Funkcja produkcji

EKONOMIA MATEMATYCZNA jest to dyscyplina naukowa, która obejmuje różnorodne
zastosowania matematycznych pojęć, metod i teorii w ekonomii, a zwłaszcza- w teorii
ekonomii.
Teorie: przedsiębiorstwa, oligopolu, równowagi konkurencyjnej, wzrostu gospodarczego.
Korzyści:
-bardziej precyzyjne formułowanie teorii
-otrzymanie z teoretycznego punktu widzenia wyników czasami niemożliwych do otrzymania
w matematyce
EKONOMIA MATEMATYCZNA jest matematyką stosowaną, „spółka” matematyki z
ekonomią.
EKONOMIE MATEMATYCZNĄ najlepiej jest uważać za proces wyprowadzenia
wniosków z jakiegoś szczególnego zbioru niesprzecznych aksjomatów mających....
Etapy działania ekonomii matematycznej:
1. Przyjmuje się wstępne założenia o badanym obiekcie ekonomicznym i formułuje się je w
języku matematyki
2. Posługując się pojęciami odpowiednich teorii matematycznych i korzystając z twierdzeń i
metod tych teorii z przyjętych założeń wyprowadza się wnioski, stawia hipotezy i
otrzymuje się rozwiązania postawionych problemów.
W ekonomii matematycznej charakterystyczne jest to, że rozpatrywane są typowe obiekty
(konsument)
Rys historyczny. Prekursorzy i mistrzowie myśli ekonomicznej.
Ekonomia matematyczna wyłoniła się z historii ekonomii w latach 30 XIX w.
Francois Quesnay- ekonomista francuski (1694- 1774) podjął próbę stworzenia systemu
wyjaśniającego mechanizmy rządzące gospodarką narodową. W 1759 r wydał dzieło pt.
„Tableau economique” które jest uważane za pierwowzór tzw. Modelu przepływów
międzygałęziowych Leontiefa. Mistrz szkoły ekonomicznej zwanej fizjokratyzmem.
Za prekursora ekonomii matematycznej, prekursora szkoły lozańskiej uważany jest Antoine
Augustin Cournot (1801-1877). Napisał w 1838 „Badania nad zasadami teoretycznymi teorii
bogactwa”. Posługiwał się rachunkiem różniczkowym, który jako pierwszy wprowadził do
ekonomii.
Cesare Bonesana di Beccaria- zwolennik fizjokratyzmu . „Elementy ekonomii politycznej”
Leon Wal ras (1834-1910) mistrz szkoły lozańskiej. „Elementy czystej ekonomii
politycznej”. Podstawy teorii równowagi ogólnej, stosował analizę matematyczną.
W.S. Javons (1824-1910)
Vilfredo Pareto (1848-1923)
Szkoła lozańska stworzyła teorię... firmy , oligopolu.
Obok szkoły austriackiej (psychologicznej) i angloamerykańskiej (neoklasycznej) była jedną
z głównych szkól tworzących kierunek marginalistyczny.
Przedstawiciele szkoły austriackiej: Karl Mengel-mistrz
Przedstawiciele angloamerykańskiej: Jevons-mistrz
Pierwszy okres w historii ekonomii kończy się w latach 30-40 XX w dziełami :
J.R. Hicks „Wartość i kapitał” 1931
P.A. Samuelson „Podstawy analizy ekonomicznej” 1947
Michał Kalecki „Teoria cyklu biznesowego” 1937
„A Theory of business cycle”
Drugi okres w ekonomii matematycznej to lata 1948-1959 –okres modeli mnogościowych i
liniowych.
Grupy zagadnień:
Pierwsza grupa osiągnięć- prace z równowagi teorii ekonomicznej:
G. Debren „Teoria wartości: aksjomatyczna analiza równowagi ekonomicznej” 1955
K. J. Arrow
Druga grupa
Pracec z zakresu ekonomicznych zastosowań programowania matematycznego
T. Ch. Koopmans
L. Kantorowicz
Prace z teorii przepływów międzygałęziowych
Matematyczne modele wzrostu gospodarczego i dynamiki gospodarczej
R. M. Solow
R. F. Harrod
E. D. Domer
Zagadnienia teorii gier
J. von Leumann
O.Morgenstern
J.F. Nash
Nobliści :
1994 John Charles Harsony, John F. Nash, Reinhard Selten- równowaga w teorii gier
1987 Robert M. Solow –teoria wzrostu gospodarczego
1983 Gerard Debreu- nowe metody analityczne w ekonomii
1973 Wassily Leontief- przepływy międzygałęziowe
1972 Sir John R. Hicks oraz Kenneth J. Arrow- ogólna teoria równowagi oraz teorii
dobrobytu
1970 Paul Anthony Samuelson- statystyczna i dynamiczna teoria ekonomii
Elementy popytu indywidualnego konsumenta
Zał.
Towary są nieskończenie podzielne i jednorodne
Przestrzeń towarów
Zał.
Na rozpatrywanym rynku znajduje się n różnych towarów
R

R
 [0, )

 (0, )
n-ta potęga kartezjańska
n
R

Def
Wektor x=(x1, x2...xi,...x n)R+n, w którym i-ta współrzędna reprezentuje ilość i-tego towaru,
którą konsument ewentualnie może kupić, wyrażoną w jednostkach naturalnych nazywamy
koszykiem towarów (wiązka towarów)
X-zbiór wszystkich dostępnych na rynku koszyków towarów
n
X 
X  R
Przykład1
N=4
X=(1, 2, 0, 2)
Y=(0, 3, 1, 5)
n
X  R *
Wprowadzamy w zbiorze * metrykę z
X=(x1, x2,... x n)
Y=(y1, y2,... y n)
df
dx, y  max
i
x  y *
i
i
X=(1,2,0,2)
Y=(0,3,1,5)
dx, y  max 1,1,1,3  3l
Definicja
Przestrzenią towarów będziemy nazywali parę (X,d) gdzie X-zbiór wszystkich dostępnych
na rynku towarów, a d jest metryką zdefiniowaną (*)
Przykład2
2
x  R
X0=(1,1)
R=1
K(x0,r)
x  R
2

/ d( x I , x I)  r

1
1
Relacje preferencji konsumenta
To, który z koszyków konsumetn wybierze zależy od jego preferencji
Preferencje konsumentów można formalnie scharakteryzować za pomocą relacji w przestrzeni
towarów X x,yX
xy
Konsumetn silnie preferuje koszyk x nad koszyk y
yx
Konsumetn woli koszyk y niż x
xy
konsumetn uważa koszyki za jednakowo dobre , koszyki x i y są indyferentne
Def
Relacją obojętności w postaci x nazywamy zbiór
I={(x,y)X*X|xy} IX2
Zał
Relacja obojętności jest zwrotna , symetryczna przechodnia-jest relacją równoważności
Def
Relacją silnej preferencji konsumenta nazywamy zbiór:
P  x, y  X * X | x  y
s
Psx2
Zał
Relacja silnej preferencji jest przechodnia
Def
Relacją słabej preferencji nazywamy zbiór:
P  x, y   X * X / x  y  x ~ y
x y
~
- konsument słabo preferuje x nad y lub konsumetn uważa koszyk x za niegorszy od y
Zał
Relacja słabej preferencji jest przechodnia i zupełna. Zupełność relacji
x y
~

x , yX
x y  yx
~
~
Preporządek- zwrotna i przechodnia
Pełny porządek-zwrotna, przechodnia i zupełna
Wyżej zdefiniowana relacja słabej preferencji jest przykładem pełnego preporządku w
przestrzeni towarów i usług.
P=PsI-w sensie mnogościowym
Związki między relacjami:
Twierdzenie1
Dla wolnych koszyków x, y, zX:
1. x>y  y>x  xy
2.
x  x  y  y  x
~
~
3.
x  y  x y  yx
~
~
4.
x y  y  z  x  z
~
Definicja
Pole preferencji konsumenta to para
x, 
 
~
Dla każdego koszyka xX można zdefiniować;
Zbiór koszyków nie gorszych niż x:
S

x


 y X / yx
~
Zbiór koszyków nie lepszych niż naszych X
S

x

 y X / x y
~

Zbiór koszyków indyferentnych-względem koszyka x
K  y  X / y ~ x
x
 S S  K
xX


x
x
2

x
x
K  S S
x
x
X
Krzywą obojętności po raz pierwszy zastosował w ekonomii F.J. Edgeworth (druga poł
XIXw)

S
x
Zbiór koszyków lepszych niż koszyk x

S
x
Zbiór koszyków gorszych niż koszyk x
S  y  X / y  x

x
S  y  X / x  y

x
Przykład 3
Dobra doskonale komplementarne to dobra, które mogą być konsumowane jedynie razem i w
stałych proporcjach.
Cola
S

X
Własności:
1. Monotoniczność
Def
Relację

~
nazywamy monotoniczną, jeżeli dla każdych koszyków
x=(x1,...x n)X oraz y=(y1,...y n)X zachodzi imlikacja
x>yx>y
W której zapis x>y oznacza, że xi>yi dla i=1,2,...n. Jeśli relacja słabej preferencji jest
monotoniczna to konsument kieruje się zasadą „im więcej tym lepiej”
2. Ciągłość relacji słabej preferencji
Def
Relację  nazywamy ciągła w przestrzeni X jeżeli dla każdych dwóch koszyków x,yX
takich, że x>y istnieje otoczenie UxX oraz Uy X takich, że:
I
  x y
I
I
I
x UX y U y
Interpretacja ciągłości:
1. Gdy relacja preferencji konsumenta jest ciągła i konsument uważa koszyk x za lepszy niż
y to uważa on również każdy koszyk x I „niewiele” różniący się od koszyka x za lepszy od
każdego koszyka y I „niewiele” różniącego się od koszyka y.
2. xXR+n
Jeżeli relacja  jest ciągła to odcinek w Rn łączący dowolny punkt yS >x z dowolnym
punktem zS < x musi mieć niepustą część wspólną ze zbiorem obojętności K x.
S
S

X

X
Przykład 4
Załóżmy że na rynku handluje się jednym doskonale podzielnym towarem którego podaż a
(a>0)


1
1
x  x  R / 0  x  a  R
Konsument ocenia koszyki następująco:
xyx=y
x>yx>y

2

2

2
I  x, y   R  / x  y,0  x  a ,0  y  a
P
s

 x, y   R  / x  y,0  x  a ,0  y  a

P  x, y   R  / x  y,0  x  a ,0  y  a

R+
I
X
P
R+
Relacja słabej preferencji:
x y  x  y  x ~ y
~
czyli
x y  x  y
~
R+
Ps
X I >y I
x>y
Uy
Ux
Twierdzenie (wkw ciągłości)
Relacja słabej preferencji jest ciągła przestrzeni XR+ n wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego
koszyka x, zbiory: zbiór koszyków niegorszych niż x S x i nielepszych niż Sx są zbiorami
domkniętymi.
Przykład nieciągłej relacji preferencji.
X=R2+
x=(x1, x2)X y=(y1, y2)X
x  y  x1  y  (x1  y  x2  y)
x
L
1
2
Indyferentność
Zatem
x  y  x L y  x ~ L y
~L
Tak zdefiniowana relacja jest przykładem relacji nieciągłej
Wypukłość relacji
XRn nazywamy wypukłym 


x1y X  ,   0
x  y  X
   1
Silnie wypukły
wypukły
niewypukły
Def
Relację nazywamy wypukła w przestrzeni x jeżeli
 
x , yX
 ,  0
y  x  x  y  x
~
~
   1
Można pokazać, że relacja słabej preferencji jest wypukła w X w.t.w. gdy zbiór Sx koszyków
niegorszych od x jest wypukły dla każdego koszyka x należącego do X.
S

X
S

X
K
x
A
Kx
b
Kx
c
 
x , yX
 ,  0
y  x  x  y  x  y  x
 ,  1
Relację  nazywamy silnie wypukłą w przestrzeni x jeżeli
Można dowieść, że jeśli relacja preferencji jest silnie wypukła to zbiór koszyków niegorszych
niż x jest silnie wypukły dla każdego koszyka x (typowa sytuacja to b)
X=R2+
x  y  S X

Koszyki optymalne i warunki ich istnienia
(X, )- pole preferencji konsumenta
AX(A)
Def
Koszyk x*A nazywamy koszykiem optymalnym w zbiorze A jeżeli
 x x
*
xA
~
Jeżeli relacja preferencji (słabej pref.) jest ciągła w przestrzeni towarów x i zbiór A jest
zbiorem zwartym to w zbiorze A istnieje co najmniej jeden optymalny koszyk towarów. Zbiór
wszystkich koszyków optymalnych jest zwartym koszykiem zbioru A.
Zbiór ARn nazywamy zwartym w.t.w. gdy jest domknięty i ograniczony.
Jeżeli relacja preferencji jest ciągła i słabo wypukła w wypukłej przestrzeni towarów x a zbiór
A jest zwarty i wypukły to w zbiorze A istnieje co najmniej jeden koszyk optymalny. Zbiór
wszystkich koszyków optymalnych jest w tym przypadku zwartym i wypukłym podzbiorem
zbioru A.
Jeżeli relacja słabej preferencji jest ciągłą i silnie wypukła w wypukłej przestrzeni towarów X
i zbiór A jest zwarty i wypukły to w zbiorze A istnieje dokładnie jeden optymalny koszyk
towarów.
Funkcja użyteczności konsumentów.
U:xR –tak też można opisać
Użyteczność to zdolność dóbr do zaspokojenia potrzeb konsumenta. Aksjomatyczną teorię
użyteczności w latach 40 XX w stworzyli J. Von Neumann, O. Morgenstern.
XIIIw teoria gier hazardowych, paradoks petersburski
Def
Funkcję u:XR (x pole preferencji konsumenta)nazywamy funkcją użyteczności konsumenta
reprezentującą relację preferencji jeżeli dla każdych dwóch koszyków.
Tak zdefiniowana funkcja użyteczności nazywa się porządkową funkcją użyteczności.

u ( x)  u ( y)  x  y(*)
~
x , yX
xX
u(x)R
Liczba zwana użytecznością u(x) bywa czasem interpretowana jako stopień zadowolenia.
Kardynalna interpretacja użyteczności
Tw
Jeżeli funkcja u reprezentuje relację słabej preferencji to dla każdych dwóch koszyków x,yX
 U(x)=u(y)xy
 U(x)>u(y)xy
Jeżeli funkcja u:XR reprezentuje relację preferencji y:RR jest funkcją rosnącą oraz
istnieje funkcja zlożona
~
df
u ( x )  gu x 
,xX to funkcja
~
u:X  R
też jest funkcją użyteczności reprezentującą relację słabej preferencji
Twierdzenie G. Debreu
Jeżeli przestrzeń towarów XR+n jest zbiorem:
 Niepustym i domkniętym

~

Spójnym
Tak
 Nieograniczonym z góry
(xXyxyX)
(y i x i)
i=1,...n
Nie
oraz relacja preferencji jest ciągła w przestrzeni X to istnieje ciągłą funkcja użyteczności,
która reprezentuje tą relację.
Prawdziwe jest też twierdzenie w pewnym sensie odwrotne:
Jeżeli funkcja u:XR jest ciągła w przestrzeni towarów X spełniającej warunki 1-3 to relacja
preferencji p= {(x,y)X*X\u(x)u(y)} też jest ciągła w przestrzeni towarów X.
K
x

S
 {y  X / u ( y)  u ( x )}
 {y  X / u ( y)  u ( x )}
~
x

S
 {y  X / u ( y)  u ( x )}
x
Przyjmujemy że X=Rn+ rozważane funkcje będą:
1.Wklęsłe lub silnie wklęsłe (w. Zb. X=Rn+)
Rn R jest wklęsła w zbiorze wypukłym A w.t.w.

x , yA

   0
f (x  y)  f ( x )  f ( y)
   1
Funkcja jest silnie wklęsła w zb A w.t.w.


xy
   1
x, yA  ,   0
f (x  y)  f ( x )  f ( x )
A
Wklęsła
A
A
silnie wklęsła
2. Rosnące w XRn+

( x  y  x  y  u ( x)  u ( y ))
~
n
x , y
R
3.Pochodne cząstkowe II rzędu funkcji urzyteczności istnieją i są ciągłe w zbiorze Rn++
u
u x x ,  (i, j  1...n)
xx
2
II
i
i
j
i
uc2 (Rn++)
Tw
Jeżeli funkcja użyteczności u: Rn+R jest wklęsła (silnie wklęsła)w zbiorze Rn+ to relacja
preferencji wyznaczona przez tą funkcję jest wypukła (silnie wypukła)
Gdy f użyteczności jest silnie wklęsła to zbiór:

S
~
X
I

S
X
Są silnie wypukłe dla każdego koszyka x.
Przykłady funkcji użyteczności
 Funkcja multiplikatywna (Cobba-Douglasa)
n
 2 ...  n
1
u ( x1 , x 2 ,... x n )    x i   x
xn
1 x2
i
i
i 1
Gdzie 0<i<1 xi>0 (i=1,...n)a>0

Funkcja addytywna
n
u ( x1 , x 2 ,... x n )   a x i  a1 x1  a 2 x 2  ...  a n x n



i 1
Ai>0 xi>0 (i=1,2,...n)

Funkcja logarytmiczna
n
u ( x1 , x 2 ... x n )   a i ln x i  a1 ln x1  a 2 ln x 2  ...  a n ln x n
i 1
Ai>0 xi>0 (i=1,2..n)

Funkcja liniowa
n
u ( x1 , x 2 ... x n )   a i x i
i 1
(ai>0)

Funkcja Leontiefa-Koopmansa
u ( x1 , x 2 ... x n )  min{ x1 , x 2 ,..., x n }
a a
1
2
a
n
(ai>0)
Preferencje typu Cobba-Douglasa
S
Charakterystyki użyteczności:

X
-Rachunek marginalnykrańcowa użyteczność, krańcowa stopa substytucji, elastyczność substytucji towarów.
Zakładamy że funkcja użyteczności jest różniczkowalna, silnie wklęsła lub wklęsła, rosnąca.
Dowolny ustalony stopień towarów
n
x  ( x1 , x 2 ... x n )  R 
Def1
Krańcową użytecznością i-tego towaru w koszyku x nazywamy pochodną cząstkową funkcji
użyteczności względem zmiennej xi czyli:
MU (x) 
i
u(x)
 xi
(i=1,...n)
Jeżeli u jest rosnąca to krańcowa użyteczność każdego towaru jest rosnąca- oznacza to, że
zwiększenie ilości jednego towaru w koszyku przy niezmienionych innych zwiększa
użyteczność koszyka.
Jeśli jest podwójnie różniczkowalna i silnie wklęsła to:
 u 0
x
2
2
i
Tzn. krańcowa użyteczność każdego towaru maleje w miarę wzrostu jego spożycia. Zasady
malejącej krańcowej użyteczności (prawo Gossena)
Def2
Krańcową stopą substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w koszyku x, nazywamy
wyrażenie
u ( x )
x
MUi ( x )
MRSij (x )   u (xi)  
MU j (x )
 xj
(ij)
Mówi o ile (w przybliżeniu) powinna zmniejszyć się ilość j-tego towaru , przy zwiększeniu
ilości i-tego towaru o jednostkę aby użyteczność koszyka x pozostała bez zmian.
Def3
Elastycznością substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w koszyku x, nazywamy
wyrażenie:
u ( x )
x
ESij (x )   u (xi)
 xj
x
x
i

j
x
MRS ( x )
x
i
ij
j
(ij)
Pokazuje o ile procent (w przybliżeniu) powinna zmniejszyć się ilość j-tego towaru przy
zwiększeniu ilości i-tego towaru o 1% żeby użyteczność koszyka nie zmieniła się.
Maksymalizacja użyteczności konsumpcji. Funkcja popytu konsumenta.
p  (p , p ,..., p )  0
1
2
n
I-dochód konsumenta (budżet konsumenta)
Zbiór budżetowy
D(p, I)={xX|<p, x> I}
Czyli zbiór koszyków, na które stać konsumenta. Zbiór D jest zwarty(ograniczony) oraz
wypukły
Linią budżetową , nazywamy zbiór
L(p, I)={xX| <p, x> =I}
Konsument chce kupić najlepszy koszyk xD(p, I)- najlepszy na jaki go stać- optymalny
Jeżeli relacja preferencji jest ciągła i silnie wypukła w przestrzeni towarów X=Rn+ to dla
każdej pary (p, I) istnieje dokładnie jeden koszyk optymalny w zbiorze D(p, I)
Funkcja popytu konsumenta
n 1
n
 : R   R 
R
n 1

*
n

 (p, I) 

x  D(p, I)  R 
Maksymalizacja funkcji konsumpcji
Problem
Wyznaczyć maksimum funkcji użyteczności
U(x)max (1)
Przy ograniczeniach <p,x> 1 (2)
x0 (3)
Jeżeli u spełnia : jest silnie wklęsła, podwójnie różniczkowalna i .........to funkcja popytu
*
  (p, I)
Przy przyjętych założeniach funkcja popytu konsumenta jest funkcją ciągłą. Dla każdego p>0
i I>0 oraz k>0 zachodzi równość
 (kp , kI)   (p, I)
x
Wtedy  jest funkcją dodatnio jednorodną stopnia zerowego.
Tw
Jeżeli u jest silnie wklęsła, rosnąca i różniczkowalna w X=Rn+ oraz konsument musi kupić z n
towarów (czyli x>0) to dla każdego wektora cen p>0 i każdego dochodu I>0 istnieje
dokładnie jedno rozwiązanie optymalne x* problemu (1)(2)(3). Rozwiązanie to spełnia układ
n+1 równań.
u ( x )
(x )
 p
*
Xx
n
p, x  1
Z n+1 niewiadomymi: n oraz x1*, x2*...x n*
Układ równań (1I),(2I) można zapisać w postaci:
u
*
*   p
1
 x1 X  x
.........................................
u
 xn

*
X
X
*
p x  ...  p x
*
1
*
1
n
n
p
n
1
Warunek (1) oznacza, że
Grad u(x*)=*
Gdzie
Gradient wskazuje
 u kierunek
u  najszybszego wzrostu funkcji użyteczności u.
gradu ( x*)  
,...,

 xn  X  X *
  x1
n
a1  * pże koszyk optymalny x* leży na lini budżetowej L(p,I)
Równość
(2)
 oznacza,
 1
*
X*
 x1
x
1
n
 x2
a  p

x
p x  p x I
X*

2
2
*
1
*
2
*
*
1
2
2
( x , x )  a
( p
, Ia
)  ( p , p , I )  ( a
, a
)
xx , 
(
p
,
I
)




[:
,
]
p
p
: R


a
a
a
a
RR R I
*
*
1
*
0
3 1
 21
*
23 2
2 
I
1
1

2
1
I
2
2
1
2
i
1
2
2
Grad
I(x*)
D(P,I)
L(P,I)
U(x1, x2)=a1 ln x1+ a2 ln x2max
P1x1 + p2x2  I
n 1
 : R   R
n
Def
Macierz
c
[ E ij ( p, I ) ]
nxn
O elementach
E
( p, I ) 
ij
c
 ( p, I )
i

p
j
p  ( p, I )
j
i
Nazywamy macierzą współczynników elastyczności cenowej popytu w szczególności:
E
c
ij
( p, I )
(i=1,...n)
Nazywają się elastycznościami cenowymi popytu
E
c
ij
( p, I )(i  j )
Nazywają się elastycznościami krzyżowymi popytu. Eiic pokazuje o ile procent zmieni się
popyt na i-ty towar przy wzroście jego ceny o 1%.
Eijc pokazuje o ile procent zmieni się popyt na i-ty towar przy wzroście ceny j-tego towaru.
Def
Wyrażenie
E
d
i
( p, I ) 
 ( p, I )
i
I
I
 ( p, I )
i
Gdzie i=1,...n nazywa się elatycznością dochodową popytu na i-ty towar
 Towary normalne Ecii <0
 Towary Giffena Ecii >0
 Towary wyższego rzędu Edi >0
 Towary niższego rzędu Edi <0
Temat: Elementy teorii produkcji
Producent towarów
Towar:jako towar konsumpcyjny albo czynnik produkcji lub nakład
Proces prod. Przekształcenie (funkcja, transformacja) jednego koszyka towarów w drugi
koszyk towarów .
n- liczba towarów na rynku
2n
n
n
( x, y )  R   R  x R 
x-wektor nakładów
y- wektor wyników
x=(x1,x2,...xi...x n) y=(y1,y2,...yi...yn)
Będą nas interesowały technologicznie dopuszczalne procesy produkcji, czyli procesy
dopuszczalne z technologicznego pkt. Widzenia.
Przestrzeń produkcyjna
Zbiór
2n
z  R
Wszystkich technologicznie dopuszczalnych procesów prod (x,y) z normą
( x, y )  max{
x, y}
i
i
Będziemy nazywali przestrzenią produkcyjną
i
i


 x , x ,... ,... x , y , y ... y ... y   Z
n
 1 2 xi
1
2
i
n 


 Pierwsza sytuacja
I-ty towar może być jednocześnie nakładem i wynikiem-jednocześnie zużywany i
wytwarzany np. elektrownia xi>0, yi>0
 Druga sytuacja
I-ty towar jest wyłącznie zużywany xi>0, yi=0
 Trzecia sytuacja
I-ty towar jest wyłącznie wytwarzany xi=0 yi>0
Prawa produkcji
I Prawo proporcjonalnych przychodów
 z  Z
 0
Gdzie
df
z {{x, y) | ( x, y)  z}
Lub inaczej
  (x,y)  z
  0 ( x , y )z
-krotne zwiększenie nakładów powoduje -krotne zwiększenie wyników.
1I MALEJĄCE PRZYCHODY
a)
 z  Z
0,1
b)


I
z
1
1II ROSNĄCE PRZYCHODY
a)
 z  z
Prawa alternatywne
 1
b)

 
I
I
zz
Z
( 0 ,1)
Z
Malejące przychody
rosnące przychody
II Addytywność dopuszczalnych procesów produkcji
(x,y)z (xI ,yI)z(x+xI, y+yI)z
III Brak „rogu obfitości”
(,y)zy= z niczego się nic nie produkuje
IV Nieodwracalność procesu produkcji
(x,y)zxy(y,x)z
(y,x)Z
Y=x
Z
V Możliwość marnotrawstwa
5.1 (x,y) z    yI  y  (x, yI) z
5.2 (x,y) z  x I x (x I, y) z
5.1 po stronie wyników
5.2 po stronie nakładów
VI Domkniętość przestrzeni produkcyjnej
Gdy przestrzeń prod spełnia założenia I i II to jest ona stosunkiem wypukłym o wierzchołku
w przedziale =R2n+
Z
Funkcja produkcji
z
R R
n
n


Zakładamy że z jest przestrzenią prod
Przekształceniem technologicznym nazywamy odwzorowanie typu:
n
n
:
 R
R

z
Które każdemu wektorowi nakładów xRn+ przyporządkowuje zbiór wszystkich wyników
yRn+ które można otrzymać dysponując nakładami x z wektora x.
df
 ( x) { R ; x, y   z}
n
-multifunkcja
y=x
Z
x
x
Funkcja prod- def
Proces produkcji (x,y) z nazywamy technologicznie efektywnym jeżeli nie istnieje proces
produkcji (x,yI) z taki że :
y
I
 y
y
I
y
Definicja
Jeżeli istnieje funkcja f: Rn+Rn+ taka że y=f(x) wtedy i tylko wtedy gdy proces (x,y) z jest
technologicznie efektywny, to funkcję f nazywamy wektorową funkcją produkcji związaną z
przestrzenia prod z.
W szczególnym przypadku gdy producent wytwarza tylko jeden produkt zużywając w tym
celu k-wymiarowy (kn) wektor nakładów funkcja produkcji jest typu f: Rk+  R+ i
nazywamy ją wtedy skalarną k-czynnikową funkcją produkcji
(x0,y0)
Y0
Z
X0
Założenie: (k-czynnikowej skalarnej funkcji produkcji)
1. f()=0
2.

x
f ( x)
 0(i  1,2,..k )
k 
xi
R
krańcowa wydajność i-tego czynnika zwiększa produkcję.Zwiększenie któregokolwiek z
nakładów powoduje wzrost prod.
3.f-funkcja wklęsła
4.
   f (x)  
r  0 x
k
r
f ( x)
0
R
f-funkcja jednorodna stopnia r
gdy r>1 w procesie produkcji występują „korzyści wielkiej skali”
gdy 0r<1 w procesie produkcji występują „niekorzyści wielkiej skali”
T: Wybrane charakterystyki funkcji produkcji
Def
Krańcowa wydajność i-tego nakładu w wektorze nakładów x nazywamy
ME
f
i
( x) 
f ( x)
(i  1,...k )
 xi
ME- marginal efficiency
Definicja
Elastyczność produkcji względem i-tego nakładu w wektorze x nazywamy wielkość

f
i
( x) 
f ( x) xi
 xi f ( x)
Mówi o ile % w przybliżeniu wzrośnie produkcja jeżeli i-ty nakład w wektorze x wzrośnie o
1%
Definicja
Krańcowa stopa substytucji i-tego nakładu przez j-ty nakład nazywamy
f ( x)
x
 ij ( x)  f ( xi) (i  j )
 xj
Mówi o jaką ilość nakładu j należy zastąpić w wektorze x jednostkowy spadek nakładu i aby
wielkość produkcji nie zmieniła się
Definicja
Elastyczność substytucji i-tego nakładu przez j-ty nakład nazywamy

( x)   ij ( x)
f
f
ij
x
x
i
(i  j )
j
Mówi o ile % powinien zwiększyć się j-ty nakład w wektorze x, aby przy zmniejszeniu i-tego
nakładu o 1% wielkość produkcji się nie zmieniła
T: Izokwanty funkcji produkcji
F: Rk+R1+ (funkcja produkcji) .
y0-nieujemna liczba rzeczywista .
y00
Definicja
Zbiór postaci:
W ( y )  x  R
f
0
k

| f ( x) 
y  R
0
k

Nazywamy izokwantą (funkcji) produkcji
Przykład funkcji produkcji .
F:R2+R1+
Y=f(x)=f(x1, x2)
Q= f (K,L)
Q-produkcja
K-kapitał
L-praca
Definicja
Technicznym uzbrojeniem pracy nazywamy iloraz:
K
( L  0)
L
1. Funkcja produkcji Cobba-Douglasa (1927-28)
Funkcja produkcji f:R2+R1+ spełniająca warunki 1-4 oraz warunek:
U
2. Krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał zależy wyłącznie od technicznego
uzbrojenia pracy i jest liniową, rosnącą, funkcją tego uzbrojenia czyli:

f
LK
 u (  0)
Ma postać
Q  f ( K , L) 
W której: A>0,
Są parametrami
r

0
1
 
2r
1  0


AK L
A- parametr wydajności, uwzględnia postęp techniczny (techniczno-organizacyjny)
Parametry  i  są odpowiednio:
-elastycznością produkcji Q względem kapitału K oraz elastycznością produkcji Q względem
pracy L
Funkcja Cobba-Douglasa jest funkcją dodatnio jednorodną stopnia r=+ +1
r- parametr efektu skali
W przypadku gdy współczynnik efektu skali r=1 można wyprowadzić następujące zależności:
a)w-wydajność pracy
Q
w
L
w=w(u)=An
b) tzw. Efektywność kapitału od technicznego uzbrojenia pracy
df
e
Q
K
e=e(u)=Au
Q  f ( x1 , x2 ,... xk ) 
k
i
A x2 ... xk  A xi
1
2
k
x1
i 1
A>0
1, 2,... k>0
2. Funkcja produkcji CES(1962)
(Constant Elasticity of Substitution)
SMAC-pierwsza nazwa (1961) od nazwisk 4 autorów
Funkcja produkcji f:R2+R1+ spełniająca warunki 1-4 oraz warunek 5I:
Krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał jest potęgową funkcją technicznego
uzbrojenia pracy czyli:

f
LK

u
Gdzie  i >0 ma postać

Q  f ( K , L)  A 
K
u
 1    L
u

r
u
Gdzie A>0
1
,u   1
1
Elastyczność krańcowej stopy substytucji pracy przez kapitał względem techicznego
uzbrojenia pracy u jest stałą.
 

f
LK
u
  const
Funkcja produkcji Cobba-Douglasa jest szczególnym przypadkiem funkcji CES.
k
Q  f ( x1 , x2 ,... xk )  A( i xi )
u
r
u
i 1
k

i 1
i
1
A>0
T:Elementy teorii przedsiębiorstwa
Przedsiębiorstwo w warunkach doskonałej konkurencji
Założenia:
1. Przedsiębiorstwo wytwarza 1 towar, zużywając w tym celu k innych towarów (nakłady,
czynniki produkcji)
2. Działalność produkcyjną opisuje skalarna k czynnikowa funkcja produkcji .
Y=f(x) y=f(x1, x2,..xk) f: Rk+R+
3. Przypisujemy, że jedynym celem przedsiębiorstwa jest max. Zysku
4.Przedsiębiorstwo nie ma wpływu na ceny towarów
5.Przed. Nie ma problemu ze zbytem produkcji
6.Pozostałe działające na rynku przeds. Są w stanie natychmiast zaspokoić zmieniające się
zapotrzebowanie producenta na towary będące nakładami
Zadanie1
Wyznaczyć wektor nakładów x tak aby,
Pf(x)-<v,x>max (1)
Przy ograniczeniach
x
(2)
gdzie:
p-cena wytworzonego dobra
v= (v1,...vk) wektor nakładów
Twierdzenie
Jeżeli funkcja produkcji f spełnia warunki 1-3 a ceny p i v spełniają warunki:
f
f
lim p x  v  p x |
x 
x 
p>0
to:
1. istnieje jeden wektor x*> maksymalizujący dochód
2. wektor ten spełnia układ równań
p
f
| (*)
x x  x*
p
f ( x)
 v  (*)
x

(x,p,v)= (**)
Jeżeli fC2Df to rozwiązanie układu (**) można w otoczeniu każdego punktu
(x,p,v)>  przedstawić jako funkcję:
x=(p,v)
Wynika to z tzw. Twierdzenia o funkcjach uwikłanych
Funkcja produkcyjnego popytu na towaru (ksi)
=(1, 2,... k)
Funkcja ksi wyraża zależność optymalnego popytu x na towary od ceny p towaru
wytwarzanego i cen v nakładów.
- ma ciągłe pochodne cząstkowe w otoczeniu każdego punktu (p,v)> -jest jednorodne
stopnia zerowgo
(p, v)= (p,v)
Funkcja
Y=f(x)=f [ (p,v)]=y (p,v)
Nazywa się funkcją podaży towaru
Funkcja podaży towaru przyjmuje wartości rzeczywiste nieujemne. Funkcja y(eta) ma takie
same własności jak funkcja 
Reakcja przedsiębiorstwa na zmianę cen:
Pochodna
y
0
p
y
0
p
Opisuje reakcję optymalnej wielkości produkcji na zmianę ceny p wytwarzanego towaru
Wzrost ceny p wytwarzanego zawsze prowadzi do zwiększenia optymalnej wielkości produkcji.
y

j
v
0
j
Wzrost ceny niektórych czynników produkcji (nakładów) powoduje spadek optymalnej
wielkości produkcji

i

i
p
0
Wzrost ceny wytwarzanego towaru prowadzi do zwiększenia popytu na niektóre czynniki
produkcji
  

1 
   p 
i



  2 


 p 
Optymalna wielkość nakładów na zmianę ceny p

i
v
j

i, j


j
 vi
Wpływ zmiany ceny i-tego nakładu na popyt na j-ty nakład jest taki sam jak wpływ zmiany ceny
j-tego nakładu na popyt na i-ty nakład
y


v
p
(Zależność między wektorami) Wzrost ceny produkowanego towaru powoduje wzrost popytu na
i-ty czynnik produkcji, gdy zwiększenie ilości tego czynnika prowadzi do obniżenia optymalnego
poziomu produkcji
Założenie
Gdy ceny są ustalone p i v a przedsiębiorstwo zdecydowało się na y-wielkość produkcji (jaką
przedsięb. Otrzyma) to może ono być zainteresowane minimalizacją kosztów produkcji
Minimalizacja kosztów produkcji
Zadanie1
Wyznaczyć wektor nakładów x tak aby <v,x> min przy ograniczeniach .
F(x)=y
x
Można dowieść, że jeśli funkcja produkcji jest funkcją silnie wklęsłą to dla każdej wartości y>0
zadanie powyższe ma dokładnie jedno rozwiązanie x*
Funkcje: c:R1+R1+
Która przyporządkowuje poziomowi produkcji y>0 minimalny koszt otrzymanie takiej produkcji tj.
df
c( y )  min  v, x 
Y=f(x)
x
Nazywamy funkcją kosztów przedsiębiorstwa
Funkcja kosztów c jest:
A)ciągła
b)dodatnio jednorodna stopnia 1-ego
Znając funkcję kosztów c można wyznaczyć optymalną wielkość produkcji dla przedsiębiorstwa
rozwiązując następujące zadanie.
  c(y)  c( y)
x 0 y 0
Zadanie2
Wyznaczyć taką wielkość produkcji y , że:
Przy ograniczeniu y0
py-c(y)max
Jeżeli funkcja kosztów c jest różniczkowalna to y*>0 jest optymalną wielkością produkcji gdy
1) p=cII (y*)
2) cII(y*)>0
Strategia krótkookresowa w przedsiębiorstwach
Omawiając strategię długookresową przyjmowaliśmy, że przedsięb może w każdej chwili wybrać i
otrzymać dowolny wektor nakładów x
W krótkich okresach czasu może tobyć niemożliwe np. niektóre z towarów zużywanych w procesie
produkcji mogą być dostępne jedynie w ograniczonych ilościach
Zadanie3 (maksymalizacji zysku)
Wyznaczyć taki wektor nakładów x, że pf(x)-<v,x>max przy ograniczeniach y(x)=  (g(x) )
x
Przedsiębiorstwo w warunkach monopolu
Założenie
1. Przedsięb mające monopol na wytwarzany towar ma pływ na cenę p tego towaru, w tym wypadku
p=p(y)
Przyjmujemy że .
PI(y)<0
Monopolista jest gotowy obniżyć cenę a zwiększyć sprzedaż
2. Pozostałe przedsięb działające na rynku mają wpływ na ceny vi (i=1,...k) tych nakładów
3.

i 1,.. k
d vi
d xi
0

v = v(x1,...xk)=(v1(x1),...,vk(xk))

Nasz producent jest skłonny zapłacić wyższą cenę za dodatkowe niezbędne mu nakłady
Zadanie4(maksymalizacji zysku)
Wyznaczyć taki wektor nakładów x aby p(y)=y-<v(x),x)max przy ograniczeniach y=f(x)
x
T: Statyczne modele równowagi. Prosty model wymiany.
Zał
1. Poniżej sformułujemy matematyczny model rynku, na którym wielu handlowców stara się
zmaksymalizować swoją funkcję użyteczności w drodze wymiany towarów (bez udziału
pieniędzy)
2. Na rynku znajduje się i jest dostępnych n doskonale podzielnych towarów
3. W wymianie bierze udział m handlowców
4. Każdy z handlowców posiada pewien koszyk towarów (koszyk początkowy-a k=(a1k, a2k,...a m
k)0) k=1,...m j koszyk ten może być skonsumowany przez handlowca lub wymieniony na inny
koszyk
5. Nie ma przymusu zawierania transakcji
6. Żadnemu z handlowców nie można zabronić dokonania korzystnej dla niego wymiany
7. Każdy z handlowców zachowuje się racjonalnie czyli godzi się na wymianę wtedy gdy nowy
koszyk jest niegorszy od tego którego posiada
8. Każdy z handlowców posiada pełną informację na temat preferencji i początkowych zasobów
koszyków wszystkich innych handlowców.
Gdyby:

~k
Relacja słabej preferencji k-tego handlowca (k=1,...n)
( , a )
k
~k
Definicja
Alokacją dopuszczalną nazywamy każdy nm wymiarowy wektor x=(x1, x2, ..., xm) spełniający
warunek:
m
x
k
k 1
m
 a
k
k 1
F(a)-zbiór wszystkich alokacji dopuszczalnych odpowiadających alokacji początkowej
df
a
a , a ,..., a 
1
2
m
m
m
df

k
k
n*m
F ( a )   x  R |  x   a 
k 1
k 1


Każda alokacja dopuszczalna jest redystrybucją (wtórnym podziałem)koszyków początkowych.
Definicja
Alokację xF(a) nazywamy lokowaną przez koalicję S{1,2,...,m} jeżeli isnieje alokacja yF(a)
y=(y1, y2, ...y m) taka że:
1) suma po kS
 y  a
k
kS
k
kS
2)
~
t
y (t )  c e  c e  c t e  c t e
1
3)
t
2
t
3
t
3
y
k

kS
k
x ( jest _ lepsze
Przykład
Alokacja
 m k

x    a ,0,0,...0   F (a)
 k 1

W której wszystkie koszyki należą do pierwszego handlowca jest blokowana przez koalicję utworzoną
z S={2,3,...,m} pozostałych handlowców yF(a) y=a=(a1, a2,...,a k)
Alokacje, które mogą być blokowane przez jakąś koalicję nie mają szans na dowolną realizację.
Zrealizowane mogą być tylko takie alokacje, które nie mogą być blokowane przez żadną koalicjęalokacje nieblokowane.
Definicja
Alokację xF(a) nazywamy optymalną w sensie Pareto (Pareto-optymalną) jeżeli nie istnieje
alokacja xF(a) taka, że:
 y x
k
~
k
y
k
k
k

x
k
(k=1,2,...m)
Interpretacja:
Alokacja x=(x1,...xm) F(a) jest zatem optymalna w sensie Pareto jeżeli nie istnieje alokacja y=(y
I
,...ym) F(a), która dla każdego z handlowców jest nie gorsza od x a przynajmniej dla jednego jest
lepsza od x.
Zbiór wszystkich alokacji Pareto- optymalnych P(a)
Można dowieść, że dla każdej alokacji początkowej a=(a1,....a m) zachodzą następujące inkluzje
C(a)P(a)F(a)
T:Prostokąt Edgewortha (PE) (Edgeworth’s box)
Załóżmy że na rynku wymienia towary dwóch handlowców (m=2) liczba towarów też równa jest 2
(n=2)
A11+a12
A12
2-gi towar
a21
X=(x1,x2)
02
a , a  R
a  a , a  R
a  a , a  R
a  a  a  a , a  a 
a
1
A(a1,a2)
2
4

1
2
2
1
2

2
1
A12
1
2
2
2
1
2
2

1
2
1
2
1
1
2
2
01
1-szy towar
a11
A2 2
Przyjmijmy że krzywe obojętności każdego z handlowców są silnie wypukłe
01
Wzros
t użyt
Wzr
ost
użyt
01
Przez każdy punkt PE przechodzi dokładnie jedna krzywa obojętności każdego z handlowców
Zbiór punktów PE(zbiór alokacji dopuszczalnych) w których krzywe obojętności pierwszego
handlowca są styczne do krzywych obojętności drugiego handlowca nazywamy krzywą kontraktów
(krzywa kontraktowa) Krzywa kontraktów jest zbiorem alokacji optymalnych w sensie Pareto.
a
C(a)
Krzywe obojętności przechodzące przez punkt a (alok. Początkowa) dzielą PE na dwie części. Obszar
na zewnątrz widocznej na rys.”soczewki” i obszar złożony z punktów tej „soczewki” (razem z
brzegiem). Każda alokacja położona na zewnątrz „soczewki” (nawet alok. Optymalna w sensie Pareto)
będzie zawsze blokowana przez jednego z handlowców.
Zbiór wszystkich alokacji, które nie są blokowane (czyli jądro wymiany C(a)) jest częścią wspólną
„soczewki” oraz krzywej kontraktów P(a)
T: Model równowagi rynkowej Arrowa-Hurwicza
Model opisuje zachowanie się grupy handlowców (m handlowców) którzy przybywają z towarami na
rynek, aby je sprzedać i za uzyskane w ten sposób pieniądze kupić inne potrzebne im towary.
Zakładamy, że ceny towarów są jednolite na całym rynku.
Problem:
Czy można tak ustalić ceny towarów na rynku aby:
1) Każdy z handlowców mógł kupić koszyk towarów, który maksymalizuje jego funkcję użyteczności
(w ramach budżetu tylko uzyskanego ze sprzedaży koszyka)
2) popyt na towary był równy ich podaży
m handlowców
n towarów
a
k

a , a ,..., a _ k  1,...m _____  
k
k
k
1
2
n
-koszyk początkowy k-tego handlowca
x
k

x , x ,..., x ______  
k
k
k
1
2
n
-koszyk towarów, który k-ty handlowiec chciałby nabyć
p=(p1, p2,....,p n)
wektor cen
x R
k

n

p, x  p, a
k
p, a 
k
I
k
dochód (budżud)k  tego _ handlowca
k
Wybierając koszyki handlowcy kierują się indywidualnymi preferencjami odzwierciedlanymi przez
funkcje użyteczności:
k
u :R
n

R
1
Założenie:
Każdy handlowiec zna wszystkie pary (a k, u k) k=1,...,m
Zadanie1
Uk(x)max
Przy ograniczeniach <p,x>=Ik x
Z poznanych twierdzeń wynika że jeśli każda z funkcji użyteczności u k jest silnie wklęsła, rosnąca i
dwukrotnie różniczkowalna to optymalny koszyk dla tego handlowca czyli koszyk xk jest ciągła
funkcją wektora cen p oraz budżetu Ik
x 
k
k
p, I 
k
k -funkcja popytu k-tego handlowca (konsumenta)
Ponieważ
Ik=<p, ak>
Gdzie a kRn+ jest ustalone
Definicja
Wektorem nadmiernego popytu na towary nazywamy wektor
m
df
m
z ( p)   x   a  R
k
k 1
k
n
k 1
Ponieważ
x
k

f
k
( p)
m
z ( p)  
k 1
m
f
k
f
k
m
( p)   a
k
k 1
( p )  globa ln a _ funkcja _ popytu _ f ( p )
k 1
Interpretacja:
Z(p)= (z1(p), z2(p),...zn(p))Rn
Wtedy z i (p)>0- nadwyżka popytu nad podażą i-tego towaru
Kiedy z i (p)<0-nadmierna podaż i-tego towaru (przy cenach p=(p1,...p n)
Kiedy z i (p)=0 na rynku jest równowaga cząstkowa
Definicje
Mówimy że rynek jest w równowadze gdy ustaliły się na nim ceny


p  ( p  )
Przy których
 
z p   
 
Wektor cen p (z daszkiem) spełniający powyższy warunek nazywamy wektorem cen równowagi
walrasowskiej (ogólnej)
Definicja równowagi walrasowskiej nazywa się wektor
_
m  
 _   1 _ 
x p    x  p ,..., x  p  
    
 
Utworzony z optymalnych koszyków wszystkich handlowców
x
k
_
k  
 _   k _ 
 p    x  p ,..., xn  p  
    
 
Zakupionych po cenach równowagi
_



p
,...,
 p1, p 2

_


pn


_
W(a) zbiór wszystkich alokacji równowagi walrasowskiej
Twierdzenie
Dla przyjętych założeń o funkcjach użyteczności uk oraz dla dowolnej alokacji początkowej a
zachodzą inkluzje W(a)C(a) P(a) [F(a)]
Twierdzenie
Założenie
1)Funkcje popytu f k (k=1,...m) są różniczkowalne w zbiorze Rn+\{}
2)
  p  0  z  p   0
i
i
i 1,... n
3)dla każdego wektora p należącego do zbioru:

oraz każdego wektora
  R \ R  R 
df

P (1)  p  R | p  1, p  
n
n
gdzie
R
n


n
n
n



 xR | x  
n
macierz Jacobiego funkcji
z(p)=(z(p),...zn(p))
spełnia warunek  I(p) T<0
Teza:
W modelu równowagi rynkowej Arrowa-Hurwicza istnieje dokładnie jeden wektor cen równowagi
_
p
Określony z dokładnością do mnożenia przez stałą
Macierz Jacobiego
Z(p)= (z1(p),..., z n(p))
Jest to macierz
 z1 
  z1
...



df  


(
p
)
p
p

z
1
n
 
I ( p)   i
nm

 zn
 zn 
 p 


j
...


 p
p 
1
n

Wyznacznik Jacobiego I(p) nazywa się jakobianem funkcji z w punkcie p.
Temat: Równania różniczkowe zwyczajne
Pod koniec XVIIw powstała teoria równań różniczkowych. Izaak Newton, G.W. Leibniz
Definicja
Równanie różniczkowe zwyczajne jest to równanie w którym występują pochodne yI,yII, ...y
(n)
pewnej nieznanej funkcji y=y(t)
t- zmienna niezależna
y- zmienna zależna
W równaniu różniczkowym może też wystąpić szukana funkcja y=y(t) oraz zmienna
niezależna t
Założenie
F(t, y, yI, yII,... y(n) )=0
(1)
F:Rn+1 R
(n1)
F- jest ciągła w otwartym zbiorze URn+2
Najczęściej t(-,) lub t<0, )
Istnieją jeszcze równania cząstkowe, w których poszukiwana funkcja jest funkcją wielu zmiennych.
Równanie (1) jest równaniem różniczkowym n-tego rzędu, bo występują w niej pochodna szukanej
funkcji y(n)
Y (n) =f(t, y, y I,... y(n-1) )
(2)
Przykład 1
Y I =a
(aR)
Równanie różniczkowe rzędu pierwszego, normalne
Y(t)=at+c
cR
Przykład 2
TyI +y II –et y2 =0
t(-,)
Równanie nieliniowe
Y II= ety2-tyI
Przykład 3
Załóżmy że są dane funkcja popytu i podaży na dane dobro
D=D(p)  funkcja popytu
S=S(p) funkcja podaży
p=p(t)
Jeżeli przyjmiemy że prędkość zmian cen jest proporcjonalna do nadmiernego popytu na
rozpatrywany towar
df
E  p   D( p )  S ( p )
E(p)- nadmierny popyt
To otrzymamy równanie różniczkowe
dp

dt
I
p (t )  kE( p)
Równanie różniczkowe zwyczajne można podzielić na dwie obszerne klasy:
 Liniowe
 Nieliniowe
Definicja
Równanie n-tego rzędu nazywamy liniowym, jeżeli daje się przedstawić w postaci:
a (t ) y
n
n 
 an1 (t ) y
( n 1)
I
 ...  a1 (t ) y  a0 (t ) y  g (t ) _(3)
I
Których współczynniki a0, a1 , ...,an , g są samymi funkcjami zmiennej niezależnej tI
Uwagi
1) Jeśli współczynniki a0, a1, ...an nie zależą od zmiennej t to równanie liniowe jest o stałych
współczynnikach
3) Gdy funkcja g jest identycznie równa 0 dla tI to równanie (3) nazywamy równaniem
jednorodnym a jeżeli nie jest identyczne to nazywamy równaniem niejednorodnym
Przykład 4
5yIII + (sint)yII- et y=0  równanie liniowe III rzędu jednorodne
Definicja
Rozwiązaniem równania różniczkowego (1) nazywamy każdą funkcję y=y(t) posiadającą dla tI
pochodne aż do n-tego rzędu włącznie i taką że
t , y (t ), I (t ),... ( n ) (t )  0
F
y
y 


tI
Wykres każdej funkcji y=y(t) będącej rozwiązaniem równania (1) nazywamy krzywą całkową tego
równania
Przykład5
Łatwo sprawdzić, że każda funkcja postaci
0 , 5t
y (t )  e
(c1 cos t  c2 sin t )  2 _(t  R)
C1, c2 R
Jest tzw. Rozwiązaniem ogólnym równanie różniczkowego yII +yI+1,25y=2,5
Przyjmując np.
C1=-0,5 c2=1,55
Otrzymujemy jedną z nieskończenie wielu tzw. Rozwiązań szczególnych powyższego równania
różniczkowego
0 , 5t
y (t )  e
(0,5 cos t  1,55 sin t )  2
2
T: Interpretacja geometryczne rozw. Równania różniczkowego. Pole kierunków
Y I= f(t,y)
(*)
Niech y=y(t) jest rozwiązaniem równania (*) dla tI
Fakt że funkcja y jest rozwiązaniem rów (*) oznacza, że przy zadanym prostokątnym układzie
współrzędnych styczną do krzywej całkowej y=y(t) ma w każdym leżącym na tej krzywej punkcie
P(t,y) współczynnik kierunkowy k=f(t,y)
A zatem rozwiązanie równania różniczkowego (*) sprowadza się do następującego zadania.
Wiedząc, że każdemu punktowi o współrzędnych (f,y) z pewnego obszaru jest przyporządkowany
pewien kierunek K=f(t,y) (kiedy zadanie jest tzw. Pole kierunków) Trzeba znaleźć wszystkie krzywe,
które w każdym swoim punkcie P mają styczną o współczynniku kier. Wyznaczonym przez powyższe
pole kierunków
Przykład 6
YI=y2 równanie rzędu pierwszego nieliniowe autonomiczne
Y2 f(t,y)
K=f(t,y)=y 2
Rozwiązaniem ogólnym jest funkcja
y t  
1
ct
Rozwiązanie osobliwe y(t)=0
Rozwiązanie ogólne i szczególne równań różniczkowych
Rozwiązanie osobliwe
Def.
Rozwiązanie równania różniczkowego-tego rzędu nazywamy rozw. Ogólnym jeżeli w rozw. Tym
wyst n różnych stalych
Y=y(t, c1,... c n) c1...c nR
Każde rozwiązanie które otrzymuje się z rozw. Ogólnego wstawiając za wspomniane stałe ustalone
wartości liczbowe nazywamy rozw. Szczególnym równanie różniczkowego
Rozw rów różniczkowego które nie może być otrzymane z rów ogólnego w wyżej opisany sposób
nazywamy rozw. Osobliwym
Równanie roż może (ale nie musi) posiadać rozw. Osobliwego
Przykład7
Y II +y=0 (*)
Y(t)=c1 cost +c2 sint (c1, c2R)
Rozw nie posiada rozw różniczkowego
Przykład8
(y I)3-y=0
2

y t   t  c  2  rozw _ ogó ln e
3

3
y(t)0 rozw osobliwe
T: Warunki początkowe i brzegowe . Problem Cauchiego
Chcąc wyznaczyć stała c1,...cn wyst w rozw ogólnym rów n-tego rzędu musimy narzucić na rozw
ogólne pewne warunki. Liczba tych warunków musi być równa rzędowi równania n
Warunki odnoszące się do jednegoo punktu t0I nazywamy warunkami początkowymi. Warunki
odnoszące się do więcej niż jednego punktu I nazywamy warunkami brzegowymi.
Przykład9
yt   e
0 , 5t
y
II

y
I
c cos t  c sin t   2
1
2
 1,25 y  2,5
Problem Cauchiego
y
II

y
I
 1,25  2,5
y 0  1,5
y 0  1,8  c
I
 0,5 _ c2  1,55
1
Równanie różniczkowe wraz z narzuconymi warunkami początkowymi tworzą tzw. Problem
Cauchiego
Przykład10(przykład problemu brzegowego)
y
II

y
I
 2y  2
y ( 0 )  1
y (1)  0
Rozwiązanie
yt   e e
1 e
2
 2t
3

 e 1
t
Problem Cauchiego
Znaleźć rozw y=y(t) równania róż
y
(n)
1
( n 1)
 y t , y, y ,..., y (*)


Spełniające warunki początkowe
yt 0  
y ; y t   y ,..., y
I
0
1
0
( n 1)
0
(t 0) 
n 1
0
(**)
Twierdzenie (o istnieniu jednoznaczności rozw problemu Cauchiego)
Jeżeli wyst w rów (*) funkcja f traktowana jako funkcja n+1 zmiennych t, y, yI...yn-1
Jest ciągłą i ma ograniczone pochodne cząstkowe
f f
f
, ,...,
n 1
y y
y
W pewnym obszarze DR n+1 zawierającym punkt (t 0, y0, t10,..y n-10) to istnieje przedział (a,b) oraz
określana dla t(a,b) dokładnie jedna n-krotnie różniczkowalna w sposób ciągły funkcja y=y(t)
spełniająca równanie (*) i warunki początkowe tego równania
T: Równania różniczkowe pierwszego rzędu
Równania o zmiennych rozdzielonych
y
I
 f t , y 
dy
 f t , y  _(1)
dt
Jeżeli funkcję f daje się przedstawić w postaci ilorazu
f t , y  
Pt , y 
Qt , y 
To daje się przedstawić w postaci
dy Pt , y 

dt Qt , y 
Można je także zapisać w postaci:
P(t,y)dt+Q(t,y)dy=0 (2) postać różniczkowa
Definicja
Równanie różniczkowe I-ego rzędu nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych jeżeli ma
poniższą postać różniczkową P(t)dt+Q(y)dy=0 (3)
UWAGA
Równanie postaci
M(t)N(y)dt+P(t)Q(y)dy=0 (4) równanie o zmiennych separowanych
Można łatwo sprowadzić do postaci (3) dzieląc je stronami przez iloczyn N(y)P(t)
M t 
Q y 
dt 
dy  0
Pt 
N y
Aby znaleźć rozwiązanie ogólne równania (3) wystarczy scałkować to równanie stronami
 P(t )dt   Q( y)dy  c _(5)
1
Równanie (5) daje uwikłany związek między zmiennymi y i t, czyli związek postaci
(t,y,c)=0 (6)
Równanie (6) jest to całka ogólna równanie (3)
Jeżeli potrafimy z równania (6) wyznaczyć y jako funkcje zmiennej niezależnej t, to otrzymujemy
rozwiązanie ogólne równania (3)
Y=y(t, c1)
Przykład1
I
(*) y  
y
_(t  0)
2t
dy
y

dt
2t
2tdy  ydt  0 / : 2ty
1
1
dt  dy  0
2t
y
1
1
dt   dy  c1
2t
y
1
ln t _ ln y  c1
2
ln t  ln y  c1
y
c
1
t
Rozw ogólne równania (*)
Równanie (*) ma też rozwiązanie osobliwe y(t)0
Wiele równań różniczkowych I-rzędu daje się za pomocą różnego rodzaju przedstawień, przekształceń
sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych np. równanie jednorodne i Bernoulliego
 Jednorodne
YI=f(t,y) w których funkcja f jest funkcja jednorodną
  f t , y    f t , y 
r
r  0 R
Przykład2
y
I

2 y
t y
2
2
 Bernoulliego
YI + P(t)y=Q(t)yn
Np.
YI-ty= -ty3
 Liniowe równanie różniczkowe I-go rzędu
A1 (t)y I+ a0 (t) y=y(t)
(7)
Jeśli dla tI a1(t)0
To równanie (7) przedstwić można w postaci
(t )
g (t )
y  a (t ) y  (t )
a
a
a (t )  P(t )
a (t )
I
0
1
1
0
1
g (t )
 Q (t ) ____ czyli
a1 (t )
y
I
 P (t ) y  Q (t ) __(8)
Rozwiązanie
y
I
 P (t ) y  0 _(8 )
I
dy
 Pt  y  0 / dt
dt
dy  P (t ) ydt  0 / : y
dy
 P (t )dt  0
y
Całkując stronami otrzymamy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego (8I)
 P ( t ) dt
y(t )  c e 
cR (9)
Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego (8) otrzymujemy stosując tzw. Metodę uzmienniania
stałych
Poszukujemy rozwiązywania równania (8) wstając do niego funkcję
 P ( t ) dt
y(t )  c(t ) e 
Otrzymujemy
c (t ) e 
I
 P ( t ) dt
 P ( t ) dt
 Pt   Pt ct e P(t ) dt  Q(t )
 c(t ) e 
c (t ) e   Q(t )
c (t )  Q(t ) e
dt 
d (t )   Q (t ) e
c


I
I
 P ( t ) dt
P ( t ) dt
P ( t ) dt
1
Podstawiając powyższą funkcję do wzoru (9) otrzymujemy wzór na rozwiązanie ogólne
niejednorodnego równania różniczkowego postaci I-go rzędu postaci (8)
 P ( t ) dt 

 P (t ) dt  dt  _(10)
y(t )  e 
c1   Q(t ) e
 



Ze wzoru (10) widać, że rozwiązanie ogólne równanie (8) jest sumą:
-rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (8I)
-rozwiązania szczególnego równania równoważnego niejednorodnego (8) (po wstawieniu c1=0)

Liniowe równania różniczkowe wyższych rzędów
a (t ) y
(n)
n
 an1 (t ) y
( n 1)
I
 ...  a1 (t ) y  a0 (t ) y  g (t ) _(11)
Uproszczenieoperator-funkcjom przyporządkowuje funkcje
L y   an (t ) y
df
(n)
 ...  a0 (t ) y
Postać operatora
L[y]=y(t) (11I)
Twierdzenie
Jeżeli funkcje y1=y1(t),...y n=y n(t) są rozwiązaniem równania jednorodnego
L[y]=0 (12)
To każda ich kombinacja liniowa
n
y (t )   ci y (t )
i
c 1
Też jest rozwiązaniem tego równania
Definicja
Funkcje y1,...,yn nazywamy liniowo niezależnymi w przedziale I jeżeli
n
 c y (t )  0  c  c
i 1
i
1
i
I
2
 ...  cn  0
Przykład3
1) {1,t,t2} liniowo niezależne w I=(-,)
2) {1,t,0} nie są liniowo niezależne w I=(-,)
3) Wrońskian od J.M.Hoene-Wroński 1776-1853
Zał
Y1, y2,...yn funkcje n-1 krotnie różniczkowalne w I
Definicja
L
 y
 1I
df
 y
1
  .....
 ( n 1)
y
 1
y , y ,... y 
1
2
n
y
y
2
I
2
......
y
( n 1)
2



...
n

..... ...... 
n 1
... y 
n 
...
y
y
n
I
Twierdzenie
Niech funkcje y1=y1(t),...,yn =yn(t) (tI) będą rozwiązaniami równania
L[y]=0
Wkw ma to by funkcje te były liniowo niezależne w przedziale I jest aby istniał punkt t0I taki że
W(y1, y2,...,yn) 0
Twierdzenie
Jeżeli y1=y1(t),...,yn =yn(t) są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania L[y]=0 dla tI oraz c1,...c
n są dowolnymi stałymi to funkcje
n
y t    ci y t 
i
c 1
Jest rozwiązaniem tego równania
Twierdzenie
Jeżeli funkcja
~
~
y  y t 
Jest rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego L[y]=0 oraz funkcja
~
~
y t 
y
Jest jakimkolwiek rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego L[y]=g(t) to funkcja
df ~
_
yt   yt   yt 
Jest rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego
Rozwiązywanie równań
a y
(n)
n
 an 1 y
n 1
I
 ...  a1 y  a0 y  0(*)
I Tworzymy tzw. Równanie charakterystyczne dla równania (*)
a r a r
n
n 1
n 1
n
 ...  a1 r  a0 )(**)
II Rozwiązujemy równanie(**)
 Równanie charakterystyczne może mieć wyłącznie pierwiastki rzeczywiste
-różne
-wielokrotne
Równanie może mieć pierwiastki i rzeczywiste i zespolone
-jednorodne
-wielokrotne
Przykład4
1)Niech r1, r2, ...r n będą rzeczywistymi i różnymi pierwiastkami charakterystycznego równania (**)
Rozwiązanie ogólne równania (*) ma wtedy postać:
t
t
t
y(t )  c1 er1  c2 er 2  ...  cn er n
Np.
III
II
1
y  2 y  y  2y  0
r  2r  r  2  0
3
2
Pierwiastki
R1= -1 r2= 1 r3=2
y t   c1 e  c2 e  c3 e rozw.ogó ln e
t
t
2t
I Pierwiastki rzeczywiste wielokrotne
Twierdzenie
Jeżeli r jest k-krotnym (k1) pierwiastki równania charakterystycznego dla równania różniczkowego
L[y]=0 to funkcja postaci: er t, ter t, ...t k-1er t są liniowo niezależnymi rozw równania różniczkowego
L[y]=0
Przykład1
Y(7) +y(6) -6y(5) -6y(4) +9yIII +9yIII -4yI - 4y=0
Y(7) +y(6) -6y(5) -6y(4) +9yIII +9yIII -4yI - 4yL[y]
R7 +r6 +6r5 –6r4 +9r2 –4r –4 =0
R1= -2
R2= 2 r3=r4=r5= -1
Y1(t)=e –2t
Y2(t)= e 2t
Y3(t)=e –t
Y4(t)= t e –t
Y5(t)=t2 e -t
r6=r7=1
y6(t)=e t
y7(t)=te t
Rozwiązanie ogólne:
Y(t)=c1y1(t)+...+c7y7(t)=c1e –2t+...+c7tet
II Pierwiastki zespolone różne
Twierdzenie
Jeżeli równanie charakterystyczne (rów kwadratowe) ma dwa różne pierwiastki zespolone
R1= a +bi

r2=a-bi
To rozw ogólne L[y]=0 ma postać
y t   c1 e cos bt  c2 e sin bt
at
at
Przykład2
YIII – 3yII +9yI +13y=0
R3-3r2+9r+13=0
R1= -1 y1(t)= e –t
R2=2 +3i y2(t)=e2tcos 3t
R3=2-3i y3(t)=e2tsin3t
Rozwiązanie ogólne:
y t   c1 e  c2 e cos 3t  c3 e sin 3t
t
2t
2t
III Wielokrotne pierwiastki zespolone
Przypuśćmy, że liczby r=abc są k-krotnymi zespolonymi pierwiastkami dla równanie L[y]=0.
Pierwiastkom tym (a jest ich 2k)odpowiada 2k liniowo niezależnych rozwiązań równania L[y}=0
Rozwiązania te mają postać
Y1(t)=ea t cosbt
y2(t)=ea t sinbt
at
Y3(t)=te cosbt
y4(t)=tea t sinbt
Y5(t)=t2ea t cosbt
.............................
y2k-1(t)=tk-1 ea t cosbt
y6(t)=t2ea t sinbt
............................
y2k(t)=t k-1 ea t sinbt
Przykład3
Y(6) – 5y(5) +32yIII- 84yII+ 92yI -48y=0
R6-5r5+32r3-84r2+92r-48=0
R1= -3  y1(t)=e –3t
R2=4  y2(t)=e 4t
R3=r4=1-i  y3(t)=et sint  y4(t)=tet sint
R5=r6=1+i  y5(t)=et cost  y6(t)=tet cost
Ogólne rozwiązanie
y t   c1 e
3t
 ...  c6 t e cos t
t
IV Rozwiązanie ogólne równania L[y]=g(t) (*)
Twierdzenie
Jeżeli funkcje y1=y1(t),...y n= yn(t) są liniowo niezależnymi rozwiązaniami L[y]=0 to rozwiązanie
szczególne równania
L y  
y
(n)
 an 1 y
( n 1)
 ...  a1 y  a0 y  g t 
I
Ma postać
_
y (t ) 
(t )
1
dt 
y1 (t ) W
W (t )
(t )
2
dt  ... 
y2 (t ) W
W (t )
n
(t )
(t )
W
n
i
(
t
)
dt

dt
yn  W (t )
yi (t ) W

W (t )
i 1
Gdzie W(t) jest wrońskianem funkcji y1....y n natomiast
y ... y
y ... y
df
W
i
(t ) 
1
I
i 1
I
1
i 1
0
.........
y
n 1
1
... y
y
y
0
... y
i 1
I
... y
i 1
........ ........
( n 1)
y
0
i 1
1
I
n
........
( n 1)
... y
i 1
( n 1)
n
Przykład4
Y III- y II – y I +y= e t (*)
Ogólnym rozwiązaniem równania jednorodnego jest funkcja
~
t
y(t )  c1 e  c2 e  c3 t e
t
t
3
_
(t )
y (t )   y (t )  W i dt
i
W (t )
i 1
YIII- y II- yI +y= et
Ogólnym rozwiązaniem równania jednorodnego jest funkcja
~
t
y (t )  c e  c e  c t e  c t e
t
1
~
t
t
2
3
t
3
3
(t )
  y (t )  W i dt
i
W (t )
i 1
0t
e
(t )  0
W
W (t )  e
ee
1
t
t
t
t
ee
ee
ee
t
t
t
t
t
t
te t
te t
3t
(t  1) e t  e t
(t  1) et  4 e
(t  2) e t
(t  2) e
Po scałkowaniu i pominięciu stałej całkowej
Rozwiązanie szczególne
_
1
2
y (t )  8 e (1  2t  2t )
t
Odp:
Więc szczególne rozwiązanie równania różniczkowego (*) ma postać
~
y t   t (t ) 
_
t
1
y (t )  c e  c e  c te  8 e (1  2t  2t )
e e 0
W (t )  e e 0  2e
e e e
t
t
t
t
t
e 0
W (t )  e 0
e e
t
2
t
t
2
3
t
t
3
t
1
t
t
t
t
te
(t  1) e  e  2te
t
(t  2) e
t
t
t
t
2