Wykład 2 Widmo energetyczne cząstek w studnie potencjalnej Dokładna postać widma energetycznego cząstek w niskowymiarowych strukturach zależy od kształtu barier potencjalnych ograniczających ruch cząstek. Rozważmy niektóre przykłady obliczenia widma energetycznego cząstek poruszających się w studnie potencjalnej różnego kształtu. Cząstka w studnie potencjalnej prostokątnej Rozważmy ruch cząstki w polu potencjału o prostokątnym kształcie (rys.2.1) U 0 , U ( x ) 0, U , 0 x W / 2 W / 2 x W / 2 (2.1) x W /2 i załóżmy, że energia elektronu nie przekracza wysokości bariery potencjalnej ( E U 0 ). Rys.2.1. Prostokątna studnia potencjalna o skończonej głębokości Poziomy energetyczne i funkcje falowe stanów znajdziemy, rozwiązując równanie Schrödingera 2 2 U 0 E 0, 2m x 2 2 2 E 0, 2m x 2 x W /2 , x W /2 . (2.2a) (2.2b) Nietrudno się przekonać, że rozwiązaniami równania Schrödingera dla poszczególnych obszarów 1,2,3 będą 1( x) A1 exp βx B1 exp βx , 2 ( x) A2 exp ikx B2 exp( ikx), 13 x W / 2 , W / 2 x W / 2 , (2.3) 3 ( x ) A3 exp βx B3 exp βx , x W /2, gdzie k 2mE / , β 2m(U 0 E ) / . Aby funkcja falowa znikała na , współczynniki B1 i A3 muszą być równe zeru. „Zszywając” funkcje falowe i ich pierwsze pochodne przy x W / 2 , otrzymujemy układ czterech równań, liniowych i jednorodnych, na cztery nieznane współczynniki A1, A2 , B2 i A3 A1 exp βW / 2 A2 exp ikW / 2 B2 exp ikW / 2 , A1 β exp βW / 2 iA2k exp ikW / 2 iB2k exp ikW / 2 , B3 exp βW / 2 A2 exp ikW / 2 B2 exp ikW / 2 , B3 β exp βW / 2 iA2k exp ikW / 2 iB2k exp ikW / 2 . Wygodnie jest zapisać ten układ równań w postaci macierzowej a b b 0 A1 0 0 A2 0 βa ikb ikb . 0 b b a B2 0 ikb ikb βa B3 0 0 (2.4) Tu a exp βW / 2 oraz b exp ikW / 2 . Warunkiem nietrywialnym rozwiązań układu równań (2.4) jest zerowanie się wyznacznika macierzy współczynników a βa b ikb 0 b 0 ikb b 0 ikb 0 b a ikb βa 1 1 1 0 β ik ik 0 2 2 0 b 0 ikb 2 b ikb2 1 0 . (2.5) β Po prostych obliczeniach otrzymujemy równanie β 2 2 βk ctg(kW ) k 2 0 . (2.6) Rozwiązując równanie (2.6) względem β , otrzymujemy układ dwóch równań β k tg ( kW ), 2 β k ctg ( 14 kW ) , 2 (2.7a) (2.7b) Równania (2.6) i (2.7) są to równania na dozwolone wartości E energii elektronu, która jest ukryta w parametrach k i β . Niestety rozwiązanie równań (2.6) albo (2.7) możemy znaleźć tylko liczbowo albo graficznie. Korzystając ze wzorów na funkcje cyklometryczne (odwrotne funkcje trygonometryczne), ze wzoru (2.6) znajdujemy k 2 kβ ) nπ 2arctg 2 k β β , k nπ 2arctg nπ 2 arcsin k / G β kW nπ arctg ( 2 (2.8) gdzie n 1,2,3, ; G β 2 k 2 2mU0 / , a wartości arcsin(...) musimy wybierać w interwale (0, π / 2) . Załóżmy, że dla liczb falowych kn , które są rozwiązaniem równania (2.8) i którym odpowiadają poziomy En 2 k n2 / 2m , energetyczne jest słuszny warunek kn / G En / U 0 1 . Wtedy korzystając z rozwinięcia arcsin( x ) x ( x 1 ), ze wzoru (2.8) otrzymujemy kn nπ . W 2G 1 (2.9) Biorąc pod uwagę ten wzór dla niższych poziomów energetycznych znajdujemy WG E n E n , 2 WG (2.10) gdzie En 2π 2 n 2 2mW 2 są poziomy energetyczne cząstki w studnie potencjalnej w której U 0 . Porównanie obliczeń En za pomocą przybliżonego wzoru (2.10) z obliczeniami dokładnymi wykazują, że dla En / U 0 0,25 stosowanie (2.10) daje błąd w obliczeniu En mniej niż 5%. Aby obliczyć funkcje falowe elektronu, należy – w oparciu o równania (2.4), wyznaczyć współczynniki A2 ,B2 i A3 przez A1 . Następnie wartość A1 wyznaczamy z warunku unormowania funkcji falowej. 15 Okazuje się, że pierwiastkom równania (2.7a) odpowiadają funkcje parzyste ( n 1,3,5, ) An cos( k n x); n ( x) Cn exp n x ; W / 2 x W / 2 x W /2 , (2.11) gdzie 2 /W An 1 sin( k W ) /(k W ) 2 cos n 2 n (k nW / 2) /( nW ) , Cn An cosk nW / 2 exp nW / 2 . (2.12) (2.13) Natomiast pierwiastkom równania (2.7b) odpowiadają funkcje nieparzyste ( n 2,4,6, ) C n exp n x ; n ( x) An sin k n x ; D exp x ; n n x W / 2 x W /2 , (2.14) x W /2 gdzie Cn Dn An sin knW / 2exp βnW / 2 , An i 2 /W 1 sin( k W ) /(k W ) 2 sin n Rys.2.2. Obliczone funkcje falowe w studnie kwantowej GaAs / Ga0, 67 Al0,33 As . U 0 267,5meV ; W 15nm n 2 (k nW / 2) /( nW ) (2.15) . (2.16) Rys.2.3. Zależność położenia poziomów od szerokości studni kwantowej GaAs / Ga0, 67 Al0,33 As . 16 Z wykresów przedstawionych na rys.2.2 wynika, że funkcja falowa stanu podstawowego 1 nigdy nie ma węzłów, w których 1 0 . Funkcja 2 ma jeden węzeł przy x 0 ; funkcja 3 ma trzy węzła itd. Podobną zależność liczby węzłów funkcji falowej od numeru poziomu energetycznego wykazują i inne jednowymiarowe układy, w których zachodzi ograniczenie ruchu. Zależność położeń poziomów energetycznych od szerokości studni kwantowej jest przedstawiona na rys.2.3. Z tego rysunku widać, że gdy zwiększamy szerokość studni, pojawiają się nowe poziomy energetyczne, a odległości między nimi maleją. Przy tym najniższy poziom E1 pozostaje związane aż do najmniejszej wartości szerokości studni. W bardzo szerokich studniach odległości między poziomami stają się niewielki i kwantowy charakter ruchu cząstki zanika. Ruch cząstki nad studnią potencjalną Rozważmy teraz przypadek ruchu cząstki nad studnią potencjalną, czyli przypadek, kiedy E U 0 . Gdy E U 0 ogólne rozwiązania Schrödingera dla obszarów 1,2,3 można zapisać w postaci n ( x ) n x n x , (2.17) n ( x ) An exp ik n x , (2.18) gdzie n 1,2,3 , opisuje fale de’Brogle’a cząstki rozchodzącej się w n -tym obszarze z lewej strony w stronę dodatnich wartości x , a n ( x ) Bn exp ik n x , (2.19) opisuje fale de’Broglie’a cząstki rozchodzącej się w n -tym obszarze z prawej strony w stronę ujemnych wartości x . We wzorach (2.18) i (2.19) k1 k3 2m( E U 0 ) / i k 2 2mE / . Załóżmy, że cząstka pada na studnie kwantową z lewej strony. Na granice zmiany funkcji (bariery) potencjalnej cząstka ulega częściowemu odbiciu. Współczynnik B1 określa wtedy amplitudę fali cząstki odbitej od studni kwantowej. To jest efekt czysto kwantowomechaniczny, ponieważ zakładamy, że E U 0 . Amplituda fali odbitej B3 w obszarze 3 musi być równa zeru, ponieważ przy x W / 2 nie istnieją bariery i studni potencjalne, które mogłyby spowodować odbicie cząstki. 17 Z fizycznego punktu widzenia największy interes przedstawiają tak zwane współczynniki przejścia D i odbicia R cząstki. Współczynnik odbicia R określa stosunek kwadratów amplitud odbitej i padającej fal R B1 A1 2 2 . (2.20) Współczynnik przejścia (transmisji) D przez strukturę kwantową jest określony jako stosunek gęstości strumieni cząstek przechodzących do gęstości strumienia cząstek padających D 1 R A3 A1 2 2 . (2.21) Amplitudy B1, A2 , B2 i A3 wyrażone przez amplitudę fali padającej A1 znajdujemy przyrównując do siebie funkcje falowe i ich pierwsze pochodne przy x W / 2 . Po podstawieniu wyliczonych współczynników B1 i A3 do wzorów (2.20) i (2.21) otrzymujemy 1 U 2 sin 2 ( k 2W ) D 1 0 , 4 E ( E U 0 ) 4E ( E U ) R 1 2 2 0 U 0 sin ( k 2W ) (2.22) 1 . (2.23) Rys.2.4. Oscylacji współczynnika transmisji D cząstki poruszającej się nad barierą. Krzywa 1 na rysunku odpowiada przypadku symetrycznej studni, przedstawionej na rys.2.1. Krzywe 2 – 4 odpowiadają niesymetrycznej studnie potencjalnej, przedstawionej na rysunku do zadania 2.5 na końcu tego wykładu. Dla krzywej 2 - U1 / U 2 2 ; dla krzywej 3 - U1 / U 2 3 ; dla krzywej 4 - U1 / U 2 4. 18 Ze wzorów (2.22) i (2.23) oraz wykresów, przedstawionych na rys.2.4, wynika, że przy przejściu cząstki nad studnią potencjalną zachodzą oscylacji współczynników przejścia i odbicia. Natura fizyczna tych oscylacji jest związana ze zjawiskiem interferencji fal de’Broglie’a odbitych od granic, na których zachodzi skok funkcji potencjalnej studni. Efekt oscylacji współczynników transmisji i odbicia przy przejściu cząstki nad studnią potencjalną jest efektem wyjątkowo kwantowo-mechanicznym. Przy zwiększeniu energii padającej cząstki w granice E /U 0 otrzymujemy wynik pokrywający się z wynikiem fizyki klasycznej: D 1 , R 0 . Studnia trójkątna W przypadku heterozłącza MIS studnia potencjalna dla elektronów (rys.1.3) może być w dobrym przybliżeniu przedstawiona jako studnia trójkątna. Analogicznie w przypadku ruchu elektronu w studnie potencjalnej podwójnego heterozłącza (rys.1.5b) zewnętrzne pole elektryczne, przyłożone do heterozłącza, powoduje, że dno pasma studni i jedna ze ścianek studni zaczyna tworzyć trójkątną studnie (rys.2.5). Rozważmy najpierw osobliwości widma energetycznego cząstki w studnie trójkątnej na przykładzie nieskończenie głębokiej studni potencjalnej umieszczonej w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu F (rys.2.5) qFx, U ( x) , x0 x0 . (2.24) gdzie q - wartość bezwzględna ładunku elektronu; F - natężenie pola elektrycznego. Rys.2.5. Prostokątna studnia potencjalna w jednorodnym polu elektrycznym Równanie Schrödingera dla x 0 ma postać 2 // qFx E 0 . 2m Wprowadzając nową zmienną Z 19 (2.25) 1/ 3 E 2 x qF 2mqF Z , (2.26) zapiszmy równanie (2.25) w postaci d 2 Z 0 . dZ 2 (2.27) W matematyce udowodniono, że ogólne rozwiązanie równania (2.27) ma postać ( Z ) C1 Ai( Z ) C2 Bi ( Z ) , (2.28) gdzie Ai (Z ) i Bi (Z ) są specjalne funkcje Airy’ego. Zależności funkcji Airy’ego od Z są przedstawione na rys.2.6. Dla Z 0 funkcje Ai (Z ) i Bi (Z ) są funkcjami oscylującymi, a dla Z 0 , Ai ( Z ) 0 , Bi (Z ) . Oznaczmy, przez αn - wartości Z (pierwiastki funkcji Ai (Z ) ), dla których Ai(αn ) 0 , a przez βn - pierwiastki funkcji Bi (Z ) , dla których Bi ( βn ) 0 . Z rys.2.6 widać, że przy zwiększeniu n odległości αn 1 αn i ( βn 1 βn ) zmniejszają się. W przypadku dowolnej wartości natężenia pola elektrycznego F oraz szerokości W studni potencjalnej rozwiązanie równania Rys.2.6. Funkcje Airy’jego. α1 2,34 ; α2 4,09 ; α3 5,52 . (2.28) jest możliwe tylko metodami numerycznymi i przybliżonymi. Jeżeli W otrzymujemy przypadek trójkątnej studni potencjalnej, dla której ( x ) 0 , gdy x 0 i x . Z wykresów, przedstawionych na rys.2.6 wynika, że dla studni trójkątnej współczynnik C2 w funkcji (2.28) musi być równy zero a funkcja falowa ma postać 2mqF 1 / 3 E . ( x ) C1 Ai 2 x qF (2.29) Poziomy energetyczne elektronu znajdujemy z warunku: ( x 0) 0 , czyli 2mqF 1 / 3 E Ai 0 . 2 qF 20 (2.30) Ponieważ funkcja Airy’jego przyjmuje wartości zerowe, tylko wtedy, gdy argument funkcji pokrywa się z pierwiastkiem funkcji αn , ze wzoru (2.30) otrzymujemy następujący wzór na poziomy energetyczne elektronu w studnie potencjalnej trójkątnej 1/ 3 En αn 1 2q2 F 2 , 2m n 0,1,2, . Ze wzoru (2.31) dla podstawowego poziomu energetycznego (2.31) n 0; α1 2,34 otrzymujemy 1/ 3 2q2 F 2 E0 1,86 m . (2.32) Stosując podejście półklasyczne otrzymano też przybliżony wzór na poziomy energetyczne w studnie trójkątnej 1/ 3 2 3πqF 3 En n 4 2m 2 Wzór (2.33) daje 2/3 możliwość . (2.33) otrzymać wartości poziomów z dokładnością około 2%. Rys.2.7. Poziomy energetyczne elektronu w trójkątnej studnie potencjalnej Na rys.2.7 są przedstawione poziomy energetyczne i funkcje falowe elektronu w studnie potencjalnej trójkątnej. Z wykresów przedstawionych na rys.2.7 wynika, że funkcja falowa stanu podstawowego 0 , podobnie do studni prostokątnej, nigdy nie ma węzłów, w których 0 0 . Natomiast, funkcja n ma n węzłów, w których n 0 . Oprócz tego widać, że przy zwiększeniu n zmniejsza się odległość między najbliższymi poziomami. Zadania do Wykładu 2 2.1 Udowodnić wzór (2.6). 2.2. Korzystając ze wzoru (2.10) wyznaczyć poziomy energetyczne E1 , E2 i E 3 dla studni potencjalnej o szerokości 15 nm i głębokości U 0 267,5meV . 2.3. Studnia potencjalna ma kształt przedstawiony na rysunku niżej. Udowodnić, że to równania na dozwolone wartości energii E ma postać k 2 1 2 k 1 2 ctg(kW ) 0 21 gdzie k 2mE / , j 2m(U j E ) / ; j 1,2 . 2.4. Udowodnić, że z równania, przedstawionego w zadaniu 2.3 wynika równanie kW n arcsin k / G1 arcsin k / G2 , gdzie n 1,2,3, ; G j j2 k 2 2mU j / ; j 1,2 a wartości arcsin(...) musimy wybierać w interwale (0, π / 2) . 2.5. Udowodnić wzory (2.11) - (2.16). 2.6. Wyprowadzić wzory (2.22) i (2.23) , i udowodnić, że R D 1 . 2.7. Korzystając ze wzoru (2.31) obliczyć E0 . 2.8. Korzystając ze wzoru (2.33) obliczyć wartości pierwszych trzech poziomów energetycznych. 22