08_Moc w obwodzie prądu sinusoidalnego

OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 8 : Moc w obwodzie prądu sinusoidalnego
8. MOC W OBWODZIE PRĄDU SINUSOIDALNEGO
8.1. MOC CHWILOWA
Jeśli na zaciskach dwójnika SLS występuje napięciowe wymuszenie
harmoniczne, to prąd zmienia się również sinusoidalnie z tą samą pulsacją
u (t ) = U m sin (ω t +Ψu ) oraz
Niech
i(t ) = I m sin (ω t +Ψi )
Moc chwilowa pobierana przez analizowany dwójnik, wyniesie (zal.1.4)
p(t ) = u (t ) i(t ) = U m sin (ω t +Ψu ) I m sin (ω t +Ψi )
Ponieważ
(8.1)
1
1
sin α sin β = cos(α − β ) − cos(α + β ) , otrzymamy
2
2
p(t ) =
uwzględniając
UmIm
U I
cos(Ψu −Ψi ) − m m cos(2ω t +Ψu +Ψi )
2
2
UmIm Um Im
=
=U I
2
2 2
oraz
ϕ =Ψu −Ψi
p(t ) = U I cos ϕ − U I cos(2ω t +Ψu +Ψi )
ostatecznie
(8.2)
(8.3)
p(t ) > 0 w przedziałach czasu, w których napięcie oraz prąd mają jednakowe znaki.
p(t)
u(t)
+
Dwójnik pobiera moc (energię) ze źródła.
+
p(t ) < 0 w przedziałach czasu, w których na-
i( t)
pięcie oraz prąd mają różne znaki.
-
-
-
ωt
Dwójnik oddaje moc do źródła, przekazuje
energię nagromadzoną w polu magnetycznym
cewek i polu elektrycznym kondensatorów.
UWAGA: Zmiana znaku mocy chwilowej występuje tylko w obwodach zawierających elementy L,C . Jeśli obwód posiada tylko rezystory, energia nie może się w nich gromadzić i moc jest zawsze dodatnia.
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
1 /10
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 8 : Moc w obwodzie prądu sinusoidalnego
8.2. MOC CZYNNA, POZORNA I BIERNA
Jak wynika z wzoru (8.3) moc chwilowa ma dwie składowe
p(t ) = U I cos ϕ − U I cos(2ω t +Ψ u +Ψ i )
1
424
3 144424443
1
2
składowa stała
Moc chwilowa oscyluje
zatem sinusoidalnie z częstotliwością 2f wokół wartości
stałej U I cos ϕ , a jej amplituda
wynosi UI.
W zależności od wartości
kata ϕ , tzn. charakteru dwójnika, wartość składowej stałej
zmienia się i w krańcowych
przypadkach wynosi
dla:
ϕ = 0 → U I cos ϕ = UI
ϕ =±
π
2
składowa zmienna
o częstotliwości dwukrotnie większej
od częstotliwości napięcia i prądu
p(t)
UI
1
UI cosϕ
UI
ωt
2
→ U I cos ϕ = 0
T
Energia w ciągu jednego okresu wynosi
WT = ∫ p(t ) dt
0
Jeżeli energię tę podzielimy przez czas równy okresowi T, to otrzymamy
wartość średnią mocy chwilowej za okres T, którą nazywamy
MOCĄ CZYNNĄ i oznaczamy przez P
1T
1T
1T
P = ∫ p(t ) dt = ∫ U I cos ϕ dt − ∫ U I cos(2ω t +Ψ u +Ψ i ) dt (8.4)
T0
T0
T0
14444
4244444
3
=0
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
2 /10
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 8 : Moc w obwodzie prądu sinusoidalnego
zatem
MOC CZYNNA
P = U I cos ϕ
[W]
(8.5)
Moc czynna jest równa iloczynowi wartości skutecznych napięcia i
prądu oraz cosinusa kąta przesunięcia fazowego między napięciem i prądem, zwanego współczynnikiem mocy.
Moc czynna P jest liczbą rzeczywistą niezależną od czasu t.
Jeśli dla dwójnika SLS
P>0
P<0
oznacza to, że moc czynna jest faktycznie
pobierana
oddawana
przez dwójnik z otoczenia
przez dwójnik do otoczenia
Dla dwójnika SLSB gdy jest
idealną cewką lub
rezystancyjny
idealnym kondensatorem
moc czynna osiąga wartość
maksymalną P = UI
minimalną P = 0
Moc czynna odpowiada więc energii, która wydziela się w jednostce czasu
w postaci ciepła w elementach rezystancyjnych – można ją zatem wyrazić
w trzech równoważnych postaciach
P = U I cos ϕ = R I 2 = G U 2
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
(8.6)
3 /10
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 8 : Moc w obwodzie prądu sinusoidalnego
Urządzenia elektryczne mają określone znamionowe wartości napięcia
i prądu, dlatego charakteryzuje się je nie mocą czynną, lecz wielkością będącą iloczynem wartości skutecznych napięcia i prądu, zwaną
MOCĄ POZORNĄ i oznaczoną przez S
S =UI
[VA]
(8.7)
Oznacza to, że moc pozorna jest równa największej wartości mocy
czynnej, którą można otrzymać przy danym napięciu U oraz prądzie I.
Porównując zależność (8.7) z (8.3) można stwierdzić, że moc pozorna
jest liczbowo równa amplitudzie składowej zmiennej mocy chwilowej.
Współczynnik mocy jest więc stosunkiem mocy czynnej do pozornej
P U I cos ϕ
=
= cos ϕ
S
UI
(8.8)
Ponieważ dla dwójnika szeregowego RLC (zal. 6.68) U = ZI
zaś dla dwójnika równoległego RLC (zal. 6.71)
I = YU
to po uwzględnieniu ich w (8.7) moc pozorną można wyrazić w trzech
równoważnych postaciach:
S =UI = Z I2 = YU2
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
(8.9)
4 /10
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 8 : Moc w obwodzie prądu sinusoidalnego
W obwodach elektrycznych prądu harmonicznego znajduje zastosowanie jeszcze trzecia wielkość będąca iloczynem wartości skutecznych
napięcia i prądu oraz sinusa kąta przesunięcia fazowego między napięciem
i prądem, zwana
MOCĄ BIERNĄ i oznaczana symbolem Q
Q = UI sin ϕ
[var]
(8.10)
Z trójkąta napięć dwójnika szeregowego RLC wynika, że
zaś z trójkąta prądów dla dwójnika równoległego
U sin ϕ = XI
I sin ϕ = − BU
to po uwzględnieniu ich w (8.10) moc bierną można wyrazić w trzech
równoważnych postaciach:
Q = UI sin ϕ = X I 2 = − B U 2
(8.11)
Czyli moc bierna związana jest z istnieniem w obwodzie elementów
reaktancyjnych. Ponieważ kąt ϕ jest dodatni dla obwodów o charakterze
indukcyjnym, ujemny w przypadku obwodów o charakterze pojemnościowym, zatem jeśli
• ϕ > 0 ; sin ϕ > 0 ; to Q > 0 (moc bierna indukcyjna jest dodatnia);
• ϕ < 0 ; sin ϕ < 0 ; to Q < 0
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
(moc bierna pojemnościowa jest ujemna)
5 /10
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 8 : Moc w obwodzie prądu sinusoidalnego
8.3. ZESPOLONA MOC POZORNA
S =U I*
(8.12)
Podstawiając U = U e jΨ u oraz I * = I e − jΨ i otrzymujemy
S = U I e j (Ψ u −Ψ i ) = U I e jϕ = U I (cos ϕ + j sin ϕ )
(8.13)
Część rzeczywista zespolonej mocy pozornej jest równa mocy czynnej P,
a część urojona mocy biernej Q układu, czyli:
P = U I cos ϕ = Re [S ]
Q = U I sin ϕ = Im [S ]
⎫⎪
⎬
⎪⎭
(8.14)
Wobec tego zespoloną moc pozorną można przedstawić w postaci:
S = P + jQ
(8.15)
Moduł zespolonej mocy pozornej
S = P2 + Q2 = U I
(8.16)
jest równy mocy pozornej układu
a argument zespolonej mocy pozornej
arg S = ϕ
(8.17)
kątowi przesunięcia fazowego między napięciem i prądem
Im
Zespoloną moc pozorną S
można przedstawić geometrycznie
na
płaszczyźnie
zmiennej zespolonej za pomocą trójkąta mocy.
S
ϕ
Q
Re
P
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
6 /10
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 8 : Moc w obwodzie prądu sinusoidalnego
Wyrazimy zespoloną moc pozorną w zależności od impedancji Z
dwójnika.
Na podstawie prawa Ohma mamy:
U =ZI
S =U I* = Z I I*
czyli
S = Z I 2 = (R + j X ) I 2
wobec czego
(8.18)
Moc czynna i bierna wynoszą zatem
P = Re [S ] = R I 2 , Q = Im [S ] = X I 2
a moc pozorna jest równa
S = P2 + Q2 = Z I 2
Natomiast zespolona moc pozorna w zależności od admitancji Y dwójnika.
Na podstawie prawa Ohma mamy:
I =YU
Wartość sprzężoną I* otrzymamy zastępując wszystkie wielkości występujące w tym wzorze przez wielkości sprzężone.
S = U I * = U Y *U *
Zatem
S = Y *U 2 = (G − j B )U 2
wobec czego
(8.19)
Moc czynna i bierna wynoszą zatem
P = Re [S ] = G U 2 , Q = Im [S ] = − B U 2
a moc pozorna jest równa
S = P 2 + Q 2 = YU 2
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
7 /10
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 8 : Moc w obwodzie prądu sinusoidalnego
PRZYKŁAD 8.1
Na zaciskach dwójnika panuje napięcie U = (50 + j100 )V , prąd płynący przez dwójnik wynosi I = (10 − j10 ) A . Obliczyć moce dwójnika.
Zespolona moc pozorna S = U I * = (50 + j100 )(10 + j10 )
= (− 500 + j1500 ) [VA]
Moc czynna
P = Re [S ] = −500 [W ]
Moc bierna
Q = Im [S ] = 1500 [var ]
Moc pozorna
S = P 2 + Q 2 = 1581 [VA]
PRZYKŁAD 8.2
Obliczyć moce dla dwójnika przedstawionego na rysunku – dane:
U = (100 + j 50 )V
R = 50 Ω,
L = 1 mH,
f = 100 kHz.
I
L
R
U
Reaktancja dwójnika
X L = 2πf L = 2π ⋅100 ⋅103 ⋅1 ⋅10 −3 = 628 [Ω ]
Impedancja dwójnika
Z = R + jX L = (50 + j 628) [Ω ]
Prąd dwójnika
I=
U
= (0,092 − j 0,152 ) [ A]
Z
Zespolona moc pozorna S = U I * = (100 + j 50 )(0,092 + j 0,152 )
= (1,6 + j19,8) [VA]
Moc czynna
P = Re [S ] = 1,6 [W ]
Moc bierna
Q = Im [S ] = 19,8 [var ]
Moc pozorna
S = P 2 + Q 2 = 19,9 [VA]
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
8 /10
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 8 : Moc w obwodzie prądu sinusoidalnego
8.4. DOPASOWANIE OBCIĄŻENIA DO ŹRÓDŁA
Dopasowanie obciążenia do źródła przebiegu harmonicznego może
dotyczyć mocy czynnej lub mocy pozornej.
Warunkiem dopasowania pod względem:
• Mocy czynnej jest równość
Z dP = Z *w
(8.20)
gdzie: ZdP - impedancja obciążenia w warunkach dopasowania,
Zw* - sprzężona wartość impedancja wewnętrznej źródła.
Wówczas
Pmax
U o2
=
4 Z w cos ϕ w
(8.21)
• Mocy pozornej są równości
Z dS = Z w
ϕ dS
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
(8.22a)
(
(
⎧− π
dla ϕ w ∈ 0,+ π
2
2
⎪⎪
π
π
=⎨
dla ϕ w ∈ 0,−
2
2
⎪ π
⎪⎩ ± 2 dla ϕ w = 0
)
)
(8.22b)
9 /10
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 8 : Moc w obwodzie prądu sinusoidalnego
PRZYKŁAD 8.3
Dobrać wartości elementów
regulowanych R2 , C2 tak - aby
uzyskać dopasowanie odbiornika
ze względu na moc czynną. Obliczyć tę moc – dane:
e(t ) = 14,14 sin (500000 t )V
R1 = 1 kΩ, C1 = 1 nF, L = 1 mH
C1
R2
R1
L
e(t)
C2
DA
DP
Impedancja DA (źródła): Z W = R1 − j X C1 = R1 +
1
jω C1
= (1000 − j 2000 ) [Ω ]
= 2236 e − j 63, 43 [Ω ]
o
Z warunku dopasowania wynika, że Re[Z DP ] = Re[Z W ]
Im[Z DP ] = − Im[Z W ]
Czyli:
R2 = Re[Z W ] = 1 kΩ
oraz
1
jω C 2 +
1
=−
jω L
1
jω C1
stąd po przekształceniach
C2 =
E2
1
2
ω L
− C1 = 3 ⋅10 −9 [F ]
10 2
Moc czynna: P =
=
= 0,025 [W ]
4 Z w cos ϕ w 4 ⋅ 2236 ⋅ cos − 63,43o
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
(
)
10 /10