Systemy Liczenia

Systemy Liczenia - I
Przez system liczbowy rozumiemy sposób
zapisywania i nazywania liczb.
Rozróżniamy:
pozycyjne systemy liczbowe i addytywne
systemy liczbowe.
Danuta Stanek
ADDYTYWNE SYSTEMY LICZBOWE
W systemach niepozycyjnych poszczególne
cyfry zachowują swą wartość liczbową bez
względu na miejsce, jakie zajmują w liczbie.
Przykładem takiego systemu jest system
rzymski.
Danuta Stanek
Dziesiątkowy system liczbowy
W pozycyjnych systemach liczbowych liczbę przedstawia się jako
ciąg cyfr, a wartość poszczególnych znaków cyfrowych zależy od
ich położenia (pozycji) względem sąsiednich znaków cyfrowych.
Dla nas naturalnym sposobem prezentacji liczb jest system
dziesiętny. Oznacza to, że wyróżniamy dziesięć cyfr. Są nimi:
zero, jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, siedem, osiem oraz
dziewięć. Oznacza się je odpowiednio: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 oraz
9. Jest ich dziesięć. Spróbujcie uświadomić sobie, że liczenie jest
tylko i wyłącznie ILOŚCIĄ, a nie zapisem liczb. Zapis dziesiętny
powstał wieki temu, prawdopodobnie dlatego, że mamy dziesięć
palców.
Danuta Stanek
Liczba 7 4 9
najmocniejsza
pozycja liczby
S
E
T
K
I
D
Z
I
E
S
I
Ą
T
K
I
J
E
D
N
O
Ś
C
I
najsłabsza pozycja
3 pozycje liczby
System dziesiętny jest systemem pozycyjnym, co
oznacza, że wartość liczby zależy od pozycji na której
znajduje się liczba, np. w liczbie 555 każda cyfra
oznacza inną wartość bowiem:
555= 5*100+5*10+5*1
Danuta Stanek
PRZYKŁAD - Liczba 749
Czyli siedemset czterdzieści dziewięć. Na najsłabszej pozycji widnieje cyfra 9.
Pozycja ta nosi nazwę pozycji jedności. Mamy 9 jedności. Dalej jest cyfra 4.
Cyfra ta znajduje się na drugiej pozycji, czyli pozycji dziesiątek. Można więc
powiedzieć, że jest tam cztery dziesiątki, inaczej mówiąc 40 jedności.
Na trzeciej natomiast pozycji jest cyfra 7. Trzecia pozycja to pozycja setek,
czyli jest siedem setek. Innymi słowy, liczba 749 to siedem setek, cztery
dziesiątki i 9 jedności.
Można to zapisać następująco: 9*1 + 4*10 + 7*100. Razem 749. Jak widać,
każdy kolejny składnik zawiera cyfrę z powyższej liczby oraz ciągle
wzrastający mnożnik. Mnożnik ten najpierw jest równy 1, potem 10, a na
końcu 100. Znaczy to, że każdy następny jest pomnożony przez 10. Można
więc zapisać to inaczej. Liczba 749 to tak jak: 9*100 + 4*101 + 7*102.
Mnożnikiem
jest
liczba
10
ze
zwiększającą
się
potęgą.
Danuta Stanek
n 1
 a *10
Liczba 749
i 0
n 1
i
Każdą z cyfr mnożymy przez tzw. wagę pozycji, która jest
kolejną potęgą liczby 10 będącej podstawą systemu
liczenia. Możemy to zapisać jako:
2
1
0
749(10) =7*10 + 4*10 + 9*10
a dowolną liczbę dziesiętną można zapisać jako:
LICZBA(10) =an-1*10n-1 + an-2*10n-2 ...+... a2*102 + a1*101 +
a0*100,
gdzie liczba n jest ilością cyfr (pozycji) w liczbie
Przy czym współczynniki a mogą mieć wartość 0, 1, 2 ,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
n – jest ilością cyfr (pozycji) w liczbie
Danuta Stanek
Dodawanie i pozycje liczb
• 351 + 1= 352
• 749 + 1 = 750
• 999 + 1 = 1000 (mamy nową pozycję)
Skoro powstał system dziesiętny, można wymyślać
dowolne systemy liczenia o dowolnej podstawie (na
przykład czwórkowy, ósemkowy itd.)
Danuta Stanek
System ósemkowy
• W systemie tym jest osiem cyfr.
• Są to: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 oraz 7. Jest ich
więc 8.
• Liczby takie jak: 6, 7, 8, 9, 10, w
systemie ósemkowym będą wyglądać
odpowiednio: 6, 7, 10, 11, 12.
• Liczba cyfr w systemie jest równa
podstawie systemu, a więc w systemie
dziesiętnym – 10, w systemie
ósemkowym – 8, dwójkowym – 2 itd.
Danuta Stanek
SYSTEM BINARNY
(dwójkowy)
n 1
n 1
a
*
2
i
i 0
• Dla systemu binarnego podstawą jest 2 i wagami
odpowiednie potęgi tej liczby.
• Zgodnie z pokazanym poprzednio rozwinięciem, liczbę
w systemie o podstawie 2, możemy przedstawić jako:
LICZBA(2) =
an-1*2n-1 + an-2*2n-2 ... + ... a2*22 +a1*21 + a0*20
współczynniki an mogą przybierać tylko dwie
wartości: 0 lub 1
Danuta Stanek
Zapis w systemie dwójkowym
• Kolejne pozycje liczby zwane są
pozycjami jedynek, dwójek, czwórek,
ósemek itd.
• Liczba 101002) = 1x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 +0x20
=1*16
=0*8+1*4+0*2+0*1=
»
20
»
Danuta Stanek
System dwójkowy (binarny)
• Obliczyć wartość liczby dwójkowej 11100101(2)
• 11100101(2) = 1x27 + 1x26 + 1x25 + 0x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20
• 11100101(2) = 1x128 + 1x64 + 1x32 + 0x16 + 0x8 + 1x4 +0x2 + 1x1
11100101(2) = 128 + 64 + 32 + 4 + 1
11100101(2) = 229(10)
Danuta Stanek
W technice komputerowej praktyczne
zastosowanie znalazły systemy:
o podstawie 2 - tzw. system binarny
(dwójkowy) używany do przechowywania
i przetwarzania danych przez układy
elektroniczne komputera.
o
podstawie
16
tzw.
system
heksadecymalny (szesnastkowy), który nie
jest używany bezpośrednio przez układy
cyfrowe. Używa się go głównie do
prezentacji
niektórych
danych
m.in.
adresów komórek pamięci.
Danuta Stanek
System heksadecymalny (szesnastkowy)
Liczbę w systemie szesnastkowym
(o podstawie 16) możemy przedstawić jako:
LICZBA(16) =an-1*16n-1 + an-2*16n-2 ... + ... +a2*162 + a1*161
+ a0*160
Ponieważ symboli graficznych oznaczających cyfry arabskie
jest 10, brakuje symboli sześciu cyfr. Cyfry od 10 do 15
zastąpiono w zapisie literami:
10 - A, 11 - B, 12 – C, 13 – D, 14 – E,
15 – F
jednak aby zapis liczby był jednoznaczny, na każdej pozycji
powinna być umieszczona tylko 1 cyfra – np. pisząc 145 nie
możemy mieć wątpliwości czy kolejne cyfry tak zapisanej
liczby to:
1 4 5 czy 14 5
Danuta Stanek
System heksadecymalny(16)
• Znaleźć wartość liczby dziesiętnej odpowiadającej
liczbie heksadecymalnej 4C2 (16)
4C2
(16)=
4C2
(16) =
4C2
4x162 + Cx161 + 2x160
4x256 + 12x16 + 2x1
(16) =
1218 (10)
Lub 4C2 H =
Danuta Stanek
1218 D