OBWODY JEDNOFAZOWE – POMIAR PRĄDÓW, NAPIĘĆ

OBWODY JEDNOFAZOWE – POMIAR PRĄDÓW, NAPIĘĆ
MATERIAŁY POMOCNICZE
1. Obwody prądu stałego
1.1. Pomiary w obwodach nierozgałęzionych – wyznaczanie rezystancji metodą
techniczną.
Metoda techniczna pomiaru rezystancji:
a) poprawny pomiar prądu (rys.1a)
b) poprawny pomiar napięcia (rys. 1b)
UA
a)
b)
Ix
IA
A
A
Rx
Uz
Rx
IV
Uz
V
V
Rys. 1. Schematy pomiarowe pomiaru rezystancji metodą techniczną: a) przy poprawnie
mierzonym prądzie, b) przy poprawnie mierzonym napięciu
W układzie poprawnie mierzonego prądu (rys.1a) wskazanie amperomierza jest poprawne,
natomiast woltomierz wskazuje wartość powiększoną o spadek napięcia UA, występujący na
rezystancji RA amperomierza. Wyznaczenie poprawnej wartości rezystancji Rxp tą metodą
wymaga skorygowania wskazań przyrządów o wartość spadku napięcia UA na amperomierzu:
𝑅𝑥𝑝 =
𝑈𝑉 −𝑈𝐴
𝐼
=
𝑈𝑉
𝐼
− 𝑅𝐴 = 𝑅𝑥 − 𝑅𝐴
(1)
Względny błąd metody wynosi:
𝛿𝐼 =
𝑅𝑋 −𝑅𝑥𝑝
𝑅𝑥𝑝
=
𝑅𝐴
𝑅𝑥
100%
(2)
Błąd bezwzględny metody wynosi:
∆𝐼 = 𝛿𝐼 𝑅𝑥 =
𝑅𝐴
𝑅𝑥
𝑅𝑥 = 𝑅𝐴
(3)
Metodę poprawnie mierzonego prądu powinno się stosować do pomiaru dużych rezystancji,
tzn. wielokrotnie większych od rezystancji amperomierza:
𝑅𝑥 ≫ 𝑅𝐴
(4)
W układzie poprawnie mierzonego napięcia (rys. 1b) wskazanie woltomierza jest poprawne,
natomiast amperomierz wskazuje wartość prądu powiększoną o prąd IV płynący przez
woltomierz o rezystancji wewnętrznej RV. Poprawna wartość rezystancji Rxp wynosi:
𝑅𝑥𝑝 = 𝐼
𝑈𝑉
𝐴 −𝐼𝑉
𝑅 𝑅
= 𝑅 𝑥−𝑅𝑉
(5)
100%
(6)
𝑉
𝑥
Błąd względny metody wynosi:
𝛿𝑈 = − 𝑅
𝑅𝑥
𝑥 +𝑅𝑉
Błąd bezwzględny metody wynosi:
∆𝑈 = 𝛿𝑈 𝑅𝑥 = − 𝑅
𝑅𝑥2
𝑥 +𝑅𝑉
(7)
Metodę poprawnie mierzonego napięcia stosujemy do pomiaru niedużych rezystancji, tzn.
wielokrotnie mniejszych od rezystancji wewnętrznej woltomierza:
𝑅𝑥 ≪ 𝑅𝑉
(8)
Aby rozgraniczyć stosowanie układu pomiarowego zapewniającego mniejszą wartość błędu
wyznacza się rezystancję graniczną Rgr z zależności:
𝑅𝑔𝑟 = √𝑅𝐴 𝑅𝑉
(9)
Jeżeli spodziewana wartość mierzonej rezystancji Rx jest mniejsza od rezystancji granicznej
Rgr należy zastosować układ poprawnie mierzonego napięcia, w przeciwnym razie układ
poprawnie mierzonego prądu.
1.2. Pomiary w obwodach szeregowo równoległych:
Prawo Ohma
Między napięciem na elemencie R i prądem płynącym przez ten element zachodzi zależność
ustalona doświadczalnie, zwana prawem Ohma
𝑈 = 𝑅𝐼
(10)
W myśl tej zależności napięcie na zaciskach rezystora jest wprost proporcjonalne do prądu
przepływającego przez ten rezystor.
Prawa Kirchhoffa
Prawa Kirchhoffa dotyczą obwodów elektrycznych złożonych z różnych elementów. W
obwodach elektrycznych rozróżniamy gałęzie i węzły. Gałęzią obwodu nazywamy zbiór
dowolnej liczby szeregowo połączonych elementów (aktywnych lub pasywnych), mający dwa
zaciski. Węzłem nazywamy punkt obwodu, w którym połączone są co najmniej trzy zaciski
różnych gałęzi.
Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa algebraiczna suma prądów w każdym węźle
obwodu elektrycznego jest równa zeru, czyli suma prądów wpływających do węzła równa się
sumie prądów odpływających od węzła.
∑𝑛𝑘=1 𝐼𝑘 = 0
(11)
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa suma napięć źródłowych w oczku obwodu
elektrycznego równa się sumie spadków napięć odbiornikowych oczka.
∑𝑛𝑘=1 𝐸𝑘 = ∑𝑛𝑘=1 𝑅𝑘 𝐼𝑘
(12)
Moc obwodu prądu stałego
W urządzeniach zwanych odbiornikami energii elektrycznej, energia elektryczna jest
zamieniana na energię cieplną, mechaniczną lub chemiczną. Praca wykonana w tym
przypadku jest zależna od napięcia na zaciskach odbiornika, od natężenia prądu w odbiorniku
oraz od czasu przepływu prądu. Wartość chwilową mocy definiuje się jako:
𝑝=
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝑢𝑖
(13)
gdzie: da - elementarna praca.
W przypadku prądu stałego wartość napięcia i prądu są niezmienne w czasie i podana
zależność przybiera postać:
𝑃 = 𝑈𝐼
(14)
-1
Jednostką mocy jest wat (1W), przy czym 1W=1J ∙ 1s oraz 1W=1V ∙ 1A.
2. Obwody prądu przemiennego
2.1. Obwód szeregowy R-L-C
Na rysunku 2 pokazano obwód złożony z szeregowo połączonych elementów R, L, C; w
obwodzie tym płynie prąd sinusoidalny
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼),
(15)
który można zapisać w postaci:
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝛼) = 𝐼𝑚 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑒 𝑗𝛼 = √2𝐼𝑒 𝑗𝜔𝑡
(16)
gdzie:
𝐼 = 𝐼𝑒 𝑗𝛼
(17)
uR
i
R
u
L
uL
C
uC
Rys. 2. Obwód złożony z elementów R,L,C połączonych szeregowo.
Dla obwodu w każdej chwili jest spełnione drugie prawo Kirchhoffa dla wartości
chwilowych, zgodnie z którym:
u = uR + uL + uC
(18)
oraz dla wartości skutecznych zespolonych napięć
𝑈 = 𝑈𝑅 + 𝑈𝐿 + 𝑈𝐶
(19)
przy czym
𝑈𝑅 = 𝑅𝐼 - jest w fazie z prądem,
𝑈𝐿 = 𝑗𝜔𝐿𝐼 - wyprzedza prąd o kąt π/2
1
𝑈𝐶 = −𝑗 𝜔𝐶 𝐼 - opóźnia się względem prądu i kąt π/2.
Podstawiając do równania 19 otrzymujemy:
1
𝑈 = 𝑅𝐼 + 𝑗 (𝜔𝐿 − 𝜔𝐶) 𝐼
(20)
Wielkość
1
𝜔𝐿 − 𝜔𝐶 = 𝑋𝐿 − 𝑋𝐶 = 𝑋
(21)
nazywamy reaktancją obwodu (oporem biernym). Uwzględniając zależność 21 otrzymamy
𝑈 = (𝑅 + 𝑗𝑋)𝐼
(22)
Równanie 22 przedstawia prawo Ohma w postaci zespolonej dla gałęzi szeregowej R, L, C.
Wprowadzając oznaczenie
𝑍 = √𝑅 2 + 𝑋 2
(23)
Wielkość z nazywamy impedancją (oporem pozornym) rozpatrywanego obwodu.
Dzieląc napięcia przez prąd I otrzymamy trójkąt impedancji (rys. 3)
Z
X
φ
R
Rys.3. Trójkąt impedancji
Z trójkąta impedancji mamy
𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝑅
𝑍
𝑅
= √𝑅2
+𝑋 2
=
𝑅
(24)
√𝑅 2 +(𝑋𝐿 −𝑋𝐶 )2
1
1
Jeżeli 𝜔𝐿 > 𝜔𝐶 obwód ma charakter indukcyjny, a gdy 𝜔𝐿 < 𝜔𝐶 obwód ma charakter
pojemnościowy. Na rysunku 4 pokazano wykresy wektorowe napięć i prądów dla obu
przypadków.
𝑈 = 𝑈𝑅 + 𝑈𝐿 + 𝑈𝐶
a)
b)
UL
UL-UC
UC
UR
UL
U
φ UR
UL-UC
φ
I
U
I
UC
Rys. 4. Wykresy wektorowe napięć i prądów gałęzi RLC: a) dla charakteru indukcyjnego
obwodu, b) dla charakteru pojemnościowego.