1. Algebra zbiorów - Politechnika Rzeszowska

ZAŁĄCZNIK DO
ZARZĄDZENIA NR 24/2000
REKTORA PRZ z dnia 13 listopada 2000 r.
POLITECHNIKA RZESZOWSKA
Im. IGNACEGO ŁUKASIEWICZA
W RZESZOWIE
WYDZIAŁ
Budowy Maszyn i Lotnictwa
KIERUNEK
Fizyka Techniczna
Fizyczne podstawy diagnostyki i miernictwa
SPECJALNOŚĆ
Dzienne inżynierskie
RODZAJ STUDIÓW
KARTA PRZEDMIOTU
N AZWA
P RZEDMIOTU
Algebra i geometria analityczna
IMIĘ NAZWISKO, TYTUŁ
Kontakt
Prof. dr hab. Tadeusz Lulek, tel.: 1917, [email protected]
Prof. dr hab. Barbara Lulek, tel.: 1943, [email protected]
Jednostka
Katedra Fizyki
RODZAJ ZAJĘĆ
REALIZOWANYCH W
RAMACH PRZEDMIOTU
LICZBAGODZIN
PROWADZONYCH ZAJĘĆ
W DANYM S E M E S T R Z E
W*
Ć*
L*
P*
K*
s e m e s t r: 1
s e m e s t r: 1
s e m e s t r:
s e m e s t r:
s e m e s t r:
60
60
TEMATYKA ZAJĘĆ** WG PROWADZONYCH RODZAJÓW ZAJĘĆ
60
WYKŁAD:
Algebra:
1. Algebra zbiorów: ■ Działania na zbiorach ■ Prawa de Morgana ■ Rachunek kwantyfikatorów ■ Rachunek zdań
■ Zasada dowodu indukcyjnego i dowodu nie wprost ■ Pojęcie funkcji.
2. Zagadnienia kombinatoryczne: ■ Permutacje ■ Wariacje bez powtórzeń i z powtórzeniami ■ Kombinacje bez
powtórzeń ■ Własności funkcji
3.
4.
5.
6.
7.
8.
LICZBA
GODZIN
n
  ■ Kombinacje z powtórzeniami ■ Wzory wielomianowe Newtona ■
k 
Składanie permutacji ■ Rozkład permutacji na cykle ■ Transpozycje.
Rozkład dwumianowy, schemat Bernoulliego ■ Momenty rozkładu dwumianowego i ich estymatory ■ Postaci
graniczne rozkładu dwumianowego – rozkład Gaussa i rozkład Poissona.
Liczby zespolone: ■ Działania na liczbach zespolonych ■ Własności liczb zespolonych ■ Moduł i liczby
sprzężone ■ Trygonometryczne przedstawienie liczb zespolonych ■ Pierwiastkowanie liczb zespolonych,
Pierwiastki pierwotne z jedności, pierwiastki naturalnego stopnia n z liczb zespolonych.
Wyznaczniki: ■ Inwersje ■ Określenie macierzy ■ Określenie wyznacznika ■ Rozwinięcie Laplace’a ■ Minory
■ Własności wyznaczników ■ Wyznaczniki cykliczne ■ Wielomian charakterystyczny ■ Twierdzenie
Cauchy’ego o wyznaczniku iloczynu macierzy ■ Praktyczne sposoby obliczania wyznacznika (eliminacja
Gaussa).
Macierze: ■ Działania na macierzach ■ Macierz jednostkowa, macierz odwrotna, diagonalna, symetryczna,
antysymetryczna, hermitowska, ortogonalna, unitarna ■ Rząd macierzy.
Przestrzenie liniowe: ■ Liniowa zależność i niezależność wektorów ■ Baza i wymiar przestrzeni, baza
kanoniczna ■ Rząd macierzy ■ Ogólna teoria rozwiązywania układu równań liniowych.
Układy równań liniowych: ■ Wzory Cramera ■ Praktyczne sposoby rozwiązywania układów równań liniowych
■ Przekształcenia liniowe: zmiana macierzowej realizacji operatora liniowego przy przejściu do innej bazy.
c. d. KARTY PRZEDMIOTU:
Algebra i geometria analityczna
Przestrzenie metryczne - euklidesowa i hermitowska: ■ Przekształcenia ortogonalne i unitarne w
przestrzeniach metrycznych oraz ich własności ■ Ortogonalność i ortonormalność w przestrzeniach liniowych ■
Bazy ortonormalne ■ Wektory własne i wartości własne: ■ Wartości własne macierzy hermitowskiej,
ortogonalnej, unitarnej ■ Niezależność widma operatora (macierzy) od wybranej bazy ■ Diagonalizacja macierzy
hermitowskiej i symetrycznej.
10. Formy kwadratowe, postać kanoniczna.
11. Wielomiany jednej zmiennej: ■ Dzielenie wielomianów ■ Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna
wielokrotność wielomianów ■ Eliminacja zer wielokrotnych.
9.
Geometria analityczna
1. Kartezjański prostokątny układ współrzędnych.
2. Wektory i ich podstawowe własności: ■ Określenie wektora ■ Rzut wektora na prostą i współrzędna wektora
względem osi ■ Współrzędne kartezjańskie wektora ■ Kosinusy kierunkowe wektora i związek między nimi ■
Iloczyn wektora i liczby ■ Kolinearność dwóch wektorów ■ równość i równoległość dwóch wektorów ■ Wektor
jednostkowy ■ Dodawanie wektorów ■ Prawo trójkąta dla sumy i różnicy wektorów ■ Odejmowanie wektorów ■
Koplanarność wektorów ■ Wektor jako suma składowych ■ Kombinacja liniowa i zależność liniowa wektorów ■
Współrzędna wektora względem osi.
3. Iloczyn skalarny: ■ Określenie iloczynu skalarnego dwóch wektorów ■ Iloczyn skalarny wyrażony za pomocą
współrzędnych wektorów ■ Kąt między wektorami i warunek prostopadłości wektorów ■ Rozkład wektora w
trzech danych kierunkach ■ Ortonormalizacja układu wektorów.
4. Iloczyn wektorowy pary wektorów: ■ Określenie iloczynu wektorowego pary wektorów ■ Własności iloczynu
wektorowego pary wektorów ■ Obliczanie iloczynu wektorowego przy pomocy współrzędnych wektorów ■
Interpretacja kinematyczna iloczynu wektorów ■ Tożsamość Lagrange’a ■ Sinus kąta pomiędzy wektorami i
warunek równoległości wektorów.
5. Przekształcenia ortogonalne układu kartezjańskiego: ■ Rodzaje przekształceń ortogonalnych: ■ Przesunięcie
równoległe układu współrzędnych ■ Obrót i odbicie zwierciadlane układu współrzędnych ■ Skrętność układu
współrzędnych ■ Przekształcenie współrzędnych wektora ■ niezmienniki przekształceń ortogonalnych –
odległość i iloczyn skalarny ■ Macierzowy zapis przekształceń ortogonalnych.
6. Iloczyny wielokrotne wektorów: ■ Objętość równoległościanu rozpiętego na trzech wektorach ■ Iloczyn
mieszany trzech wektorów (komplanarność) ■ Wyznacznik Grama ■ Rozkład wektora w trzech kierunkach ■
Iloczyn mieszany jako niezmiennik względny.
7. Zastosowania algebry wektorów: ■ Podział odcinka w danym stosunku ■ Prosta wyznaczona przez dwa punkty
■ Prosta w postaci kierunkowej i parametrycznej ■ Kąt pomiędzy prostymi ■ Dwusieczna kąta ■ Odległość
punktu od prostej w przestrzeni ■ Płaszczyzna wyznaczona przez punkt i dwa niekolinearne wektory ■
Płaszczyzna wyznaczona przez dwa punkty i kierunek ■ Odległość punktu od płaszczyzny ■ Kąt między
płaszczyznami ■ Kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną ■ Proste skośne ■ Odległość dwóch prostych skośnych ■
Prosta, a płaszczyzna ■ Wzajemne położenie dwóch prostych w przestrzeni ■ Pole trójkąta w przestrzeni ■
Zastosowanie do geometrii w płaszczyźnie: wzór Carnota (cosinusów), wzór sinusów ■ Twory wyższych stopni –
kula ■ Rzutowanie ortogonalne i perspektywiczne.
8. Wektorowe równania algebraiczne: ■ Składowa kierunkowa wektora ■ Baza wzajemna wektorów ■ Równania
wektorowe: iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy, iloczyn skalarny i wektorowy.
9. Krzywe stożkowe: ■ Współrzędne biegunowe ■ Przekroje stożka obrotowego i płaszczyzny ■ Kanoniczne
równania krzywych stożkowych ■ Kształt stożkowych: kształt elipsy, hiperboli, paraboli ■ Równania
stożkowych parametryczne, biegunowe i ogólne ■ Geometryczne własności stożkowych.
10. Powierzchnie drugiego rzędu: ■ Specjalny układ współrzędnych ■ Klasyfikacja powierzchni drugiego rzędu:
elipsoida, hiperboloida, paraboloida, stożek i cylindry.
11. Tensory: ■ Tensory drugiego rzędu ■ Przykłady takich tensorów (tensor naprężeń, tensor bezwładności) ■
Tensor jednostkowy ■ Diady ■ Antysymetryczny tensor Leviego-Civity i jego związek z iloczynem wektorowym
i wyznacznikami ■ Własności transformacyjne tensorów ■ Dodawanie i mnożenie tensorów ■ Zwężenie
tensorów ■ Tensory symetryczne i antysymetryczne ■ Mnożenie tensorów przez wektory ■ Wartości własne i
wektory własne tensorów drugiego rzędu ■ Kwadryki ■ Główne osie i główne wartości tensora ■ Tensory
wyższych rzędów ■ Całkowicie antysymetryczny tensor jego związek z wyznacznikami i iloczynami
wektorowymi.
ĆWICZENIA:
Przebiegają równolegle do realizacji programu wykładu zawierają demonstrację, utrwalanie i mnemotechnikę dla
omawianych struktur matematycznych i zastosowań w fizyce.

**
niepotrzebne skreślić
wypełniać odpowiednio
60
c. d. KARTY PRZEDMIOTU:
Algebra i geometria analityczna
WYKAZ ZALECANEJ LITERATURY
L. p.
Algebra
1.
A. Białynicki–Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa, 1979
2.
I.M. Gelfand, Wykłady z algebry liniowej, PWN, Warszawa, 1978.
3.
L.I. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Matematyka konkretna, PWN, Warszawa, 1996.
4.
A.I. Kostyrkin, Wstęp do algebry, PWN, Warszawa, 1984.
5.
A. Mostowski, M. Stark, Algebra liniowa, PWN, Warszawa, 1977.
6.
A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej,PWN, Warszawa, 1977
7.
R. Nowak, Statystyka dla fizyków, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002
8.
W.A. Pogorzelski, J. Słupecki, O dowodzie matematycznym, PZWS, Warszawa, 1962
9.
H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, Warszawa, 1968
Geometria analityczna
1.
M. Jankowski, Elementy grafiki komputerowej, WNT, Warszawa, 1990
2.
E. Karaśkiewicz, Zarys teorii wektorów i tensorów, PWN, Warszawa, 1971
3.
E. Niczyporowicz, Krzywe płaskie, wybrane zagadnienia z geometrii analitycznej i różniczkowej, PWN, Warszawa, 1991
4.
A.V. Pogoriełow, Geometria, Nauka, Moskwa, 1983
5.
T. Trajdos-Wróbel, Wstęp do analizy wektorowej, PWN, Warszawa, 1959
FORMA I WARUNKI ZALICZENIA PRZEDMIOTU
(RODZAJU ZAJĘĆ)
WYKŁAD: Egzamin
ĆWICZENIA: Zaliczenie na podstawie aktywności podczas ćwiczeń i kolokwiów.
PODPISY:
................................................................................................................................................................................
nauczyciela akademickiego odpowiedzialnego za przedmiot
data
................................................................................................................................................................................
kierownika zakładu/katedry akceptującego kartę
data