Równanie transportu ciepła w suchych ciałach stałych ma

Równanie transportu ciepła w suchych ciałach stałych ma następującą postać:
T
 hT  2T
t
(1)
 2T  2T  2T
T 2  2  2
x
y
z
(2)
Gdzie:
2
W przypadku transportu ciepła w wilgotnych ciałach stałych równanie przyjmuje postać:
T
r u
 hT  2T  
t
c t
(3)
Gdzie:
T – temperatura;
t – czas;
hT – współczynnik przewodzenia ciepła;
r – ciepło parowania;
c – ciepło właściwe ciała stałego;
u – zawartość wody;
ε – współczynnik przemiany fazowej.
Analogicznie do równania transportu ciepła równanie transportu masy w ciele stałym
określone jest następująco:
u
 hm  2 u  hm  2T
t
(4)
 2u  2u  2u
 u 2  2  2
x
y
z
(5)
Gdzie:
2
W pracy Łykowa i Michałowa [1963] obszernie omówiono i przeanalizowano metody
rozwiązywania układu równań (3) i (4), w pełni opisujących przebieg procesu suszenia.
W przypadku suszenia konwekcyjnego, najczęstszego w praktyce rolniczej, gdy
gradienty temperatury mają nieznaczne wartości równanie (4) upraszcza się do postaci:
u
 hm  2 u
t
(6)
analogicznej z równaniem (1) transportu ciepła.
W wyniku rozwiązania równań transportu ciepła i masy albo też układu tych równań
otrzymuje się funkcję, najczęściej kilku zmiennych w postaci szeregu nieskończonego, za
pomocą której możemy obliczyć wartości temperatury lub zawartości wody w dowolnym
czasie trwania procesu.
Aby określić średnie wartości temperatury lub zawartości wody w dowolnym czasie
procesu, należy rozwiązanie równań (3) i (4), bądź ich układu, scałkować w obrębie objętości
rozpatrywanego ciała. Wynik w postaci szeregu nieskończonego określony jest funkcją 1
zmiennej, mianowicie czasu trwania procesu.
W teorii konwekcyjnego suszenia ciał stałych wykorzystywane są założenia
upraszczające [Pabis, 1982], po uwzględnieniu których, równanie suszenia ciała stałego jest
identyczne z równaniem dyfuzji wody, a jego rozwiązanie pozwala wyznaczyć równanie
suszenia.
Analityczne rozwiązania równań Łykowa można zapisać w ogólnej postaci jako sumę
szeregu nieskończonego:

u  ur
 A  Bn exp Cn t 
uo  u r
n  n0
(7)
przy czym wielkości A, Bn, Cn i n0 zależą od kształtu ciała oraz jego fizycznych właściwości
[Pabis, 1982].
Modele takie są stosowane m.in. do wyznaczenia uogólnionego współczynnika
dyfuzji masy w procesie suszenia produktów rolniczych, traktowanych jako ciała stałe
kapilarno – koloidalno – porowate.
Rozwiązaniem równania dla płyty skończonej o kształcie prostopadłościanu jest
równanie:
U t  
 2
 8
 2
 8
 2

ut   u r
8
 2 exp  2 De t   2 exp  2 De t   2 exp  2 De t  (8)
u0  ur

 4a
 
 4b
 
 4c

Szereg, za pomocą którego obliczamy wartość zawartości wody, jest szeregiem dość
szybko zbieżnym. Oznacza to, że wartości liczbowe poszczególnych wyrazów szeregu szybko
maleją. Oznacza to, że wartość sumy szeregu można z dostateczną dla celów praktycznych
dokładnością przedstawić za pomocą sumy kilku jego pierwszych wyrazów. W praktyce
stosuje się uproszczenie polegające na tym, że pod uwagę bierzemy jedynie pierwszy człon
sumy szeregu.
 2

ut   u r
8
U t  
 2 exp  2 De t 
u0  u r

 4a

(9)
Równanie suszenia kuli ma rozwiązanie w postaci następującego szeregu:
U t  
 2
 6
 2
 6
 2

ut   u r
6
 2 exp  2 De t   2 exp  2 De t   2 exp  2 De t 
u0  u r

 R
 
 R
 
 R

Biorąc pod uwagę jedynie pierwszy człon otrzymujemy:
U t  
 2

ut   u r
6
 2 exp  2 De t 
u0  ur

 R

(11)
Analogiczne równania dla ciał o innych kształtach można znaleźć w literaturze.
(10)
Zauważmy, że we wszystkich wyrazach szeregu występuje wyrażenie
De t
R2
Wyrażenie to nazywamy liczbą Fouriera dla wymiany masy i oznaczamy symbolem:
Fom 
De t
R2
(12)
Zatem
U t  
u t , r   u r
 f Fom 
u0  ur
(13)
Z zapisu tego widać, że średnia wartość zawartości wody w dowolnym punkcie
wewnątrz kuli i w dowolnym czasie trwania procesu jest określona przez wartość liczby
Fouriera
Praktyczne wykorzystanie uproszczonych równań suszenia dla ciał o kształcie kuli
Należy oszacować wartości efektywnego współczynnika dyfuzji wykorzystując
uproszczone analityczne rozwiązanie równania dyfuzji masy (4), uzyskane przy założeniu
stałości parametrów, przy uwzględnieniu jedynie pierwszego wyrazu szeregu:
U t  
 2

ut   u r
6
 2 exp  2 De t 
u0  ur

 R

ln U  ln
6
2

2
R2
y  at  b
Gdzie:
b= 
2
R2
De
Zatem:
De= 
bR 2
2
(11)
(14)
De t
(14)
Praktyczne wykorzystanie uproszczonych równań suszenia dla ciał o innych kształtach
u t   ur
 B  exp  Kt 
u0  u r
(15)