Document

ODDZIAŁYWANIE
PROMIENIOWANIA
Z MATERIĄ
TADEUSZ HILCZER
Plan wykładu
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Wprowadzenie
Podstawowe pojęcia
Zderzenie i rozproszenie
Przewodnictwo materii
Naturalne źródła promieniowania jonizującego
Oddziaływanie promieniowania jonizującego bezpośrednio
Oddziaływanie promieniowania jonizującego pośrednio
Źródła promieniowania jonizującego
Pole promieniowania jonizującego
Detekcja promieniowania
Skutki napromieniowania materii żywej
Dozymetria medyczna
Ochrona przed promieniowaniem
Osłony przed promieniowaniem
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
2
ODDZIAŁYWANIE
PROMIENIOWANIA
JONIZAJACEGO
BEZPOŚREDNIO
Promieniowanie oddziałujące bezpośrednio
• oddziaływanie promieniowania oddziałującego bezpośrednio
zależy od
– rodzaju cząstek
– ładunku elektrycznego
– energii kinetycznej
– rodzaju materii
• w akcie oddziaływania cząstka może przekazać materii
– część energii kinetycznej
– całą energię kinetyczną
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
4
Promieniowanie oddziałujące bezpośrednio
• całkowita droga cząstki w materii - zasięg - zależy od
– rodzaju cząstki
– ładunku elektrycznego
– energii kinetycznej
– własności materii
• całkowita energia kinetyczna E strumienia cząstek
przechodzących przez materię stopniowo maleje
• stratę energii opisuje się w sposób najbardziej
charakterystyczny dla danego typu promieniowania
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
5
Promieniowanie naładowane
• naładowana cząstka ciężka - kolejne zderzenia niewiele
wpływają na kierunku ruchu cząstki - odległość od źródła do
końca jej drogi w kierunku ruchu R jest praktycznie równa
zasięgowi R(E)
R = R(E)
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
6
Promieniowanie naładowane
• naładowana cząstka lekka - kolejne zderzenia powodują jej
rozpraszanie w różnych kierunkach i dlatego odległość R od
źródła do końca jej drogi może się znacznie różnić od
zasięgu R(E)
R ≠ R(E)
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
7
Straty energii promieniowania naładowanego
• zdolność hamowania S - stosunek energii dE traconej na
drodze dx do wielkości drogi dx
dE 
S  

dx
[J m 1 ]
MeV/cm = 1.60210-11 J/m
 1 dE 

S  
 dx
m
[J m 2 kg 1 ]
MeV cm2g-1 = 1,602.10-14 J m2 kg-1
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
8
Straty energii promieniowania nienaładowanego
• głównie przez oddziaływania z jądrami prowadzące do
– częściowego rozproszenia energii
– do innych przemian
• neutrony
– mogą wywołać przemianę jądrową
– stratę energii charakteryzuje średnia droga swobodna
między kolejnymi zderzeniami
– stratę energii na samej drodze swobodnej można
całkowicie zaniedbać
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
9
Straty energii
• w dalszym ciągu będziemy omawiali głównie
oddziaływaniem z materią cząstek a i cząstek b
• opis oddziaływania promieniowania z materią ograniczymy
do przedziału energii średnich, czyli do energii cząstek
powstałych na skutek rozpadów promieniotwórczych
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
10
Straty energii
• cząstka naładowana przechodząc przez materię może tracić
swoją energię kinetyczną w
– procesie jonizacji
– procesie wzbudzenia
– procesie rozproszenia
– w reakcjach jądrowych
• dla zakresu energii średnich dominującym procesem dla
cząstek ciężkich jest jonizacja
• jon uzyskując dostatecznie dużą energię może wywołać
jonizację wtórną
– emitowane elektrony nazywają się elektronami d
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
11
Straty energii
• dla ciężkich cząstek naładowanych liczba aktów jonizacji
przypadająca na jednostkę drogi (zdolność jonizacji) jest
bardzo duża, nawet dla niewielkich energii cząstek
– duża masa cząstek - mała prędkość
• cząstki a emitowane z naturalnych preparatów
promieniotwórczych wytwarzają na swojej drodze od 60·103
do 240·103 par jonów
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
12
Straty energii
b
r
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
13
Straty energii na jonizację
• strata energii cząstek naładowanych związana z
oddziaływaniami kulombowskimi z atomem zależy od
odległości toru cząstki od atomu (parametru zderzenia b) w
stosunku do promienia atomu r
• b » r - oddziaływanie kulombowskie jest słabe i występuje
między cząstką a elektronami atomowymi
– elektronowa strata energii Se
• b < r - oddziaływanie z polem wytworzonym przez protony
– jądrowa strata energii Sn
• całkowita strata energii na jonizację SJ cząstki naładowanej
na skutek oddziaływań kulombowskich
– suma strat energii na oddziaływanie z elektronami Se i
nukleonami Sn
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
14
Straty energii na promieniowanie
• w wyniku oddziaływania cząstki naładowanej
– prowadzącego do wzbudzenia atomu może powstać
promieniowanie elektromagnetyczne - promieniowanie
hamowania
• strata energii na promieniowanie hamowania Sph
– przy bardzo dużej prędkości w dielektryku może wywołać
polaryzację elektronową – powstaje promieniowanie
elektromagnetyczne z zakresu widzialnego -
promieniowanie Czerenkowa
• strata energii na promieniowanie Czerenkowa Spc
• suma strat energii na promieniowanie hamowania i na
promieniowanie Czerenkowa - strata energii na
promieniowanie SP
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
15
Straty energii na przemiany jądrowe
• cząstka naładowana z grupy hadronów lub jądro atomowe o
odpowiedniej energii, może wywołać przemianę jądrową
• dla przedziału średnich energii cząstek naładowanych strata
energii na skutek przemian jądrowych jest jednak znacznie
mniej prawdopodobna od stratu energii w innych procesach
oddziaływania i można ją pominąć
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
16
Całkowita strata energii
• całkowita strata energii cząstki naładowanej na jednostkę
drogi jest sumą procesów
S  S J  S P  Se  Sn  S ph  S pc
–
–
–
–
–
–
strata energii na jonizację SJ
strata energii na promieniowanie SP
elektronowa strata energii Se
jądrowa strata energii Sn
strata energii na promieniowanie hamowania Sph
strata energii na promieniowanie Czerenkowa Spc
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
17
Przekrój czynny na oddziaływanie kulombowskie
• poruszającej się cząstki A posiadającej ładunek elektryczny
oraz nieruchomej naładowanej cząstki B zależy od
– od energii EA cząstki A
– od maksymalnej energii Emax która może zostać
przekazana w akcie oddziaływania
– od minimalnej energii Emin koniecznej do takiego
oddziaływania
• jest scharakteryzowana przez różniczkowy przekrój czynny
'(Ep)
SC   B
Emax
  ( E p ) d E p
Emin
B - gęstość cząstek B w materii
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
18
Przekrój czynny na oddziaływanie kulombowskie
SC  e
Eh
E max
E nin
Eh
  e (E p ) d E p  n   n (E p ) d E p
Eh - graniczna energia oddziaływań kulombowskich
cząstki A z elektronami i nukleonami
 e (E p )  n (E p ) - różniczkowe przekroje czynne na
oddziaływanie cząstki naładowanej z elektronami i
nukleonami
e i n - gęstości elektronów i nukleonów
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
19
Oddziaływanie kulombowskie
• rozpatrzmy oddziaływanie ciężkiej cząstki naładowanej A
– o masie MA
– ładunku Zae
– prędkości v
• z cząstką swobodną B w spoczynku
– o masie MB « MA
– ładunku Zbe
• oddziaływanie traktujemy jako rozproszenie sprężyste
– parametrze zderzenia b
– kąt rozproszenia J jest bardzo mały
• dla uproszczenia
– efektywne oddziaływanie pomiędzy cząstkami zachodzi
na drodze 2b
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
20
Oddziaływanie kulombowskie
2b
b
r
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
21
Oddziaływanie kulombowskie
• czas oddziaływania Dt
2b
Dt 
v
• przekaz pędu Dp dla niezaburzonej siły kulombowskiej
C
Dp2
bv
• energia kinetyczna DEp przekazana przez cząstkę A cząstce
B podczas pojedynczego zderzenia
Dp 2
C2 1
ΔE 
2
2M B
M B v2 b2
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
22
Oddziaływanie kulombowskie
• energia kinetyczna cząstki B
• przekrój czynny
C2 M A
EB 
E b2 M B
C2 M A
 E  2π
dE p
2
EE p MB
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
23
Oddziaływanie kulombowskie
• takie oddziaływanie zachodzi np. pomiędzy cząstką a a
elektronami atomów materii zawartej w objętości dV, danej
przez pierścień o grubości dx i szerokości db
db
dx
b
• liczba elektronów biorąca udział w oddziaływaniu
d N  2  e b d b d x
e - gęstość elektronów
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
24
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
• energia dE tracona przez cząstkę A w wyniku oddziaływania
ze wszystkimi elektronami w objętości dV
Ze 
2 2
db
Se (d V )  dE d N  4π  e
m0 v 2 b
Se - strata energii na jednostkę objętości przy
oddziaływaniu z elektronami materii,
m0 - masa spoczynkowa elektronu
• parametr zderzenia b może zmieniać się
– teoretycznie w granicach (0,∞)
– w praktyce ma wartości skończone od bmin do bmax
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
25
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
• elektronowa strata energii Se na skutek oddziaływania z
elektronami zawartymi w objętości V

Ze 
 4π 
bmax
2
2
Se
e
m0v 2
 
2 2
 d b  4π Ze  ln bmax

e
2
 b
m0v
bmin
bmin
• parametr zderzenia b jest ściśle związany z energią
– za minimalną energię Emin można przyjąć energię
jonizacji Ej
– energia maksymalna dla modelu kul sztywnych
E max  2mv 2
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
26
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
• strata energii

Ze 
 4π
2 2
Se
m0 v 2
 m0 v 2 

 e ln 

E
j


• obliczenia kwantowe Bethego i Blocha, wykorzystujące
przybliżenie Borna, prowadzą do dokładniejszego
oszacowania granic całkowania oraz uwzględnienia efektów
relatywistycznych
• dla cząstek ciężkich o energii kinetycznej E (« (M/m)Mc2)
maksymalna energia przekazywana Emax
E max
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
2


b
2

 2mc 
2 
1 b 
27
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
• strata energii


m0 c 2 Z 2   2mv 2E h 
2
2
  ln 1  b   b  
Se  2 B
ln 
2
2
b

  Ej

E j - średnia energia jonizacji materii
Eh - umowna górna granica energii oddziaływania
kulombowskiego z elektronami
 N AZ A 
2
B  πr 

π
r

0 e
 A 
2
0
r0 - klasyczny promień elektronu (e2/m0c2)
e- gęstość elektronów w materii
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
28
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
• dla cząstek naładowanych o dużych energiach (Eh « Emax)
zachodzi oddziaływanie kulombowskie z jądrem atomowym
• strata energii dla takiego oddziaływania zgodnie z
przybliżeniem Bethego-Blocha
m0 c 2 Z 2   E max
Sn  2 B
ln 
2
b
  Eh
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny


2
  b 


29
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
• całkowita strata energii na oddziaływanie kulombowskie

m0 c 2 Z 2   2m0 v 2E max 
2
2
  ln( 1  b )  b 
SC  2 B
ln 
2
2
b
Ej

 

• podstawiając Emax

m0 c 2 Z 2   2m0 v 2 
2
2
  ln( 1  b )  b 
SC  4 B
ln 
2 
2
b
  Ej 

Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
30
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
m
-3
S c [MeV g cm ]
160
Al
powietrze
Cu
120
80
Pb
40
0
0,001
0,01
0,1
1
E [MeV]
Zależność masowego współczynnika strat energii SCm od energii cząstki a
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
31
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
• zależy od
– prędkości cząstki naładowanej
– rodzaj materii
• nie zależy od
– masy cząstki
• maleje z prędkością cząstki proporcjonalnie do 1/v2
• ze wzrostem liczby porządkowej Z maleje stosunek Z/A
• wzór jest słuszny w przypadku, gdy prędkość poruszającej
się cząstki jest znacznie większa od prędkości orbitalnej
elektronów (aZc/v)2 « 1
• dla prędkości mniejszych na wielkość oddziaływania
kulombowskiego wpływają również elektrony powłok
atomowych K, L, ..., działające ekranująco
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
32
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
• modyfikacją wzoru Bethego-Blocha jest wzór Bischela
(1968) z półempiryczną poprawką (P/Z)
m0 c 2 Z 2   2m0 v 2E max 
P
2
2
  ln( 1  b )  b  
SC  4 B
ln 
2
2
b
Z
Ej

 
• poprawka (P/Z) ma taką samą wartość dla cząstek
naładowanych o tej samej prędkości
• elektronowe straty energii dominują dla ciężkich cząstek
(np. cząstek a) poruszających się z prędkościami
nierelatywistycznymi
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
33
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
3
Se [MeV cm-1]
2
1
0
8
2
10
4
6
E [MeV]
Zależność strat energii Se od energii cząstek a w suchym powietrzu
( = 1,226 mg/cm3, E j = 80,5 eV, Z = 7,22)
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
34
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
• prędkość cząstki a jest porównywalna z prędkościami
elektronów orbitalnych atomów materii
– następuje rekombinacja cząstki a
– powstaje jon He+ lub obojętny atom He
• Krzywa Bragga - zależność całkowitych strat energii SC na
oddziaływanie kulombowskie od drogi cząstki a
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
35
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
5
SC [j.um.]
4
3
2
1
0
0
R
2
4
x
6
[j.um.]
Krzywa Bragga
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
36
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
• oddziaływanie wiązki elektronów z elektronami
– cząstki w oddziaływaniu mają taką samą masę
• wzór Bethego-Blocha można stosować jedynie do
elektronów
– o bardzo małych energiach
– dla prędkości relatywistycznych

2
2

c

1

b
m0 c   m0 c 2Ee   2 1  b 2
2
 ln 2  b 2  1 
SC  2 B 2 ln


b

1
4

b   E j 2 1  b 2    c 2
8
c


2
 
2


Ee - energia kinetyczna padającego elektronu
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
37
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
• dla małych energii elektronów (Ee« mc 2)
m0 c 2  m0 v 2
SC  4 B 2 ln 
b
 2E j
e

2 
• dokładniejsze wyrażenia wymagają poprawek
– na ekranujący wpływ elektronów
– gęstością elektronów
– polaryzacją elektronów
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
38
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
SC [MeV cm-1]
30
25
20
15
10
5
0
0.01
0.1
1 E [MeV] 10
Zależność straty energii SC dla elektronów powietrzu od energii Ee
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
39
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
• całkowita strata energii związana z oddziaływaniami
kulombowskimi (Kase i Nelson - 1978)
  2

2 

(


2
)
m
c
P
  F  ( )  d  2 
0
SC  2 B 2 Z 2 ln 
2

b
Z
 
2
E
j

 

 - energia elektronu w jednostkach (m0c2)
d - czynnik korelacyjny związany z polaryzacją i gęstością
2
 (2  1)ln 2
F  ( )  1  b 2  8
(  1) 2
m0 c 2
1 2
14
10
4 

F ( )  2ln 2  b  23 


2
4 
12 
  2 (  2) (  2) 

Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
40
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
• poprawka d zależy od energii cząstki i od gęstości materii
d
15
[%]
C
Cu
10
Au
5
0
2
4
6
8E [MeV]
10
(gęstość unormowana do gęstości w stanie gazowym)
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
41
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
• analiza oddziaływania cząstek naładowanych z jadrami
atomowymi
– dla m « M w układzie L
– dla m  M w układzie S
• zachodzi duża zmiana energii podczas zderzenia
• różniczkowy przekrój czynny na rozproszenie ’(W) dla dwu
identycznych mas (wzór Rutherforda)
– w układzie S
2
 Z2e2 
1
 (W )  
2 
 m v  4 sin 4  J2' 
– w układzie L
2
 Z e  cosJ
 (W )  

 E  sin 4 J
2 2
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
42
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
• wzór Rutherforda nie daje eksperymentalnie wyznaczonej
wartości różniczkowego przekroju czynnego dla
porównywalnych mas
• jedną z przyczyn jest identyczność cząstek
– nie można rozróżnić czy dana cząstka jest rozproszona
pod kątem J czy pod kątem (/2)-J
– uwzględnienie tego efektu wymaga wprowadzenia
dodatkowo czynnika proporcjonalnego do 1/cos4J
2
Z e 
1 
 1
 (W )  

 cosJ  4 
4

sin J cos J 
 E 
2
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
2
43
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
• dla cząstek nierelatywistycznych o spinie 0
– cząstki a na jądrach helu


 Z2e2
2 
2 cos
ln tg J  
2 2 2
 

Z e   1
1
 (W )  


cosJ

4
4
2
2


sin J cos J
 E  sin J cos J




• dla cząstek o spinie 1/2
– protony na jądrach wodoru


 Z 2e2
2 
2 cos
ln tg J  
2 2 2
 

Z e   1
1
 ' (W )  


cosJ

4
4
2
2

sin J cos J
 E   sin J cos J




Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
44
Elektrony d
• elektrony d - elektrony powstałe w akcie jonizacji o energii
większej od energii jonizacji
– różniczkowy przekrój czynny na powstawanie w
przedziale kątów (J',J'+dJ')
• ze wzoru Rutherforda w układzie S
2
 Ze  2 sin J 
 (J )   2 
  v  4 sin 4  J2' 
2
– kąt wylotu w przedziale katów (0,/2) (w układzie L)
– energia kinetyczna
4m M
E 
E cos2 
d
(m  M )
E - energia kinetyczna cząstki jonizującej w przedziale
od 0 do (4m/M)E
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
45
Elektrony d
• różniczkowy przekrój czynny przypadający na jednostkę
energii
Ze 

 ( E )  2 
2 2
mv 2
1
E2
• liczba elektronów d zawartych w przedziale energii (E1,E2)
– stąd można oszacować ładunek wytworzony przez
elektrony d
Ze 

 2
2 2
Nd
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
mv 2
 1 1
e   
 E1 E2 
46
Promieniowanie hamowania
• każde oddziaływanie prowadzi do zmiany kierunku ruchu
cząstki
• zmiana kierunku ruchu zależy od
– energii cząstki
– liczby porządkowej Z materii
• przy omawianiu strat na jonizację zakłada się, że przekaz
pędu jest na tyle mały, że nie zmienia się kierunek ruchu
cząstki
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
47
Promieniowanie hamowania
• cząstka o masie m1 i ładunku Z1e przechodzi w pobliżu jądra
o ładunku Z2e
– w wyniku oddziaływania kulombowskiego doznaje
przyspieszenia –a
• traci przy tym część swojej energii
– energia stracona przez cząstkę zostaje przekazana polu
atomu
– pole atomu emituje ją w postaci kwantu promieniowania
elektromagnetycznego - promieniowania hamowania
• całkowita moc promieniowania hamowania
– wzór Larmora dla ładunku poruszającego się
ruchem przyspieszonym
2e 2 2
P 3a
3c
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
48
Promieniowanie hamowania
• dla cząstek o jednakowych ładunkach siła oddziaływania
jest proporcjonalna do (1/M)2
– duża wartość
• dla cząstek lekkich (np. elektronów)
• dla cząstek ciężkich o dużych energiach
• promieniowaniem hamowania elektronów jest widmo ciągłe
promieniowania X powstałe w lampie rentgenowskiej w
wyniku bombardowania antykatody szybkimi elektronami
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
49
Promieniowanie hamowania
• dla cząstek naładowanych straty energii na promieniowanie
hamowania są
– dla cząstek lekkich (np.b istotnym składnikiem całkowitej
straty energii
– dla cząstek ciężkich (np.a całkowicie do zaniedbania
• podstawą klasycznej teorii promieniowania hamowania
– są założenia klasycznej elektrodynamiki
• teorię kwantową dla cząstek jądrowych opracowali w roku
1934 Bethe i Heitler stosując przybliżenie Borna
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
50
Promieniowanie hamowania
• przy oddziaływaniu cząstki naładowanej o energii E i pędzie
p, w wyniku którego otrzymujemy kwant promieniowania
hamowania są spełnione prawa zachowania energii i pędu
E  E   Eg
Δp | p  p  π |  | k  k   κ |
E i p - energia i pęd cząstki po zderzeniu, Eg i  - energia i
pęd kwantu hamowania, Dp - przekazywany pęd
– dla prędkości nierelatywistycznych cząstek, pęd kwantu
można zaniedbać
• prawdopodobieństwo emisji promieniowania hamowania
zależy od wzajemnej odległości obu cząstek (parametru
zderzenia)
– przy małej odległości w porównaniu z rozmiarami jądra
można stosować nieekranowany potencjał kulombowski
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
51
Kwantowa teoria promieniowania hamowania
• elektron o pędzie p = k przelatuje w pobliżu atomu Ze
– w wyniku rozpraszania elektron dalej porusza się z
pędem
p’ = k’
– w wyniku energii przekazanej atomowi Ze emitowany
jest foton promieniowania hamowania o pędzie
 = k
– zachodzi oddziaływanie
e - + Ze  (e -)’ + Ze - g
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
52
Kwantowa teoria promieniowania hamowania
• elektron e - oddziałuje
– z kulombowskim polem atomu
Ze 2
V  4π 3
L
1
exp( iκ r)

2
k k 
– z polem wirtualnych fotonów
e
U  3/ 2
L

Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny

k
2π c
k
(αa  ) exp( i ck t  i κ r )
53
Kwantowa teoria promieniowania hamowania
• Metodą rachunku zaburzeń
– początkowa funkcja falowa
b
 0  3 / 2 exp( i cKt  i kr) ( N )
L
– końcowa funkcja falowa
b
   3/ 2
L
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
 c(t ) exp(i cK t  i kr) ( N  1)
54
Kwantowa teoria promieniowania hamowania
• energia oddziaływania
b
W  0  3/ 2
L


W
 (κ, κ) exp[ i ckt  i r(κ  κ)] 0
κ,κ
gdzie
 2πe
W (κ , κ )  
3
c

L

2



3/ 2
2Zc

2
(k ) k
 K  k  [α (k  κ )]   3 k0

 K  [α (k  κ )]   3 k 0 

(αa )  (αa )
2
2
2
2
2
2 

(
K

k
)

(
k

κ
)

k
K

(
k

κ
)

k
0
0


Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
55
Kwantowa teoria promieniowania hamowania
• prawdopodobieństwo emisji promieniowania hamowania
– gdzie
64π 2 Z 2 e 6
P 2 3 9
c L
S S
d (k   k  k )

4
k ,k (k ) k
  2(ka )  i[σ(κa  )]  k (αa  )  2(k a  )  i[σ(κa  )]  k (αa  ) 
S  (b) 

b

2[ Kk  (kκ )]
2[ K k  (k κ )]



• różniczkowy przekrój czynny na jednostkę powierzchni i
jednostkę czasu na zjawisko hamowania
P PL3 K
 (t , S ) 

Ne
ck
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
56
Kwantowa teoria promieniowania hamowania
• dla przypadku nierelatywistycznego
– dla „ciągłego widma rentgenowskiego”


(
k

k
)
a
S  (b) 
b
k 0κ
• różniczkowy przekrój czynny na jednostkę powierzchni i
jednostkę czasu na zjawisko hamowania
16 Z


 (t , S ) 
3k 2
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
2
3
 e   k  k   dk
  ln 

 c   k  k   k
2
57
KLasyczna teoria promieniowania hamowania
• przy niewielkich kątach rozproszenia cząstki o masie m1 i
ładunku Z1e w polu nieruchomego ładunku punktowego Z2e
o masie m2 do określenia przekazu pędu Dp można
wykorzystać wzór Rutherforda
d  2 Z1Z 2 e
 
dW  pb c
2
2

1

J )4
(
2
sin
2

• dla zderzenia sprężystego, otrzymać wyrażenie na
różniczkowy przekrój czynny na jednostkowy przekaz pędu
Dp
 2Z1Z 2 e
d
 8π
d(Δp)
 bc
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
2
2
 1

3
Δ
p

58
KLasyczna teoria promieniowania hamowania
• różniczkowy przekrój czynny na jednostkowy przekaz pędu i
na jednostkowy przedział częstości
2 2
1
2
16 Z e
 ( , Δp) 
3c b
Z e

mc
2 2
2
2
1
2
 1

 Δp
• całkując względem pędu otrzymujemy różniczkowy przekrój
czynny na emisję kwantu promieniowania hamowania
2 2
1
2
16 Z e
 ( ) 
3c b
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
Z e

mc
2 2
2
2
1
2
  Δpmax
 ln 
  Δpmin



59
KLasyczna teoria promieniowania hamowania
• dla cząstek poruszających się z prędkościami
relatywistycznymi
16 Z e  Z e

 (  ) 
3 c mc
2 2
1
2 2
2
2
1



2
 E g 3 E g2    2E 0E

ln 
1 
2  
2
E
4
E
m
c

0
0 
   1 E g
 1
 
 2


• dla przypadku oddziaływania w warunkach całkowitego
ekranowania
16 Z e  Z e

 (  ) 
3 c mc
2 2
1
2 2
2
2
1



2
 E g 3 E g2    A m1  1 
  

ln 
1 
2    1/ 3
 E 0 4 E0    Z m2  2 
• stała A, według różnych autorów, ma wartości od 183 do
233
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
60
KLasyczna teoria promieniowania hamowania
• strata energii elektronów o energii E0 na promieniowanie
hamowania w warstwie materii dx


S ph   c  ( )d 
0
2E0 4 

S ph  c BZ(Z  1)E0  4 ln
 
2
3
mc

• dla przypadku oddziaływania w warunkach całkowitego
ekranowania
S ph
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
A
2

  c BZ(Z   )E0  4 ln 1/ 3  
Z
9

61
Klasyczna teoria promeniowania hamowania
10 -18 e S ph [MeV cm 2 elektron
-1
]
125
100
75
50
Pb
25
Fe
Al
0
0,1
1
10
E [MeV]
20
Zależność strat energii elektronów na promieniowanie hamowania
eSph (na jeden elektron) od energii
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
62
Rozpraszanie wielokrotne
• cząstka naładowana poruszająca się w materii gęstej może
doznać na swojej drodze kolejno wielu oddziaływań
kulombowskich
• cząstka naładowana w każdym zderzeniu traci energię w
procesie zwanym rozproszeniem wielokrotnym
• rozproszenie wielokrotne zależy zarówno od parametrów
cząstki jak i materii
• efektem rozproszenia wielokrotnego może być:
– zmiana kierunku ruchu cząstki
– pozorne zakrzywienie toru cząstki
– rozrzut zasięgów
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
63
Rozpraszanie wielokrotne
- ogólny opis rozproszenia wielokrotnego nie jest możliwy
- charakterystyką rozproszenia wielokrotnego jest średni
kwadratowy kąt rozproszenia J dla pojedynczego
rozproszenia
J2 
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
2
J
  (W )d W
  (W )d W
64
Promieniowanie Czerenkowa
• cząstka poruszająca się w dielektryku z prędkością
relatywistyczną wywołuje zmianę polaryzacji elektronowej
• odpowiedź materii
– promieniowanie elektromagnetyczne (z przedziału pasma
widzialnego) nazwanego promieniowaniem Czerenkowa
• (zaobserwowanego w roku 1934 przez Pawła
Czerenkowa w Leningradzie)
• warunek powstania promieniowania Czerenkowa w danej
materii
– cząstka padająca musi mieć prędkość fazową większą
od prędkości fali elektromagnetycznej o tej częstości
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
65
Promieniowanie Czerenkowa
cząstka wolna
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
cząstka szybka
66
Promieniowanie Czerenkowa
prędkość cząstki jest mniejsza
prędkość cząstki jest większa
od prędkości światła
od prędkości światła
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
67
Promieniowanie Czerenkowa
prędkość cząstki jest mniejsza
prędkość cząstki jest większa
od prędkości światła
od prędkości światła
vf t
vf t
J
vt
vt
v – prędkość światła, vf – prędkość cząstki


1

J  arccos(cos J )  arccos
 (v / c) n( ) 
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
68
Promieniowanie Czerenkowa
J
80°
n=2
60°
40°
n=1,7
n = 1,5
20°
0°
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
v f /c
Zależność kąta J od vf/c dla różnych n
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
69
Promieniowanie Czwerenkowa
• straty energii na promieniowanie Czerenkowa opisuje wzór
podany przez Franka i Tamma
S pC
2

Ze 

Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
c2


1
2 1  (v / c) 2  ( )  d 
( v / c )  1
70
Kwantowa teoria promieniowania Czerenkowa
• swobodny elektron poruszający się z prędkością v ma pęd i
energię
p e  k
E e  cK  c k 2  k02
• może wywołać emisję kwantu o pędzie i energii
p g  l
E g  cL
• po emisji kwantu elektron przechodzi do nowego stanu
kwantowego o energii i pędzie
p' e  k '
E' e  cK '  c k ' 2  k 02
• muszą być spełnione zasady zachowania pędu i energii
k  l  k'
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
k 2  k 02  L  k ' 2  k 02
71
Kwantowa teoria promieniowania Czerenkowa
• kąt J pomiędzy kierunkiem pędu elektronu k i kierunkiem
fotonu l
v k
1 L
l 
L2 


b


cos J 

1 2 

c K
b l 2k  l 
– w próżni energia i pęd fotonu
– skąd wynika
E g  cp g
Ll
cos J 
1
b
• w ośrodkach materialnych prędkość cząstki v może być
większa od prędkości fazowej światła w tym ośrodku
• w wyniku przelotu takiej cząstki następuje emisja fotonów
 promieniowanie Czerenkowa
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
72
Kwantowa teoria promieniowania Czerenkowa
• energia oddziaływania elektronów z polem fotonów
e
2πc

W (r, t )  3 / 2 
(α a  )exp( ick t  iκr)
L k
k
– kładąc
e
2πc
c
k

W (ls )  3 / 2 
(α a ), l  κ, L  k 
L k
k
c
n
• prawdopodobieństwo emisji fotonu

2
w
c
k


'
R
R
d
d
K
'


K


k , k  k 
n


k ' ls
R
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny

e
2c' 
L3 / 2
k
b'  (αa  )b
73
Kwantowa teoria promieniowania Czerenkowa
• promieniowanie może być emitowane, gdy
v
n 1
c
– zgodne z danymi, uzyskanymi klasycznie
• kąt J jest zawarty w przedziale
1
 cosJ  1
bn
• liczba falowa k zawarta w przedziale
0  k  k max
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
k max
1
1
bn
 2k
1
1 2
n
74
Kwantowa teoria promieniowania Czerenkowa
• energia dE przypadająca na element liczby falowej dk
k 02 (kκ )(k'κ )

2 1
2
e
KK
'
k
KK ' k dk
dE 
kk
n
K'
k
(kκ )
k'  k  κ , K '  K  ,
 cos J
n kk
• energia elektronu emitowana na jednostkę czasu
 max
e2 b  
1
 
1  n 2 2  2 
1 
E 
 1  2 2 
1  4  d
1  2  

2 2 
c   n b
pcb  n  4 p c  n 
0
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
75
Kwantowa teoria promieniowania Czerenkowa
• kierunek promieniowania
1 n 
1 
cos J 

1  2 
bn 2 pc  n 
• maksymalna częstość
 max
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
1
1
2 pc
bn

1
n
1 2
n
76
Kwantowa teoria promieniowania Czerenkowa
• dla prędkości nieratywistycznych
v
n 2  1
 1
c
– energia wyemitowana na jednostkę czasu
 max
2
2 2
e2 b  
n

 
2
E 
 1  cos J 
d

2 2 
c  
2p c 
0
– kierunek promieniowania
1
n 
cos J 

bn 2mc 2 b
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
77
Kwantowa teoria promieniowania Czerenkowa
• maksymalna częstość
 max
2mc 2 b

n

1 
1  
 bn 
– w granicy (  0) wyrażenie klasyczne
e 2 b  max
2
E 

1

cos
J d

c 0


1
cos J 
bn
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
78
Kwantowa teoria promieniowania Czerenkowa
• promieniowanie Czerenkowa powstaje na skutek
oddziaływania poruszającego się elektronu z atomami
dielektryka, traktowanego jako całość
• w teoriach fenomenologicznej i kwantowej oddziaływanie
opisane jest średnim współczynnikiem załamania światła n
• częstość maksymalna max dla n = const rośnie do
nieskończoności
– jako częstość maksymalną należy wziąć wartość nieco
mniejszą
– można zaniedbać poprawki kwantowe czyli odrzut
elektronu na skutek emisji promieniowania
• długość fali de Broglie’a elektronu swobodnego jest dużo
mniejsza od najmniejszych długości fal, które emituje
elektron podczas ruchu w dielektryku
Tadeusz Hilczer, wykład monograficzny
79