Matematyka

Jadwiga
Hanisz
Matematyka
METODA PRACY
w klasach 1 –3
Vademecum,
dokładnie
dostępne
w OFERCIE
DOTACYJNEJ
w którym znajdziesz
to, co jest Ci potrzebne
do przygotowania ciekawych zajęć matematycznych.
Zawiera opracowanie zagadnień
matematycznych omawianych na
zajęciach w klasach 1–3 według metody,
którą proponuje prof. Jadwiga Hanisz.
Autorka pokazuje, jak wprowadzać
nowe pojęcia, jak je utrwalać
i powtarzać, jakie przyjąć formy
pracy na zajęciach. Daje metodyczne
wskazówki wzbogacone wieloma
ćwiczeniami, przykładowymi
konspektami zajęć, opisami pomocy
dydaktycznych oraz propozycjami
zabaw i zadań z wykorzystaniem
tych środków.
Wyczerpująco omawia też takie
zagadnienia, jak: orientacja
w przestrzeni, cechy wielkościowe,
klasyfikacja i grupowanie przedmiotów,
tematy geometryczne, pojęcie liczby,
działania na liczbach (dodawanie,
odejmowanie, mnożenie i dzielenie),
rozwiązywanie zadań tekstowych,
jednostki długości, masy, pojemności,
czasu, mierzenie temperatury.
Uczysz w klasie 1, 2 lub 3 z Ćwiczeń z pomysłem lub Tropicieli?
dostaniesz w ofercie dotacyjnej!
Vademecum
SPIS TREŚCI
Wstęp 5
1. Treści programowe 9
2. Orientacja w przestrzeni 15
2.1. Pojęcie przestrzeni 16
2.2. Przykłady ćwiczeń 19
2.3. Przykłady zajęć w klasie 1 24
3. Cechy wielkościowe 29
3.1. Cechy wielkościowe – informacje ogólne
3.2. Przykłady ćwiczeń 31
3.3. Przykład zajęć 32
4. Klasyfikacja
30
33
4.1. Klasyfikacja przedmiotów – uwagi ogólne 34
4.2. Ćwiczenia z wykorzystaniem klocków Dienesa 35
4.3. Przykład zajęć 37
5. Pojęcie liczby naturalnej 39
5.1. Liczba a cyfra 40
5.2. Wprowadzenie pojęcia liczby – etap przygotowawczy 41
5.2.1. Przeliczanie elementów zbiorów 41
5.2.2. Porównywanie liczebności zbiorów. Pojęcia: mniej, więcej, tyle samo
5.2.3. Zapoznanie z pomocą dydaktyczną „liczby w kolorach” 45
5.2.4. Wprowadzenie osi liczbowej 50
5.3. Etap monograficznego opracowywania liczby 53
5.3.1. Elementy składowe monografii liczby 53
5.4. Rozszerzanie zakresu liczbowego 59
5.4.1. Rozszerzanie zakresu liczbowego do 20 59
5.4.2. Rozszerzanie zakresu liczbowego do 100 63
5.4.3. Rozszerzanie zakresu liczbowego do 1000 67
6. Działania na liczbach – dodawanie i odejmowanie
6.1. Aspekty dodawania liczb. Znak dodawania (+) 72
42
71
6.2. Odejmowanie jako ujmowanie i jako dopełnianie. Znak odejmowania (–) 76
6.3. Związek dodawania z odejmowaniem 79
6.4. Dodawanie i odejmowanie bez przekraczania progu dziesiątkowego w zakresie 20 82
6.4.1. Dodawanie i odejmowanie w zakresie 10 typu: 4 + 2, 7 – 3 82
6.4.2. Dodawanie w zakresie 10 typu: 2 + ? = 6 lub ? + 3 = 8 85
6.4.3. Odejmowanie w zakresie 10 typu: ? – 3 = 7 lub 8 – ? = 2 87
6.4.4. Dodawanie i odejmowanie wewnątrz drugiej dziesiątki typu: 10 + 4, 13 + 4 88
6.5. Dodawanie i odejmowanie z przekraczaniem progu dziesiątkowego w zakresie 20 90
6.5.1. Dodawanie z przekraczaniem progu dziesiątkowego 90
6.5.2. Odejmowanie z przekraczaniem progu dziesiątkowego 93
6.6. Porównywanie różnicowe 95
6.7. Dodawanie i odejmowanie bez przekraczania progu dziesiątkowego w zakresie 100 98
6.7.1. Dodawanie i odejmowanie pełnych dziesiątek 98
6.7.2. Dodawanie (odejmowanie) liczby jednocyfrowej do (od) dwucyfrowej 99
6.7.3. Dodawanie (odejmowanie) pełnej dziesiątki do (od) liczby dwucyfrowej 100
6.7.4. Dodawanie i odejmowanie liczb dwucyfrowych 101
6.8. Dodawanie i odejmowanie z przekraczaniem progu dziesiątkowego w zakresie 100 103
6.8.1. Dodawanie liczby jednocyfrowej do dwucyfrowej 103
6.8.2. Odejmowanie liczby jednocyfrowej od dwucyfrowej 104
6.8.3. Dodawanie liczb dwucyfrowych 105
6.8.4. Odejmowanie liczb dwucyfrowych 106
7. Działania na liczbach – mnożenie i dzielenie 109
7.1. Mnożenie i dzielenie liczb w zakresie 30 110
7.1.1. Wprowadzenie pojęcia mnożenia 112
7.1.2. Przemienność mnożenia 113
7.1.3. Mnożenie liczb przez 0 i 1 114
7.1.4. Dzielenie liczb 116
7.1.5. Związek dzielenia z mnożeniem 121
3
7.2. Mnożenie i dzielenie w zakresie 50 123
7.3. Mnożenie i dzielenie w zakresie 100 125
8. Zadania tekstowe 127
8.1. Pojęcie i struktura zadania tekstowego 128
8.2. Wprowadzenie pojęcia zadania tekstowego 129
8.3. Rodzaje zadań tekstowych 131
8.3.1. Standardowe zadania proste – jednodziałaniowe 132
8.3.2. Zadania niestandardowe 134
8.4. Proces rozwiązywania zadania tekstowego 136
8.5. Metody rozwiązywania zadań tekstowych 139
8.5.1. „Seminarium rozwiązywania zadań” 139
8.5.2. Metody: analityczna i syntetyczna 141
8.5.3. Metoda „kruszenia” 143
8.5.4. O jeszcze innej metodzie rozwiązywania zadań 146
9. Figury geometryczne 149
9.1. Powtórzenie i ugruntowanie wiedzy o figurach geometrycznych
9.2. Pojęcie wielokąta 155
9.3. Istotne cechy trójkąta 157
9.4. Pojęcie prostokąta 160
9.5. Pojęcie kwadratu 164
9.6. Obliczanie obwodu różnych figur geometrycznych 167
9.6.1. Obwód wielokąta 167
9.6.2. Obwód prostokąta 168
9.6.3. Obwód kwadratu 169
9.7. Pojęcie odcinka 170
9.7.1. Linie proste, linie krzywe 170
9.2.2. Wprowadzenie pojęcia odcinka 172
9.3.3. Mierzenie i rysowanie odcinków 174
10. Jednostki miar
150
175
10.1. Mierzenie czasu 176
10.1.1 Czas odmierzany kalendarzem 176
10.1.1.1. Tydzień. Zapoznanie z nazwami i kolejnością dni tygodnia 177
10.1.1.2. Rok. Nazwy miesięcy 179
10.1.1.3. Znaki rzymskie 181
10.1.1.4. Pisanie dat 183
10.1.2. Czas odmierzany zegarem 184
10.1.2.1. Zapoznanie z zegarem 185
10.1.2.2. Wyznaczanie i odczytywanie pełnych godzin 187
10.1.2.3. Pojęcie minuty 189
10.1.2.4. Pojęcie doby 192
10.1.2.5. Pojęcie sekundy 193
10.2. Mierzenie długości 195
10.2.1. Dawne miary długości 195
10.2.2. Mierzenie długości różnymi miarami 198
10.2.3. Wprowadzenie pojęcia centymetra i pokazanie sposobu korzystania z linijki
10.2.4. Pojęcie milimetra 201
10.2.5. Pojęcie metra 202
10.2.6. Pojęcie kilometra 203
10.3. Mierzenie masy 204
10.3.1. Kilogram 204
10.3.2. Dekagram 207
10.3.3. Gram 208
10.3.4. Tona 209
10.4. Mierzenie temperatury 210
10.4.1. Zapoznanie z termometrem 210
10.4.2. Odczytywanie wskazań termometru. Obliczanie różnicy temperatur 211
10.5. Mierzenie pojemności płynów 213
10.5.1. Przykłady ćwiczeń 213
10.5.2. Pojęcia: litr, pół litra, ćwierć litra 213
Zestaw pomocy
4
216
199
Działania
na liczbach –
dodawanie
i odejmowanie
6.4. Dodawanie i odejmowanie
bez przekraczania progu
dziesiątkowego w zakresie 20
6.4.1. Dodawanie i odejmowanie w zakresie 10
typu: 4 + 2, 7 – 3
Jest to najłatwiejszy typ dodawania i odejmowania. W dodawaniu znamy dwa składniki
i mamy wyznaczyć ich sumę; w odejmowaniu znane są odjemna oraz odjemnik i należy obliczyć
ich różnicę. Podczas obliczania sum i różnic liczb można wykorzystać różne środki dydaktyczne.
„Schemat Venna (dodawanie 4 + 3 = 7)
N. mówi: Julek ma w lewej kieszeni 4 kasztany. U. układają 4 kasztany i otaczają je pętlą ze sznurka.
N. mówi dalej: W prawej kieszeni Julek ma 3 kasztany. U. układają obok kolejne 3 kasztany i również otaczają je pętlą.
N. pyta: Ile kasztanów Julek ma razem w obydwu kieszeniach?. U. otaczają jedną dużą pętlą dwie
pętle z kasztanami.
3
4
?
4+3=7
82
„Patyczki (odejmowanie 7 – 2 = 5)
N. mówi: Jaś miał 7 książek. U. układają 7 patyczków.
N.: Dwie książki podarował młodszemu bratu. U. odsuwają z tej grupy 2 patyczki.
N. pyta: Ile książek zostało Jasiowi?. U. wskazują 5 patyczków po lewej stronie i zapisują działanie:
7 – 2 = 5.
„Oś liczbowa
3+5=8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9−5=4
0
„Liczenie na palcach
Podczas dodawania na palcach doskonale widać dwa rozłączne zbiory: 1 i 3 oraz ich złączenie: 4.
1
3
3
1
lub
Dział 6. Działania na liczbach – dodawanie i odejmowanie
83
Natomiast podczas odejmowania np. 8 – 2 = 6 U. pokazują 8 palców, potem zaginają 2, a wynik
obrazują palce wyprostowane.
„Klocki „liczby w kolorach”
Poniższe zadanie możemy rozwiązać, ilustrując dodawanie na klockach „liczby w kolorach”.
Dyżurny przygotował na zajęcia sportowe 3 duże piłki i 7 małych piłek.
Ile piłek przygotował dyżurny?
U. układają klocki odpowiadające liczbom występującym w zadaniu, następnie pod spodem
układają klocek, który ma taką długość, jaką mają razem oba położone przed chwilą klocki. Ten
ostatni klocek (pomarańczowy) jest wynikiem działania.
3
7
?
3 + 7 = 10
Podobnie możemy wykorzystać klocki podczas odejmowania, rozwiązując np. poniższe zadanie.
Dyżurny przygotował 10 piłek: 3 duże piłki i kilka małych piłek.
Ile małych piłek przygotował dyżurny?
Tym razem dzieci układają klocek pomarańczowy (10) − tyle było wszystkich piłek, pod nim
klocek błękitny (3) − tyle było dużych, i szukają klocka, który dopełni pustą przestrzeń pod resztą pomarańczowego klocka. Jest to klocek zielony (7). Zatem małych piłek było 7.
10
3
?
10 − 3 = 7
Aby zautomatyzować czynność dodawania i odejmowania w zakresie 10, warto urozmaicać zajęcia matematycznymi zabawami.
84
10
„Zabawa w „Milczka”
Na dużej planszy N. rysuje koło lub owal z liczbami od 1 do 10
i znakami działań (+, −) w środku. Każdy U. ma zestaw kartoników
w
z cyframi od 0 do 9. N. pokazuje wskazówką liczbę, znak i kolejną
ną
liczbę, co oznacza działanie, np. 6 + 2. U. podnoszą kartonik z wyynikiem (8). Praca odbywa się bez słów, w milczeniu, stąd nazwa.
9
8
2
+−
7
„Zabawa w matematyczny łańcuszek
1
5
6
N. ustala kolejność, w jakiej U. będą podawać wyniki działań.
N.: Dwa dodać trzy.
U1.: Pięć.
N.: Dodać cztery.
U2.: Dziewięć.
N.: Odjąć sześć.
U3.: Trzy… itd.
Należy też różnicować polecenia w rachunku pamięciowym np. przez takie polecenia:
− Oblicz: 4 + 6, 9 – 2.
− Podaj sumy liczb, których wynikiem jest liczba 9.
− Podaj działania, których wynikiem jest 7.
− Podaj liczbę większą (mniejszą) od wyniku dodawania 3 + 5.
− Podaj liczbę o 2 większą od 6.
− Powiedz liczbę o 3 mniejszą od 10.
− Oceń, czy to prawda czy fałsz: 2 + 5 = 9, 6 – 2 = 5, 3 + 2 = 5.
6.4.2. Dodawanie w zakresie 10
typu: 2 + ? = 6 lub ? + 3 = 8
Jest to trudniejszy typ dodawania. Znamy sumę liczb i jeden składnik; drugi składnik jest
niewiadomy, należy go obliczyć. Najprościej jest zastosować metodę przez doliczanie. Można
to zobrazować na kilka sposobów.
• U. kładą na stoliku dwa pudełka: lewe jest otwarte, prawe zamknięte. N. zapisuje na tablicy
działanie: 2 + ? = 6. U. wkładają do lewego pudełka 2 ziarna fasoli, a na zamknięte pudełko
kładą fasolki, doliczając kolejno po jednym od 3 do 6.
3
4
6
Dział 6. Działania na liczbach – dodawanie i odejmowanie
85
3
4
Następnie 4 fasolki U. chowają do pudełka i je zamykają. Mamy więc sytuację wyjściową działania.
2+ ? =6
Po chwili U. otwierają zamknięte pudełko i widzą tam 4 fasolki. Zapisują działanie: 2 + 4 = 6.
To samo działanie 2 + ? = 6 można przedstawić na palcach. Mamy już w pamięci 2, a następnie doliczamy do 6 na palcach. Widać, że 4 wyprostowane palce to niewiadomy składnik.
4
3
6
• Przystępując do wykonywania działań typu ? + 3 = 8, również możemy wykorzystać pudełka i fasolki. Tym razem lewe pudełko jest puste, a w prawym są 3 fasolki, zgodnie z zapisem
na tablicy.
U. wiedzą, że razem ma być 8 fasolek. Ale jest problem: Jak tym razem będziemy liczyć? Możemy wykorzystać poznaną już wcześniej zasadę przemienności dodawania i zacząć liczyć od 3
do 8, kładąc kolejno po jednej fasolce na zamkniętym pudełku.
8
6
4
5+3=8
86
6.4.3. Odejmowanie w zakresie 10
typu: ? – 3 = 7 lub 8 – ? = 2
Podczas obliczania wyniku odejmowania typu: ? – 3 = 7 wykorzystujemy poznany wcześniej związek dodawania z odejmowaniem. Ilustrujemy go na grafie.
–3
7
? –3=7
7 + 3 = 10
Sprawdzenie: 10 – 3 = 7
+3
Ale w przypadku działania 8 − ? = 2 graf nie będzie przydatny.
–?
8
2
+?
W tej sytuacji należy skorzystać z osi liczbowej.
E\áR
0
1
2
3
zabrano
4
5
6
7
8
9
10
]RVWDáR
Gdy zakryjemy to, co zostało (2), dowiemy się, ile zabrano (6). Można sprawdzić: 8 − 6 = 2.
Podobną interpretację można zastosować podczas ilustrowania problemu na schemacie Venna.
E\áR
]RVWDáR
zabrano
Wiadomo, że 8 to 6 i 2. Jeżeli zostało 2, to zabrano 6, zatem 8 − ? = 2 prowadzi do 8 − 6 = 2.
Dział 6. Działania na liczbach – dodawanie i odejmowanie
87
6.4.4. Dodawanie i odejmowanie wewnątrz drugiej
dziesiątki typu: 10 + 4, 13 + 4
Ten typ dodawania nosi nazwę numeracyjne przypadki dodawania i odejmowania. Mamy
tu do czynienia z dwiema różnymi sytuacjami.
„Sytuacja 1
Obejmuje przypadki: 10 + 5 oraz 15 – 5 i 15 – 10.
• Obliczanie sumy liczb
Jest to dodawanie do pełnej dziesiątki określonej liczby jedności. Z tą sytuacją uczniowie spotkali
się już podczas obrazowania liczb dwucyfrowych za pomocą patyczków.
'RG]LHVLčWNL
dosuwamy
MHGQRļFL
LMHVWUD]HP
'RG]LHVLčWNL
dosuwamy
MHGQRļFL
LMHVWUD]HP
Do tego typu obliczeń sumy przydatna jest linijka o długości 20 cm oraz klocki „liczby w kolorach”. Po ułożeniu klocków od razu odczytujemy wynik.
10
0
1
2
3
4
5
4
6
7
8
9
10
11
12
10 + 4 = 14
13
14
15
16
17
18
19
20
• Obliczanie różnicy liczb
Aby obliczyć działania: 13 – 3 = ? lub 13 – 10 = ? , również można posłużyć się patyczkami.
Jest 13,
odsuwamy
MHGQRļFL
=RVWDMHSHáQD
G]LHVLčWND
Jest 13,
odsuwamy
G]LHVLčWNĖ
]RVWDQč
MHGQRļFL
Posługując się linijką i klockami „liczby w kolorach”, też szybko odczytamy wynik odejmowania.
10
0
88
1
2
3
4
5
3
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Obliczając 13 – 3 = ? , odkładamy klocek błękitny (3) i zostaje 10, szukając zaś wyniku działania
13 – 10 = ? , zabieramy klocek pomarańczowy i zostaje 3.
„Sytuacja 2
Obejmuje przypadki: 12 + 4 = ? oraz 16 − 3 = ? .
W tej sytuacji dziesiątka jest neutralna, pozostaje bez zmiany, a operacje dodawania i odejmowania zachodzą w grupie jedności.
12 + 4 = ?
16 – 3 = ?
%\áRGRVXZDP\MHGQRļFLLMHVW
=ZLĖNV]\áDVLĖW\ONROLF]EDMHGQRļFL
%\áRRGVXZDP\MHGQRļFL=RVWDáR
=PQLHMV]\áDVLĖW\ONROLF]EDMHGQRļFL
Przy użyciu linijki i klocków „liczby w kolorach” dodawanie obrazujemy bez trudu.
GRNáDGDP\
dwa klocki
ELDáH
13 + 2 = ?
10
0
1
2
3
4
5
3
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Natomiast podczas odejmowania zakrywamy odpowiednim klockiem wartość odjemnika.
zakrywamy
klocek niebieski
klockiem
czerwonym
16 − 4 = ?
10
0
1
2
3
4
5
4
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Czytelniejszy obraz odejmowania uzyskamy, gdy liczbę jedności zastąpimy pojedynczymi klockami białymi.
4 klocki
odsuwamy
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Dział 6. Działania na liczbach – dodawanie i odejmowanie
20
89
6.5. Dodawanie i odejmowanie
z przekraczaniem progu
dziesiątkowego w zakresie 20
6.5.1. Dodawanie z przekraczaniem progu
dziesiątkowego
Rozpoczynamy długi cykl zajęć, w czasie których uczniowie poznają sposoby dodawania
i odejmowania liczb w zakresie 20 (a później w zakresie 100) z przekraczaniem progu dziesiątkowego. Jest to bardzo ważna umiejętność, na której opiera się dodawanie i odejmowanie liczb
wielocyfrowych w klasach następnych.
Na zajęciach poprzedzających ten temat powtarzamy z dziećmi sposoby dodawania liczb
w zakresie 10 oraz numeracyjne przypadki dodawania w zakresie 20, czyli te umiejętności, które
są niezbędne w dodawaniu z przekraczaniem progu dziesiątkowego:
• biegłość dodawania w zakresie 10,
• dopełnianie do 10,
• rozkładanie liczby na dwa składniki.
Cykl zajęć rozpoczynamy od dodawania liczb jednocyfrowych do 9. Wybór liczby 9 jest
celowy ze względu na jej sąsiedztwo z progiem dziesiątkowym. W wyjaśnianiu zjawiska przekraczania progu dziesiątkowego wykorzystamy:
• liczenie na palcach,
• obrazowanie działań na osi liczbowej,
• prosty środek dydaktyczny złożony z paska kartonu podzielonego na 20 pól z wyraźnie zaznaczonym progiem dziesiątkowym i kompletem 40 kółek – po 20 w jednym kolorze, zwany liczydełkiem.
„Sposób 1 – dodawanie 9 + 2 = ?
• na liczydełku
U. odliczają 9 kółek białych i 2 kółka czarne. Układają na kartoniku kółka białe, głośno wymawiając ostatni liczebnik dziewięć.
Następnie dokładają po jednym czarnym kółku, wypowiadając kolejne liczebniki: dziesięć,
jedenaście.
90
• na osi liczbowej
+1 +1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
+2
• na palcach
2
3
4
8
9
10
1
6
11
9 + 2 = 9 + 1 + 1 = 10 + 1 = 11
Należy przećwiczyć ten sposób liczenia na następnych przykładach: 9 + 3; 9 + 4.
Podczas liczenia na palcach można uprościć rachowanie: zapamiętujemy liczbę 9, prostujemy
2 palce i doliczamy do 9.
11
10
9
Ten sposób nie będzie wygodny, gdy trzeba będzie dodawać większe liczby. Będziemy wtedy
liczyć inaczej.
Dział 6. Działania na liczbach – dodawanie i odejmowanie
91
„Sposób 2 – dodawanie 9 + 5 = ?
• na liczydełku
Układamy 9 białych kół na kartoniku, a 5 czarnych pod kartonikiem.
Kładziemy na liczydełko jedno czarne kółko i stwierdzamy: Jest 10. Następnie dokładamy pozostałe 4 kółka i mówimy: Jest 14.
• na osi liczbowej
+1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
+4
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
+5
14
• na palcach
10
9
Po serii takich ćwiczeń uczeń, gdy otrzyma do obliczenia w ten sposób rozpisane liczby, będzie
rozumiał poniższe zapisy.
92
9+3= ?
9+4= ?
9+1+1+1= ?
9+1+3= ?
• na tabliczce
Można też posługiwać się dwukolorową tabliczką z liczbami od 1 do 20, na którą nałożone
są dwie szlufki (mogą to być małe, aptekarskie gumki). Na tej pomocy widać dopełnianie do 10
i przekraczanie 10. Uczeń oblicza sumę np. 9 + 5 i tłumaczy sposób dojścia do wyniku.
doliczamy
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
9 + 5 = 9 + 1 + 4 = 10 + 4 = 14
6.5.2. Odejmowanie z przekraczaniem progu
dziesiątkowego
Odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania. Zastosujemy więc te same środki
dydaktyczne, ale wykonamy działania odwrotne – będziemy zdejmować kółka z kartonowego
liczydełka, rysować strzałki na osi liczbowej w odwrotnym kierunku, a palce u rąk będziemy
zaginać.
„Sposób 1 – odejmowanie 11 – 3 = ?
• na liczydełku
Układamy 11 białych kółek, następnie zdejmujemy kolejno 3 kółka, ale zabieramy po jednym
kółku.
Liczymy głośno: 11 odjąć 1 równa się 10, 10 odjąć 1 równa się 9, 9 odjąć 1 równa się 8. Zapisujemy: 11 – 3 = 11 – 1 – 1 – 1 = 8.
• na osi liczbowej
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
–1
9
–1
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
–3
Dział 6. Działania na liczbach – dodawanie i odejmowanie
93
„Sposób 2 – odejmowanie 11 – 3 = ?
• na liczydełku
Układamy 11 białych kółek na kartoniku. Najpierw zdejmujemy 1 kółko, by uzyskać 10.
Następnie zdejmujemy jeszcze 2 kółka.
Liczymy: 11 odjąć 1 równa się 10; 10 odjąć 2 równa się 8.
Zapisujemy: 11 – 3 = 11 – 1 – 2 = 10 – 2 = 8
• na osi liczbowej
–2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
–1
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
–3
• na tabliczce
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
odliczamy
11 − 3 = 11 − 1 − 2 = 10 − 2 = 8
94
6.6. Porównywanie różnicowe
Pojęcie porównywania różnicowego (o tyle więcej – o tyle mniej; o ile więcej – o ile mniej)
jest trudne i wymaga starannego opracowania. Wprawdzie proces kształtowania tego pojęcia
w znacznej mierze przypada na klasę 2 i 3, niemniej jednak pojawia się już w klasie 1 w postaci
ćwiczeń typu:
3ROLF]LOHWXMHVWNZLDWNyZ
1DU\VXMW\OHVDPRNyáHN,
LOHMHVWNZLDWNyZ
3ROLF]LOHWXMHVWNZLDWNyZ
1DU\VXMRNyáNDZLĖFHM,
QLŊMHVWNZLDWNyZ
3ROLF]LOHWXMHVWNZLDWNyZ
1DU\VXMRNyáNDPQLHM,
QLŊMHVWNZLDWNyZ
W czym tkwi trudność tych zadań? W tym, że zbiór kwiatków można od razu wyrazić liczbą (7), natomiast zbiór kółek jest wielkością abstrakcyjną, np. o 2 więcej. Pytamy: Ile kółek trzeba
narysować?. Podpowiadamy uczniowi: Najpierw narysuj tyle kółek, ile jest kwiatków, i dorysuj
jeszcze 2. Policz narysowane kółka. (9). Wyjaśnij: 9 to jest o 2 więcej niż 7. W dalszej edukacji taką
sytuację, którą przedstawia poniższe zadanie, będziemy kojarzyć z dodawaniem.
0DP OLĂFL
(PLO
z 3RNDĝ OLĂFLH (PLOD 3RNDĝ OLĂFLH ,JL
z -DN REOLF]\Ê LOH OLĂFL PD ,JD"
$bMD PDP
RbOLĂFLHZLÚFHM
QLĝ t\
,JD
*G\ PöZLP\ RZLÚFHM
to GRGDMHP\
5+3= ?
W sytuacji, gdy uczniowie mają narysować o 2 kółka mniej, rozumowanie wygląda tak: Narysuj tyle samo kółek, ile jest kwiatków (7), i skreśl 2 kółka. Zostanie 5 kółek. Wyjaśnij: 5 to jest o 2 mniej
niż 7. Ta sytuacja prowadzi do odejmowania liczb, jak w poniższym zadaniu.
Dział 6. Działania na liczbach – dodawanie i odejmowanie
95
0DP SLoQNöZ
$bMD PDP
RbbSLRQNL
PQLHMQLĝ t\
%oOHN
3DZHï
z 3oNDĝ SLoQNL 3DZïD 3oNDĝ SLoQNL %oOND
z &o o VZoLFK SLoQNDFK PöZL %oOHN"
z -DN oEOLF]\Ê LOH SLoQNöZ PD %oOHN"
*G\ PöZLP\
RbPQLHM
tobRGHMPXMHP\
9–4= ?
Porównywanie różnicowe występuje też w ćwiczeniach „Rozmowa liczb” przedstawianych
na grafach.
-HVWHļRGHPQLHRZLĖNV]D
8
-HVWHļRGHPQLHRPQLHMV]D
12
Rozmowa może przebiegać inaczej.
− Do jakiej liczby mówi liczba 9: „Jesteś ode mnie większa o 4”?. Co odpowiada liczbie 9 nieznana
liczba?
-HVWHļRGHPQLHRZLĖNV]D
9
Po serii takich ćwiczeń uczniowie rozumieją, że wypowiedź: Jesteś ode mnie o 4 większa prowadzi do dodawania, a zdanie: Jesteś ode mnie o 4 mniejsza – do odejmowania.
-HVWHļRGHPQLHRZLĖNV]D
8
-HVWHļRGHPQLHRPQLHMV]D
+ 6
14
8
14
í
Uczniowie spotykają porównywanie różnicowe w zadaniach typu:
Pod każdą liczbą zapisz liczbę o 3 większą.
8
96
7
12
17
Pod każdą liczbą zapisz liczbę o 4 mniejszą.
11
8
15
20
Niektóre proste zadania tekstowe obrazujące życie codzienne również odwołują się do porównywania różnicowego.
Tomek dostał od mamy 5 zł, a Zosia dostała o 2 zł Asia waży 12 kg. Kuba waży o 3 kg mniej
więcej od Tomka. Ile złotych dostała Zosia?
od Asi. Ile kilogramów waży Kuba?
Porównywanie różnicowe występuje też w innej postaci. Ujmując najprościej: znamy dwie
liczby, a pytamy, o ile jedna jest większa (mniejsza) od drugiej. Przedstawiają to takie zadania:
Romek ma 15 znaczków, a Paweł 18.
O ile więcej znaczków od Romka ma Paweł?
15
15 + ? = 18
18 − 15 = 3
O ile więcej? O 3.
2LOHZLĖFHM"
18
Hubert ma 16 żołnierzyków, a Jaś 12.
O ile mniej żołnierzyków od Huberta ma Jaś?
16
2LOHPQLHM"
12
16 − ? = 12
16 − 12 = 4
O ile mniej? O 4.
Dział 6. Działania na liczbach – dodawanie i odejmowanie
97
6.7. Dodawanie i odejmowanie
bez przekraczania progu
dziesiątkowego w zakresie 100
Jeżeli poprzednio omówione rodzaje dodawania i odejmowania zostały przez uczniów przyswojone ze zrozumieniem i wyćwiczone w rachunku pamięciowym, nie będzie trudności podczas dodawania i odejmowania liczb dwucyfrowych, zwiększa się bowiem jedynie zakres liczbowy, natomiast mechanizmy działań prowadzących do wyniku pozostają bez zmian. Ważne jest
jednak stopniowanie trudności i związana z tym kolejność wprowadzania poszczególnych
typów dodawania i odejmowania.
6.7.1. Dodawanie i odejmowanie
pełnych dziesiątek
Najlepiej ilustrować działania tego typu na patyczkach i przywoływać działania w zakresie 10.
20 + 30 = ?
2+3=5
20 + 30 = 50
Dwie dziesiątki i trzy dziesiątki to pięć dziesiątek, czyli 50.
50 – 10 = ?
5–1=4
50 – 10 = 40
98
odsuwamy
G]LHVLčWNĖ
6.7.2. Dodawanie (odejmowanie) liczby
jednocyfrowej do (od) dwucyfrowej
„Dodawanie
W działaniach typu 42 + 6 = ? również pomocne będą patyczki. Uczniowie układają tyle
patyczków, ile wskazują liczby w działaniu. Następnie zliczają jedności (2 + 6 = 8) i dosuwają
do dziesiątek. Razem jest 48.
42
6
To działanie
iałanie można także pokazać na palcach.
44
43
46
48
42
Oś liczbowa jest również doskonałą pomocą podczas obliczeń.
+1
40
41
42
+1
43
+1
44
+1
45
+1
46
+1
47
48
49
50
+6
„Odejmowanie
Podobnie jak z dodawaniem wykorzystujemy w odejmowaniu te same sposoby: obliczenia na patyczkach, na palcach i osi liczbowej.
37 – 5 = ?
RGVXZDP\SDW\F]NyZ
Dział 6. Działania na liczbach – dodawanie i odejmowanie
99
34
33
36
32
OLF]\P\GRW\áXRG37
–5
30
31
32
33
–1
34
–1
35
–1
36
–1
37
38
39
40
–1
6.7.3. Dodawanie (odejmowanie) pełnej dziesiątki
do (od) liczby dwucyfrowej
„Dodawanie
Kiedy dodajemy pełne dziesiątki do liczb dwucyfrowych, wzrasta tylko liczba dziesiątek, a jedności pozostają bez zmian. Widać to dobrze, gdy ilustrujemy tego typu działania na patyczkach.
25 + 30 = ?
20 + 16 = ?
20 + 16 = 20 + 10 + 6 = 30 + 6 = 36
25 + 30 = 20 + 30 + 5 = 50 + 5 = 55
Do tego samego wniosku dzieci mogą dojść, gdy zapiszą dodawanie na grafie.
+ 38
20
50
+ 30
100
58
+8
„Odejmowanie
Odejmujemy dziesiątki od dziesiątek, a liczba jedności nie ulega zmianie. Pokazujemy to
na patyczkach.
36 − 20 = ?
58 − 40 = ?
36 − 20 = 16
58 − 40 = 18
6.7.4. Dodawanie i odejmowanie liczb dwucyfrowych
„Dodawanie
Przedstawiamy dodawanie typu 34 + 45 = ? na patyczkach. Zsuwamy razem dziesiątki
(30 + 40 = 70), a potem jedności (4 + 5 = 9) i odczytujemy wynik: 79.
34
30 + 40 = 70
4+5=9
34 + 45 = 30 + 40 + 4 + 5 = 79
70
9
Tego typu sumę można obliczać inaczej. Do całego pierwszego składnika można dodać najpierw
dziesiątki, a następnie do wyniku dodać jedności drugiego składnika.
34
34 + 45 = 34 + 40 + 5 = 74 + 5 = 79
74
Dział 6. Działania na liczbach – dodawanie i odejmowanie
101
Sposób ten ilustruje graf.
+ 40
34
+5
74
79
+ 45
74
Zapis: 34 + 45 = 34 + 40 + 5 = 79
„Odejmowanie
Działania typu 36 – 13 = ? również pokazujemy uczniom na patyczkach. Sposób pierwszy polega na zabraniu jednej dziesiątki z grupy dziesiątek i trzech jedności z grupy jedności.
36
=G]LHVLčWHN]DELHUDP\G]LHVLčWNĖ
=MHGQRļFL]DELHUDP\
=RVWDMčG]LHVLčWNLLMHGQRļFLUD]HP
Można również odejmować sposobem drugim: od całej odjemnej najpierw odjąć dziesiątki,
a później jedności, co prowadzi do zapisu:
36 – 13 = 36 – 10 – 3 = 26 – 3 = 23
Działanie zilustrowane na drzewku lub na grafie wygląda następująco:
36
10
36
–
26
26
– 10
–
23
102
– 13
3
23
–3
6.8. Dodawanie i odejmowanie
z przekraczaniem progu
dziesiątkowego w zakresie 100
6.8.1. Dodawanie liczby jednocyfrowej
do dwucyfrowej
Dodawanie liczby jednocyfrowej do dwucyfrowej z przekraczaniem progu dziesiątkowego
rozpoczynamy od:
• przypomnienia dodawania liczb jednocyfrowych z przekraczaniem progu dziesiątkowego, np.
9 + 7 = 9 + 1 + 6 = 16;
• sprawdzenia biegłości w rachunku pamięciowym: 7 + 4 = ? , 8 + 5 = ? itp.;
• uświadomienia uczniom analogii w mechanizmie dodawania liczby jednocyfrowej do dwucyfrowej.
Wykorzystujemy znane już pomoce dydaktyczne: liczydełko wraz z kompletem kółek białych i czarnych oraz tabliczkę ze szlufkami. Oprócz tego wyposażamy uczniów w zestaw pasków
kartonu, z których pojedynczy pasek obrazuje jedną dziesiątkę.
Działanie 35 + 8 = ? przedstawiamy następująco:
36 38 39 40 41 42 43
Zamiast liczydełka można też zastosować zestaw pasków kartonu i tabliczkę ze szlufkami.
35 + 8 = 35 + 5 + 3 = 40 + 3 = 43
40
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Dział 6. Działania na liczbach – dodawanie i odejmowanie
103
Dzięki zastosowaniu tej prostej pomocy dydaktycznej uczeń widzi, że liczba 35 to 3 dziesiątki i 5 jedności, do których dodajemy 8 jedności. Dziesiątki są w pewnym sensie neutralne w tym
dodawaniu, a dodajemy tylko jedności.
6.8.2. Odejmowanie liczby jednocyfrowej
od dwucyfrowej
Odejmowanie liczby jednocyfrowej od dwucyfrowej z przekraczaniem progu dziesiątkowego zaczynamy od:
• powtórzenia odejmowania w zakresie 20 z przekraczaniem progu dziesiątkowego, czyli działań typu: 12 – 5 = 12 – 2 – 3 = 7;
• sprawdzenia biegłości w rachunku pamięciowym w zakresie 20;
• sprawdzenia umiejętności odejmowania od pełnej dziesiątki, np. 50 – 7 = 43.
Zanim przystąpimy do odejmowania: 46 – 8 = ? , rozkładamy odjemną na składniki (30 + 16)
i układamy paski oraz odpowiednią liczbę białych kółek na liczydełku. Następnie zdejmujemy
8 kółek.
Zapisujemy działanie: 46 – 8 = 46 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 = 38
Można również wykorzystać tabliczkę ze szlufkami. Zaznaczamy szlufkami liczbę 46, a następnie
cofamy jedną szlufkę o 8 pól i odczytujemy wynik.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Zapisujemy działanie: 46 – 8 = 46 – 6 – 2 = 40 – 2 = 38
104
6.8.3. Dodawanie liczb dwucyfrowych
Dodawanie liczb dwucyfrowych z przekraczaniem progu dziesiątkowego wymaga powtórzenia wcześniej opanowanych umiejętności:
• pamięciowego dodawania pełnych dziesiątek, np. 20 + 50 = ? ;
• dopełniania do dziesiątki, np. 72 + 8 = ? ;
• dodawania liczb jednocyfrowych, np. 8 + 9 = ? .
Działanie 36 + 27 = ? obliczamy, wykorzystując tabelę dziesiątkową. Każdy uczeń otrzymuje kartonik z tabelą, w której układa obydwa składniki za pomocą żetonów.
dziesiątki
jedności
']LHVLĖąMHGQRļFL
zamieniamy
QDMHGQč
G]LHVLčWNĖ
36
27
36 + 27 = 30 + 20 + 6 + 7 = 50 + 10 + 3 = 60 + 3 = 63
Dodawanie można też zilustrować na wcześniej poznanych pomocach dydaktycznych: na liczydełku i patyczkach.
Układamy liczbę 36 − pierwszy składnik.
Dokładamy 2 dziesiątki.
Dział 6. Działania na liczbach – dodawanie i odejmowanie
105
Dokładamy 7 jedności.
36 + 27 = 36 + 20 + 7 = 56 + 7 = 63
Wizualizacja tego działania na patyczkach przedstawia się następująco.
']LHVLĖąSDW\F]NyZOX]HP
áčF]\P\ZMHGQčZLč]NĖ
36 + 27 = 30 + 6 + 20 + 7 = 50 + 10 + 3 = 63
6.8.4. Odejmowanie liczb dwucyfrowych
Odejmowanie liczb dwucyfrowych z przekraczaniem progu dziesiątkowego zaczynamy
od przypomnienia wcześniej opanowanych umiejętności. Powtarzamy pamięciowe odejmowanie:
• pełnych dziesiątek, np. 50 – 40 = ? ;
• liczby jednocyfrowej od pełnej dziesiątki, np. 90 – 3 = ? ;
• w zakresie 20 z przekraczaniem progu dziesiątkowego, np. 13 – 6 = ? .
Podczas odejmowania 65 – 27 = ? skorzystamy najpierw z tabliczki dziesiątkowej.
dziesiątki
jedności
8NáDGDP\RGMHPQč±OLF]EĖ
106
dziesiątki
jedności
1DMSLHUZRGHMPXMHP\G]LHVLčWNL
dziesiątki
jedności
7HUD]QDOHŊ\RGMčąMHGQRļFLDOHMHVW
LFKW\ONRZLĖF]DPLHQLDP\G]LHVLčWNĖ
QDMHGQRļFL
dziesiątki
jedności
2GHMPXMHP\MHGQRļFL
2GF]\WXMHP\Z\QLN
Zapisujemy działanie: 65 – 27 = 65 – 20 – 7 = 38
Wykorzystując tabliczkę dziesiątkową, można obliczać inaczej.
dziesiątki
jedności
8NáDGDP\RGMHPQč
LRGHMPXMHP\QDMSLHUZ
dziesiątki
jedności
7U]HEDRGMčąMHV]F]HMHGQRļFL:W\PFHOX
]DPLHQLDP\G]LHVLčWNĖQDMHGQRļFL
L]DELHUDP\NyáND
dziesiątki
jedności
2GF]\WXMHP\Z\QLN
Zapisujmy działanie: 65 – 27 = 65 – 25 – 2 = 40 – 2 = 38.
Dział 6. Działania na liczbach – dodawanie i odejmowanie
107
Powyższe czynności można też zobrazować na patyczkach.
lub
Przydatne będzie także liczydełko i paski z dziesiątkami.
Układamy liczbę 65.
2GNáDGDP\G]LHVLčWNL
7ĖG]LHVLčWNĖ]DPLHQLDP\QDMHGQRļFL
UyZQLHŊRGNáDGDP\
Zdejmujemy 7 kółek.
Odczytujemy wynik: 38.
108
Twoi uczniowie
liczą na Ciebie.
Daj im więcej możliwości!
Pomoce dydaktyczne w klasach 1–3 to nie kaprys, a konieczność. Kształtowanie u uczniów pojęć
matematycznych wymaga zorganizowania wielu sytuacji, w których uczeń manipuluje przedmiotami,
przelicza, sprawdza, porównuje, gdzie jest mniej, gdzie więcej. Im częściej odwołujemy się
do konkretów, tym większa szansa, że dzieci zrozumieją pojęcia matematyczne.
Stara to prawda, że dziecko myśli w toku działania.
155574
Kuferek pomocy dydaktycznych.
Klasy 1–3
W kuferku znajduje się wszystko,
co pomaga uczyć matematyki
przez działanie. Uczniowie chętnie
pracują z pchełkami, patyczkami
oraz klockami i sami szukają
nowych rozwiązań.
Już od klasy 1 uczymy analizowania treści zadania, wyszukiwania danych, ustalania niewiadomej
oraz zapisywania formuły rozwiązania zgodnej z treścią i dopiero na końcu zapisywania działania
prowadzącego do odpowiedzi na postawione w zadaniu pytanie. Takie podejście do zadań
tekstowych zwróci uwagę na problem i ustrzeże przed mechanicznym manipulowaniem
liczbami, które występują w zadaniu.
Jadwiga Hanisz
Rozwiązuję zadania. Klasa 1, 2, 3.
Zbiory ciekawych, odpowiednio
zilustrowanych zadań, które
przygotowała prof. Jadwiga Hanisz.
155521
155537
155547
Prof. dr hab. Jadwiga Hanisz – pedagog zajmująca się edukacją wczesnoszkolną
i metodyką nauczania matematyki, członek Polskiej Akademii Nauk. W swoim
bogatym życiu zawodowym pełniła funkcję dyrektora Instytutu Studiów Edukacyjnych Uniwersytetu Opolskiego i kierownika Zakładu Pedagogiki Wczesnoszkolnej
na Uniwersytecie Opolskim. W latach 1992–1998 uczestniczyła w pracach zespołu
MEN do spraw reformy oświaty – opracowała koncepcję i program zintegrowanej
edukacji wczesnoszkolnej oraz obudowę dydaktyczną (m.in. program nauczania,
zasady oceny opisowej rozwoju i osiągnięć ucznia).
Jako autorka licznych artykułów i książek z zakresu matematycznej edukacji wczesnoszkolnej od wielu lat wspiera nauczycieli. Uznana za autorytet w tej dziedzinie
dzieli się swoją wiedzą i doświadczeniem. Przygotowała matematyczny materiał
ćwiczeniowy i metodyczny do cykli podręczników WSiP Wesoła szkoła oraz Wesoła
szkoła i przyjaciele. Obecnie sprawuje opiekę merytoryczną nad zeszytami matematycznymi Ćwiczenia z pomysłem – daje to nauczycielom gwarancję najwyższej
jakości materiałów skorelowanych z podręcznikiem MEN.
Propagatorka prostych, skutecznych i zgodnych z możliwościami rozwojowymi dzieci metod nauczania oddaje w ręce nauczycieli starannie opracowaną i długo oczekiwaną publikację Matematyka. Metoda pracy w klasach 1–3.
wsip.pl
sklep.wsip.pl
infolinia: 801 220 555