Tutaj i w wielu innych przypadkach powinniśmy wykorzystać algebrę

Tadeusz Wojnakowski
Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkuszach kalkulacyjnych
zadania z rozwiązaniami
Funkcje inżynierskie występują we wszystkich arkuszach kalkulacyjnych jak Excel w
MS Office Windows czy Gnumeric lub Kspread w systemie Linux. Jeśli bezpośrednio
funkcje inżynierskie nie występuje w MS Office to należy je dograć wykonując następujące polecenia Po uruchomieniu Excela klikamy na narzędzia następnie w dodatki i wybieramy Analysis ToolPak. Teraz sprawdzamy klikając w wstaw, funkcje i szukamy
funkcji inżynierskich. W funkcjach inżynierskich mamy m. in. funkcje zespolone zaczynające się od znaków IM, funkcje Bessela, formuły dokonujące przekształceń różnych
systemów liczb i inne. W tym artykule zajmiemy się funkcjami zespolonymi, formułami
dokonującymi zamiany systemu liczenia liczb oraz funkcjami Bessela co stanowią około
90% funkcji inżynierskich w arkuszu (jest ich 39 omówiłem ok. 34). Formuły zespolone
omówione w rozdziale I będziemy stosować i omawiać w oparciu o zadania z elektroniki,
przydatne dla nauczycieli matematyki, którzy uczą przedmiotu matematyki w szkłach
policealnych informatycznych. Zamiany systemu liczb (rozdział II) będziemy stosować
do zadań matematycznych, które są w podręczniku metodycznym dla klasy V szkoły
podstawowej (Matematyka – „Krok po kroku” – Beata Kossakowska, Beata Murawska)
oraz będziemy stosować przelicznik liczb w rejestrach systemu operacyjnego. Ten rozdział będzie przydatny dla nauczycieli nauczających systemy operacyjne i oprogramowanie biurowe. Natomiast funkcje inżynierskie Bessela wykorzystamy do równania pola
elektromagnetycznego w światłowodach cylindrycznych, które obecnie przeżywają
ogromny rozwój w technologii sieci komputerowej. Ten ostatni rozdział będzie przydatny
dla nauczycieli uczących sieci komputerowe i urządzenia techniki komputerowej.
1
I.
Zastosowanie liczb zespolonych w arkuszu kalkulacyjnym Gnumeric i KSpread w systemie Linux i MS Excel systemu Windows
Zastosowanie liczb zespolonych w różnych dziedzinach nauk ma ogromne znaczenie na
przykład wprowadzenie liczb zespolonych w elektrotechnice daje nam pełniejszą informacje o przebiegu zjawiska. Załóżmy, że w obwodzie RLC otrzymaliśmy następujące
równanie:
1 

U 0 = i0 R 2 +  ωL −

ωC 

2
(1)
Widzimy, że powyższy wzór nie daje nam informacji o stosunkach fazowych . Tutaj i w
wielu innych przypadkach powinniśmy wykorzystać algebrę liczb zespolonych. Wykorzystując liczby zespolone nasze powyższe równanie przyjmuje postać:
2
U 0 = i0
1 

jϕ
R +  ωL −
 ⋅e
ωC 

2
(2)
Te równanie wyrażone liczbami zespolonymi kryje w sobie dwa równania zawierające wielkości mierzalne:
-
jedno wynika z równości części rzeczywistych (wzór 1)
-
drugie wynika z równości części urojonych
W tej pierwszej części równania można wyznaczyć moduł, dający informacje o wartości zawady dla prądów zmiennych, drugi pozwoli wyznaczyć argument, dający informacje o stosunkach fazowych. Zakładamy, że ω to częstość kołowa wtedy postać
wykładnicza liczby zespolonej zapiszemy wzorem:
e
jϕ
= cos ϕ + j sin ϕ
Jeszcze innym przykładem, w którym stosujemy liczby zespolone jest fala elektromagnetyczna. Jeżeli przykładowo rozpatrzymy falę elektromagnetyczną rozchodzącą się w kierunku z to wyraża się następującym wzorem:
B y = 2E x e
2
 π
i 
 6
we wzorze mamy dwie części i możemy powiedzieć, że pole magnetyczne B jest
2 razy większe, co do wartości bezwzględnej od pola elektrycznego E i opóźnione
w stosunku do niego o 30 stopni kąta fazowego.
Do szybszego rozwiązania funkcji zespolonych mogą posłużyć nam arkusze kalkulacyjne. W systemie Linux występują dwa arkusze kalkulacyjne. Jeden o nazwie
Gnumeric należy do środowiska graficznego GNOME, a drugi KSpread do środowiska KDE. Aby uruchomić jeden z nich wystarczy wybrać dowolne środowisko graficzne. W arkuszach kalkulacyjnych występują funkcje inżynieryjne a w nich funkcje
zespolone, których jest około 15. Podstawowe funkcje zespolone omówię na przykładzie zadań. Podaję rozwiązanie matematyczne i rozwiązanie informatyczne w arkuszu kalkulacyjnym. Funkcje zespolone, które w odróżnieniu od liczb rzeczywistych
mają w nazwie formuły dwie pierwsze litery IM od słowa angielskiego imaginary –
urojony.
Zad. 1
Obliczyć moduł liczby zespolonej z = 4 .
Rozwiązanie: Stosujemy wzór matematyczny: | z |= x 2 + y 2 gdzie x, y ∈ R wtedy postać algebraiczna liczby zespolonej z jest następująca z = x + yi to otrzymamy wynik: liczba rzeczywista Re = 4, urojona Im = 0 wtedy z = 4 2 + 0 2 = 16 = 4 . Sprawdzamy w arkuszu np. Gnumeric wpisując do dowolnej komórki formułę zespoloną: część rzeczywista: =IMREAL(”4”)
- część urojona: =IMAGINARY(4+0i)
* Cudzysłów w nawiasach nie jest obowiązkowy natomiast obowiązkowy w MS
Excel-u.
Zad. 2.
Linia o impedancji charakterystycznej Zo jest zakończona impedancją Zk = (70 + 30i)
Ω; należy znaleźć wartość modułu i argumentu dla znormalizowanej impedancji zk.
Rozwiązanie:
3
Zakładamy, że standardem w Polsce i USA impedancja charakterystyczna wynosi Zo
= 50 Ω.
Stosujemy wzór: z k =
Z k 70 + 30i
=
= 1,4 + 0,6i
Zo
50
W arkuszy piszemy: =IMDIV(70+30i;50) otrzymamy wynik jw.
Moduł obliczymy ze wzoru: z = 1,4 2 + 0,6 2 = 1,523
W arkuszu piszemy: =IMABS(1,4+0,6i) otrzymamy wynik jw.
Szukamy argument; zakładamy, że argumentem liczby zespolonej z nazywamy liczbę ϕ spełniający układ równań:
cos ϕ =
cos ϕ =
x
|z|
i
sin ϕ =
a
1,4
=
= 0,919
| z | 1,523
tanϕ =
y
|z|
oraz
oraz
sin ϕ =
tg ϕ =
y
x
b
0,6
=
= 0,394
| z | 1,523
sin ϕ 0,394
=
= 0,428
cos ϕ 0,919
Rozwiązanie w arkuszu: argument liczby zespolonej w arkuszu otrzymamy z formuły: =IMARGUMENT(”1,4+0,6i”) i mamy 0,4048 natomiast tan(0,4048)=0,428.
Zad. 3
Znaleźć wartość admitancji znormalizowanej yk jeżeli impedancja znormalizowana
jest zk=1,4+0,6i.
Rozwiązanie: Wiemy ze wzoru matematycznego, że admitancja znormalizowana
wyraża się następującym wzorem: yk=z-1 to po podstawieniu otrzymamy: yk= 0,60,26i
Rozwiązanie w arkuszu: piszemy formułę na potęgowanie =IMPOWER(1,4+0,6i;-1)
otrzymamy 0,6-0,26i
Zad. 4
Udowodnij, że w zbiorze liczb zespolonych
4
4 = {−2;2}
Rozwiązanie matematyczne: szukamy, dla jakiego kąta mamy takie same ϕ
ϕ = 0, bo sin 0o = 0 oraz cos 0o = 1
powołując się na wzór de Moivre’a dla pier-
wiastków
z k = n r ⋅ (cos
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ
) gdzie r = |z|
+ j sin
n
n
otrzymujemy
z 0 = 2 4 ⋅ (cos
0 + 2 ⋅ 0 ⋅π
0 + 2 ⋅ 0 ⋅π
)
+ j sin
2
2
z 0 = 4 ⋅ (cos 0 0 + j sin 0 0 ) = 4 ⋅ (1 + 0) = 4 = 2
z1 = 2 4 ⋅ (cos
0 + 2 ⋅1 ⋅ π
0 + 2 ⋅1⋅ π
)
+ j sin
2
2
z1 = 4 ⋅ (cos π + j sin π ) = 4 ⋅ (−1 + 0) = − 4 = −2
zostało udowodnione, że z zbiorze liczb zespolonych mamy –2 i 2 .
Rozwiązanie z zastosowaniem arkusza kalkulacyjnego
=IMSQRT(4) Otrzymujemy 2 i należy zgodnie z modułem i naszymi obliczeniami
matematycznymi podać liczbę przeciwną do wyniku, której arkusz nie podaje i obowiązuje dla pierwiastka drugiego stopnia oraz parzystego stopnia
=IMSQRT(5+12i)
otrzymamy: 3-2i i zgodnie z zasadą -(3-2i) czyli
np.:
-3+2i
Zad. 5
Zapisać w postaci trygonometrycznej otrzymane wyniki z równania kwadratowego z 2 + 4 z + 5 = 0 , z1 = -2 +i
oraz
Rozwiązanie: Wykorzystując wzór
z2 = -2 –i .
z = r (cos ϕ + i sin ϕ) szukamy modułu
| z |= a 2 + jb 2 = >r
r = (−2) 2 + 12 = 5
cos ϕ =
a −2
=
= −0,8944
r
5
5
sin ϕ =
b
1
=
= 0,4472
r
5
ponieważ jest to II ćwiartka dla cosinusa i sinusa to wtedy od π odejmujemy kąt ϕ i
otrzymujemy π - 270 = 1530 i możemy zapisać w postaci trygonometrycznej następująco:
z = 5 (cos1530 + j sin 1530 ) lub możemy zapisz w postaci wykładniczej z = r ejϕ
W arkuszu: =IMEXP(153i) otrzymujemy: -0,591+0,8064i , bo =COS(153) wynosi –
0,59 a =IMSIN(153) wynosi: 1,399E+006i , po dodaniu funkcji cos(153) i 1,399
otrzymujemy część urojoną: 0,8064
Działania na liczbach zespolonych wykonujemy tak, jak na wielomianach zmiennej i,
pod warunkiem, że i2=-1
Zad. 6
Wykonaj podstawowe działania arytmetyczne:
a) (-2+3i)+(7-8i);
b) (4i-3)-(1+10i);
c)
(
)(
)
2 + i ⋅ 3 − 3i ;
d)
2 − 3i
;
5 + 4i
Rozwiązanie matematyczne: ad a) (-2+3i)+(7-8i)=(-2+7)+(3-8)i=5-5i.
Rozwiązanie w arkuszu: =IMSUM(-2+3i;7-8i)
otrzymamy 5-5i.
Rozwiązanie matematyczne: ad b) ((4i-3)-(1+10i)=(-3-1)+(4-10)i=-4-6i
Rozwiązanie w arkuszu: =IMSUB(-3+4i;1+10i)
otrzymamy -4-6i
Rozwiązanie matematyczne: ad c)
(
)(
)
(
) (
)
2 + i ⋅ 3 − 3i = 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 3i − 3i 2 = 3 2 + 3 + 3 − 6 i ≈ 6 + 0,6i
Rozwiązanie w arkuszu: =IMPRODUCT(1,41+i;3-1,73i)
otrzymamy 5,96+0,56i
Rozwiązanie matematyczne: ad d)
2 − 3i (2 − 3i )(5 − 4i ) − 2 − 23i − 2 23
=
=
=
− i = −0,048 + 0,56i;
5 + 4i (5 + 4i )(5 − 4i )
41
41 41
Rozwiązanie w arkuszu: =IMDIV(2-3i;5+4i)
otrzymamy -4,87+0,56i.
Zad. 6
 π
i 
6
Oblicz dla jakiego kąta fala o równaniu: B y = 2 E x e 
równanie przyjmie postać w
zbiorze liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie: e2πi=1. W arkuszu wpisujemy formułę: =IMEXP(6,28i) otrzymujemy 1.
6
Zad. 7
Obwód RLC zasilany jest prądem przemiennym. Oblicz jego zawadę zespoloną Z i
podac częstotliwość, przy której nastąpi rezonans tzn. przy która zawada będzie rzeczywista. Opór R = 5 Ω, L = 1 Henr, C = 1 µF, a częstotliwość f = 10 Hz .
Rozwiązanie: wiemy, że ω=2πf=6,28*10Hz=628
L
R
1  2
2 2
−
 R + ω L − i
2
1
0,08 − 393756,04i
ωC 
C
ω C
=
=
= 2,0283 − 0,99i
Z=
2
1
394407
1


+ ωCi
R 2 +  ωL −

R + ωLi
ωC 

2
Z ≈ 2−i.
Rozwiązanie w arkuszu: =IMDIV(0,08-393756i;394407)
otrzymujemy:
Z=(2-i) Ω
Dla częstości rezonansowej ω=ωo znika część urojona: R 2 + ω o2 L −
L
=0
C
stąd wy-
znaczamy w prosty sposób ωo i obliczmy.
Na zakończenie możemy powiedzieć, że wykorzystując arkusz kalkulacyjny do liczb
zespolonych można w szybszy sposób otrzymać wyniki do naszych zadań. Liczby
zespolone stosuje się w inżynierii od bardzo dawna i wcale nie są one gorsze od
liczb ujemnych.
II.
Formuły inżynierskie powodujące zamiany systemu liczb
Bardzo ważnym zagadnieniem w technice cyfrowej jak również w systemach operacyjnych jest zamiana systemu liczb na inne systemy liczb. Powołując się na autora
eksperta w dziedzinie technik komputerowych Jerry Honeycutt, Jr., napisał on w
swojej książce „Rejestr Windows” cytuję „ Osobom nie rozumiejącym notacji szesnastkowej (hex) będzie trudno manipulować maskami w Rejestrze”. Myślę, że są to
wystarczające powody do poznania tego systemu. Rozwiążmy następujące zadania
z klasy V.
7
Zad. 1
Jaka to liczba 1001101 – BIN w systemie dziesiątkowym i szesnastkowym?
Rozwiązanie:
Stosując odpowiedni wzór matematyczny mamy:
26 * 1 + 25 * 0 + 24 * 0 + 23 * 1 + 22 * 1 +21 * 0 + 20 * 1 = 77
W arkuszu kalkulacyjnym do dowolnej komórki wpisujemy lub wklejamy z funkcji inżynierskich następującą funkcje:
=BIN2DEC(1001101) i otrzymujemy 77 sprawdzamy wpisując: =DEC2BIN(77) w systemie szesnastkowym mamy formułę =01).
Zad. 2
Przedstaw w zapisie dwójkowym i dziesiętnym liczbę szesnastkową 95 występującą
w Rejestrze w kluczu Explorer o nazwie wartości NoDriveTypesAutoRun.
Rozwiązanie:
Do zamiany liczby 95 na system dwójkowy może przesłużyć się nam tabela:
Cyfra
Nibble (czwórki bi-
Cyfra
Nibble (czwórki bitów)
tów)
0
0000
8
1000
1
0001
9
1001
2
0010
A
1010
3
0011
B
1011
4
0100
C
1100
5
0101
D
1101
6
0110
E
1110
7
0111
F
1111
8
Patrząc na tabelę Hex 95 to w Bin 10010101 (bajty to grupy po 8 bitów i zapisujemy
dwoma cyframi) i stosując odpowiedni wzór dla naszego przypadku 27*1+26 *0 + 25 * 0
+ 24 * 1 + 23 * 0 + 22 * 1 +21 * 0 + 20 * 1 = 128 + 16+4 +1 = 149
W arkuszu kalkulacyjnym wpisujemy lub wklejamy z funkcji inżynierskich następującą
funkcje:
=HEX2BIN(95) otrzymujemy 10010101 sprawdzamy funkcją =BIN2HEX(10010101)
natomiast z systemu dwójkowego na dziesiętny było pokazane w poprzednim zadaniu.
Możemy obliczyć bezpośrednio z szesnastkowego na dziesiętny następującą formułą
=HEX2DEC(95) i otrzymamy 149 i sprawdzić formułą =DEC2HEX(149). Na zakończenie
spróbujmy rozwiązać zadanie ze wspomnianego podręcznika klasy V.
Zad 3
Nauczyłem się czytać w wieku 4 lat. Dokładnie po upływie 2 lat, kiedy ukończyłem 11
lat, zacząłem chodzić do szkoły podstawowej. Uczyłem się w niej 4 lata i ukończyłem ją,
mając 20 lat. Teraz jestem 21 – letnim gimnazjalistą. W jakim systemie liczenia napisałem swój życiorys?
W funkcjach inżynierskich mamy również system ósemkowy (OCT), który wykorzystujemy również w systemach operacyjnych na przykład w Linuksie.
Przykład 1
Nadanie wszystkim użytkownikom pełnych praw dostępu do pliku piszemy poleceniem:
[...]$ chmod 777 nazwa_pliku pierwsza cyfra dotyczy właściciela, druga cyfra dotyczy
grupy, a trzecia cyfra dotyczy pozostałych użytkowników. Cyfra 7 jest maksymalną cyfrą
w systemie ósemkowym możemy to wpisując w arkuszu =OCT2DEC(8) nie otrzymamy
wyniku.
Zastanów się a może to w tym systemie został napisany powyższy życiorys
Przykład 2
Aby nie był widoczny w systemie operacyjnym napęd CD ROM można w rejestrze w
kluczu Explorer założyć wartość binarną o nazwie NoDrives i wpisac poprzez edytuj
9
wartości binarne liczbę 08 00 00 00 i po ponownym uruchomieniu komputera napęd nie
będzie widoczny. Jeśli wpiszemy wartośc binarną 01 00 00 00 to będzie nie widoczny
napęd FDD (wartości te są zapisane w tzw. DWORD w rejestrach lub w kalkulatorze
Windows możesz zamienić na szesnastkowy, ósemkowy lub binarny).
III.
Zastosowanie funkcji Bessela z arkusza kalkulacyjnego na przykładzie fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w światłowodach
walcowych.
Światłowody walcowe mają obecnie ogromne zastosowanie w mediach sieci komputerowych. Typowym światłowodem cylindrycznym jest światłowód szklany włóknisty.
Wyróżniamy w nim dwa obszary:
-
rdzeń położony centralnie
- płaszcz otaczający rdzeń
Zasadniczo w rdzeniu rozchodzi się światło czyli fala elektromagnetyczna. Równanie
falowe dla wektora pola elektrycznego E ma postać: ∇ 2 E + k 2 E = 0 (podobne dla pola magnetycznego H), gdzie k liczba falowa.
Ze względu na geometrię problemu wprowadzamy układ współrzędnych cylindrycznych (r , φ , z ) i przyjmujemy, że oś z pokrywa się z osią światłowodu i w nim rozpatrujemy rozchodzenie się pola elektrycznego i magnetycznego. Równanie nasze natężenia pola elektrycznego wzdłuż osi z ma następującą postać:
∂ 2 E z 1 ∂E z
1 ∂E z ∂ 2 E z
+
+
+ k 2 Ez = 0
2
2
2
2
r ∂r
∂r
r ∂φ ∂z
Rozwiązanie tego równania będziemy poszukiwali w postaci iloczynu trzech funkcji:
E z = R (r ) ⋅ Φ (φ ) ⋅ Z ( z )
Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego zwyczajnego jest dobrze znane z analizy matematycznej i wyraża się wzorem dla z:
Z ( z ) = C1 exp(−γz ) + C 2 (exp(γz )
10
gdzie C1 C2 – to dowolne stałe wyznaczone przez warunki brzegowe, a γ = α + jβ
γ
- stała propagacji wielkość zespolona, α - stała tłumienia, β - stała fazowa
Φ (φ ) = C 3 cos mφ + C 4 sin mφ
Natomiast funkcja R(r) wyraża się wzorem:
R (r ) = C 5 J m (h1 r ) + C 6Ym (h1 r )
gdzie Jm Ym funkcje Bessela pierwszego rodzaju i drugiego rodzaju rzędu m natomiast C5 C6 – są to dowolne stałe i jest to równanie dla rdzenia r<a
Ostatecznie nasze wyrażenie na natężenie prądu jest
dla rdzenia
E z = J m (h1 r )( A1 cos mφ + B1 sin mφ )e −γz
dla r<a
E z = K m (h2 r )( A2 cos mφ + B2 sin mφ )e −γz
dla r>a
dla płaszcza
gdzie A1 B1 są to współczynniki stałe, a m ∈ N natomiast h = h1 dla r<a natomiast h =
j h2 dla r>a h2=γ2+k2
.Aby obliczyć natężenie pola elektrycznego Ez . należy do powyższego wzoru obliczyć wartości funkcji Bessela. W tym przypadku najlepiej jest skorzystać z funkcji
Bessela, które są w arkuszu kalkulacyjnym w funkcjach inżynierskich. Jeżeli chcemy
obliczyć funkcję dla rzędu m=1 to wpisujemy następującą formułę: =BesselJ(2;1) i
otrzymamy 0,576. Wykres funkcji Bessela pierwszego rodzaju przedstawia rysunek:
11
gdzie za x w arkuszu kalkulacyjnym wpisujemy 2, natomiast m=1, natomiast na styku
rdzenia i płaszcza r = a przy pewnych założeniach warunki brzegowe mogą być
spełnione jedynie w przypadku, gdy m = 0.
Wykres funkcji Bessela drugiego rodzaju przedstawia rysunek poniżej. Tutaj dla Ym
piszemy funkcje w arkuszu następującą: =BesselY(2;1) tzn. x=2, a m=1 i otrzymamy
–0,11, sprawdź na wykresie funkcję Y1(2).
Jeśli przyjąć, że rozwiązania Bessela dla płaszcza przedstawia się wzorem:
R (r ) = C 7 I m (h2 r ) + C8 K m (h2 r )
to w tym przypadku stosujemy odpowiednio Im i Km zmodyfikowane funkcje Bessela
pierwszego i drugiego rodzaju rządu m i dla C7 C8 dowolnych stałych. Do obliczeń tych
funkcji zmodyfikowanych posłużą formuły z arkusza =BesselaI( ; ) oraz =BesselaK( ; ).
Funkcje Bessela stosujemy do światłowodów cylindrycznych natomiast do światłowodów na przykład planarnych korzystamy z układu kartezjańskiego co przy obliczaniu
natężeń pół elektromagnetycznych znacznie upraszcza rachunki matematyczne. Do
rozwiązań powyższych równań różniczkowych, których tu nie rozwiązałem, bo nie było
to tematem mojego artykułu zapraszam do literatury m. in. „Fundamentals of Optice –
Fibre Communication” New York – J. Van der Praas lub innej.
12