zysku w postaci dywidend, arbitraż pozbawiony ryzyka nie istnieje, obrót papierami wartościowymi dokonywany jest w sposób ciągły, uczestniczy rynku pożyczają i inwestują środki według tej samej stopy procentowej wolnej od ryzyka, stopa procentowa wolna od ryzyka jest krótkoterminowa i stała. Ten schemat rozumowania jest analogiczny do tego jaki leży u podstaw modelu dwumianowego. Celem jest utworzenie portfela inwestycyjnego wolnego od ryzyka. Można zatem wywnioskować, że w krótkim przedziale czasu istnieje dodatnia korelacja między ceną opcji kupna i ceną akcji i analogicznie ujemna między ceną opcji sprzedaży, a ceną akcji. Wartość analizowanego portfela na koniec krótkiego okresu jest znana. Załóżmy, że w danym punkcie czasu zależność pomiędzy małą zmianą ceny akcji s i zmianą ceny europejskiej opcji c ma następującą postać: c 0,3 s Aby portfel inwestycyjny był pozbawiony ryzyka w tym przypadku musiałby składać się z: 0,3 akcji w pozycji długiej, jednej opcji kupna w pozycji krótkiej. Należy pamiętać, że dotyczy to cały czas pewnego krótkiego okresu – momentu w którym nabywamy opcje zabezpieczające. Oznacza to, że w danym punkcie czasowym stopa zwrotu tego portfela jest równa wolnej od ryzyka stopie procentowej. Dla europejskich opcji kupna i sprzedaży cena opcji na akcje spółek nie wypłacających dywidendy przedstawia się w następujący sposób: dla opcji kupna (call) cena c określona jest wzorem: c SN (d1 ) Xe rt N (d 2 ) Dla opcji sprzedaży (put) p: p Xe rt ( N (1 d 2 )) SN (1 d1 ) gdzie: ln d1 d2 S X ( 2 r 2 )t t d1 t, gdzie: S – bieżąca cena akcji, X – cena wykonania, r – stopa procentowa wolna od ryzyka, t – czas pozostający do wygaśnięcia opcji, - zmienność ceny akcji (odchylenie standardowe). Wartości N (d1 ), N (d 2 ) znajdują się w przedziale 0-1 z racji tego iż oznaczają wielkość prawdopodobieństwa. Zmienna losowa jest tzw. zmienną standaryzowaną, a jej wartość jednostkową stanowi odchylenie standardowe zmiennej pierwotnej.
