Wielomian - BEZ
advertisement
Wielomian – w matematyce wyrażenie zbudowane ze zmiennych i stałych połączonych przez działania dodawania i mnożenia. Stopniem wielomianu nazywa się najwyższy ze stopni jego jednomianów. Wielomian x2y − 11x3y4 jest wielomianem stopnia siódmego. Stopień wielomianu f oznacza się deg(f) . Wielomian zerowy nie ma określonego stopnia. Niekiedy przyjmuje się, że stopień wielomianu zerowego wynosi – nieskończoność. Wielomianu zerowego nie należy mylić z wielomianem stopnia zerowego, czyli wielomianem postaci c, gdzie c różne od 0 .Wielomianem jednorodnym nazywa się wielomian składający się z jednomianów tego samego stopnia. Przykładem może być 3xy + 7yz − 4zx. Wielomian unormowany to taki wielomian, którego najstarszy współczynnik jest równy jedności. Równość wielomianów Dwa wielomiany uważamy za równe, gdy mają te same współczynniki przy odpowiadających sobie jednomianach. Działania na wielomianach-Na wielomianach można wykonywać różne operacje, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, największy wspólny dzielnik, złożenie. Wartość wielomianu dla pewnej liczby (lub krotki w przypadku wielomianu wielu zmiennych) nazywa się liczbę, którą otrzymuje się po podstawieniu tej liczby do wielomianu. Własności pierwiastków Niektóre własności (pierwiastki wielokrotne należy liczyć kilka razy): Wielomian stopnia n ma[4] co najwyżej n pierwiastków. Zasadnicze twierdzenie algebry: każdy wielomian zespolony stopnia n ma pierwiastek zespolony. Z tego wynika, że każdy wielomian zespolony ma dokładnie n pierwiastków zespolonych. Pierwiastki zespolone (nierzeczywiste) wielomianu rzeczywistego występują jako pary liczb wzajemnie sprzężonych. Wielomian rzeczywisty stopnia n ma n pierwiastków rzeczywistych lub o parzystą liczbę mniej; w szczególności, wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego zawsze ma pierwiastek rzeczywisty. Twierdzenie Sturma pozwalające wyznaczyć liczbę pierwiastków wielomianu rzeczywistego w przedziale (a,b). Twierdzenie Hurwitza pozwalające rozstrzygnąć, czy wszystkie pierwiastki wielomianu rzeczywistego leżą w lewej półpłaszczyźnie zespolonej. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu całkowitego: jeżeli ułamek nieskracalny jest pierwiastkiem wielomianu całkowitego to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego oraz q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego. Wzory Viète'a łączące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami Jeżeli wielomian ma pierwiastki wielokrotne, to dzieląc go przez otrzymujemy wielomian o tych samych pierwiastkach, lecz jednokrotnych. Rugownik dwóch wielomianów jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy mają one wspólny pierwiastek. Reguła Kartezjusza: liczba dodatnich pierwiastków wielomianu jest równa liczbie zmian znaku pomiędzy kolejnymi niezerowymi współczynnikami lub też mniejsza od niej o wielokrotność liczby 2. Zamieniając x na − x można oszacować liczbę ujemnych pierwiastków; przykład: wielomian x3 + x2 − x − 1 ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni - zmiana znaku występuje przy przejściu od a2 = 1 do a1 = − 1. bez-nauki.pl - ściągi, opracowania, testy...
