WYKŁAD 4 Liczby zespolone

Algebra liniowa z geometrią analityczną
Wykład 2 - LICZBY ZESPOLONE
Algebra liczb zespolonych, reprezentacja algebraiczna i geometryczna, geometria liczb
zespolonych. Moduł, argument, postać trygonometryczna, wzór de Moivre’a.'
Zbiór Liczb Zespolonych
Niech a, b, c, d, ... będą elementami zbioru liczb rzeczywistych R.
Uogólnienie liczby rzeczywistej - uporządkowana para liczb rzeczywistych spełniająca
pewne definicje i nazwana liczbą zespoloną.
Definicja
Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych, np. (a, b), (c,
d), dla których określamy równość, dodawanie i mnożenie w sposób następujący:
a, b   c, d   a  c  b  d 
a, b   c, d   a  c, b  d  
a, b c, d   ac  bd , ad  bc 
Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi
tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.
Przykład
Obliczyć sumę i iloczyn liczb zespolonych (2,-1) i (3,7)
(2, -1) + (3, 7) = (2 + 3, -1 + 7) = (5, 6)
(2, -1)(3, 7) = (2  3  1  7,2  7  1  3) = (13, 11)
Zbiór liczb zespolonych oznaczymy literą C; jest to początkowa litera łacińskiego słowa
complexus – zespolony.
Zbiór liczb zespolonych jest ciałem.
Definicja
Odejmowaniem liczb zespolonych nazywamy działanie odwrotne do dodawania.
Wynik odejmowania liczb zespolonych nazywamy różnicą liczb zespolonych.
(x,y) = (a,b) – (c,d)  (x,y) + (c,d) = (a,b)
Z definicji dodawania i równości liczb zespolonych wynika, że wtedy
x + c = a i y +d = b,
czyli
(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)
Przykład
(2,-1) – (3,7) = (2 – 3, -1 - 7) = (-1,-8).
Definicja
Dzieleniem liczb zespolonych nazywamy działanie odwrotne do mnożenia.
Wynik dzielenia liczb zespolonych nazywamy ilorazem liczb zespolonych.
( a, b)
(x, y) =
(x, y)(c, d) = (a, b)
(c, d )

8/8
Algebra liniowa z geometrią analityczną
Z definicji mnożenia i równości liczb zespolonych wynika, że wtedy
cx  dy  a 

dx  cy  b 
Układ ten jest jednoznacznie rozwiązalny, gdy wyznacznik tego układu c 2  d 2 jest różny od
zera, czyli gdy liczba zespolona (c, d) nie jest zerem.
Stąd
a, b   ac  bd , ad  bc 


c, d   c2  d 2 c2  d 2 
Przykład
2,1   2  3  1 7 , 2  7   1  3     1 ,  17 

 

3,7  32  72
32  72   58 58 
W zbiorze liczb zespolonych o elementach postaci (a, b) można wyodrębnić podzbiór o
elementach (a, 0)
Dodawanie i mnożenie liczb postaci (a,0)
(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0)
(a, 0) (b, 0) = (ab, 0)
Element neutralny dodawania
- (0, 0)
Element neutralny mnożenia - (1, 0)
Element przeciwny do (a,0)
- - (a, 0)
1 
Element odwrotny do (a,0) -  , 0  dla (a, 0) (0, 0).
a 
Wyodrębniony podzbiór zbioru liczb zespolonych ma względem dodawania i mnożenia
jego elementów analogiczne właściwości jak zbiór R liczb rzeczywistych.
Przyjmujemy
(a, 0) = a
tzn. liczba zespolona (a, 0) jest utożsamiona z liczbą rzeczywistą a.
W szczególności liczba (0,0) została utożsamiona z zerem rzeczywistym.
Jedynka urojona
Liczby (0, b), różnej od zera zespolonego, nie można w analogiczny sposób utożsamić z
żadną liczbą rzeczywistą.
Definicja
Liczbę (0,1) będziemy oznaczać symbolem i.
i = (0,1)
Liczbę tę nazywamy jedynką urojoną
Urojona, dlatego że i 2 = –1, ponieważ
i i  (0, 1)(0, 1)=(-1, 0)= -1

8/8
Algebra liniowa z geometrią analityczną
a, bc, d   ac  bd , ad  bc
gdy tymczasem nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat byłby liczbą ujemną.
Ponieważ
(a, b) = (a, 0) + (0, b) oraz
(0, b) = (0, 1)(b, 0)
możemy liczbę zespoloną (a, b) zapisać w
postaci kanonicznej Gaussa
a + bi
a R - część rzeczywista liczby zespolonej,
b R - część urojona liczby zespolonej,


a = Re(a + bi), Re - realis - rzeczywisty (łac.)
b = Im(a + bi), Im - imaginarius - urojony (łac.)
Liczba zespolona ib, gdy b  0 - liczba urojona.
Liczbę zespoloną będziemy dalej nazywać krótko liczbą i oznaczać także jedną litera, np. z,
Przy czym z = a + bi.
Działania na liczbach zespolonych w postaci kanonicznej
a  ib   c  id   a  c   ib  d 


a  ib   c  id   a  c   ib  d 

2
a  ib c  id   ac  iad  ibc  i bd  

 ac  bd   iad  bc 
Definicja
Modułem liczby zespolonej z = a + bi, oznaczanym przez z , nazywamy rzeczywistą liczbę
nieujemną, będącą pierwiastkiem sumy kwadratów części rzeczywistej i części urojonej tej
liczby
z  a2  b2
Przykład
3  4i  32   4  5, 1  1,
2
i  1,
0  0.
Twierdzenie
Liczba zespolona jest wtedy i tylko wtedy zerem, gdy jej moduł jest równy zeru
(z=0)
(/z/=0)
Definicja
Liczbą sprzężoną z liczbą z  a  bi, nazywamy liczbę postaci a  bi.


Oznaczenie z = a  bi.
Definicja
Dwie liczby, z których jedna jest sprzężona z drugą, nazywamy liczbami sprzężonymi.
8/8
Algebra liniowa z geometrią analityczną
Wniosek
(i)
Liczby sprzężone mają równe moduły,

z  z
(ii)
Iloczyn liczb sprzężonych jest równy kwadratowi ich wspólnego modułu
zz  z
2
Wzór (ii) można napisać w postaci
a 2  b2  a  bi a  bi 
Wniosek
W zbiorze liczb zespolonych sumę kwadratów można rozłożyć na iloczyn czynników
pierwszego stopnia.
Przykład
32  42  3  4i 3  4i 
 a 2  b 2  a  ba  b
Przykład
1
3  4i
3
4
 2

i
2
3  4i 3  4
25 25
a  ib a  ib c  id  ac  bd   iad  bc 


c  id c  id c  id 
c2  d 2
2  i 2  i 3  4i  2 11


 i
3  4i
32  42
25 25
Przykład
Rozwiązanie równania kwadratowego dla   0
x2  x  1  0
  3
   3  3i 2  3  i , x1 
1  3  i
2
x2 
1  3  i
2
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA LICZB ZESPOLONYCH
Diagram Arganda
Interpretacje liczby zespolonej:
a) z  x  yi  punkt P(x, y) – diagram Arganda z  r , Arg z  
b) z  x  yi  wektor [x, y] w R2 (przestrzeń wektorowa, odpowiedniość między C, a
przestrzenią wektorową R2 )
 z1  x1  y1i  x1 , y1 

 z 2  x2  y2i  x2 , y2 
8/8
Algebra liniowa z geometrią analityczną
Płaszczyznę zespoloną liczb z oznaczymy symbolem C.
Oś urojona =Imz
1
i
Y
z=x+yi
xxxxx
+yi
P(x,y)
[x,y]
0
1
Oś rzeczywista =Rez

Geometryczna interpretacja działań
dla liczb zespolonych
 Dodawanie liczb zespolonych =
dodawanie wektorów
z1  z2  x1  y1i   x2  y2i   x1  x2    y1  y2 i

Odejmowanie liczb zespolonych =
z1  z2  x1  y1i   x2  y2i   x1  x2    y1  y2 i
odejmowanie wektorów
Definicja
Argumentem liczby z  x  yi  0 , oznaczanym przez Arg z, nazywamy każdą liczbę
rzeczywistą  , spełniającą dwa warunki
cos  
x
,
z
sin  
y
z
gdzie z  x 2  y 2 >0
Argument liczby 0 nie jest określony.
Definicja
Argument główny liczby z – argument liczby z, który należy do przedziału ( ,   .
Oznaczenie – argz
Stąd   <argz   oraz
Argz = argz + 2k , k  0, 1,...
Przykład
arg1 = 0, Arg1 = 2k , argi =  /2, Argi =  /2 + 2k
8/8
Algebra liniowa z geometrią analityczną
Moduł liczby zespolonej – długość wektora wodzącego punktu odpowiadającego tej liczbie
(interpretacja geometryczna).
Argument liczby zespolonej - miara względna kąta,
jaki tworzy wektor wodzący punktu z z osią rzeczywistą (interpretacja geometryczna).
Imz
z=x+yi
r=/z/
0


Rez
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
z= r cos   i sin  
r – moduł liczby zespolonej
 - argument liczby zespolonej
Przykład
Napisać w postaci trygonometrycznej liczbę z  3  i posługując się jej głównym
argumentem.
r  z  3 1  2
3

2       2k stąd
1
6
sin   

2 
Imz
cos  
  
  
3  i  2cos   i sin 
 6 
 6
z= 3 +1
1
r=2
=/6
3
Rez
8/8
Algebra liniowa z geometrią analityczną
Definicja równość dwóch liczb zespolonych
 z1  0  z1  z 2  / z 2 /  0

z1  0 i z2  0 ,  z1  z 2    z1  z 2  Argz1  Argz 2 mod 2 
Uwaga
Zapis Argz 1
 Argz
2
są równe modulo 2  ,
oznacza, że argumenty liczb z 1 i z 2
Argz 1
 Argz 2 +2k 
Mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej
z1  r1 (cos 1  i sin 1 ) ,
z2  r2 (cos  2  i sin  2 )
z1z2  [r1 (cos 1  i sin 1 )][r2 (cos  2  i sin  2 )] =
 r1r2[(cos 1 cos 2  sin 1 sin 2 ) 
 i(cos 1 sin 2  sin 1 cos 2 ) 
= r r [cos(   )  i sin(   )
1 2
1
2
1
2
Wniosek
(i)
Moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych jest równy iloczynowi ich modułów
z1  z 2  z1  z 2
(ii)
Argument iloczynu dwóch liczb zespolonych jest równy sumie ich argumentów
Arg(z 1 z2 )  Argz 1  Argz 2
(iii)
Moduł ilorazu liczb zespolonych jest równy
ilorazowi ich modułów
z1
z1

z2
z2
(iv)
Argument ilorazu dwóch liczb zespolonych
jest równy różnicy ich argumentów
z
Arg 1 = Argz 1  Argz 2
z2
Dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej
z1 r1
 [cos(1  2 )  i sin(1  2 )]
z2 r2
Twierdzenie ( de Moivre’a)
Dla każdej liczby zespolonej
z  r cos   i  sin  
oraz dla liczby naturalnej n  0,1,2,..., zachodzi:
z n  r n cosn   i  sinn 
8/8
Algebra liniowa z geometrią analityczną
Powyższe twierdzenie zachodzi również dla liczb całkowitych ujemnych:
1
1
=
z n  n  n
z
r cos n  i  sin n 
1
1
cos n  i  sin n
 n
 r n 
r cos n  i  sin n
cos 2 n  sin 2 n
 r  n  cos n   i  sin n 
W szczególności, dla:
z  r cos   i  sin    0
liczba
1
odwrotna do z wyraża się wzorem:
z
1 1
 cos   i  sin  
z r
8/8