Analiza matematyczna i algebra liniowa Materiały do zajęć: Liczby zespolone • • • • Zbiór liczb zespolonych jako zbiór wektorów na płaszczyźnie. Postać algebraiczna, trygonometryczna i wykładnicza liczby zespolonej. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych. Zespolone pierwiastki równań kwadratowych. Materiały przygotowane w ramach projektu „Uruchomienie unikatowego kierunku studiów Informatyka Stosowana odpowiedzią na zapotrzebowanie rynku pracy” ze środków Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego nr umowy UDA – POKL.04.01.01-00-011/09-00 Materiały pomocnicze dla prowadzących ćwiczenia Analiza matematyczna i algebra liniowa 1. Organizacja zajęć. Temat 6: Liczby zespolone. 1. Zbiór liczb zespolonych jako zbiór wektorów na płaszczyźnie a) część rzeczywista i urojona liczby zespolonej b) dodawanie i mnożenie liczb zespolonych c) argument i argument główny liczby zespolonej d) moduł i sprzężenie liczby zespolonej 2. Postać algebraiczna, trygonometryczna i wykładnicza liczby zespolonej 3. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych, wzór de Moivre’a 4. Zespolone pierwiastki równań kwadratowych 2. Literatura: 1) Krysicki W., Włodarski L. [2008], „Analiza matematyczna w zadaniach część II”, wydanie 27, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. © Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 2 Materiały pomocnicze dla prowadzących ćwiczenia Analiza matematyczna i algebra liniowa 3. Materiały do zajęć: Temat 6: Liczby zespolone. zad. 1) Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiory: a) A = {z ∈ C : 1 ≤ z ≤ 4 ,Rez < 0} , π b) B = z ∈ C : Im((1 + i)z − 2i ) > 0, Argz < , 4 c) C = {z ∈ C : Imz < 0, 2 − i + z ≥ 9} . zad. 2) Przedstawić podane liczby w postaci trygonometrycznej i wykładniczej a) z = 1 − i 3 , b) z = 1 + i , c) z = 1 + i 3 . zad. 3) Podane liczby przedstawić w postaci algebraicznej 3−i a) , 2+i (1 + i )30 b) , 11 1+ i 3 7−i c) , 1+i ( ) 2 13 i+ 3 i+ 3 i+ 3 + ... + d) 1 + + 2 . 2 2 zad. 4) Wyznaczyć a) (1 + i)2 , b) c) d) 4 6 1, 1, 1, e) (cos f) 3 π + i sin 12 2 + 2i . π 12 )24 , zad. 5) Rozwiązać równania w zbiorze liczb zespolonych a) z 2 + z + 1 = 0 , b) z 4 = 1 , c) z 2 + 2iz = −3 , d) (z − 1)4 = (1 − i)4 , e) z 2 + (4i − 2)z = 2 + 4i , f) z + z2 = 1 , © Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 3 Materiały pomocnicze dla prowadzących ćwiczenia Analiza matematyczna i algebra liniowa g) z 4 + 3z 2 − 4 = 0 , h) z 2 + 2iz = 1 . zad. 6) Wyznaczyć moduł i argument liczby (i + 3 ) 9 (1 − i ) 6 . zad. 7) Wykazać, że z−i < 1 , gdy Im z > 0 . z+i zad. 8) Przedstawić funkcję e iηz w postaci algebraicznej, gdzie η jest liczbą rzeczywistą. zad. 9) Opisać górną połowę koła o równaniu (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 ≤ r za pomocą zmiennej zespolonej. zad. 10) Wykazać, że arg z1 z 2 = arg z1 + arg z 2 . Czy Argz 1 z 2 = Argz 1 + Argz 2 ? zad. 11) Udowodnić, że następujące związki są prawdziwe: 2 a) z = z z , b) z1 + z 2 = z1 + z 2 , c) z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 . © Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 4 Materiały pomocnicze dla prowadzących ćwiczenia Analiza matematyczna i algebra liniowa Zadania do samodzielnego rozwiązania. zad. 1) Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiory: a) A = {z ∈ C : 4 ≤ z ≤ 25,Imz > 0}, π b) B = z ∈ C : Im((1 + 2i)z − 3i ) < 0, Argz > , 3 c) C = {z ∈ C : Rez < 0, 1 + i + z ≤ 16}. zad. 2) Przedstawić podane liczby w postaci trygonometrycznej i wykładniczej a) z = 3 − i , b) z = i , c) z = 4 − 4i , d) z = −1 + i . Odpowiedź: i 11π 11π a) z = 2 cos + i sin = 2e 6 6 11π 6 , π π π i b) z = cos + i sin = e 2 , 2 2 7π i 7π 7π c) z = 4 2 cos + i sin = 4 2e 4 , 4 4 3π 3π d) z = 2 cos + i sin 4 4 3π i = 2e 4 . zad. 3) Podane liczby przedstawić w postaci algebraicznej 5+i a) , 2 − 2i (1 − i )20 b) , 13 3 +i ( ) 15 i− 3 . c) 2 Odpowiedź: 3 a) 1 + i , 2 3 1 b) − + i, 16 16 c) i . © Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 5 Materiały pomocnicze dla prowadzących ćwiczenia Analiza matematyczna i algebra liniowa zad. 4) Wyznaczyć a) −1 , 4 b) i , c) 12 1 , 5π 5π d) (cos + i sin )16 . 3 3 Odpowiedź: a) {− i, i} , 5π 5π 9π 9π 13π 13π π π b) cos + i sin , cos + i sin , cos + i sin , cos + i sin , 8 8 8 8 8 8 8 8 3 1 1 3 1 3 3 1 3 1 1 3 1 3 3 1 c) 1, + i, + i , i ,− + i ,− + i ,−1,− − i ,− − i ,−i , − i, − i 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 d) − + i . 2 2 zad. 5) Rozwiązać równania w zbiorze liczb zespolonych a) z 2 + 1 = 0 , b) z 2 + 2iz = 0 , c) z 2 + 3iz = 1 , d) z 6 = −i , 1 e) iz 2 + z = i + 1 . 4 Odpowiedź: a) {− i, i} , b) {0,−2i}, (−3 − 5 )i (−3 + 5)i , c) , 2 2 π π 7 π d) cos + i sin , cos + i sin 7π , cos 11π + i sin 11π , cos 15π + i sin 15π , cos 19π + i sin 19π , cos 23π + i sin 23π e) 4 {− 2 − i 2, 2 + i 2 . 4 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 } © Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 6