WYKŁAD 4 Liczby zespolone

Algebra Liniowa z Geometrią
TERMINY KOLOKWIÓW
Z
ALGEBRY LINIOWEJ Z GEOMETRIĄ
KOLOKWIUM I
Studia dzienne
 Grupy X
 Grupy Y
Studia wieczorowe
20 listopad 2001
23 listopad 2001
- 22 listopad 2001
KOLOKWIUM II
Studia dzienne
 Grupy X
 Grupy Y
Studia wieczorowe
18 grudnia 2001
21 grudnia 2001
- 20 grudnia 2001
EGZAMIN ZEROWY
Studia dzienne
 Grupy X
 Grupy Y
-
22 stycznia 2002
25 stycznia 2002
Studia wieczorowe
-
24 stycznia 2002
Kolokwia odbywają się w godzinach wykładów.
1
Algebra Liniowa z Geometrią
Zakres kolokwium I:
 Aproksymacje liczb rzeczywistych
 Liczby zespolone
 Własności wielomianów
Zakres kolokwium II:




Układy równań liniowych
Wyznaczniki i ich zastosowania
Algebra macierzy
Wektory i przestrzenie wektorowe, cz. I
2
Algebra Liniowa z Geometrią
WYKŁAD 3
LICZBY ZESPOLONE

Zbiór Liczb Zespolonych
Niech a, b, c, d, ... będą elementami zbioru liczb
rzeczywistych R. Wprowadzimy obecnie pewne
uogólnienie liczby rzeczywistej;
będzie nim uporządkowana para liczb rzeczywistych
spełniająca pewne definicje i nazwana liczbą zespoloną.
Definicja
Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary
liczb rzeczywistych, np. (a, b), (c, d), dla których
określamy równość, dodawanie i mnożenie w sposób
następujący:
a, b   c, d   a  c  b  d 
a, b   c, d   a  c, b  d  
a, b c, d   ac  bd , ad  bc 
Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są
działaniami wewnętrznymi
tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.
3
Algebra Liniowa z Geometrią
Przykład
Obliczyć sumę i iloczyn liczb zespolonych (2,-1) i (3,7)
(2, -1) + (3, 7) = (2 + 3, -1 + 7) = (5, 6)
(2, -1)(3, 7) = (2  3  1 7,2  7  1 3) = (13, 11)
Zbiór liczb zespolonych oznaczymy literą C;
jest to początkowa litera łacińskiego słowa
complexus – zespolony.
Zbiór liczb zespolonych jest ciałem.
Definicja
Odejmowaniem liczb zespolonych nazywamy działanie
odwrotne do dodawania.
Wynik odejmowania liczb zespolonych nazywamy
różnicą liczb zespolonych.
(x,y) = (a,b) – (c,d)  (x,y) + (c,d) = (a,b)
Z definicji dodawania i równości liczb zespolonych
wynika, że wtedy
x + c = a i y +d = b,
czyli
(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)
Przykład
(2,-1) – (3,7) = (2 – 3, -1 - 7) = (-1,-8).
4
Algebra Liniowa z Geometrią
Definicja
Dzieleniem liczb zespolonych nazywamy działanie
odwrotne do mnożenia.
Wynik dzielenia liczb zespolonych nazywamy
ilorazem liczb zespolonych.
(x, y) =
( a, b)
(c, d )
 (x, y)(c, d) = (a, b)
Z definicji mnożenia i równości liczb zespolonych
wynika, że wtedy
cx  dy  a 

dx  cy  b 
Układ ten jest jednoznacznie rozwiązalny, gdy
wyznacznik tego układu c 2  d 2 jest różny od zera,
czyli gdy liczba zespolona (c, d) nie jest zerem.
Stąd
a, b   ac  bd ad  bc 
 2
, 2

2
2
c, d   c  d c  d 
Przykład
2,1  2  3  1  7 2  7   1  3    1  17 

,
 ,

2
2
3,7   32  7 2
58
58

 
3 7
5
Algebra Liniowa z Geometrią
W zbiorze liczb zespolonych o elementach postaci (a, b)
można wyodrębnić podzbiór o elementach
(a, 0)
Dodawanie i mnożenie liczb postaci (a,0)
(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0)
(a, 0) (b, 0) = (ab, 0)
Element neutralny dodawania - (0, 0)
Element neutralny mnożenia (1, 0)
Element przeciwny do (a,0)
- - (a, 0)
1 
Element odwrotny do (a,0) -  , 0  dla (a, 0)  (0, 0).
a 
Wyodrębniony podzbiór zbioru liczb zespolonych ma
względem dodawania i mnożenia jego elementów
analogiczne właściwości jak zbiór R liczb
rzeczywistych.
Przyjmujemy
(a, 0) = a
tzn. liczba zespolona (a, 0) jest utożsamiona z liczbą
rzeczywistą a.
W szczególności liczba (0,0) została utożsamiona
z zerem rzeczywistym.
6
Algebra Liniowa z Geometrią
 Jedynka urojona
Liczby (0, b), różnej od zera zespolonego, nie można
w analogiczny sposób utożsamić z żadną liczbą
rzeczywistą.
Definicja
Liczbę (0,1) będziemy oznaczać symbolem i.
i = (0,1)
Liczbę tę nazywamy jedynką urojoną
Urojona, dlatego że i 2 = –1, ponieważ
i  i  (0, 1)(0, 1)=(-1, 0)= -1
a, b c, d   ac  bd , ad  bc 
gdy tymczasem nie istnieje liczba rzeczywista, której
kwadrat byłby liczbą ujemną.
Ponieważ
(a, b) = (a, 0) + (0, b) oraz (0, b) = (0, 1)(b, 0)
możemy liczbę zespoloną (a, b) zapisać w
postaci kanonicznej Gaussa
a + bi
a R - część rzeczywista liczby zespolonej,
bR - część urojona liczby zespolonej,
7
Algebra Liniowa z Geometrią
a = Re(a + bi), Re - realis - rzeczywisty (łac.)
b = Im(a + bi), Im - imaginarius - urojony (łac.)
Liczba zespolona ib, gdy b  0 - liczba urojona.
Liczbę zespoloną będziemy dalej nazywać krótko liczbą
i oznaczać także jedną litera, np. z,
Przy czym z = a + bi.
Działania na liczbach zespolonych w postaci
kanonicznej
a  ib  c  id   a  c   ib  d 
a  ib  c  id   a  c   ib  d 
a  ibc  id   ac  iad  ibc  i bd 
 ac  bd   iad  bc 
2






Definicja
Modułem liczby zespolonej z = a + bi, oznaczanym
przez / z / , nazywamy rzeczywistą liczbę nieujemną,
będącą pierwiastkiem sumy kwadratów części
rzeczywistej i części urojonej tej liczby
/ z /  a2  b2
Przykład
/ 3  4i /  32   4 2  5, / 1 /  1, / i /  1, / 0 /  0.
8
Algebra Liniowa z Geometrią
Twierdzenie
Liczba zespolona jest wtedy i tylko wtedy zerem, gdy
jej moduł jest równy zeru
(z=0)  (/z/=0)
Definicja
Liczbą sprzężoną z liczbą z  a  bi, nazywamy liczbę
postaci a  bi.

Oznaczenie z = a  bi.
Definicja
Dwie liczby, z których jedna jest sprzężona z drugą,
nazywamy liczbami sprzężonymi.
Wniosek
(i) Liczby sprzężone mają równe moduły,

/ z /  / z/
(ii) Iloczyn liczb sprzężonych jest równy kwadratowi
ich wspólnego modułu
zz  / z /2
Wzór (ii) można napisać w postaci
a 2  b 2  a  bi a  bi 
9
Algebra Liniowa z Geometrią
Wniosek
W zbiorze liczb zespolonych sumę kwadratów można
rozłożyć na iloczyn czynników pierwszego stopnia.
Przykład
32  4 2  3  4i 3  4i 
 a 2  b 2  a  ba  b
Twierdzenie
Liczba odwrotna do liczby zespolonej

1
z

z / z /2
dla z  0
Dzielenie liczb zespolonych
z z
z1
 1 22
z2 / z2 /
dla z 2  0
Dowód
Z definicji działań w zbiorze liczb zespolonych
zachodzi
z1
1
dla z 2  0
 z1
z2
z2
z1 z1 z3
dla z 2  0 i z3  0

z 2 z 2 z3
Stąd dowód twierdzenia
10
Algebra Liniowa z Geometrią
Przykład
1
3  4i
3
4


i
3  4i 32  4 2 25 25
a  ib a  ibc  id  ac  bd   iad  bc 


c  id c  id c  id 
c2  d 2
2  i 2  i 3  4i  2 11


 i
2
2
3  4i
25 25
3 4
Przykład
Rozwiązanie równania kwadratowego dla   0
x2  x 1  0
  3
   3  3i 2  3  i
x1 
1 3  i
2
x2 
1 3  i
2
11
Algebra Liniowa z Geometrią
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA LICZB
ZESPOLONYCH
Diagram Arganda
Interpretacje liczby zespolonej:
a) z  x  yi 
punkt P(x, y) – diagram Arganda
/ z /  r , Arg z  
b) z  x  yi  wektor [x, y] w R2 (przestrzeń
wektorowa, odpowiedniość między C, a przestrzenią
wektorową R2 )
 z1  x1  y1i  x1 , y1 

 z 2  x 2  y 2 i  x 2 , y 2 
Płaszczyznę zespoloną liczb z oznaczymy symbolem C.
Oś urojona =Imz
Y
z=x+yi
xxxxx+
P(x,y)
yi
[x,y]
1
i
1
0
X
Oś rzeczywista =Rez
12
Algebra Liniowa z Geometrią

Geometryczna interpretacja działań
dla liczb zespolonych
 Dodawanie liczb zespolonych =
dodawanie wektorów
z1  z 2   x1  y1i    x2  y 2i    x1  x2    y1  y 2 i
 Odejmowanie liczb zespolonych =
odejmowanie wektorów
z1  z 2   x1  y1i    x2  y 2i    x1  x2    y1  y 2 i
Imz
z1-z2
z1
z1+z2
z2
Rez
- z2
13
Algebra Liniowa z Geometrią
Definicja
Argumentem liczby z  x  yi  0 , oznaczanym przez
Arg z, nazywamy każdą liczbę rzeczywistą  ,
spełniającą dwa warunki
cos 
x
,
/z/
sin  
y
/z/
gdzie / z /  x 2  y 2 >0
Argument liczby 0 nie jest określony.
Definicja
Argument główny liczby z – argument liczby z, który
należy do przedziału ( ,   .
Oznaczenie – argz
Stąd
oraz
  <argz  
Argz = argz + 2k ,
k  0, 1,...
Przykład
arg1 = 0, Arg1 = 2k , argi = /2, Argi =  /2 + 2k
14
Algebra Liniowa z Geometrią
Moduł liczby zespolonej –długość wektora wodzącego
punktu odpowiadającego tej liczbie (interpretacja
geometryczna).
Argument liczby zespolonej - miara względna kąta,
jaki tworzy wektor wodzący punktu z z osią rzeczywistą
(interpretacja geometryczna).
Imz
z=x+yi
r=/z/

Rez
0
15
Algebra Liniowa z Geometrią

Postać trygonometryczna liczby zespolonej
z= r cos   i sin  
r – moduł liczby zespolonej
 - argument liczby zespolonej
Przykład
Napisać w postaci trygonometrycznej liczbę z  3  i
posługując się jej głównym argumentem.
r  / z /  3 1  2
3
2       2k
1
6
sin   
2 
cos  
  
  
3  i  2cos   i sin  
 6 
 6
Imz
z= 3 +1
1
r=2
=/6
3
Rez
16
Algebra Liniowa z Geometrią
Definicja równość dwóch liczb zespolonych
 / z1 /  0  z1  z 2
 / z2 /  0
 z1  0 i z 2  0 , 
 z1  z2   / z1 /  / z2 /  Argz1  Argz 2 mod 2 
Uwaga
Zapis Argz1  Argz 2 oznacza, że argumenty liczb z1 i z 2
są równe modulo 2 ,
Argz1  Argz 2 +2k
Mnożenie liczb zespolonych w postaci
trygonometrycznej
z1  r1 (cos 1  i sin 1 ) ,
z 2  r2 (cos  2  i sin  2 )
z1 z 2  [r1 (cos 1  i sin 1 )][r2 (cos  2  i sin  2 )]=
 r1r2 [(cos1 cos 2  sin 1 sin  2 ) 
 i(cos1 sin  2  sin 1 cos 2 ) 
= r1r2 [cos(1   2 )  i sin( 1   2 )
17
Algebra Liniowa z Geometrią
Wniosek
(i) Moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych jest
równy iloczynowi ich modułów
/ z1 z 2 /  / z1 // z 2 /
(ii) Argument iloczynu dwóch liczb zespolonych jest
równy sumie ich argumentów
Arg(z1 z 2 )  Argz1  Argz 2
(iii) Moduł ilorazu liczb zespolonych jest równy
ilorazowi ich modułów
z1 / z1 /

z2 / z2 /
(iv) Argument ilorazu dwóch liczb zespolonych
jest równy różnicy ich argumentów
Arg
z1
= Argz1  Argz 2
z2
Dzielenie liczb zespolonych w postaci
trygonometrycznej
z1 r1
 [cos(1   2 )  i sin(1   2 )]
z2 r2
18
Algebra Liniowa z Geometrią
Twierdzenie ( de Moivre’a)
Dla każdej liczby zespolonej
z  r cos   i  sin  
oraz dla liczby naturalnej n  0,1,2,..., zachodzi:
z n  r n cosn   i  sin n 
Powyższe twierdzenie zachodzi również dla liczb
całkowitych ujemnych:
z n 

1
1
1
=

n
n
z
r cos n  i  sin n 
1
r n cos n  i  sin n

 r n 
cos n  i  sin n
cos 2 n  sin 2 n
 r n  cos n    i  sin  n  
W szczególności, dla:
z  r cos   i  sin    0
liczba
1
odwrotna do z wyraża się wzorem:
z
1 1
 cos  i  sin  
z r
19
Algebra Liniowa z Geometrią

Zastosowanie Liczb Zespolonych.
Liczby zespolone wykorzystuje się w elektrotechnice.
Tam, gdzie mamy do czynienia z prądem zmiennym.
Oto wybrane fragmenty z podręcznika do
elektrotechniki, który jest jednym z wymaganych na III
semestrze na elektronice.
20
Algebra Liniowa z Geometrią
21
Algebra Liniowa z Geometrią
22
Algebra Liniowa z Geometrią
23