wykład 6 aerodynamika skrzydła o skończonej rozpiętości

AERODYNAMICS I
WYKŁAD 6
AERODYNAMIKA SKRZYDŁA O
SKOŃCZONEJ ROZPIĘTOŚCI
PODSTAWY TEORII LINII NOŚNEJ
AERODYNAMICS I
Prawo Biota-Savarta
Pole prędkości indukowanej przez linię (nić) wirową o
cyrkulacji  może być wyznaczone przy użyciu formuły
Biota-Savarta
dl  ( x  ξ )
υ( x)   
4 VL x  ξ 3
Prostoliniowa nić wirowa …
dl  d e x , x  ξ  ( x   )e x  ye y
dl  ( x  ξ )  y d  e x  e x  y d  ez
2 3/2
x  ξ  ( x   )  y 
3
2
AERODYNAMICS I
Ze wzoru Biota-Savarta wynika, że

υ( x, y,0)  
 4
2

1

d  ez
2
2 3
[( x   )  y ]

y
gdzie
2

1
s  (  x ) y 1
d 

2
2 3
ds  d  / y
y
[( x   )  y ]
y
2  x
2  x
y
y
1
1
s
1 x (1  s 2 )3 2 ds  y 1  s 2
y

1  x
y

1
x  1
x  2
 


2
2
2
2
y  ( x  1 )  y
( x  2 )  y 

Przypadek 1 – indukcja nieskończonej nici wirowej (równoważny punktowemu
worowi potencjalnemu w 2D)



x


x





υ( x, y,0) 
lim

ez 
ez
2
2
2
2


4 y
2 y
 (x   )  y

(
x


)

y


AERODYNAMICS I
Przypadek 2 – indukcja pół-nieskończonej linii wirowej   [0, )




x
x 
 
x
υ( x, y,0) 
lim 

 1 e z
 ez 
 2
2
2
2
2
2


4 y
4 y  x  y
( x   )  y 
 x  y

Prędkość indukowana w płaszczyźnie prostopadłej do linii wirowej w punktach na
płaszczyźnie x  0 zadana jest wzorem
υ(0, y,0)   ez
4 y
AERODYNAMICS I
Opływ skrzydła o skończonej rozpiętości – cechy fizyczne
AERODYNAMICS I
Teoria linii nośnej
Przepływ wokół skrzydła jest modelowany jako superpozycja strumienia jednorodnego
i pola prędkości indukowanego przez płaską powierzchnię wirową „udającą” ślad
wirowy za skrzydłem.
Powierzchnia wirowa jest „utkana” z kontinuum linii wirowych „zamocowanych” do tzw.
linii nośnej związanej ze skrzydłem. Zmienna wzdłuż rozpiętości gęstość tych linii
przekłada się na ciągły i niejednorodny rozkład cyrkulacji.
AERODYNAMICS I
Powierzchnia wirowa indukuje prędkość w całej przestrzeni wokół płata. Idea metody
linii nośnej polega na wyznaczeniu rozkładu prędkości indukowanej wzdłuż tej linii
(przedniej krawędzi powierzchni wirowej). Zakłada się następnie, że całkowitą siłę
aerodynamiczną można wyznaczyć sumując (de facto – całkując) udziały od
poszczególnych przekrojów skrzydła (profili), przy czym każdy przekrój pracuje w
lokalnych warunkach przepływu wynikających z lokalnej wartości prędkości
indukowanej i prędkości strumienia jednorodnego V .
Zgodnie ze wzorem Biota-Savarta , infinitezymalny udział pół-nieskończonej linii wirowej
wychodzącej z linii nośnej w punkcie (0, y,0) do prędkości indukowanej w punkcie (0, y0 ,0)
to
 ( y)dy
dw  
4 ( y0  y)
Całkowita prędkość indukowana w tym punkcie jest zatem równa
1
w( y0 )  
4
b /2

b /2
 ( y)dy
y0  y
AERODYNAMICS I
Wskutek niejednorodnego rozkładu cyrkulacji wzdłuż rozpiętości skrzydła, efektywny
kąt natarcia dla poszczególnych profili skrzydła jest funkcją współrzędnej y - vide
obrazek.
Kierunek napływu „widziany” przez
profil skrzydła dla y  y0 jest obrócony
w kierunku zgodnie zegarowym o kąt
indukowany równy
i ( y0 )  atan[w( y0 ) V ]
Dla małych wartości prędkości indukowanej możemy napisać wzór …
b /2
w( y0 )
1
 ( y)dy
i ( y0 )  

V
4V b/2 y0  y
AERODYNAMICS I
Różnicę pomiędzy geometrycznym kątem natarcia a kątem indukowanym nazywamy
efektywnym kątem natarcia (na ogół jest on funkcją współrzędnej y0 ) :
eff    i
Dla małych kątów natarcia można przyjąć, że lokalny współczynnik siły nośnej jest
proporcjonalny do efektywnego kąta natarcia
cL ( y0 )  a[eff ( y0 )  0 ( y0 )]
gdzie a oznacza nachylenie charakterystyki siły nośnej dla profilu skrzydła, a  0 to
kąt natarcia odpowiadający zerowej sile nośnej.
Jeżeli wykorzystamy teorię cienkiego profilu to a  2 . Jeśli ma miejsce skręcenie
aerodynamiczne i/lub geometryczne skrzydła to – na ogół -  0   0 ( y0 ) .
AERODYNAMICS I
Zgodnie z teorią przepływu potencjalnego, liniowa gęstość siły nośnej rozwiniętej na
skrzydle może być obliczona we wzoru Kutty-Żukowskiego
L( y0 )  12 V2cL ( y0 )c( y0 )  V ( y0 )
gdzie c( y0 ) to długość cięciwy profilu skrzydła dla y  y0 . Wynika stąd, że lokalny
współczynnik siły nośnej jest równy
cL ( y0 ) 
2 ( y0 )
Vc( y0 )
Przyjmując (zgodnie z teorią cienkiego profilu), że a  2 , lokalna wartość
efektywnego kąta natarcia może być zatem wyrażona wzorem
eff ( y0 ) 
 ( y0 )
Vc( y0 )
  0 ( y0 )
AERODYNAMICS I
Wreszcie, suma efektywnego kąta natarcia  eff ( y0 ) i kąta indukowanego i ( y0 ) to
geometryczny kąt natarcia profilu skrzydła w przekroju y  y0 . Z uwagi na ewentualne
skręcenie geometryczne skrzydła kąt ten może być zmienny wzdłuż rozpiętości, tj.
   ( y0 ) .
Powyższy fakt prowadzi – przy wykorzystaniu wcześniejszych związków – co
podstawowego równania różniczkowo-całkowego teorii linii nośnej
 ( y0 )
1
 ( y)dy

  ( y0 )   0 ( y0 )

 Vc( y0 ) 4V b/2 y0  y
b /2
Niewiadomą w tym równaniu jest rozkład cyrkulacji    ( y0 ) . Po wyznaczeniu tego
rozkładu, siłę nośną wyznaczamy ze wzoru
L
b /2
b/2
L( y)dy  V   ( y)dy

b /2
b/2
AERODYNAMICS I
b /2
Współczynnik siły nośnej na skrzydle
L
2
CL 

 ( y)dy

q S V S b/2
W wyniku indukcji śladu wirowego efektywny kąt napływu w poszczególnych
przekrojach skrzydła uległ zmianie w taki sposób, że pojawia się składowa siły
aerodynamicznej na kierunek strumienia niezaburzonego. Składowa ta nosi nazwę
oporu indukowanego.
Przyjmując, że kąt indukowany jest niewielki, gęstość liniowa siły oporu
indukowanego wyraża się wzorem
Di  L sin i  Li
Całkowity opór indukowany skrzydła wyraża się zatem następującą całką
Di 
b /2
b/2
L( y)i ( y)dy  V   ( y)i ( y)dy

b /2
b/2
AERODYNAMICS I
Definiujemy również współczynnik oporu indukowanego
b/2
Di
CD 
 2   ( y)i ( y)dy
i
q S V S b/2
AERODYNAMICS I
Eliptyczny rozkład cyrkulacji
Rozważmy ważny przypadek szczególny rozkładu curkulacji wzdłuż rozpiętości
skrzydła, a mianowicie niech
 ( y)   0 1 
 
2y
b
2
czyli
L( y)  V 0 1 
 
2y
b
2
4 0
y
 ( y)   2
b
1  4 y 2 / b2
Mamy
Stąd, prędkość indukowana wyraża się wzorem
1
w( y0 )  
4
b /2

b /2
 0 b/2
y dy
 2 
y0  y
 b b/2 ( y0  y) 1  4 y 2 / b2
 ( y)dy
AERODYNAMICS I
Zastosujemy zamianę zmiennych
y  12 b cos , dy   12 b sin d
Wówczas, wykorzystując jeden z wariantów całki Glauerta (vide Wykład nr 3),
otrzymujemy
0 
0
cos
w(0 )  
d  

2 b 0 cos  cos0
2b
WNIOSEK: dla eliptycznego rozkładu cyrkulacji prędkość indukowana jest stała
wzdłuż rozpiętości skrzydła.
Kat indukowany, również stały, to
0
wi
i   
V 2bV
Siła nośna odpowiadająca eliptycznemu rozkładowi cyrkulacji to:
L  V 0
b/2

b/2

1  4 y 2 b2 dy  V 0 b2  sin 2  d  14 V 0b
0
AERODYNAMICS I
Maksymalna wartość cyrkulacji  0 związana jest z siłą nośną wzorem
0 
4L
Vb
Z drugiej strony
L  12 V2 SCL
Zatem
0 
2V SCL
b
i kąt indukowany można wyrazić wzorem
0
2V SCL 1
SCL
i 

 2
2bV
 b 2bV  b
Wprowadźmy wielkość zwaną wydłużeniem skrzydła wzorem
b2
 .
S
AERODYNAMICS I
Kąt indukowany dla rozkładu eliptycznego wyraża się teraz prostym wzorem
i 
CL

Obliczmy dalej współczynnik oporu indukowanego …
b /2
2i  0 b  2
i 0b  b CL 2V SCL
2i
CDi 
 ( y)dy 
sin  d 



V S b/2
V S 2 0
2V S
2V S   b
Po oczywistych uproszczeniach otrzymujemy ważną formułę
CD 
i
CL2

AERODYNAMICS I
Załóżmy brak skręcenia geometrycznego i aerodynamicznego. Wówczas kąty  i
 0 nie zmieniają się wzdłuż rozpiętości skrzydła. Pokazaliśmy, że dla eliptycznego
rozkładu cyrkulacji kąt indukowany  i jest również stały. Wynika stąd, że efektywny
kąt natarcia  eff jest w każdym przekroju skrzydła ten sam, a w konsekwencji stały jest
również lokalny współczynnik siły nośnej cL  a ( eff   L0 ) .
Ponieważ
L( y)  cLqc( y)
to
c( y ) 
L( y) 2 ( y)

 ( y)
cL q
cLV
WNIOSEK: Cięciwa skrzydła (bez skręceń) o eliptycznym rozkładzie cyrkulacji
zmienia się wzdłuż rozpiętości wg tej samej reguły co cyrkulacja. Zatem skrzydło to
ma eliptyczny obrys!
AERODYNAMICS I
Wg teorii linii nośnej skrzydło o obrysie eliptycznym charakteryzuje się
eliptycznym rozkładem cyrkulacji (obciążenia)
AERODYNAMICS I
Ogólny rozkład obciażenia
W celu określenia parametrów opływu skrzydła w przypadku ogólnym posłużymy się
ponownie zamianą współrzędnych
y   12 b cos ,  [0, ]
Opis rozkładu eliptycznego przyjmuje szczególnie prostą formę
 ( )   0 1  cos2    0 sin
Naturalnym uogólnieniem jest formuła

 ( )  2Vb An sin n
n1
Potrzebna będzie pochodna …

d   d  d  2V b d nA cos n
 dy 
n
dy d dy
n1
AERODYNAMICS I
Podstawowe równanie teorii linii nośnej przyjmuje postać …


2b 
1 
cos n
 (0 )   0 (0 ) 
An sin n0   nAn 
d 

 c(0 ) n1
 n1  0 cos  cos0 
Jak widać, ponownie pojawiła się całka Glauerta

 sin n0
cos n
d


0 cos  cos0
sin 0
Równanie teorii linii nośnej upraszcza się do postaci
sin n0
2b 
1 
 (0 )   0 (0 ) 
A
sin
n


nA
n
n

0
 c(0 ) 

sin 0
n1
n1
lub - po obcięciu szeregów do sum skończonych - do …
sin n0
2b N
1 N
 (0 )   0 (0 ) 
An sin n0   nAn

 c(0 ) n1
 n1
sin 0
AERODYNAMICS I
Standardowe postepowanie polega na zażądaniu, aby powyższe równanie było
spełnione w N różnych punktach 0,m [0, ], m  1,.., N . Takie podejście
nazywamy metodą kolokacyjną. Otrzymany w ten sposób układ liniowy
rozwiązujemy względem niewiadomym współczynników { A1, A2 ,..., AN } np. metodą
eliminacji Gaussa.
Po wyznaczeniu współczynników funkcja  ( ) jest już znana (w przybliżeniu) i
możemy przejść do obliczania współczynników aerodynamicznych. Mamy
b/2

2
2b2 N
CL 
 ( y)dy 
An  sin n sin d


V S b/2
S n1 0
Ma miejsce własność ortogonalności
wobec czego

0
 2 , n  1
sin n sin  d  
 0 , n 1
2
b
CL   A1  A1
S
AERODYNAMICS I
Widzimy, że współczynnik siły nośnej jest zdeterminowany wyłącznie przez
pierwszy współczynnik szeregu opisującego rozkład cyrkulacji!
Obliczenie oporu indukowanego jest bardziej złożone. Mamy

N

2
2b2
CDi 
 ( y)i ( y)dy 
i ( )sin  An sin n  d


V S b/2
S 0
 n1

b/2
Potrzebujemy wyrażenia określającego zależność kąta indukowanego  i
współrzędnej  , a mianowicie
 
 N
sin n0
1
 ( y)dy 1 N
cos n
i 
  nAn  
d    nAn

0
4V b/2 y0  y  n1
sin 0
 cos  cos0
 n1
b /2
Formuła dla współczynnika oporu indukowanego może być zapisana następująco …
od
AERODYNAMICS I
2b
CDi 
S
2
N
sin  kAk
 k 1
0




sin k   N
   An sin n  d 
sin   n1

2b2 N

kAk An  sin k sin n d

S k ,n1
0
Ponownie, wykorzystując własność ortogonalności modów sinusowych Fouriera

 0 , k  m
sin k sin n d   1
 2  , k  m
0

sprowadzamy wzór dla współczynnika oporu indukowanego do postaci
N
N
N
2

A
2b2  N 2
2
2
2
2
n

CDi 
nA


nA


(
A

nA
)


A
1

n
n
n
n



1
1
2
S 2
A

n1
n1
n 2
1 
 n 2
AERODYNAMICS I
Możemy napisać zwięźle
CL2
CL2
CDi 
(1   ) 

e
gdzie
N
An2
  n 2
n2 A1
,
e  (1  )1
Wielkość e nazywamy parametrem efektywności aerodynamicznej Oswalda.
Zauważmy, że   0, zatem
CDi
sk .eliptyczne
 CDi
inne
czyli skrzydło eliptyczne ma (teoretycznie)
najniższy opór indukowany!
AERODYNAMICS I
Skrzydła trapezoidalne łatwiej skonstruować, a ich własności są zbliżone do
eliptycznych jeśli tylko zbieżność (and. taper ratio), czyli stosunek ckonc c0 jest
właściwa. Okazuje się, że w szerokim zakresie wydłużeń (   4 10 ), najmniejsze
wartości parametru  uzyskiwane są dla wartości ckonc c0 ok. 0.3.
Znaczenie mają również inne aspekty, w szczególności jak przebiega oderwanie
przy dużych katach natarcia, a także przebieg momentu gnącego.
AERODYNAMICS I
L: Postacie obszarów oderwania na skrzydłach o różnych obrysach.
P: Rozkład obciążenia wzdłuż rozpiętości skrzydła (tylko A1 i
A3 są niezerowe) oraz zależność
parametru Oswalda od momenty gnącego (z „Understanding Aerodynamics” D. McLean, Wiley 2013).
AERODYNAMICS I
Wpływ skończonego wydłużenia na charakterystykę siły nośnej
Skończone wydłużenie powoduje nie tylko pojawienie się oporu indukowanego, ale
również zmienia nachylenie liniowej części charakterystyki CL  CL ( ) .
Oznaczmy:
dcL
a 
- nachylenie charakterystyki siły nośnej dla profilu skrzydła (    )
d
dCL
- nachylenie charakterystyki siły nośnej dla skrzydła 3D (    )
a 
d
Ta sama wartość współczynnika siły nośnej osiągana jest przy większej wartości
geometrycznego kata natarcia!
AERODYNAMICS I
Mamy …
CL  a ( i )  const
Zatem dla skrzydła eliptycznego
CL  a ( 
CL

)  const
czyli
dCL
a
 a 
d
1  a 
Dla skrzydeł o obrusach innych niż eliptyczny możemy napisać zależność
a 
a
1 (a )(1 )
Parametr korygujący  przyjmuje typowo wartości w przedziale [0.05, 0.25]. Jego
wartość może być wyrażona przez współczynniki rozkładu cyrkulacji { A1, A2 ,..., AN }.