Rozwiązanie analityczne hiperbolicznego równania przewodzenia

Rozwiązanie analityczne hiperbolicznego
równania przewodzenia ciepła dla przypadku
cienkiej warstwy obustronnie ogrzewanej
promieniowaniem laserowym
dr inż. Monika Lewandowska
Plan seminarium
• Cel pracy
• Sformułowanie zagadnienia
• Model matematyczny zagadnienia
– Model w zmiennych wymiarowych
– Model w zmiennych bezwymiarowych
• Rozwiązanie modelu
–
–
–
–
Transformacja Laplace’a
Rozwiązanie w dziedzinie obrazu
Rozwiązanie w dziedzinie oryginału
Weryfikacja poprawności rozwiązania
• Przykładowe obliczenia i dyskusja wyników
• Podsumowanie i wnioski
Cel pracy
Celem pracy było znalezienie
niestacjonarnego pola temperatury
w cienkiej warstwie ogrzewanej
obustronnie promieniowaniem
laserowym
Podstawowe założenia
0
l
x
• Badany ośrodek - cienka warstwa o
grubości l
• Stała temperatura początkowa T0
• W chwili początkowej rozpoczyna się
ogrzewanie obu powierzchni ośrodka
• Zagadnienie jednowymiarowe
• Izolowane brzegi
• Stałe parametry termofizyczne
Model matematyczny
Równanie bilansu energii
T
q
c p
   g ( x, t )
t
x
  gęstość ośrodka [kg/m3]
cp – ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu [J/(kg K)]
q – gęstość strumienia ciepła [W/(m2 K)]
g – wydajność wewnętrznego źródła ciepła [W/m3]
Równanie Cattaneo
q
T
q  tk
 k
t
x
k – przewodność cieplna [W/(m K)]
tk – czas relaksacji strumienia ciepła [s]
Model matematyczny
Hiperboliczne równanie przewodzenia ciepła
 2T T
 2T
1  g

tk 2 
a 2 
 g
 tk
t
c p  t
t
x

a  k /( c p ) - dyfuzyjność cieplna ośrodka [m2/s]
w  a / tk
- prędkość propagacji fali termicznej [m/s]
Model ogrzewania laserowego
g  x, t   g l  x, t   g r  x, t 
g l  x, t   I t 1  R  exp x 
g r  x, t   I t 1  R  exp  l  x 
I(t) – intensywność padającego promieniowania laserowego [W/m2]
R – współczynnik odbicia powierzchni metalu
 – współczynnik pochłaniania metalu [m-1]
Warunki graniczne
Warunki początkowe:
T ( x,0)  T0
T
1
q( x,0)  0 
( x,0) 
g ( x,0)
t
c p
Warunki brzegowe:
T
q (0, t )  0 
0, t   0
x
T
q( L, t )  0 
L, t   0
x
Zmienne bezwymiarowe
X  wx / 2a 
  t / 2t k 
  T  T0  / Tm  T0 
  q /wc p Tm  T0 
  gtk /c p Tm  T0 
Model w postaci bezwymiarowej
Równanie przewodzenia ciepła:
 2
  2

2

2
 4
2
2

 X

Warunki graniczne:
  X ,0  0

 X ,0  2  X ,0

Model źródła ciepła:
  X ,    l  X ,    r  X , 
 l  X ,    0   exp X 
 r  X ,    0   exp   L  X 

0,   0
X

 L,    0
X
Rozwiązanie zagadnienia metodą transformacji
Laplace’a
  X ,    l  X ,    r  X ,    l  X ,    l  L  X , 
Transformata Laplace’a równania i warunków brzegowych
d 2 l  X , s 
 ss  2 l  X , s   2 0 s  2 s  exp  X 
2
dX
d l
0, s   0
dX
d l
 L, s   0
dX
Rozwiązanie w dziedzinie obrazu
 l  X , s   A0 s  exp  X   A1 s  exp Bs  X   A2 s  expBs  X 
2 0 s  2 s 
A0 s  
s s  2    2
expBs L  exp L 
A1 s  

Bs  exp Bs L  expBs L
A0 s 
A2 s  
A0 s  exp Bs L  exp L 
Bs 

exp Bs L  expBs L
1/ 2


Bs   s s  2 
Rozwinięcie w szereg dwumianowy
  exp B ( s )2nL  X 



 n0

B( s)
A1 ( s ) exp B ( s ) X   A0 ( s )

 exp B ( s )( 2 n  1) L  X 
 exp(  L) 

n 0


B( s)
  exp B ( s )2nL  X 



 n 1

B( s)
A2 ( s ) expB ( s ) X   A0 ( s )

 exp B ( s )( 2n  1) L  X 
 exp(  L) 

n 0


B( s)
Rozwiązanie w dziedzinie oryginału
  h (2nL  X , )   h (2nL  X , )
i
n 1
 n 0 i




 l ( X , )   0 f Hi ( ) exp(  X )    exp(  L)  hi (2n  1) L  X , 

n 0



 exp(  L)  hi (2n  1) L  X , 



n 0
for p    0
0
hi ( p, )  
2
2 1/ 2
exp( u ) I 0 u  p 
f Hi (  u )du for   p
 p
1
f Hi ( )    (u ) p exp m (  u )   m exp  p (  u )du


  1  

0

2 1/ 2
 m   1
 p   1
Weryfikacja poprawności rozwiązania
• Porównanie wyników otrzymywanych na
podstawie rozwiązania analitycznego z wynikami
obliczeń numerycznych uzyskanych za pomocą
algorytmu MacCormacka
• Sprawdzenie czy uzyskane rozwiązania spełniają
równanie bilansu energii dla całego ośrodka



 2 ( X , )

X
L

0
L
 X ,  dX  2   ( X , )dXd 
00
4 0


1  exp L   d
0
Wyniki obliczeń dla źródła impulsowego
1









1
0.1


0.01
0.1
0.0
0.2
0.4
0.6
X
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
X
 ( X , )   l ( X , )   0 ( ) exp X 
 ( )   ( ) , L  1 ,  0  1 ,   5
0.8
1.0
Wyniki obliczeń dla źródła impulsowego
2.0
1.2


1.0
1.5
1.0




0.8
0.6


0.4
0.5

0.2

0.0
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0
2
X
4
6
X
 ( )   ( ) ,  0  1 ,   5
8
10
Wyniki obliczeń dla źródła stałego
   u( )
L 1 0 1  1
Wyniki obliczeń dla źródła stałego
   u( )
  10 L  1  0  1
Wyniki obliczeń dla źródła stałego
   u( )
  1 L  10  0  1
Podsumowanie i wnioski
• Otrzymano rozwiązanie analityczne hiperbolicznego
równania przewodzenia ciepła dla przypadku cienkiej
warstwy ogrzewanej obustronnie promieniowaniem
laserowym
• Poprawność rozwiązania została zweryfikowana przez
porównanie z wynikami obliczeń numerycznych oraz
sprawdzenie bilansu energii dla całego ośrodka
• Wyniki porównano z wynikami obliczeń numerycznych z
pracy Torii et al. Uzyskane przez nas przyrosty
temperatury są wyższe od opisanych przez Torii et al.
(szczególnie dla małych wartości  i L), a rozbieżności
narastają dla dłuższych czasów. Świadczy to o
zastosowaniu przez Torii et al. błędnego schematu
różnicowego dla brzegów ośrodka.
Literatura
• M. Lewandowska: Hyperbolic heat conduction in the semiinfinite body with a time dependent laser heat source. Heat
Mass Transfer 37 (2001) 333-342.
• M. S. Torii, W-J Yang: Heat transfer mechanisms in thin
film with laser heat source. Int. J. Heat Mass Transfer 48
(2005) 537-544.
• M. Lewandowska, L. Malinowski: An analytical solution
of the hyperbolic heat conduction equation for the case of
a finite medium symmetrically heated on both sides. Int.
Com. Heat Mass Transfer 33 (2006) 61-69