Równanie transportu ciepła w suchych ciałach stałych ma następującą postać: T hT 2T t (1) 2T 2T 2T T 2 2 2 x y z (2) Gdzie: 2 W przypadku transportu ciepła w wilgotnych ciałach stałych równanie przyjmuje postać: T r u hT 2T t c t (3) Gdzie: T – temperatura; t – czas; hT – współczynnik przewodzenia ciepła; r – ciepło parowania; c – ciepło właściwe ciała stałego; u – zawartość wody; ε – współczynnik przemiany fazowej. Analogicznie do równania transportu ciepła równanie transportu masy w ciele stałym określone jest następująco: u hm 2 u hm 2T t (4) 2u 2u 2u u 2 2 2 x y z (5) Gdzie: 2 W pracy Łykowa i Michałowa [1963] obszernie omówiono i przeanalizowano metody rozwiązywania układu równań (3) i (4), w pełni opisujących przebieg procesu suszenia. W przypadku suszenia konwekcyjnego, najczęstszego w praktyce rolniczej, gdy gradienty temperatury mają nieznaczne wartości równanie (4) upraszcza się do postaci: u hm 2 u t (6) analogicznej z równaniem (1) transportu ciepła. W wyniku rozwiązania równań transportu ciepła i masy albo też układu tych równań otrzymuje się funkcję, najczęściej kilku zmiennych w postaci szeregu nieskończonego, za pomocą której możemy obliczyć wartości temperatury lub zawartości wody w dowolnym czasie trwania procesu. Aby określić średnie wartości temperatury lub zawartości wody w dowolnym czasie procesu, należy rozwiązanie równań (3) i (4), bądź ich układu, scałkować w obrębie objętości rozpatrywanego ciała. Wynik w postaci szeregu nieskończonego określony jest funkcją 1 zmiennej, mianowicie czasu trwania procesu. W teorii konwekcyjnego suszenia ciał stałych wykorzystywane są założenia upraszczające [Pabis, 1982], po uwzględnieniu których, równanie suszenia ciała stałego jest identyczne z równaniem dyfuzji wody, a jego rozwiązanie pozwala wyznaczyć równanie suszenia. Analityczne rozwiązania równań Łykowa można zapisać w ogólnej postaci jako sumę szeregu nieskończonego: u ur A Bn exp Cn t uo u r n n0 (7) przy czym wielkości A, Bn, Cn i n0 zależą od kształtu ciała oraz jego fizycznych właściwości [Pabis, 1982]. Modele takie są stosowane m.in. do wyznaczenia uogólnionego współczynnika dyfuzji masy w procesie suszenia produktów rolniczych, traktowanych jako ciała stałe kapilarno – koloidalno – porowate. Rozwiązaniem równania dla płyty skończonej o kształcie prostopadłościanu jest równanie: U t 2 8 2 8 2 ut u r 8 2 exp 2 De t 2 exp 2 De t 2 exp 2 De t (8) u0 ur 4a 4b 4c Szereg, za pomocą którego obliczamy wartość zawartości wody, jest szeregiem dość szybko zbieżnym. Oznacza to, że wartości liczbowe poszczególnych wyrazów szeregu szybko maleją. Oznacza to, że wartość sumy szeregu można z dostateczną dla celów praktycznych dokładnością przedstawić za pomocą sumy kilku jego pierwszych wyrazów. W praktyce stosuje się uproszczenie polegające na tym, że pod uwagę bierzemy jedynie pierwszy człon sumy szeregu. 2 ut u r 8 U t 2 exp 2 De t u0 u r 4a (9) Równanie suszenia kuli ma rozwiązanie w postaci następującego szeregu: U t 2 6 2 6 2 ut u r 6 2 exp 2 De t 2 exp 2 De t 2 exp 2 De t u0 u r R R R Biorąc pod uwagę jedynie pierwszy człon otrzymujemy: U t 2 ut u r 6 2 exp 2 De t u0 ur R (11) Analogiczne równania dla ciał o innych kształtach można znaleźć w literaturze. (10) Zauważmy, że we wszystkich wyrazach szeregu występuje wyrażenie De t R2 Wyrażenie to nazywamy liczbą Fouriera dla wymiany masy i oznaczamy symbolem: Fom De t R2 (12) Zatem U t u t , r u r f Fom u0 ur (13) Z zapisu tego widać, że średnia wartość zawartości wody w dowolnym punkcie wewnątrz kuli i w dowolnym czasie trwania procesu jest określona przez wartość liczby Fouriera Praktyczne wykorzystanie uproszczonych równań suszenia dla ciał o kształcie kuli Należy oszacować wartości efektywnego współczynnika dyfuzji wykorzystując uproszczone analityczne rozwiązanie równania dyfuzji masy (4), uzyskane przy założeniu stałości parametrów, przy uwzględnieniu jedynie pierwszego wyrazu szeregu: U t 2 ut u r 6 2 exp 2 De t u0 ur R ln U ln 6 2 2 R2 y at b Gdzie: b= 2 R2 De Zatem: De= bR 2 2 (11) (14) De t (14) Praktyczne wykorzystanie uproszczonych równań suszenia dla ciał o innych kształtach u t ur B exp Kt u0 u r (15)